La Montagne Mouvement 2 - La Relativité

Christoph Schiller
LA
MONTAGNE MOUVEMENT
l’aventure de la physique – vol. ii
la relativité
www.motionmountain.net
Christoph Schiller
La Montagne Mouvement
L’Aventure de la Physique
Volume II
La Relativité
Traduit de l’anglais par Benoît CLENET
23e édition, disponible gratuitement sur

www.motionmountain.net
Editio vicesima tertia.
Proprietas scriptoris © Christophori Schiller

secundo anno Olympiadis vicesimae nonae.
Omnia proprietatis iura reservantur et vindicantur.

Imitatio prohibita sine auctoris permissione.
Non licet pecuniam expetere pro aliquo, quod
partem horum verborum continet ; liber
pro omnibus semper gratuitus erat et manet.
Vingt-troisième édition.
Copyright © 2009 Christoph Schiller,

deuxième année de la 29e Olympiade.
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dont le texte peut être consulté en intégralité sur la page
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produit ou service, qu ’ il soit commercial ou non, n’est pas autorisée
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Toute personne est libre de consulter, enregistrer et imprimer
ce fichier pdf pour son usage personnel, et de le diffuser par
des moyens électroniques, mais uniquement sous sa forme originale
et de manière entièrement gratuite.
À Britta, Esther et Justus Aaron
τῷ ἐµοὶ δαὶµονι
Die Menschen stärken, die Sachen klären.
PR É FAC E
La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

“
Primum movere, deinde docere*.
Antiquité
Ce livre s’adresse à toute personne curieuse de la nature et du mouvement. La curio-

sité portant sur la manière dont se meuvent les gens, les animaux, les choses, les images
”
et l ’espace nous entraîne dans de multiples aventures. Ce volume présente les meilleures
d ’entre elles dans le domaine de la relativité. Par la vitesse de la lumière c, la relativité
Traduit de l’anglais par Benoît Clénet disponible gratuitement sur www.motionmountain.net Copyright © Christoph Schiller Novembre 1997–Mai 2010
restreinte impose une limite aux vitesses de l ’énergie ; la relativité générale circonscrit
la force par la force maximale F ⩽ c 4 /4G. On montre que dans le cadre de ces deux
domaines, toutes les équations découlent de ces limitations. Cette manière simple, intui-
tive et inhabituelle d ’appréhender la relativité et la cosmologie devrait récompenser la
curiosité de chaque lecteur – qu ’ il soit étudiant ou professionnel.
Dans la structure de la physique moderne, indiquée sur la Figure 1, la relativité re-
couvre deux domaines importants. Le présent volume – le deuxième d ’une collection
qui en compte six – propose un tour d ’ horizon de la physique ; il résulte d ’une triple as-
piration que j’ai poursuivie depuis 1990 : présenter le mouvement d ’une manière simple,
moderne et vivante.
Afin d ’être simple, le texte se focalise sur les concepts, tout en donnant aux mathé-
matiques le niveau minimum nécessaire. La priorité est donnée à la compréhension des
concepts de la physique plutôt qu ’à l ’utilisation des formules dans les calculs. Tout ce
texte est à la portée d ’un étudiant qui accède au premier niveau universitaire.
Afin d ’être moderne, ce texte est enrichi par les nombreux joyaux – aussi bien théo-
riques qu ’empiriques – qui parsèment la littérature scientifique.
Afin d ’être vivant, ce texte tente de surprendre le lecteur autant que possible. Lire un
livre de physique générale, ce devrait être comme assister à un spectacle de magie. Nous
observons, nous nous étonnons, nous n’en croyons pas nos yeux, nous réfléchissons, et
finalement nous comprenons le truc. Lorsque nous observons la nature, nous faisons sou-
vent cette même expérience. C ’est pourquoi chaque page propose au moins une surprise
ou une provocation qui mettra la sagacité du lecteur à l ’épreuve. Un grand nombre de
défis intéressants sont proposés.
La devise de ce texte, die Menschen stärken, die Sachen klären, une phrase célèbre sur
la pédagogie due à Hartmut von Hentig, se traduit ainsi : « Fortifier les hommes, clarifier
les choses ». Clarifier les choses nécessite du courage, puisque changer les habitudes de
pensée engendre la peur, souvent masquée par la colère. Mais en surpassant nos peurs
* « D’abord émouvoir, ensuite enseigner ». Dans les langues modernes, ce type mentionné de mouvement
(celui du cœur) est souvent appelé motivation : ces deux termes sont issus de la même racine latine.
8 préface
PHYSIQUE : Description unifiée du mouvement Pourquoi le mouve-

Décrire le mouvement Aventures : comprendre le ment se produit-il ?
à l’aide de l’action. mouvement, joie intense Que sont l’espace,
avec la pensée, saisir le temps et les par-
une lueur d’extase, ticules quantiques ?
calculer les

masses.
Théorie quantique
Mécanique quan-
des champs
tique et gravitation
Aventures : bâtir des
Relativité Générale Aventures : neutrons
accélérateurs, compren-
Aventures : le qui rebondissent, com-
dre les quarks, étoiles,
ciel nocturne, me- prendre la crois-
bombes et fondements
surer la courbure sance des
de la vie, la matière,
de l’espace, explo- arbres.
le rayonnement.
rer les trous noirs
et l’univers, Comment se déplacent
l’espace et le les objets minuscules ?
temps.
Que sont les choses ?
Comment les Relativité restreinte

Gravitation Aventures : lumière, Mécanique quantique
objets familiers
classique magnétisme, contrac- Aventures : mort,
rapides et massifs
Aventures : tion des longueurs, sexualité, biologie,
se déplacent-ils ?
randonnée en montagne, dilatation du admirer l’art et les
ski, voyage dans l’espace, temps et couleurs, toute la
les prodiges de l’astronomie E0 = mc2 . technologie de pointe,
et de la géologie. médecine, chimie
G c h, e, k et évolution.
Physique galiléenne, chaleur et électricité

Aventures : sport, musique, navigation, cuisine,
décrire la beauté et comprendre son origine,
utiliser l’électricité et les ordinateurs,
comprendre le cerveau et l’être humain.
F I G U R E 1 Une carte complète de la physique : les connexions sont définies par la vitesse de la lumière
c, la constante de la gravitation G, la constante de Planck h, la constante de Boltzmann k et la charge
élémentaire e.
nous gagnons en force. Nous ressentons alors des émotions intenses et enivrantes. Toutes
les grandes aventures de la vie – et explorer le mouvement en est une – mènent à cela.
Munich, 10 Janvier 2009.
R emerciement
Je remercie Benoît Clénet pour sa traduction de ce volume. Sa patience, son énergie

et son professionnalisme sont exemplaires.
préface 9
C onseil au lecteur
D’après mon expérience d ’enseignant, je connais une méthode d ’apprentissage qui

est toujours parvenue à transformer des élèves en échec en élèves gagnants : si vous lisez
un livre pour l ’étudier, résumez chaque section que vous lisez, dans vos propres termes,
à voix haute. Si vous n’y arrivez pas, lisez la section une nouvelle fois. Recommencez

jusqu ’à ce que vous puissiez résumer clairement ce que vous avez lu avec vos propres
mots, à voix haute. Vous pouvez le faire tout seul dans votre chambre, ou avec des amis,
ou tout en marchant. Si vous faites cela avec tout ce que vous lisez, vous réduirez votre
temps d ’apprentissage et de lecture de manière significative. De surcroît, vous prendrez
beaucoup plus de plaisir à apprendre avec des bons ouvrages et détesterez nettement
moins les mauvais manuels. Les prodiges de cette méthode peuvent même l ’utiliser tout
en écoutant un cours, à voix basse, évitant ainsi de prendre constamment des notes.
C omment u tiliser ce livre ?
Le texte en vert, que l ’on trouve dans un grand nombre de notes en marge, signale un
lien sur lequel on peut cliquer dans un lecteur pdf. Ces liens en vert sont soit des réfé-
rences bibliographiques, des notes de bas de page, des références croisées vers d ’autres
pages, des solutions aux défis ou des pointeurs vers des sites Web.
Les indices et solutions des défis sont donnés dans l ’annexe. Les défis sont classés
ainsi : niveau recherche (r), difficile (d), niveau étudiant standard (s) et facile (e). Les
défis des types r, d ou s pour lesquels aucune solution n’a encore été incorporée dans le
livre sont marqués (pe).
Appel à contribu tion
Ce texte est et demeurera librement téléchargeable depuis Internet. En échange,

envoyez-moi s’ il vous plaît un bref courriel à fb@motionmountain.net, à propos des
questions suivantes :
— Qu ’est-ce qui n’était pas clair ?
— Quelle histoire, sujet, énigme, image ou film n’avez-vous pas compris ?
Défi 1 s — Qu ’est-ce qui devrait être amélioré ou corrigé ?
Vous pouvez également ajouter votre retour directement sur www.motionmountain.net/
wiki. Au nom de tous les lecteurs, merci par avance pour votre collaboration. Si votre
contribution est particulièrement pertinente, et si vous le souhaitez, votre nom sera men-
tionné dans les remerciements, ou bien vous recevrez une récompense, ou les deux. Mais
par-dessus tout, très bonne lecture !
Table des Matières
15 1 Vitesse maximale, observateurs au repos et mouvement de la lu-
mière
Pouvons-nous jouer au tennis en utilisant une pulsation laser en guise de balle et

des miroirs comme raquettes ? 20 • La relativité restreinte en quelques lignes 24 •
Accélération de la lumière et effet Doppler 26 • La différence entre la lumière et le
son 29 • Pouvons-nous tirer plus vite que notre ombre ? 30 • La composition des
vitesses 32 • Les observateurs et le principe de relativité restreinte 33 • Qu ’est-ce
que l ’espace-temps ? 37 • Pouvons-nous voyager dans le passé ? – Temps et causa-
lité 39
41 Curiosités de la relativité restreinte
Plus vite que la lumière : jusqu ’où pouvons-nous voyager ? 41 • Synchronisation et
voyage dans le temps – une mère peut-elle rester plus jeune que sa propre fille ? 41 •
Contraction des longueurs 44 • Images relativistes – aberration et effet Doppler 47
• Quelle est la meilleure place dans un bus ? 50 • À quelle vitesse pouvons-nous
marcher ? 51 • La vitesse de l ’ombre est-elle plus grande que la vitesse de la lu-
mière ? 51 • La parallèle à une parallèle n’est pas parallèle – la rotation de Tho-
mas 54 • Une histoire sans fin – température et relativité 55
56 Mécanique relativiste
La masse en relativité 56 • Pourquoi le jeu du billard relativiste est plus difficile 58 •
La masse est de l ’énergie concentrée 59 • Collisions, objets virtuels et tachyons 62
• Systèmes de particules – absence de centre de masse 64 • Pourquoi la plupart
des mouvements sont-ils si lents ? 65 • L’ histoire de la formule de l ’équivalence
masse–énergie de De Pretto et Einstein 65 • Quadrivecteurs 66 • Quantité de
mouvement relativiste 69 • Quadriforce 71 • La rotation en relativité 71 • Mouve-
ment ondulatoire 73 • Action d ’une particule libre – comment les choses bougent-
elles ? 74 • Transformations conformes – pourquoi la vitesse de la lumière est-elle
constante ? 75
77 Observateurs en accélération
Accélération pour des observateurs inertiels 79 • Référentiels accélérés 80 • Ho-
rizons des événements 84 • L’accélération modifie la couleur 86 • La lumière
peut-elle aller plus vite que c ? 86 • Qu ’est-ce que la vitesse de la lumière ? 87 •
Limites sur la longueur des corps solides 88
90 La relativité restreinte en quatre propositions
La vitesse de la lumière a-t-elle pu fluctuer ? 90 • Que se passe-t-il près de la vitesse
de la lumière ? 91
92 2 Relativité générale : gravitation, vitesse maximale et force
maximale
Force maximale – toute la relativité générale dans une formule 93 • Les limites
d ’une force et d ’une puissance maximales 94 • L’évidence expérimentale 97 •
En déduire la relativité générale 98 • L’espace-temps est courbé 103 • Conditions
de validité des limites de la force et de la puissance 105 • Expériences de pensée et
paradoxes sur la force limite 105 • Expériences de pensée sur la puissance limite
et le flux limite de masse 111 • La vérité se cache 114 • Une compréhension intui-
tive de la relativité générale 115 • Une perception intuitive de la cosmologie 118 •
Défis expérimentaux pour le troisième millénaire 119 • Un résumé de la relativité
générale 120 • Remerciements 121
12 table des matières
123 3 Les idées nouvelles sur l ’ espace, le temps et la gravité

Repos et chute libre 123 • Qu ’est-ce que la gravité ? – Une deuxième réponse 124 •
Ce que les marées nous enseignent à propos de la gravité 128 • Espace courbe et ma-
telas 130 • Espace-temps courbe 132 • La vitesse de la lumière et la constante gra-
vitationnelle 134 • Pourquoi une pierre jetée en l ’air retombe-t-elle sur la Terre ? –

Les géodésiques 136 • La lumière peut-elle tomber ? 139 • Curiosités et défis amu-
sants sur la gravitation 140 • Qu ’est-ce que le poids ? 145 • Pourquoi les pommes
tombent-elles ? 146
148 4 Mouvement en relativité générale – lumière courbée et fluc-
tuation du vide
148 Champs faibles
Les effets Thirring 149 • Gravitomagnétisme 150 • Ondes gravitationnelles 154
• Fléchissement de la lumière et des ondes radio 162 • Décalage temporel 164
• Conséquences sur les orbites 164 • L’effet géodésique 167 • Curiosités et défis
amusants sur les champs faibles 168
169 Comment la courbure est-elle mesurée ?
Courbure et espace-temps 173 • Courbure et mouvement en relativité générale 175
• Gravitation universelle 176 • La métrique de Schwarzschild 177 • Curiosités et
défis amusants sur la courbure 177
178 Universalité des observateurs – Mathématiques plus profondes
La courbure de l ’espace-temps 178 • La description de la quantité de mouvement,
de la masse et de l ’énergie 179 • Action de Hilbert – Comment les choses tombent-
elles ? 181 • Les symétries de la relativité générale 182 • Équations du champ d ’ Ein-
stein 183 • Supplément sur la force limite 186 • Retrouver la gravitation univer-
selle 187 • Retrouver la relativité générale linéarisée 187 • Comment calculer la
forme des géodésiques 188 • La masse en relativité générale 190 • La gravité est-
elle une interaction ? 190 • L’essence de la relativité générale 192 • Gymnastique
de Riemann 192 • Curiosités et défis amusants sur la relativité générale 195
196 5 Pourquoi pouvons-nous contempler les étoiles ? – Le mouvement
dans l ’ Univers
Quelles étoiles pouvons-nous admirer ? 196 • Que voyons-nous la nuit ? 199 •
Qu ’est-ce que l ’ Univers ? 204 • La couleur et le mouvement des étoiles 205 • Les
étoiles brillent-elles toutes les nuits ? 208 • Une brève histoire de l ’ Univers 210
• L’ histoire de l ’espace-temps 214 • Pourquoi le ciel est-il noir la nuit ? 219 •
L’ Univers est-il ouvert, fermé ou situé entre les deux ? 221 • Pourquoi l ’ Univers
est-il transparent ? 223 • Le Big Bang et ses répercussions 223 • Le Big Bang fut-il
un Big Bang ? 224 • Le Big Bang fut-il un événement ? 224 • Le Big Bang fut-il un
commencement ? 225 • Le Big Bang implique-t-il une création ? 226 • Pourquoi
pouvons-nous voir le Soleil ? 226 • Pourquoi les couleurs des étoiles sont-elles diffé-
rentes ? 228 • Existe-t-il des étoiles sombres ? 229 • Toutes les étoiles sont-elles dif-
férentes ? – Lentilles gravitationnelles 230 • Quelle est la forme de l ’ Univers ? 232
• Qu ’y a-t-il derrière l ’ horizon ? 233 • Pourquoi y a-t-il des étoiles dans tous les
recoins du ciel ? – L’ inflation 233 • Pourquoi y a-t-il si peu d ’étoiles ? – Le contenu
en énergie et en entropie de l ’ Univers 234 • Pourquoi la matière est-elle amassée
en grumeaux ? 235 • Pourquoi les étoiles sont-elles si petites par rapport à l ’ Uni-
vers ? 236 • Les étoiles et les galaxies sont-elles en train de s’éloigner les unes des
autres ou est-ce l ’ Univers qui se dilate ? 236 • Y a-t-il plus d ’un Univers ? 236 •
Pourquoi les étoiles sont-elles figées ? – Bras, étoiles et principe de Mach 236 • Au
table des matières 13
repos dans l ’ Univers 238 • La lumière attire-t-elle la lumière ? 239 • La lumière

se désintègre-t-elle ? 239
241 6 Trous noirs – L’ éternelle chute
Pourquoi étudier les trous noirs ? 241 • Horizons 241 • Orbites 245 • Entropie et
cheveux 247 • Les trous noirs comme sources d ’énergie 249 • Curiosités et défis

amusants concernant les trous noirs 251 • La genèse et la quête des trous noirs 254
• Singularités 256 • Un petit quiz : l ’ Univers est-il un trou noir ? 257
258 7 L’ espace diffère-t-il du temps ?
L’espace et le temps peuvent-ils être mesurés ? 260 • L’espace et le temps sont-ils
indispensables ? 261 • Les courbes fermées de genre temps existent-elles ? 261 •
La relativité générale est-elle locale ? – L’argument du trou 262 • La Terre est-elle
creuse ? 263 • L’espace, le temps et la masse sont-ils indépendants ? 264
266 8 La relativité générale en dix points – un résumé pour le profane
La précision de cette description 267 • Recherches en relativité générale et en cos-
mologie 269 • Se pourrait-il que la relativité générale soit différente ? 270 • Les
limites de la relativité générale 272
274 a Unités, Mesures et Constantes
Unités naturelles de Planck 277 • Autres systèmes d ’unités 279 • Curiosités et
défis amusants sur les unités 280 • Précision et exactitude des mesures 286 •
Constantes physiques fondamentales 287 • Nombres utiles 292
294 Bibliographie
320 Indices et solutions des défis
329 Crédits
Remerciements 329 • Crédits photographiques 330
La Relativité
Dans notre apprentissage du mouvement des objets,

l ’aventure de la randonnée et d ’autres expériences
nous conduisent à découvrir qu ’ il y a une vitesse maximale
dans la nature, et que deux événements
qui se produisent en même temps pour un observateur
peuvent ne pas l ’être pour un autre.
Nous découvrons que l ’espace vide peut se courber,
vibrer et s’agiter, nous constatons qu ’ il existe
une force maximale dans la nature, et nous comprenons
pourquoi nous pouvons contempler les étoiles.
Chapitre 1
V I T E S SE M A X I M A L E , OB SE RVAT E U R S

AU R E P O S ET MOU V E M E N T DE L A
LUM I È R E
“
Fama nihil est celerius*.
”
L a lumière est indispensable pour une description précise du mouvement. Une
igne ou une trajectoire donnée d ’un mouvement est-elle droite ? Pour le savoir, nous
devons l ’ inspecter sur toute sa longueur. En d ’autres termes, nous faisons usage de la
lumière pour définir la rectitude. Comment pouvons-nous décider qu ’une surface est
plane ? Nous l ’ inspectons sous tous les angles**, encore une fois en utilisant la lumière.
Comment observons-nous le mouvement ? À l ’aide de la lumière. Comment mesurons-
nous une longueur avec une très grande précision ? Avec la lumière. Comment mesurons-
nous le temps avec une très grande précision ? Avec la lumière : autrefois c ’était la lumière
Page 274 du Soleil qui était utilisée, de nos jours c ’est la lumière des atomes de césium.
La lumière est primordiale parce qu ’elle représente l ’étalon de mesure pour le mouve-
ment non perturbé. La physique aurait évolué beaucoup plus rapidement si, à une certaine
époque reculée, la propagation de la lumière avait été reconnue comme étant l ’exemple
parfait du mouvement.
Mais la lumière est-elle réellement un phénomène lié au mouvement ? Ce problème
était déjà soulevé dans la Grèce antique, à partir d ’une simple réalité quotidienne :
l ’ ombre. Les ombres démontrent que la lumière est une entité qui se déplace, éma-
nant d ’une source lumineuse, et avançant en lignes droites***. La conclusion évidente
* « Rien n’est plus rapide que la rumeur. » Cette citation familière est une version simplifiée de la sentence
de Virgile : fama, malum qua non aliud velocius ullum. « La renommée, de tous les maux le plus véloce. »
Tiré de l ’ Énéide, livre IV, vers 173 et 174.
** Remarquez qu ’observer une surface plane sous tous les angles n’est pas suffisant pour cela : une surface
qu ’un rayon lumineux caresse tout le temps sur toute sa longueur dans toutes les directions n’est pas néces-
sairement plane. Pouvez-vous en donner un exemple ? Nous avons besoin d ’autres méthodes pour vérifier
Défi 2 s la planéité à l ’aide de la lumière. Pouvez-vous en citer une ?
*** À chaque fois qu ’une source produit des ombres, les entités émises sont appelées rayons ou rayonnements.
Excepté la lumière, d ’autres exemples de rayonnements furent découverts par le truchement des ombres :
les rayons infrarouges et les rayons ultraviolets, qui, avec la lumière visible, émanent de la plupart des sources
lumineuses, et les rayons cathodiques, qui s’avérèrent être associés au mouvement d ’une nouvelle particule,
l ’ électron. Les ombres conduisirent également à la découverte des rayons X, qui se révélèrent être une nou-
velle fois une variante de la lumière, dans le domaine des hautes fréquences. Les rayons ionisants furent aussi
découverts via leurs ombres : ils sont constitués d ’atomes ionisés en mouvement. Les trois variantes de la
radioactivité, à savoir les rayons α (noyaux d ’ hélium), les rayons β (encore des électrons) et les rayons γ
(rayons X de haute énergie) produisent également des ombres. Toutes ces découvertes furent réalisées entre
1890 et 1910 : ces années représentent la « période rayonnante » de la physique.
16 1 vitesse maximale, observateurs au repos, mouvement de la lumière

F I G U R E 2 Comment vérifiez-vous si les lignes
sont courbées ou droites ?
que la lumière met un certain temps pour voyager de la source jusqu ’à la surface où
Réf. 1 l ’ombre se manifeste avait déjà été formulée par le penseur grec Empédocle (v. 490 à
v. 430 av. J.-C. ).
Nous pouvons confirmer ce résultat avec un autre argument plus subtil, mais toujours
simple. La vitesse peut être mesurée. Donc la vitesse parfaite, qui est utilisée comme éta-
lon implicite pour les mesures, doit posséder une valeur finie. Une vitesse standard infi-
Défi 3 s nie ne pourrait pas du tout permettre de réaliser des mesures. Dans la nature, les entités
les plus légères se déplacent avec les vitesses les plus élevées. La lumière, qui est vraiment
légère*, est un candidat tout désigné pour le mouvement à vitesse parfaite mais finie.
Nous allons bientôt confirmer ce point.
Une vitesse finie pour la lumière signifie que tout ce que nous voyons représente une
information issue du passé. Quand nous contemplons les astres, le Soleil ou notre chéri(e),
nous voyons toujours une image du passé. Dans un sens, la nature nous empêche de
profiter de l ’ instant présent – nous devons par conséquent apprendre à tirer profit du
passé.
La vitesse de la lumière est élevée. C ’est pour cela qu ’elle ne fut pas mesurée avant
1676, bien que de nombreux savants, y compris Galilée, aient tenté en vain de le faire
auparavant. La première méthode de mesure fut élaborée par l ’astronome danois Ole
Page ?? Rømer** alors qu ’ il étudiait les orbites de Io et des autres satellites galiléens de Jupiter.
* L’auteur fait ici un jeu de mots : « Light, which is indeed light... », le mot light désigne à la fois la lumière
et la légèreté. [N.d.T.]
** Ole Christensen Rømer (Aarhus 1644 – Copenhague 1710) était un astronome danois. Il fut le précepteur
du Dauphin à Paris, à l ’époque de Louis XIV. L’ idée de la mesure de la vitesse de la lumière était due pour
ainsi dire à l ’astronome italien Giovanni Domenico Cassini, dont Rømer fut l ’assistant. Rømer continua
ses expériences de mesure jusqu ’en 1681, date à laquelle il dut quitter la France, comme tous les protestants
(de même que Christiaan Huygens), ainsi donc son œuvre fut interrompue. De retour au Danemark, un
incendie ravagea toutes ses notes manuscrites concernant ses mesures. Par conséquent, il ne put continuer
vitesse maximale, observateurs au repos, mouvement de la lumière 17
Jupiter et Io
(deuxième mesure)

Terre (deuxième
mesure)
Soleil Terre (première Jupiter et Io

mesure) (première mesure)
F I G U R E 3 La méthode de Rømer pour mesurer la vitesse de la lumière.
point de vue de la pluie point de vue de la lumière

pluie lumière
c
c
Terre v
v
Soleil
point de vue humain point de vue humain
α
c
c
α v
Soleil
v
F I G U R E 4 La méthode de la pluie pour mesurer la vitesse de la lumière.
Il obtint une grandeur incorrecte pour la vitesse de la lumière parce qu ’ il utilisait une
valeur fausse pour leur distance à la Terre. Cependant, cela fut rapidement corrigé par
ses pairs, notamment par Newton lui-même. Vous devriez pouvoir deviner sa méthode
Défi 4 s à partir de la Figure 3. Depuis cette époque, on savait que la lumière met un petit peu
plus de 8 minutes pour voyager du Soleil à la Terre. Cela fut confirmé d ’une manière
Page 103 élégante cinquante ans plus tard, en 1726, par l ’astronome James Bradley. Étant anglais,
Réf. 2 Bradley songea à utiliser la « méthode de la pluie » pour évaluer la vitesse de la lumière.
Comment pouvons-nous mesurer la vitesse de la pluie qui tombe ? Nous marchons
à améliorer la précision de sa méthode. Plus tard, il devint un important dirigeant et réformateur de l ’ État
danois.
rapidement avec un parapluie, mesurons l ’angle α sous lequel la pluie semble tomber, et
enfin mesurons notre propre vitesse v. Comme indiqué sur la Figure 4, la vitesse c de la
pluie est alors donnée par
c = v/ tan α . (1)

La même expérience peut être faite avec la lumière. Nous avons uniquement besoin de
mesurer l ’angle sous lequel la lumière provenant d ’une étoile située au-dessus de l ’orbite
terrestre parvient à la Terre. Puisque la Terre est en mouvement par rapport au Soleil et
donc par rapport à l ’étoile, cet angle n’est pas droit. Cet effet est appelé l ’ aberration
de la lumière, l ’angle est plus facilement décelé en comparant les mesures réalisées à
six mois d ’ intervalle. La valeur de cet angle est de 20,5 ′′ , de nos jours il peut être me-
suré avec une précision atteignant cinq chiffres décimaux. Sachant que la vitesse de la
Terre autour du Soleil est v = 2πR/T = 29,7 km/s, la vitesse de la lumière doit donc être
c = 3,00 ⋅ 108 m/s*. C ’est une valeur ahurissante, particulièrement lorsqu ’elle est compa-
rée à la vitesse la plus élevée jamais atteinte par un objet conçu par l ’ homme, à savoir
les sondes Voyager, qui traversent l ’espace à 52 Mm/h = 14 km/s, la croissance des en-
fants, environ 3 nm/s, ou la croissance des stalagmites dans les grottes, environ 0,3 pm/s.
Nous commençons à comprendre pourquoi la mesure de la vitesse de la lumière est une
science à part entière.
La première mesure précise de la vitesse de la lumière fut réalisée en 1849 par le physi-
* Les parapluies n’étaient pas courants en Grande-Bretagne en 1726, ils devinrent d ’usage commun un peu
plus tard, après avoir été introduits de Chine. La partie de l ’ histoire concernant le parapluie est inventée
de toutes pièces. En réalité, Bradley eut son idée pendant qu ’ il naviguait sur la Tamise, lorsqu ’ il remarqua
que, sur un navire en déplacement, le vent apparent avait une direction différente de celle qu ’ il avait sur la
terre ferme. Il avait observé 50 étoiles durant de nombreuses années, particulièrement Gamma Draconis, et
pendant ce temps il avait été intrigué par le signe de l ’aberration, qui était opposée à l ’effet qu ’ il était en
train de vérifier, à savoir la parallaxe stellaire. Toutes deux, la parallaxe et l ’aberration pour une étoile située
au-dessus de l ’écliptique, lui font décrire une petite ellipse au cours d ’une année terrestre, bien que les sens
Défi 5 s de rotation soient différents. Pouvez-vous deviner pourquoi ?
Par ailleurs, il découle de la relativité restreinte que la formule (1) est fausse, et que la formule exacte est
Défi 6 s c = v/ sin α : pouvez-vous voir pourquoi ?
Pour déterminer la vitesse de la Terre, nous devons d ’abord préciser sa distance au Soleil. La méthode
la plus simple est celle due au penseur grec Aristarque de Samos (v. 310 à v. 230 av. J.-C. ). Nous mesurons
l ’angle entre la Lune et le Soleil à l ’ instant où la Lune est exactement à son premier ou dernier quartier. Le
cosinus de cet angle fournit le rapport entre la distance à la Lune (déterminée, par exemple, par la méthode
Défi 7 s de la page 121) et la distance au Soleil. L’explication est laissée en exercice au lecteur.
L’angle en question est presque un angle droit (lequel produirait une valeur infinie pour la distance), et
Réf. 3 des instruments fiables sont nécessaires pour le mesurer avec précision, comme Hipparque l ’avait remarqué
dans une ample discussion sur ce problème autour de 130 av. J.-C. La mesure précise de l ’angle ne devint
réalisable qu ’à la fin du dix-septième siècle, lorsqu ’ il fut établi qu ’ il valait 89,86 °, fournissant un rapport de
Page 289 distance d ’environ 400. Aujourd ’ hui, grâce aux mesures radar des planètes, la distance au Soleil est connue
avec une précision invraisemblable de 30 mètres. Les variations de la distance de la Lune peuvent même être
Défi 8 s mesurées au centimètre près. Pouvez-vous deviner comment cela est réalisable ?
Aristarque détermina également les rayons du Soleil et de la Lune comme étant des multiples de celui
Réf. 4 de la Terre. Aristarque fut un savant exceptionnel : il fut le premier à proposer le système héliocentrique, et
probablement le premier à proposer que les étoiles étaient d ’autres soleils lointains. Pour ces idées, plusieurs
de ses contemporains suggérèrent qu ’ il devait être condamné à mort pour impiété. Lorsque le moine et
astronome polonais Nicolaus Copernicus (1473–1543) proposa à nouveau le système héliocentrique deux
mille ans plus tard, il ne mentionna pas le nom d ’Aristarque, même s’ il tenait cette idée de lui.
miroir
semi-argenté
miroir source

lumineuse
F I G U R E 5 Dispositif de Fizeau permettant de mesurer la vitesse de la lumière. (© AG Didaktik und

Geschichte der Physik, Universität Oldenburg)
rayon rouge
de commutation
de l'obturateur
chemin du faisceau
lumineux
10 mm
F I G U R E 6 Photographie d’une pulsation lumineuse se déplaçant de la droite vers la gauche à travers

une bouteille d’eau laiteuse, graduée en millimètres. (photographie © Tom Mattick)
cien français Hippolyte Fizeau (1819–1896). Par rapport à la valeur actuelle, la sienne
n’était plus grande que de 5 % seulement. Il envoya un rayon lumineux en direction
d ’un miroir éloigné et mesura le temps que la lumière prit pour revenir. Comment Fi-
zeau mesura-t-il ce temps sans l ’aide d ’aucun appareil électrique ? En réalité, il utilisa les
Page 49 mêmes principes que ceux qui sont utilisés pour mesurer les vitesses des munitions, la
réponse est partiellement donnée dans la Figure 5. (À quelle distance le miroir devait-il
Défi 9 s être placé ?) Une reconstitution moderne de son expérience, réalisée par Jan Frercks, a
Réf. 5 atteint une précision de 2 %. Aujourd ’ hui l ’expérience est beaucoup plus simple ; dans
le chapitre sur l ’électrodynamique, nous découvrirons comment mesurer la vitesse de la
lumière en utilisant deux ordinateurs de mesure, tournant sous UNIX ou Linux et reliés
Page 28 par un câble.
La vitesse de la lumière est si élevée qu ’ il est même difficile de démontrer qu ’elle est
finie. Peut-être que la manière la plus élégante de prouver cela est matérialisée par la
photographie d ’une pulsation lumineuse traversant notre champ de vision, de la même

F I G U R E 7 Une conséquence de la finitude de la vitesse de la lumière.
manière que nous pouvons photographier une voiture qui roule ou une balle de fusil qui
Réf. 6 traverse les airs. La Figure 6 montre la première photographie de ce type, produite en 1971
avec un appareil photographique reflex standard du marché, un obturateur ultra-rapide
conçu par les photographes et, plus remarquablement, sans une seule pièce d ’équipement
Défi 10 s électronique. (Quelle est la rapidité qu ’un tel obturateur doit avoir ? Comment pourriez-
vous construire un tel obturateur ? Et comment pourriez-vous vous assurer qu ’ il s’ouvre
bien au bon instant ?)
Une vitesse finie pour la lumière implique aussi qu ’un faisceau lumineux en rotation
rapide se comporte comme indiqué sur la Figure 7. Dans la vie quotidienne, la vitesse
élevée de la lumière et la rotation lente des phares rendent cet effet difficilement percep-
tible.
En résumé, la lumière se déplace extrêmement rapidement. Elle est beaucoup plus
Défi 11 s rapide que l ’ éclair, comme vous pourriez le vérifier vous-même. Un siècle de mesures
de plus en plus précises de cette vitesse a mis au jour la valeur moderne
c = 299 792 458 m/s. (2)
En fait, cette valeur est dorénavant fixée avec exactitude, par définition, et le mètre a été
défini par rapport à c. Le Tableau 1 donne un aperçu de ce que nous savons aujourd ’ hui
à propos du mouvement de la lumière. Deux propriétés étonnantes furent découvertes à
Réf. 7 la fin du dix-neuvième siècle. Elles constituent les fondements de la relativité restreinte.
Pouvons-nous jouer au tennis en u tilisant une pulsation laser en

guise de balle et des miroirs comme raquet tes ?
“
Et nihil est celerius annis*.
Ovide, Les Métamorphoses.
Nous savons tous qu ’afin de lancer une pierre le plus loin possible nous devons cou-
rir au moment de la lancer. Nous savons instinctivement que dans ce cas précis la vitesse
”
de la pierre par rapport au sol est plus élevée. Toutefois, au grand étonnement de tout
* « Rien n’est si prompt que la fuite des années. » Livre X, vers 520.
TA B L E AU 1 Propriétés du mouvement de la lumière.
O b s e r va t i o n s s u r l a l u m i è r e
La lumière peut se déplacer dans le vide.

La lumière transporte de l ’énergie.

La lumière possède une quantité de mouvement : elle peut frapper des corps.
La lumière possède un moment cinétique : elle peut tourner autour des corps.
La lumière traverse de la lumière sans perturbation.
La lumière dans le vide se déplace toujours plus vite que n’ importe quel corps matériel.
La vitesse de la lumière, sa véritable vitesse de signal, est la vitesse précurseur. Page 104
Dans le vide, sa valeur est de 299 792 458 m/s.
La vitesse propre de la lumière est infinie. Page 41
Les ombres peuvent se déplacer sans restriction sur leur vitesse.
La lumière se déplace en ligne droite lorsqu ’elle se trouve loin de la matière.
La lumière de forte intensité est une onde.
Les rayons lumineux ne sont que des approximations lorsqu ’on néglige la longueur d ’onde.
Dans la matière, la vitesse de signal et la vitesse de l ’énergie de la lumière sont inférieures à celle
dans le vide.
Dans la matière, la vitesse de groupe des pulsations lumineuses peut être nulle, positive, négative
ou infinie.
le monde, les expériences montrent que la lumière émise par une ampoule en mouve-
ment possède la même vitesse que celle émise par une ampoule au repos. La lumière
n’est jamais plus rapide que la lumière (dans le vide), tous les rayons lumineux pos-
sèdent la même vitesse. Nombre d ’expériences spécialement conçues ont confirmé ce
Réf. 8 résultat avec une grande précision. La vitesse de la lumière peut être mesurée avec une
précision meilleure que 1 m/s, malgré tout, pour des vitesses d ’ampoules supérieures
à 290 000 000 m/s, aucune différence n’a été relevée. (Pouvez-vous deviner quelles am-
Défi 12 s poules étaient utilisées ?)
Dans la vie courante, nous savons qu ’une pierre arrive plus rapidement si nous cou-
rons vers elle. À nouveau, pour la lumière aucune différence n’a été mesurée. Toutes les
expériences montrent que la célérité de la lumière possède la même valeur pour tous les
observateurs, même s’ ils se déplacent les uns par rapport aux autres ou par rapport à la
source lumineuse. La vitesse de la lumière est de ce fait la norme parfaite et idéale pour
la mesure*.
* Une autre expression équivalente pour la vitesse de la lumière est la « vitesse radar » ou la « vitesse radio »,
Page 80 nous verrons ci-dessous pourquoi elles s’appliquent également.
De même, la vitesse de la lumière n’est pas très éloignée de celle des neutrinos. La démonstration la plus
spectaculaire en fut faite par l ’observation d ’une supernova en 1987, lorsque le flash lumineux et la bouffée
de neutrinos arrivèrent à 12 secondes d ’ intervalle l ’un de l ’autre. (Nous ne savons pas si l ’écart est dû à des
vitesses différentes ou à un point de départ différent, concernant les deux flashs.) Quel est le premier chiffre
pour lequel les deux valeurs de vitesses pourraient différer, sachant que la supernova était située à 1, 7 ⋅ 105
Défi 13 s années-lumière ?
Des expériences montrent également que la vitesse de la lumière est la même dans toutes les directions de
Réf. 9 l ’espace, jusqu ’à au moins 21 chiffres dans la précision. D’autres données, prises lors de sursauts de rayons

F I G U R E 8 Albert Einstein.
Réf. 11 Il existe un deuxième ensemble de pièces à conviction expérimentales pour la

constance de la vitesse de la lumière. Chaque appareil électromagnétique, telle une brosse
Page 40 à dents électrique, montre que la vitesse de la lumière est constante. Nous découvrirons
que les champs magnétiques ne pourraient être issus de courants électriques, comme ils
le font chaque jour dans n’ importe quel moteur et dans n’ importe quel haut-parleur, si la
vitesse de la lumière n’était pas constante. C ’est effectivement de cette manière que cette
constance fut déduite pour la première fois, par plusieurs chercheurs. Ce n’est qu ’après
avoir compris cela que le physicien suisse et allemand Albert Einstein* montra que cette
constance est également en accord avec le mouvement des corps, comme nous le verrons
dans cette section. La correspondance entre les brosses à dents électriques et la relativité
Page 40 sera décrite dans le chapitre sur l ’électrodynamique. (Pour plus d ’ informations sur les
conséquences directes de la relativité sur la conception des machines, lisez l ’ouvrage inté-
Réf. 13 ressant de van Bladel.) En termes simples, si la vitesse de la lumière n’était pas constante,
des observateurs seraient capables de se déplacer à cette vitesse. Puisque la lumière est
gamma, montrent que la vitesse de la lumière est indépendante de la fréquence, jusqu ’à au moins 20 chiffres
Réf. 10 dans la précision.
* Albert Einstein (n. Ulm 1879 , d. Princeton 1955) fut un des plus grands physiciens ayant existé. Il publia
trois articles fondamentaux en 1905, un concernant le mouvement brownien, un autre sur la relativité res-
treinte, et un à propos du concept de quanta de lumière. Chaque article était digne d ’un prix Nobel, mais
il reçu le prix uniquement pour le dernier de ceux-ci. C ’est également en 1905 qu ’ il démontra la formule
Page 65 célébrissime E0 = mc 2 (publiée au début de 1906), probablement stimulé par une idée de Olinto De Pretto.
Bien qu ’ Einstein fût un des fondateurs de la théorie quantique, il se retourna plus tard contre celle-ci. Sa
célèbre discussion avec son ami Niels Bohr a néanmoins permis d ’éclaircir ce domaine dans ses aspects les
plus déroutants. Il expliqua l ’effet Einstein–de Haas qui démontrait que le magnétisme est dû à des mouve-
ments à l ’ intérieur des matériaux. En 1915 et 1916, il publia son plus important accomplissement : la théorie
générale de la relativité, une des réalisations les plus élégantes et extraordinaires de la science.
Étant juif et célèbre, Einstein constituait une cible favorite pour les attaques et la discrimination du mouve-
ment national-socialiste (le parti nazi [N.d.T.]), et il émigra aux États-Unis en 1933. Il ne fut pas seulement
Réf. 12 un grand physicien, mais également un grand intellectuel ; son recueil de réflexions concernant des sujets
extérieurs à la physique vaut la peine d ’être lu.
Toute personne intéressée pour suivre les pas d ’ Einstein devrait savoir qu ’ il publia de nombreux articles,
et que plusieurs d ’entre eux étaient erronés. Il voulu alors corriger ses résultats dans des articles postérieurs,
et il commit encore une fois des erreurs dans ceux-ci. Cela se produisait si fréquemment qu ’ il se tourna lui-
même en dérision à ce propos. Einstein formula sa célèbre définition d ’un génie comme étant une personne
qui fait le plus grand nombre possible d ’erreurs dans le temps le plus court possible.
une onde, de tels observateurs pourraient observer une onde à l ’arrêt. Cependant, l ’élec-
tromagnétisme interdit de telles possibilités. Par conséquent, les observateurs ne peuvent
pas atteindre la vitesse de la lumière.
En résumé, la vitesse v de n’ importe quel système physique dans la nature (c ’est-à-
dire n’ importe quelle masse ou énergie localisée) est limitée par

v⩽c. (3)
Cette relation est à la base de la relativité restreinte. En réalité, la théorie complète de

la relativité restreinte est contenue en elle. Einstein regrettait souvent que cette théorie
fût baptisée « Relativitätstheorie » ou « théorie de la relativité », il aurait préféré le nom
de « Invarianztheorie » ou « théorie de l ’ invariance », mais ne parvint pas à modifier
Réf. 14 l ’appellation.
La constance de la vitesse de la lumière est en parfaite contradiction avec la méca-
nique galiléenne, et prouve que cette dernière est fausse aux vitesses élevées. À basse
vitesse cette description demeure correcte, parce que l ’erreur est imperceptible. Mais si
nous désirons une description valide pour toutes les vitesses, nous devons mettre de côté
la mécanique galiléenne. Par exemple, lorsque nous jouons au tennis, nous tirons profit
du fait qu ’en frappant la balle de la bonne façon nous pouvons augmenter ou diminuer
sa vitesse. Mais avec la lumière c ’est impossible. Même si nous prenons un avion et pour-
suivons un rayon lumineux, celui-ci s’éloignera toujours de nous avec la même vitesse.
La lumière ne se comporte pas comme les véhicules. Si nous accélérons un autobus que
nous sommes en train de conduire, les voitures de l ’autre côté de la route passent avec
des vitesses de plus en plus élevées. Pour la lumière, il n’en est pas ainsi : elle nous frôle
toujours avec la même vitesse*.
Pourquoi ce résultat paraît-il presque incroyable, alors que les mesures le démontrent
sans ambiguïté ? Prenez deux observateurs O et Ω (prononcez « oméga ») se déplaçant
avec une vitesse relative v, comme deux voitures sur des voies opposées dans la rue. Ima-
ginez qu ’à l ’ instant où ils passent l ’un près de l ’autre, un flash lumineux est émis par
une ampoule en O. Ce flash lumineux se déplace le long des positions x(t) pour O et le
long des positions ξ(τ) (prononcez « xi de tau ») pour Ω. Puisque la vitesse de la lumière
est la même pour tous les deux, nous avons
=c= .
x ξ
(4)
t τ
Cependant, dans la situation décrite, nous avons évidemment x ≠ ξ. En d ’autres termes,

la constance de la vitesse de la lumière implique que t ≠ τ, c ’est-à-dire que le temps
est différent pour des observateurs se déplaçant relativement l ’un par rapport à l ’autre. Le
Défi 14 e temps n’est donc pas unique. Ce résultat déconcertant, qui a été confirmé expérimenta-
Réf. 15 lement à de nombreuses reprises, fut formulé clairement pour la première fois en 1905
par Albert Einstein. Bien que beaucoup de personnes aient eu connaissance de l ’ inva-
riance de c, seul le jeune Einstein eut l ’audace d ’affirmer que le temps est dépendant de
* En réalité, même avec la précision actuelle des mesures de 2 ⋅ 10−13 , nous ne pouvons discerner une quel-
Réf. 9 conque variation de la vitesse de la lumière avec la vitesse de l ’observateur.
l ’observateur, et d ’en affronter les conséquences. Faisons-en autant.

Déjà en 1895, le débat sur le point de vue concernant cette invariance avait été baptisé
théorie de la relativité par Henri Poincaré*. Einstein dénomma la description du mouve-
Réf. 11 ment sans la gravitation la théorie de la relativité restreinte, et la description du mouve-
ment incluant la gravitation, la théorie de la relativité générale. Ces deux domaines sont

pleins de résultats fascinants qui défient l ’ intuition. En particulier, ils montrent que la
physique galiléenne, qui est valable dans la vie quotidienne, est fausse aux vitesses éle-
vées.
La vitesse de la lumière est une vitesse limite. Nous insistons sur le fait que nous ne
parlons pas de la situation où une particule se déplace plus rapidement que la lumière
dans la matière, mais plutôt où elle est plus lente que la vitesse de la lumière dans le vide.
Se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière dans la matière est possible. Si la particule
est chargée, cette situation donne naissance au rayonnement Čerenkov. Il est l ’analogue
de l ’onde en forme de V générée par un bateau à moteur sur la mer ou de l ’onde de choc
en forme de cône autour d ’un avion qui brise le mur du son. Le rayonnement Čerenkov
est fréquemment observé, par exemple il est la cause de la couleur bleue de l ’eau dans les
réacteurs nucléaires. À ce propos, la vitesse de la lumière dans la matière peut être très
lente : au centre du Soleil, elle est estimée à approximativement 10 km/an seulement, et,
dans certains matériaux, on la mesure même en laboratoire comme étant aussi petite que
Réf. 18, Réf. 19 0,3 m/s. Par la suite, lorsque nous mentionnerons l ’expression « vitesse de la lumière »,
nous voudrons sous-entendre qu ’ il s’agit de la vitesse de la lumière dans le vide. La
vitesse de la lumière dans l ’air est inférieure, d ’une fraction de pourcentage seulement,
à celle dans le vide, ainsi donc dans la plupart des cas la différence peut être négligée.
L a relativité restreinte en quelques lignes

La vitesse de la lumière est constante pour tous les observateurs. Nous pouvons ainsi, à
Réf. 20 l ’aide de la Figure 9, déduire toutes les relations entre ce que deux observateurs distincts
mesurent. Elle montre deux observateurs se déplaçant avec une vitesse constante l ’un
par rapport à l ’autre dans l ’espace-temps, où le premier d ’entre eux envoie un signal
lumineux vers le second, à partir duquel il est réfléchi en direction du premier. Puisque
la vitesse de la lumière est constante, la lumière est le seul outil permettant de comparer
les coordonnées d ’espace et de temps de deux observateurs éloignés. Deux horloges éloi-
gnées (comme deux bâtons éloignés d ’un mètre) ne peuvent être comparées, ou synchro-
nisées, qu ’en utilisant la lumière ou des signaux radio. Puisque la vitesse de la lumière
est constante, les trajets lumineux (émis dans une direction donnée) sont parallèles dans
de tels diagrammes.
Une vitesse relative constante entre deux observateurs implique qu ’un facteur k
constant relie les coordonnées de temps des événements. (Pourquoi cette relation est-elle
Défi 15 s linéaire ?) Si un signal lumineux part à l ’ instant T selon l ’ horloge du premier observa-
* Henri Poincaré (1854–1912) fut un grand physicien et mathématicien français. Il fut un des hommes les plus
prolifiques de son époque, faisant progresser la relativité, la théorie quantique et de nombreuses disciplines
des mathématiques.
L’ introduction la plus admirable et la plus élémentaire à la relativité reste celle donnée par Albert Einstein
lui-même, par exemple dans Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie, Vieweg, 1997, ou dans The
Meaning of Relativity, Methuen, London, 1951. Il a fallu un siècle pour que des ouvrages presque aussi ma-
premier
t observateur deuxième
ou horloge observateur
ou horloge
k2 T
lumière

t1 = (k2+1)T/2 t2 = kT
O
F I G U R E 9 Un dessin contenant l’essentiel de la relativité
x
restreinte.
une horloge en mouvement
premier deuxième
instant instant
deux horloges fixes

F I G U R E 10 Des horloges en mouvement avancent lentement.
teur, il parvient au second à l ’ instant kT, et alors revient au premier au temps k 2 T. Le

Défi 16 s dessin montre que √
c +v v k2 − 1
k= ou = . (5)
c −v c k2 + 1
Page 26 Ce facteur apparaîtra à nouveau dans l ’effet Doppler*.

La figure montre également que la coordonnée de temps t 1 attribuée par le premier
observateur à l ’ instant auquel la lumière est réfléchie est différente de la coordonnée t 2
attribuée par le deuxième observateur. Le temps est en fait différent pour deux observa-
teurs en mouvement relatif. La Figure 10 illustre cette conséquence.
Le facteur de dilatation du temps entre les deux coordonnées de temps est déduit de
la Figure 9 en comparant les valeurs de t 1 et t 2 ; il est donné par
=√ = γ(v) .
t1 1
(6)
t2 1− v2
c2
Réf. 16, Réf. 17 gnifiques paraissent, tel que celui de Taylor et Wheeler.
* L’explication de la relativité qui utilise ce facteur k est souvent appelée le k-calculus.
Les intervalles de temps pour un observateur en mouvement sont raccourcis de ce facteur

γ, le facteur de dilatation du temps est toujours plus grand que 1. Dit autrement, les hor-
loges en mouvement avancent plus lentement. Pour les vitesses de la vie courante l ’effet est
Défi 17 e imperceptible. C ’est pourquoi nous ne décelons pas d ’écarts de durées dans la vie quoti-
dienne. Néanmoins, la physique galiléenne n’est pas correcte pour des vitesses proches
de celle de la lumière. Le même facteur γ apparaît aussi dans la formule E = γmc 2 , que

nous déduirons ci-dessous. L’expression (5) ou (6) représente le seul bagage mathéma-
tique nécessaire en relativité restreinte : tous les autres résultats en dérivent.
Si un signal lumineux est envoyé à partir du second observateur et est réfléchi, celui-
ci formulera la même conclusion : pour lui, la première horloge se déplace, et, toujours
pour lui, l ’ horloge en mouvement avance plus lentement. Chacun des observateurs re-
marque que l ’autre horloge avance plus lentement. La situation est semblable à celle de
deux hommes comparant le nombre d ’échelons entre deux échelles identiques qui ne
sont pas parallèles. Un homme sur l ’une des échelles observera toujours que les éche-
lons de l ’ autre échelle sont plus courts. Pour emprunter une autre analogie, prenez deux
individus s’éloignant l ’un de l ’autre : chacun d ’entre eux remarque que l ’autre devient
de plus en plus petit au fur et à mesure que la distance augmente.
Naturellement, beaucoup de gens ont tenté de trouver des arguments pour contourner
cette étrange conséquence qui veut que le temps soit différent d ’un observateur à l ’autre.
Mais personne n’a réussi, et les résultats expérimentaux confirment cette conclusion. Je-
tons un œil sur certains d ’entre eux.
Accélération de la lumière et effet Doppler

La lumière peut être accélérée. N ’ importe quel miroir réalise cela ! Nous verrons dans
le chapitre sur l ’électromagnétisme que la matière a aussi le pouvoir de courber la lumière,
Page 86 et donc de l ’accélérer. Toutefois, il ressortira que toutes ces méthodes modifient unique-
ment la direction de propagation, aucune d ’entre elles ne possède l ’aptitude à modifier la
vitesse de la lumière dans le vide. En résumé, la lumière est un exemple d ’un mouvement
qui ne peut pas être stoppé. Il existe seulement quelques autres exemples. Pouvez-vous
Défi 18 s en citer un ?
Que se passerait-il si nous pouvions accélérer la lumière à des vitesses plus impor-
tantes ? Pour que cela soit possible, la lumière devrait être constituée de particules ayant
une masse non nulle. Les physiciens nomment de telles particules des particules massives.
Si la lumière avait une masse, il serait nécessaire de distinguer la « vitesse de l ’énergie sans
masse » c de la vitesse de la lumière c L , qui serait plus petite et qui dépendrait de l ’éner-
gie cinétique de ces particules massives. La vitesse de la lumière ne serait pas constante,
mais la vitesse de l ’énergie sans masse le serait toujours. Les particules massives de lu-
mière pourraient être capturées, immobilisées et stockées dans une boîte. De telles boîtes
rendraient l ’éclairage électrique inutile, elles seraient suffisantes pour emmagasiner une
certaine quantité de lumière du jour à l ’ intérieur et pour la relâcher, lentement, pendant
la nuit suivante, peut-être après lui avoir communiqué une impulsion pour l ’accélérer*.
* A ce propos, la lumière massive aurait également des modes de polarisation longitudinale. C ’est en contra-
diction avec les observations, qui démontrent que la lumière est polarisée exclusivement transversalement à
la direction de propagation.
émetteur récepteur

v
y
récepteur θr
signal x
lumineux
z
émetteur θs
v x
z
F I G U R E 11 Le dispositif permettant l’observation de l’effet Doppler.
Les physiciens ont testé l ’éventualité de l ’existence de la lumière massive avec suffisam-
ment de précision. Les observations délimitent maintenant toute (particule de) lumière
Réf. 21, Réf. 22 massive possible à moins de 1,3 ⋅ 10−52 kg à partir des expériences réalisées sur Terre, et à
moins de 4 ⋅ 10−62 kg à partir d ’arguments astrophysiques (lesquels sont un brin moins
solides). En d ’autres termes, la lumière n’a pas de poids, la lumière reste la lumière.
Mais que se passe-t-il lorsque de la lumière frappe un miroir en mouvement ? Si la
vitesse de la lumière ne varie pas, quelque chose d ’autre doit le faire. Cette situation est
semblable à celle d ’une source lumineuse en mouvement par rapport au récepteur : celui-
ci observera une couleur différente de celle observée par l ’émetteur. C ’est l ’ effet Doppler.
Christian Doppler* fut le premier à étudier le décalage en fréquence dans le cas des ondes
sonores – le changement bien connu dans la tonalité du sifflement entre des trains s’ap-
prochant et s’éloignant – et à extrapoler ce concept au cas des ondes lumineuses. Comme
nous le verrons plus tard, la lumière est (aussi) une onde, et sa couleur est déterminée par
sa fréquence ou, de manière équivalente, par sa longueur d ’onde λ. Comme la tonalité
* Christian Andreas Doppler (n. Salzbourg 1803, d. Venise 1853) était un physicien autrichien. Doppler étu-
dia l ’effet qui porte son nom pour le son et la lumière. En 1842, il prédit (correctement) qu ’un jour nous
serions capables de tirer profit de cet effet pour mesurer le mouvement des astres éloignés en observant leurs
couleurs.
qui change pour des trains en mouvement, Doppler comprit qu ’une source lumineuse
en mouvement entraîne que la couleur qui est perçue par le récepteur est différente de la
couleur émise à la source. Un raisonnement géométrique élémentaire, et la conservation
Défi 19 e du nombre de maxima et minima, conduit au résultat
=√ (1 − cos θ r ) = γ (1 − cos θ r ) .
λr 1 v v

(7)
λs 1 − v /c
2 2 c c
Dans cette expression, les variables v et θ r sont définies sur la Figure 11. La lumière d ’une
source qui s’approche est ainsi décalée vers le bleu, tandis que celle d ’une source qui
s’éloigne est décalée vers le rouge. La première observation de l ’effet Doppler pour la
lumière fut réalisée par Johannes Stark* en 1905, en étudiant la lumière émise par des
atomes en mouvement. Toutes les expériences postérieures ont confirmé le décalage en
couleur calculé, dans les limites des erreurs de mesure. Les dernières vérifications ont
Réf. 23 trouvé un accord à deux parties près par million. Au contraire des ondes sonores, un
changement de couleur est également relevé lorsque le mouvement est transversal par
rapport au signal lumineux. Donc, une baguette jaune en mouvement rapide à travers
le champ de vision aura un bord d ’attaque bleu et un bord de fuite rouge avant qu ’ il
se trouve au point le plus proche de l ’observateur. Les couleurs résultent d ’une com-
binaison du décalage Doppler longitudinal (du premier ordre) et du décalage Doppler
transversal (du second ordre). À un angle particulier θ non décalé les couleurs demeure-
ront identiques. (Comment le décalage en longueur d ’onde apparaîtra-t-il dans le cas
Défi 20 s purement transversal ? Quelle est l ’expression de θ non décalé par rapport à v ?)
Le décalage de couleur est utilisé dans de nombreuses applications. Presque tous les
corps solides sont des miroirs pour les ondes radio. De nombreux immeubles possèdent
des portes qui s’ouvrent automatiquement quand nous nous en approchons. Un minus-
cule capteur situé au-dessus de la porte détecte l ’arrivée d ’une personne. Il le fait géné-
ralement en mesurant l ’effet Doppler des ondes radio qu ’ il émet et qui sont réfléchies
Page 80 par la personne qui approche. (Nous verrons plus tard que les ondes radio et la lumière
sont deux manifestations du même phénomène.) Donc les portes s’ouvrent à chaque fois
que quelque chose s’avance vers elles. Le radar de la gendarmerie utilise également l ’effet
Doppler, cette fois pour mesurer la vitesse des véhicules**.
L’effet Doppler permet également de mesurer la vitesse des sources lumineuses. En
fait, il est communément utilisé pour évaluer la vitesse des astres lointains. Dans ces
situations, le décalage Doppler est souvent caractérisé par la variable z du décalage vers
* Johannes Stark (1874–1957) découvrit en 1905 l ’effet Doppler optique dans les rayons ionisants et, en 1913,
l ’éclatement et le décalage de raies spectrales dans des champs électriques, que nous appelons aujourd ’ hui
effet Stark. Pour ces deux découvertes il reçut en 1919 le prix Nobel de physique. Il quitta sa chaire de profes-
seur en 1922 et devint un peu plus tard un fervent nazi. En tant que membre du parti nazi à partir de 1930, il
fut reconnu pour ses critiques hostiles des déclarations des autres personnes sur la nature, uniquement pour
des raisons idéologiques. Il fut ensuite méprisé à juste titre par la communauté académique partout dans le
monde.
Défi 21 s ** À quelle vitesse un feu de signalisation rouge apparaît-il comme étant vert ?
le rouge, définie à l ’aide de la longueur d ’onde λ ou de la fréquence f par

√
c +v
z= = −1 =
∆λ f S
−1 . (8)
λ fR c −v

Défi 22 s Pouvez-vous imaginer comment le nombre z est déterminé ? Les valeurs caractéristiques
de z pour des sources lumineuses situées dans le ciel s’échelonnent de −0, 1 à 3, 5, mais
des valeurs plus élevées, allant jusqu ’à plus de 10, ont aussi été relevées. Pouvez-vous
Défi 23 s déterminer les vitesses correspondantes ? Pourquoi peuvent-elles être si élevées ?
En résumé, à chaque fois que nous tentons de modifier la vitesse de la lumière, nous
ne parvenons en fait qu ’à modifier sa couleur. C ’est l ’effet Doppler.
Page 139 Nous savons grâce à la physique classique que, lorsque de la lumière frôle une masse
importante telle qu ’une étoile, elle est déviée. Est-ce que cette déviation conduit à un
Défi 24 s décalage Doppler ?
L a différence entre la lumière et le son
L’effet Doppler pour la lumière est beaucoup plus important que l ’effet Doppler pour
le son. Même si l ’on ne savait pas encore que la vitesse de la lumière est constante, cet effet
à lui tout seul prouverait que le temps est différent pour des observateurs en mouvement
relatif l ’un par rapport à l ’autre. Pourquoi ? Le temps est ce que nous lisons sur notre
montre. Afin de déterminer si une autre montre est synchronisée avec la nôtre, nous
regardons les deux montres à la fois. En bref, nous avons besoin d ’utiliser des signaux
Réf. 24 lumineux pour synchroniser des horloges. Maintenant, toute variation dans la couleur de
la lumière se déplaçant d ’un observateur à un autre implique nécessairement que leurs
montres avancent différemment, et donc que le temps est différent pour chacun d ’entre
eux. Une autre façon de voir cela est de remarquer qu ’une source lumineuse est aussi
une horloge – égrenant très rapidement ses « tic-tac ». Donc si deux observateurs voient
des couleurs différentes à partir de la même source, ils mesurent des nombres différents
d ’oscillations pour la même horloge. En d ’autres termes, le temps est différent pour des
observateurs se déplaçant l ’un par rapport à l ’autre. En réalité, l ’équation (5) implique
que la relativité découle pleinement de l ’effet Doppler pour la lumière. (Pouvez-vous
confirmer que la relation entre des fréquences dépendant de l ’observateur et le temps
Défi 25 s dépendant de l ’observateur n’est pas vérifiée dans le cas de l ’effet Doppler pour le son ?)
Pourquoi le comportement de la lumière implique-t-il la relativité restreinte, alors que
celui du son dans l ’air ne le fait pas ? La réponse est que la lumière est une limite pour
le mouvement de l ’énergie. L’expérience montre qu ’ il existe des avions supersoniques,
mais qu ’ il n’y a pas de fusées supraluminiques. En d ’autres termes, la limite v ⩽ c est
valide uniquement si c représente la vitesse de la lumière, et non si c est la vitesse du son
dans l ’air.
Malgré tout, il existe au moins un système dans la nature pour lequel la vitesse du son
est en fait une vitesse limite pour l ’énergie : la vitesse du son est la vitesse limite pour
le mouvement des dislocations dans les solides cristallins. (Nous discuterons de ce détail
Page ?? plus loin.) Par conséquent, la théorie de la relativité restreinte est également valide pour
de telles dislocations, entraînant ainsi que la vitesse de la lumière est remplacée à chaque
fois par la vitesse du son ! Les dislocations vérifient les transformations de Lorentz, mon-

F I G U R E 12 Lucky Luke.
Réf. 25 trant la contraction des longueurs et obéissant à la célèbre formule de l ’énergie E = γmc 2 .
Dans tous ces effets, la vitesse du son c joue le même rôle pour les dislocations que la vi-
tesse de la lumière pour les systèmes physiques en général.
Si la relativité restreinte est fondée sur l ’ hypothèse que rien ne peut voyager plus vite
que la lumière, alors ce postulat doit être soigneusement vérifié.
Pouvons-nous tirer plus vite que notre ombre ?
“
Quid celerius umbra ?*
”
Pour que Lucky Luke puisse accomplir l ’exploit de la Figure 12, sa balle de revolver
Défi 26 e doit voyager plus vite que la vitesse de la lumière. (Qu ’en est-il de sa main ? ) Afin d ’ imi-
ter Lucky Luke, nous pourrions emprunter la plus grande quantité utile d ’énergie dis-
ponible, en la prélevant directement d ’une centrale électrique, et accélérer les « balles »
les plus légères qui puissent être manipulées, à savoir les électrons. Cette expérience est
exécutée chaque jour dans des accélérateurs de particules tels que l ’anneau du Large
Electron Positron, le LEP, de 27 km de circonférence, situé pour partie en France et pour
partie en Suisse, près de Genève. Là, 40 MW de puissance électrique (la même quantité
que celle consommée par une petite ville) accélèrent des électrons et des positrons à des
Réf. 26 énergies gigantesques de 16 nJ (104,5 GeV) chacun, et leur vitesse est mesurée. Le résultat
est indiqué sur la Figure 13 : même avec ces moyens impressionnants, il est impossible
de faire voyager des électrons plus vite que la lumière. (Pouvez-vous imaginer une ma-
Défi 27 e nière de mesurer l ’énergie et la vitesse séparément ? ) La relation vitesse–énergie de la
Page 59 Figure 13 est une conséquence de la vitesse maximale, et elle sera déduite plus loin. Cela,
ainsi que de nombreuses observations similaires, montre donc qu ’ il existe une limite à
la vitesse des objets. Des corps (et du rayonnement) ne peuvent pas se déplacer à des
vitesses supérieures à la vitesse de la lumière**. L’exactitude de la mécanique galiléenne
* « Qu ’est-ce qui est plus rapide que l ’ombre ? » Une devise souvent rencontrée sur les cadrans solaires.
** Il y a toujours des gens qui refusent d ’accepter ces résultats, de même que la théorie de la relativité qui en
découle. Chaque physicien devrait prendre plaisir à participer, au moins une fois dans sa vie, à une conversa-
tion avec l ’une de ces personnes. (Étrangement, aucune femme n’a été signalée comme faisant partie de ce
groupe d ’ individus.) Cette expérience peut être faite, par exemple, sur Internet, dans le forum de discussion
1
v2 TGal = m v2
2
c2
1 F I G U R E 13 Valeurs expérimentales (points)
T = m c2 ( – 1)
1 - v2/c 2 pour la vitesse v des électrons en fonction de

leur énergie cinétique T, comparée à la
prédiction de la physique galiléenne (bleu) et à
T celle de la relativité restreinte (rouge).
fut considérée comme étant normale durant plus de trois siècles, de telle façon que per-
sonne n’avait songé à la mettre en défaut, mais lorsque ce fut finalement le cas, comme
dans la Figure 13, elle se révéla fausse.
Les gens les plus frustrés par cette limite sont les ingénieurs en informatique : si la
vitesse de la lumière était plus élevée, il serait possible de concevoir des microprocesseurs
plus rapides et donc des ordinateurs plus puissants, ce qui permettrait, par exemple, des
progrès plus rapides dans la construction d ’ordinateurs qui assimilent et utilisent notre
langue.
L’existence d ’une vitesse limite s’oppose à la mécanique galiléenne. En réalité, elle
signifie que, pour des vitesses proches de celle de la lumière, disons environ 15 000 km/s
ou plus, l ’expression mv 2 /2 n’est plus égale à l ’énergie cinétique T de la particule. En fait,
de telles vitesses élevées sont plutôt courantes : de nombreuses familles en trouvent un
exemple dans leur foyer. Calculez tout simplement la vitesse des électrons à l ’ intérieur
d ’un poste de télévision, étant donné que le transformateur électrique intégré génère
Défi 28 s 30 kV.
L’observation de la vitesse de la lumière comme une vitesse limite pour les objets est
facilement comprise comme étant une conséquence de son invariance. Des corps qui
peuvent être au repos dans un référentiel donné se déplacent évidemment plus lentement
que la vitesse maximale (de la lumière) dans ce référentiel. Maintenant, si quelque chose
se déplace plus lentement qu ’autre chose, pour un observateur, il en sera également de
même pour tous les autres observateurs. (Essayer d ’ imaginer un monde dans lequel cela
Défi 29 d ne serait pas le cas est intéressant : des choses amusantes se produiraient, par exemple
des corps s’ interpénétrant les uns les autres.) Puisque la vitesse de la lumière est la même
pour tous les observateurs, aucun objet ne peut se déplacer plus vite que la lumière, pour
tous les observateurs.
Nous comprenons que la vitesse maximale est la vitesse des entités dénuées de masse.
Les ondes électromagnétiques, incluant la lumière, sont les seules entités connues qui
peuvent voyager à la vitesse maximale. Les ondes gravitationnelles aussi sont présumées
atteindre cette vitesse. Bien que la vitesse des neutrinos ne puisse pas être distinguée expé-
rimentalement de la vitesse maximale, des expériences récentes suggèrent qu ’ ils doivent
Réf. 28 posséder une masse minuscule.
Réf. 27 sci.physics.relativity. Voyez aussi le site Web http://www.crank.net. Ces cinglés sont des personnages fasci-
nants, surtout parce qu ’ ils enseignent l ’ importance de la précision dans le langage et dans le raisonnement,
ce qu ’ ils négligent tous, sans aucune exception. Des rencontres avec plusieurs d ’entre eux ont été une source
d ’ inspiration pour ce chapitre.
t
deuxième
premier
observateur
observateur
(ex. train) troisième
(ex. Terre) observateur
(ex. pierre)

kseT
kteT
O
x
F I G U R E 14 Comment déduire la composition des vitesses.
Inversement, si un phénomène existe dont la vitesse est la vitesse limite pour un ob-
servateur, alors cette vitesse limite doit nécessairement être la même pour tous les obser-
Défi 30 e vateurs. La relation entre la propriété de vitesse limite et l ’ invariance selon l ’observateur
Défi 31 r est-elle valide en général dans la nature ?
L a composition des vitesses

Si la vitesse de la lumière est une limite, aucune tentative pour la dépasser ne peut
aboutir. Cela implique que, lorsque des vitesses sont composées, comme lorsque nous je-
tons une pierre tout en courant, les valeurs ne peuvent pas être simplement additionnées.
Si un train roule à la vitesse v tT par rapport à la Terre, et que quelqu ’un jette une pierre
à l ’ intérieur de celui-ci avec une vitesse v pt par rapport au train dans la même direction,
il est généralement présumé comme évident que la vitesse de la pierre relativement à la
Terre est donnée par v pT = v pt + v tT . En réalité, le raisonnement et les mesures indiquent
chacun un résultat différent.
L’existence d ’une vitesse maximale, juxtaposée à la Figure 14, implique que les fac-
teurs k doivent vérifier k pT = k pt k tT *. Alors, nous avons juste à insérer la relation (5)
Défi 32 e entre chaque facteur k et la vitesse respective, pour obtenir
v pt + v tT
v pT =
1 + v pt v tT /c 2
. (9)
Celle-ci est appelée formule de la composition des vitesses. Le résultat n’est jamais supé-
Défi 33 e rieur à c et est toujours inférieur à l ’addition naïve des vitesses**. L’expression (9) a été
Page 59, page 40 confirmée par chacune des millions de situations dans lesquelles elle a été contrôlée. Vous
Réf. 22 devez vérifier qu ’elle se réduit à l ’addition naïve pour les valeurs de la vie quotidienne.
* En prenant le logarithme (népérien) de cette équation, nous pouvons définir une quantité, la rapidité, qui
Les observateurs et le principe de relativité restreinte

La relativité restreinte est fondée sur un principe élémentaire :
⊳ La vitesse maximale du transport de l ’énergie est la même pour tous les observateurs.

Réf. 30 Ou, comme Hendrik Lorentz* préférait le dire, par l ’équivalent :
⊳ La vitesse v d’un système physique est limitée par
v⩽c (10)
pour tous les observateurs, où c est la vitesse de la lumière.

Cette indépendance de la vitesse de la lumière par rapport à l ’observateur fut vérifiée
Réf. 31 avec une grande précision par Michelson et Morley** en 1887 et les années suivantes.
Elle a été confirmée dans toutes les expériences qui ont suivi ; la plus précise à ce jour,
Réf. 32 qui a atteint une précision de 10−14 , est indiquée dans la Figure 15.
En réalité, la relativité restreinte est également confirmée par toutes les expériences
de précision qui furent réalisées avant qu ’elle ait été formulée. Vous pouvez même
la vérifier chez vous. La manière de le faire est indiquée dans la section concernant
Page 40 l ’électrodynamique.
L’existence d ’une vitesse limite possède plusieurs conséquences intéressantes. Pour
les explorer, laissons le reste de la physique galiléenne telle quelle***. La vitesse limite est
la vitesse de la lumière. Elle est constante pour tous les observateurs. Cette invariance
implique que :
mesure la vitesse et qui est additive.

Réf. 29 ** Nous pouvons également déduire les transformations de Lorentz directement de cette expression.
* Hendrik Antoon Lorentz (n. Arnhem 1853, d. Haarlem 1928) fut, avec Boltzmann et Kelvin, un des physi-
ciens les plus importants de son époque. Il déduisit ce que l ’on appelle les transformations de Lorentz et la
contraction de Lorentz à partir de l ’équation de Maxwell pour le champ électrodynamique. Il fut le premier
à comprendre, bien avant que la théorie quantique ne confirme cette idée, que les équations de Maxwell pour
le vide décrivent aussi la matière et toutes ses propriétés, à partir du moment où des particules ponctuelles
chargées en mouvement – les électrons – sont incluses. Il montra cela en particulier pour la dispersion de
la lumière, pour l ’effet Zeeman, pour l ’effet Hall et pour l ’effet Faraday. Il formula la description correcte
de la force de Lorentz. En 1902, il reçut le prix Nobel de physique, en association avec Pieter Zeeman. En
dehors de la physique, il joua un rôle actif dans l ’ internationalisation des échanges scientifiques. Il contribua
également à la création des structures les plus édifiantes construites par l ’ homme sur la Terre : les polders
du Zuyderzée.
** Albert Abraham Michelson (n. Strzelno 1852, d. Pasadena 1931) était un physicien prussien, polonais puis
américain, il se vit décerner le prix Nobel de physique en 1907. Michelson baptisa le dispositif qu ’ il avait
inventé un interféromètre, un terme toujours employé aujourd ’ hui. Edward William Morley (1838–1923),
chimiste américain, était un ami et un collaborateur de longue date de Michelson.
*** Ce point est essentiel. Par exemple, la physique galiléenne établit que seul le mouvement relatif est
Page 84 physique. Elle exclut également diverses manières mathématiquement possibles, pour obtenir une vitesse
de la lumière constante, qui contrediraient l ’expérience quotidienne.
L’article original d ’ Einstein de 1905 débute à partir de deux principes : la constance de la vitesse de
la lumière et l ’équivalence entre tous les observateurs inertiels. Ce dernier principe avait déjà été formulé
en 1632 par Galilée, seule l ’ invariance de la vitesse de la lumière était nouvelle. Malgré ce fait, la nouvelle
théorie fut baptisée – par Poincaré – d ’après l ’ancien principe, au lieu de l ’appeler « théorie de l ’ invariance »,
Réf. 14 comme Einstein l ’aurait souhaité.
AOM Power
30 driver servo
beat frequency change [Hz ]

Fiber
20 Frequency
FC counter
PZT AOM
angle/3 [deg]
Laser 1 PD
10 Nd: YAG FC
T °C
FC
0 T °C Laser 2 Res B PD
Nd: YAG Fiber BS
PZT AOM DBM
10 FC

∑ PD
PD
Frequency Local
20 servo oscillator PD Res A
0 100 200 300 400 500 600 Frequency Local
DBM
servo oscillator
time since begin of rotation [s]
∑
AOM Power
driver
servo
F I G U R E 15 Le résultat, le schéma et l’installation du cryostat de l’expérience de Michelson-Morley la
plus précise réalisée jusqu’à ce jour. (© Stephan Schiller)
— Dans une pièce fermée flottant librement dans l ’espace, il n’y a aucune manière de
dire quelle est la vitesse de cette pièce.
— Il n’y a aucune notion de repos (ou d ’espace) absolu : le repos (comme l ’espace) est
un concept dépendant de l ’observateur*.
— Le temps dépend de l ’observateur, il n’est pas absolu.
Des conclusions plus intéressantes et plus précises peuvent être esquissées lorsque deux
conditions supplémentaires sont adoptées. Premièrement, nous étudions des situations
où la gravitation peut être négligée. (Si ce n’est pas le cas, nous avons besoin de la rela-
tivité générale pour décrire le système.) Deuxièmement, nous supposons également que
les données concernant les corps étudiés – leur vitesse, leur position, etc. – peuvent être
recueillies sans les perturber. (Si ce n’est pas le cas, nous avons besoin de la théorie quan-
tique pour décrire le système.)
Pour déduire la manière précise selon laquelle les différents intervalles de temps et
les longueurs mesurés par deux observateurs sont reliés entre eux, nous allons franchir
une étape supplémentaire simplificatrice. Nous commencerons avec une situation dans
laquelle les interactions ne jouent aucun rôle. En d ’autres termes, nous allons commen-
cer avec la cinématique relativiste des corps se déplaçant sans subir de perturbation.
Défi 34 s * Pouvez-vous fournir l ’argument qui conduit à cette déduction ?

observateur (grec)
v
lumière
c
observateur (romain)
F I G U R E 16 Deux observateurs inertiels et un rayon lumineux.

physique galiléenne relativité restreinte
t τ t τ
L L
O, Ω x, ξ O, Ω x
F I G U R E 17 Diagrammes d’espace-temps pour la lumière vue par deux observateurs distincts utilisant
les coordonnées (t, x) et (τ, ξ).
Si quelqu ’un observe un corps libre de toute influence qui voyage le long d ’une ligne
droite avec une vitesse constante (ou qui demeure au repos), alors nous qualifions cet
observateur d ’ inertiel, et les coordonnées utilisées par celui-ci de référentiel d’ inertie.
Chaque observateur inertiel est lui-même en mouvement uniforme. Des exemples d ’ob-
servateurs (ou de référentiels) inertiels incluent donc – en deux dimensions – ceux qui
se déplacent sur une surface de glace, sans frottements, ou sur le plancher d ’un train ou
d ’un bateau avançant uniformément. Pour un exemple complet – dans les trois dimen-
sions spatiales – nous pouvons prendre celui d ’un cosmonaute voyageant dans un vais-
seau spatial à partir du moment où les moteurs sont éteints. Les observateurs inertiels en
trois dimensions pourraient aussi être décrits comme flottant librement. Ils ne sont donc
pas si communs. Des observateurs non inertiels sont beaucoup plus courants. Pouvez-
Défi 35 e vous le confirmer ? Les observateurs inertiels sont les observateurs les plus simples, et ils
forment un ensemble particulier :
— Deux observateurs inertiels quelconques se déplacent avec une vitesse constante l ’un
par rapport à l ’autre (tant que la gravité n’exerce aucune influence, comme supposé
ci-dessus).
— Tous les observateurs inertiels sont équivalents : ils décrivent le monde avec les
mêmes équations. Parce qu ’elle implique l ’absence d ’espace et de temps absolus,
cette formulation fut appelée principe de relativité par Henri Poincaré. Toutefois,
l ’ essence de la relativité concerne l ’existence d ’une vitesse limite.
Pour voir comment les longueurs et les intervalles de temps mesurés varient d ’un
observateur à l ’autre, nous choisissons deux observateurs inertiels, un Romain qui utilise
des coordonnées x, y, z et t, et un Grec qui utilise des coordonnées ξ, υ, ζ et τ*, et qui se
* Prononcez « xi », « upsilon », « zeta » et « tau ». Les désignations, correspondances et prononciations de

toutes les lettres grecques sont expliquées dans l ’ Annexe A.
déplacent avec une vitesse relative v. Les axes sont choisis de telle manière que la vitesse
pointe dans la direction des x. La constance de la vitesse de la lumière dans toutes les
directions, pour deux observateurs quelconques, signifie que pour le mouvement de la
lumière les différentielles de coordonnées sont reliées par
0 = (cdt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 = (cdτ)2 − (dξ)2 − (dυ)2 − (dζ)2 .

(11)
Supposez également qu ’un stroboscope au repos pour l ’observateur grec, donc avec dξ =
0, produise deux flashs séparés par un intervalle de temps dτ. Pour l ’observateur romain,
le stroboscope se déplace avec une vitesse v, de telle façon que dx = vdt. En introduisant
cela dans l ’expression précédente, et en supposant que la linéarité et l ’ indépendance de
la direction de la vitesse s’appliquent en général, nous trouvons que les intervalles sont
Défi 36 e reliés par
dτ + vdξ/c 2
dt = γ(dτ + vdξ/c 2 ) = √ avec v = dx/dt
1 − v 2 /c 2
dx = γ(dξ + vdτ) = √
dξ + vdτ
1 − v 2 /c 2
dy = dυ
dz = dζ . (12)
Ces expressions décrivent comment les longueurs et les durées mesurées par des observa-
teurs distincts sont reliées entre elles. À des vitesses relatives v qui sont petites comparées
à la vitesse de la lumière, tel que cela se produit dans la vie quotidienne, les durées sont
essentiellement identiques, le facteur de dilatation ou correction relativiste ou contraction
relativiste γ est alors ajusté à la valeur 1 dans un but pratique. En revanche, pour des
vitesses proches de celle de la lumière les mesures des deux observateurs donnent des va-
leurs différentes. Dans ces cas, l ’espace et le temps s’entremêlent, comme indiqué sur la
Figure 17.
Les expressions (12) sont également étranges sur un autre plan. Lorsque deux obser-
vateurs se regardent l ’un et l ’autre, chacun d ’eux prétend mesurer des intervalles plus
Défi 37 s courts que l ’autre. En d ’autres mots, la relativité restreinte montre que le gazon situé de
l ’autre côté d ’une clôture est toujours plus court – si nous roulons à vélo le long de la
clôture et si l ’ herbe est inclinée. Nous allons bientôt explorer ce résultat bizarre plus en
détail.
Le facteur de dilatation γ est égal à 1 pour la plupart des situations concrètes de la vie
courante. La plus grande valeur que des êtres humains aient pu atteindre est environ 2⋅105 ,
la plus grande valeur observée dans la nature est environ 1012 . Pouvez-vous imaginer où
Défi 38 s on peut les rencontrer ?
Une fois que nous savons comment les tranches d ’espace et de temps varient, nous
pouvons aisément déduire comment les coordonnées varient. Les figures 16 et 17 montrent
que la coordonnée x d ’un événement L est la somme de deux intervalles : la coordonnée
ξ et la distance entre les deux origines. En d ’autres termes, nous avons
ξ = γ(x − v t) et v =
dx
. (13)
dt
En utilisant l ’ invariance de l ’ intervalle d ’espace-temps, nous obtenons

τ = γ(t − xv/c 2 ) . (14)
Henri Poincaré appela ces deux relations les transformations de Lorentz de l ’espace et du
temps d ’après leur découvreur, le physicien hollandais Hendrik Antoon Lorentz*. Dans
Réf. 33 une des découvertes les plus admirables de la physique, en 1892 et 1904, Lorentz déduisit
Page 53 ces relations à partir des équations de l ’électrodynamique, dans lesquelles elles étaient im-
plicitement contenues, attendant d ’être découvertes, depuis 1865**. Cette année-là James
Clerk Maxwell avait publié ces équations dans le but de décrire tous les phénomènes élec-
triques et magnétiques. Toutefois, ce fut Einstein qui compris le premier que t et τ, de
même que x et ξ, sont aussi corrects l ’un que l ’autre et donc qu ’ ils sont des descriptions
de l ’espace et du temps aussi valides l ’une que l ’autre.
Les transformations de Lorentz décrivent le changement de point de vue d ’un réfé-
rentiel inertiel à un autre en mouvement. Ce changement de point de vue est appelé une
poussée (de Lorentz). Les formules (13) et (14) de la poussée sont cruciales pour les deux
théories de la relativité, la restreinte et la générale. En réalité, les mathématiques de la re-
lativité restreinte ne seront pas plus difficiles que cela : si vous savez ce qu ’est une racine
carrée, alors vous pouvez étudier la relativité restreinte dans toute sa splendeur.
De nombreuses formules alternatives pour d ’autres transformations ont été explorées,
telles que des expressions dans lesquelles l ’accélération relative entre les deux observa-
Réf. 34 teurs est prise en compte, comme la vitesse relative. Toutefois, elles ont toutes dû être
écartées après avoir comparé leurs prédictions aux données expérimentales. Avant de je-
ter un coup d ’œil sur ces expériences, nous allons continuer avec quelques déductions
logiques issues des relations de transformation.
Q u ’ est-ce que l ’ espace-temps ?
“
Von Stund ’ an sollen Raum für sich und Zeit
für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur
noch eine Art Union der beiden soll
Selbstständigkeit bewaren***.
Hermann Minkowski.
Les transformations de Lorentz nous disent quelque chose d ’ important : l ’espace et

le temps sont deux aspects de la même entité de base. Ils « se mélangent » de différentes
”
* Pour plus d ’ informations à propos de Hendrik Antoon Lorentz, voyez la page 33.
** La même découverte avait été annoncée en premier lieu en 1887 par le physicien allemand Woldemar
Voigt (1850–1919), Voigt – prononcez « Fohgt » – fut également l ’ initiateur de l ’effet Voigt et du tenseur de
Voigt. En 1889, l ’ Irlandais George F. Fitzgerald trouva également ce résultat de manière indépendante.
*** « Dorénavant l ’espace en tant que tel et le temps en tant que tel devront complètement tomber en désué-
tude et seule une forme d ’association des deux préservera leur indépendance. » Cette célèbre phrase consti-
tua le début du discours de Minkowski de 1908 à l ’assemblée de la Gesellschaft für Naturforscher und Ärzte.
manières pour des observateurs distincts. Ce fait est généralement exprimé en disant
que le temps est la quatrième dimension. Cela semble raisonnable parce que l ’entité élé-
mentaire commune – appelée espace-temps – peut être définie comme étant l ’ensemble
de tous les événements, ceux-ci étant décrits par quatre coordonnées dans le temps et
l ’espace, et parce que l ’ensemble de tous les événements possède les propriétés d ’une

Défi 39 s variété*. (Pouvez-vous entériner cela ?)
En d ’autres termes, l ’existence d ’une vitesse maximale dans la nature nous oblige à
introduire une variété d ’espace-temps pour sa description. Dans la théorie de la relativité
restreinte, la variété de l ’espace-temps est caractérisée par une propriété élémentaire :
Réf. 35 l ’ intervalle d’espace-temps di entre deux événements proches, défini comme suit
v2
di 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 = c 2 dt 2 (1 − ), (15)
c2
est indépendant de l ’observateur (inertiel). Un tel espace-temps est aussi appelé espace-
temps de Minkowski, d ’après Hermann Minkowski**, le professeur d ’Albert Einstein. Il
fut le premier, en 1904, à définir le concept d ’espace-temps et à comprendre son utilité
et son importance.
L’ intervalle d ’espace-temps di de l ’équation (15) possède une interprétation simple.
C ’est le temps mesuré par un observateur en mouvement entre l ’événement (t, x) et
l ’événement (t + dt, x + dx), ce que l ’on appelle le temps propre, multiplié par c. Si nous
omettons le facteur c, nous pouvons le désigner plus simplement comme étant le temps
de sa montre-bracelet.
Nous vivons dans un espace-temps de Minkowski, si on peut le dire ainsi. L’espace-
temps de Minkowski existe indépendamment des choses. Et, bien que des systèmes de
coordonnées puissent être différents d ’un observateur à l ’autre, l ’entité sous-jacente,
l ’espace-temps, est toujours unique, même si l ’espace et le temps ne le sont pas eux-
mêmes.
De quelle manière l ’espace-temps de Minkowski diffère-t-il de l ’espace-temps gali-
léen, cette combinaison de l ’espace et du temps quotidiens ? Les deux espace-temps sont
des variétés, c ’est-à-dire des ensembles continus de points, ils possèdent tous les deux
trois dimensions d ’espace et une de temps, et les deux variétés ont la topologie de la
Défi 40 s sphère trouée. (Pouvez-vous confirmer ce point ?) Les deux variétés sont plates, c ’est-à-
dire exemptes de toute courbure. Dans les deux cas, l ’espace est ce qui est mesuré avec
une règle ou avec un rayon lumineux, et le temps est ce qui est lu sur une horloge. Dans
les deux cas, l ’espace-temps est fondamental, il est et demeure à la fois l ’ arrière-plan et
le conteneur des objets et des événements.
La différence centrale, en réalité la seule, est que l ’espace-temps de Minkowski, au
contraire de la situation galiléenne, mélange l ’espace et le temps, et qu ’ il le fait, en parti-
culier, de manière différente pour des observateurs ayant des vitesses différentes, comme
indiqué sur la Figure 17. C ’est pourquoi le temps est un concept dépendant de l ’observa-
teur.
Page ?? * Le mot « variété » est défini dans l ’Annexe ??.
** Hermann Minkowski (1864–1909) était un mathématicien allemand. Il avait développé des idées proches
de celles d ’ Einstein, mais ce dernier le devança. Minkowski développa alors le concept d ’espace-temps. Il
décéda brutalement à l ’âge de 44 ans.
temps t
re
re
iè
cô
II
cô
futur
iè
T T
m
ne
m
ne
lu
futur
lu
de
de
de
de
lu
ne
lu
ne
m
m
cô
iè
cô

iè
re
re
III I
ailleurs E E ailleurs
ailleurs espace y
IV x
passé
passé
F I G U R E 18 Un diagramme d’espace-temps pour un objet T en mouvement vu par un observateur

inertiel O dans le cas d’une et de deux dimensions spatiales.
La vitesse maximale dans la nature nous oblige donc à décrire le mouvement à l ’aide
de l ’espace-temps. C ’est intéressant, parce que dans l ’espace-temps, pour le dire en
termes simples, le mouvement n’existe pas. Le mouvement n’existe que dans l ’espace.
Dans l ’espace-temps, rien ne bouge. Pour chaque particule ponctuelle, l ’espace-temps
contient une ligne d ’univers. En d ’autre mots, au lieu de nous demander pourquoi
le mouvement existe, nous pouvons de manière équivalente nous demander pourquoi
l ’espace-temps est quadrillé par des lignes d ’univers. À ce niveau, nous sommes tou-
jours loin de répondre à l ’une ou l ’autre de ces questions. Ce que nous pouvons faire est
d ’explorer comment le mouvement a lieu.
Pouvons-nous voyager dans le passé ? – Temps et causalité

Nous savons que le temps est différent pour des observateurs distincts. Le temps
permet-il malgré tout d ’ordonner les événements ? La réponse donnée par la relativité est
un franc « oui et non ». Certains ensembles d ’événements ne sont pas naturellement or-
donnés par le temps, d ’autres ensembles le sont. Cela est mieux perçu sur un diagramme
d ’espace-temps.
En clair, deux événements peuvent être ordonnés uniquement si l ’un des événements
est la cause de l ’autre. Mais cette dépendance ne peut s’appliquer que si les événements
échangent de l ’énergie (c ’est-à-dire par l ’ intermédiaire d ’un signal). En d ’autres termes,
une relation de cause à effet entre deux événements implique que de l ’énergie ou des si-
gnaux puissent voyager depuis un événement jusqu ’à l ’autre. Par conséquent, la vitesse
reliant les deux événements ne doit pas être plus grande que la vitesse de la lumière. La
Figure 18 montre que l ’événement E situé à l ’origine du système de coordonnées ne peut
être influencé que par les événements situés dans le quadrant IV (le cône de lumière du
passé, lorsque toutes les dimensions d ’espace sont prises en compte), et peut lui-même
influencer uniquement les événements situés dans le quadrant II (le cône de lumière du fu-
tur). Les événements des quadrants I et III n’ influencent pas et ne sont pas influencés par
l ’événement E. Le cône de lumière définit la frontière entre les événements qui peuvent
être ordonnés par rapport à leur origine – à savoir ceux à l ’ intérieur des cônes – et ceux
qui ne le peuvent pas – ceux à l ’extérieur des cônes, se produisant partout ailleurs pour
tous les observateurs. (Certains appellent tous les événements qui se produisent ailleurs
le présent.) Donc, le temps ordonne les événements seulement en partie. Par exemple,
pour deux événements qui ne sont pas causalement reliés, leur ordre temporel (ou leur

simultanéité) dépend de l ’observateur !
En particulier, le cône de lumière du passé fournit l ’ensemble complet des événements
qui peuvent influencer ce qui se passe à l ’origine. Nous disons que l ’origine est causale-
ment reliée au seul cône de lumière du passé. Cette affirmation reflète le fait que n’ im-
porte quelle influence entraîne un transport d ’énergie, et donc ne peut pas voyager plus
vite que la vitesse de la lumière. Remarquez que la relation de cause à effet est un concept
invariant : tous les observateurs sont d ’accord pour dire qu ’elle s’applique ou non à deux
Défi 41 s événements donnés. Pouvez-vous le confirmer ?
Un vecteur situé à l ’ intérieur du cône de lumière est dit de genre temps, un sur le
cône de lumière est dit de genre lumière ou nul, et un à l ’extérieur du cône est dit de
genre espace. Par exemple, la ligne d’univers d ’un observateur, c ’est-à-dire l ’ensemble de
tous les événements qui façonnent son histoire passée et future, se compose uniquement
d ’événements de genre temps. Le temps est la quatrième dimension, elle étend l ’espace
à l ’espace-temps et ainsi « complète » cette dernière. Elle représente la pertinence d ’une
quatrième dimension pour la relativité restreinte, ni plus ni moins.
La relativité restreinte nous enseigne donc que la causalité et le temps peuvent être
définis uniquement parce que les cônes de lumière existent. Si le transport de l ’énergie à
des vitesses supérieures à celle de la lumière existait, le temps ne pourrait pas être défini.
La causalité, c ’est-à-dire la possibilité d ’un ordonnancement (partiel) des événements
pour tous les observateurs, est due à l ’existence d ’une vitesse maximale.
Si la vitesse de la lumière pouvait être surpassée d ’une certaine manière, le futur pour-
Défi 42 s rait influencer le passé. Pouvez-vous confirmer cette idée ? Dans de telles situations, nous
observerions des effets acausaux. Cependant, il existe un phénomène quotidien qui nous
dit que la vitesse de la lumière est en réalité maximale : notre mémoire. Si le futur pouvait
influencer le passé, nous serions également capables de nous souvenir du futur. Pour le
dire d ’une autre manière, si le futur pouvait influencer le passé, le deuxième principe de
la thermodynamique ne pourrait pas être valide et notre mémoire ne pourrait pas fonc-
tionner*. Il n’existe aucune autre information, qu ’elle soit glanée dans la vie quotidienne
ou dans les expériences, qui fournisse une quelconque évidence pour que le futur puisse
influencer le passé. En d ’autres termes, le voyage dans le passé est impossible. Nous révé-
lerons plus tard comment cette situation changera dans la théorie quantique. De façon
intéressante, le voyage dans le futur est possible, comme nous allons le voir bientôt.
* Un autre résultat, qui est lié, devient petit à petit une vérité notoire. Même si l ’espace-temps avait une
forme non triviale comme celle d ’une topologie cylindrique avec des courbes de genre temps fermées, nous
ne serions toujours pas capables de voyager dans le passé, contrairement à ce que de nombreux romans de
Réf. 36 science-fiction suggèrent. Cela a été clairement établi par Stephen Blau dans un récent article très pédago-
gique.
curiosités de la relativité restreinte 41
curiosités de l a rel ativité restreinte

Plus vite que la lumière : jusqu ’ où pouvons-nous voyager ?
Jusqu ’à quelle distance de la Terre pouvons-nous voyager, sachant que le voyage ne
devrait pas durer plus longtemps que l ’espérance de vie, disons 80 ans, et sachant que

nous pouvons utiliser une fusée dont la vitesse peut approcher la vitesse de la lumière
aussi près que l ’on veuille ? Étant donné le temps t que nous sommes prêts à passer dans
une fusée, étant donné la vitesse v de la fusée et en supposant avec optimisme qu ’elle
puisse accélérer et ralentir durant une quantité infinitésimale de temps, la distance d que
Défi 43 e nous pouvons parcourir est donnée par
d=√
vt
. (16)
1 − v 2 /c 2
Cette distance d est déjà plus grande que ct pour v > 0, 71c, et, si nous choisissons v
assez grand, elle augmente au-delà de toute limite ! En d ’autres termes, la relativité ne
limite pas la distance que nous pouvons parcourir durant une vie entière, et pas même la
distance que nous pouvons effectuer en une seule seconde. Nous pourrions, en principe,
sillonner l ’univers tout entier en moins d ’une seconde. Dans des situations telles que
celles-ci, il est raisonnable d ’ introduire le concept de vitesse propre w, définie comme
w = d/t = √ =γv .
v
(17)
1 − v 2 /c 2
Comme nous venons de le voir, la vitesse propre n’est pas limitée par la vitesse de la
lumière, en réalité la vitesse propre de la lumière est elle-même infinie*.
Synchronisation et voyage dans le temps – une mère peu t-elle

rester plus jeune que sa propre fille ?
Une vitesse maximale implique que le temps est différent pour des observateurs dis-
tincts qui se déplacent l ’un par rapport à l ’autre. Donc nous devons être prudents sur
la manière de synchroniser des horloges qui sont éloignées, même si elles sont au re-
pos l ’une par rapport à l ’autre dans un référentiel d ’ inertie. Par exemple, si nous avons
deux montres identiques indiquant la même heure, et si nous transportons l ’une d ’entre
elles le temps d ’une promenade et que nous revenons, elles indiqueront des heures dif-
Réf. 38, Réf. 39 férentes à la fin. Cette expérience a été en réalité accomplie plusieurs fois et a entière-
ment confirmé la prédiction de la relativité restreinte. Le décalage temporel pour une
* En utilisant la vitesse propre, la relation donnée dans l ’équation (9) pour la composition de deux vitesses
Défi 44 e wa = γ a va et wb = γ b vb se simplifie en
ws∥ = γ a γ b (v a + v b∥ ) et ws⊥ = wb⊥ , (18)
où les signes ∥ et ⊥ désignent respectivement la composante dans la direction de va et la composante per-

Réf. 37 pendiculaire à celle-ci. Nous pouvons en réalité exprimer toute la relativité restreinte en termes de quantités
« propres ».
premier
jumeau

voyage du
temps second jumeau
terrestre comparaison
du temps et
échange de
premier
fusée
jumeau
F I G U R E 19 Le paradoxe des jumeaux.
personne ou une montre dans un avion effectuant une boucle autour de la Terre, à envi-
ron 900 km/h, est de l ’ordre de 100 ns – ce qui n’est pas vraiment perceptible dans la vie
quotidienne. En fait, le retard est facilement évalué à partir de l ’expression
=γ.
t
(19)
t′
Le corps humain est une horloge, il témoigne d ’un temps écoulé, généralement appelé
l ’ âge, par divers changements dans sa forme, son poids, la couleur des cheveux, etc. Si
une personne part pour un long voyage rapide, à son retour elle sera moins âgée qu ’une
seconde personne qui est restée dans sa maison (inertielle).
La plus célèbre illustration en est le fameux paradoxe des jumeaux (ou paradoxe des
horloges). Un jumeau audacieux saute dans une fusée relativiste qui quitte la Terre et
voyage durant de nombreuses années. Très loin de la Terre, il bondit dans une autre fu-
sée relativiste empruntant le chemin inverse et revenant au bercail. Ce voyage est illustré
sur la Figure 19. À son retour, il remarque que son frère jumeau resté sur Terre est beau-
coup plus âgé que lui-même. Pouvez-vous expliquer ce résultat, particulièrement l ’asy-
métrie entre les deux frères ? Ce résultat a également été confirmé lors de nombreuses
Réf. 40 expériences.
La relativité restreinte confirme donc, sous une forme étonnante, la devise bien
connue que les voyages forment la jeunesse. Cependant, le prix à payer pour conserver
sa jeunesse est que toutes les choses autour de nous changent vraiment beaucoup plus
rapidement que si nous restions au repos par rapport à notre environnement.
Le paradoxe des jumeaux peut aussi être perçu comme une confirmation de la possibi-
lité de voyager dans le futur. À l ’aide d ’une fusée ultra-rapide qui revient à son point de
départ, nous pouvons parvenir à un temps local que nous n’aurions jamais pu atteindre
au terme de notre vie en restant chez nous. Hélas, nous ne pouvons jamais revenir dans
haute atmosphère

compteur
supérieur
muons
désintégrés
F I G U R E 20 Les muons sont plus nombreux que prévu
compteur lorsqu’ils parviennent au sol parce que le voyage
inférieur ultra-rapide entretien leur jeunesse.
le passé*.
Une des expériences les plus simples confirmant la jeunesse prolongée des voyageurs
ultra-rapides a trait au comptage des muons. Les muons sont des particules qui sont per-
Page ?? pétuellement formées dans la haute atmosphère par des rayons cosmiques. Les muons
au repos (par rapport à l ’ horloge qui prend la mesure) possèdent une demi-vie limi-
tée à 2,2 µs (ou de 660 m, à la vitesse de la lumière). Après ce laps de temps, la moitié
des muons sont désintégrés. Cette demi-vie peut être mesurée en utilisant de simples
compteurs à muons. En plus, il existe des compteurs spécifiques qui ne comptent que les
muons voyageant à une certaine vitesse comprise dans un intervalle, disons de 0, 9950c
à 0, 9954c. Nous pouvons mettre l ’un de ces compteurs spécifiques au sommet d ’une
montagne et en mettre un autre plus bas dans la vallée, comme indiqué sur la Figure 20.
Réf. 42 La première fois que cette expérience fut réalisée, la différence de hauteur était de 1,9 km.
La traversée de cette distance dans l ’atmosphère à la vitesse mentionnée prend environ
6,4 µs. Avec la demi-vie donnée ci-dessus, un calcul naïf révèle que seulement 13 % envi-
Défi 45 s ron des muons observés au sommet devraient parvenir au site inférieur. Pourtant, nous
observons qu ’environ 82 % des muons arrivent jusqu ’en bas. L’explication de ce résul-
tat est fournie par la dilatation relativiste du temps. En réalité, à la vitesse mentionnée,
les muons ressentent une différence temporelle d ’uniquement 0,62 µs pendant le trajet
du sommet de la montagne jusqu ’à la vallée. Ce temps plus court fait que le nombre de
muons perdus est beaucoup plus petit que s’ il n’y avait pas dilatation du temps. Qui
plus est, le pourcentage mesuré confirme la valeur donnée par la prédiction du facteur
de dilatation du temps γ, aux erreurs expérimentales près, comme vous pourriez le véri-
Défi 46 s fier. Un effet similaire est observé lorsque des muons relativistes sont produits dans des
accélérateurs.
Réf. 41 * Il y a même des ouvrages spécifiques sur le voyage dans le temps, tel le texte très approfondi de Nahin.
Remarquez que le concept du voyage dans le temps doit être clairement défini, sinon nous n’aurions aucune
objection à formuler à l ’employé qui appelle sa chaise de bureau une machine à voyager dans le temps, sous
le prétexte que rester assis dessus lui permet d ’aller dans le futur.
La dilatation de la demi-vie a également été relevée pour de nombreux autres systèmes

qui se désintègrent, tels que les pions, les atomes d ’ hydrogène, les atomes de néon et di-
vers noyaux, confirmant invariablement les prédictions de la relativité restreinte. Puisque
tous les corps dans la nature sont constitués de particules, l ’ « effet jouvence » des hautes
vitesses (généralement dénommé « dilatation du temps ») s’applique aux corps de toutes

les tailles. En réalité, il n’a pas seulement été observé pour des particules, mais également
Réf. 22 pour des lasers, des émetteurs radio et des horloges.
Si le mouvement conduit à la dilatation du temps, une horloge située à l ’équateur, fi-
lant sans cesse tout autour de la Terre, devrait avancer plus lentement qu ’une située aux
Réf. 43 pôles. Toutefois, cette prédiction, qui fut postulée par Einstein lui-même, est incorrecte.
L’accélération centrifuge entraîne une réduction de l ’accélération gravitationnelle qui
compense exactement l ’augmentation due à la vitesse. Ce récit peut servir à rappeler
qu ’ il faut être prudent lorsqu ’on applique la relativité restreinte à des situations pre-
nant en compte la gravitation. La relativité restreinte est applicable uniquement lorsque
l ’espace-temps est plat, et non pas quand la gravité est présente.
En bref, une mère peut rester plus jeune que sa fille. Nous pouvons aussi conclure qu ’ il
nous est impossible de synchroniser des horloges au repos l ’une par rapport à l ’autre
simplement en marchant, horloge en main, d ’un lieu à un autre. La manière appropriée
Défi 47 s pour ce faire est d ’échanger des signaux lumineux. Pouvez-vous décrire comment ?
Une définition précise de la synchronisation nous permet de qualifier de simultanés
deux événements éloignés. De plus, la relativité restreinte montre que la simultanéité
dépend de l ’observateur. Toutes les expériences réalisées jusqu ’à présent confirment ce
point.
Cependant, le désir de cette mère n’est pas facile à satisfaire. Imaginons qu ’elle soit
accélérée dans un vaisseau spatial s’éloignant de la Terre à 10 m/s2 pendant dix ans, puis
ralentie de 10 m/s2 durant dix autres années, puis accélérée pendant dix années supplé-
mentaires en direction de la Terre, et finalement ralentie pendant les dix dernières années
dans le but de débarquer saine et sauve sur notre planète. Cette mère a mis 40 ans pour
réaliser ce voyage. Elle s’est éloignée à 22 000 années-lumière de sa planète natale. À son
retour sur Terre, 44 000 années se sont écoulées. Tous cela semble fantastique, jusqu ’à ce
que nous réalisions que la quantité nécessaire de carburant, même pour le moteur le plus
efficace que l ’on puisse imaginer, est si considérable que la masse restituée au retour du
Défi 48 e voyage n’est que d ’une seule partie pour 2 ⋅ 1019 . Cette quantité nécessaire de carburant
n’existe pas sur Terre.
C ontraction des longueurs

La longueur d ’un objet mesurée par un observateur attaché à cet objet est appelée
sa longueur propre. En accord avec la relativité restreinte, la longueur mesurée par un
observateur inertiel passant à proximité est toujours plus petite que sa longueur propre.
Défi 49 e Ce résultat découle directement des transformations de Lorentz.
Pour une Ferrari roulant à 300 km/h ou 83 m/s, la longueur est réduite de 0,15 pm :
c ’est moins que le diamètre d ’un proton. Vue depuis le Soleil, la Terre se déplace à
30 km/s, ce qui donne une contraction de sa longueur de 6 cm. Aucun de ces effets n’a
jamais été mesuré. Mais des effets plus significatifs le pourraient. Explorons-en quelques
exemples.
observations
observations du pilote
du fermier

temps
du pilote
temps du
fermier
extrémités de
l'avion extrémités de
la grange
F I G U R E 21 Les observations du pilote et du propriétaire de la grange.
ski ski
h
trou
trou trou
trou
F I G U R E 22 Les observations du creuseur de pièges et du surfeur des neiges, telles qu’elles sont
publiées (par erreur) dans la littérature.
Imaginez qu ’un pilote vole en traversant une grange dotée de deux portes, une à
chaque extrémité. L’avion est légèrement plus long que la grange, mais se déplace si ra-
pidement que sa longueur, contractée par la relativité, est plus courte que la longueur de
la grange. Le fermier peut-il fermer la grange (au moins pendant un court instant) avec
l ’avion entièrement situé à l ’ intérieur ? La réponse est oui. Mais pourquoi le pilote ne
peut-il pas dire la chose suivante : par rapport à lui, la grange est contractée, par consé-
quent l ’avion ne peut être contenu tout entier dans celle-ci ? La réponse est indiquée sur
la Figure 21. Pour le fermier, les portes se ferment (et se rouvrent) au même moment.
Pour le pilote, ce n’est pas le cas. Pour le fermier, le pilote est dans l ’obscurité durant un
court instant ; pour le pilote, la grange n’est jamais sombre. (Ce n’est pas entièrement
Défi 50 s vrai : pouvez-vous en développer les détails ?)
Nous explorons maintenant quelques variantes du cas général. Un surfeur des neiges
ultra-rapide peut-il tomber dans un trou qui est un petit peu plus court que sa planche ?
Imaginez-le surfer si rapidement que le facteur de contraction des longueurs γ = d/d ′
soit de 4*. Pour un observateur sur le sol, la planche de surf est quatre fois plus courte
et, lorsqu ’elle passe au-dessus du trou, elle chutera dedans. En revanche, pour le surfeur,
c ’est le trou qui est quatre fois moins large, dans ce cas il semble que la planche de surf
ne puisse pas tomber dedans.
* Même la Terre se contracte dans la direction de son ouvement autour du Soleil. Cette valeur est-elle mesu-
Défi 51 s rable ?
v
B corde F

g < h v(t) v(t)
F I G U R E 23 Est-ce que la pièce conductrice F I G U R E 24 Qu’advient-il à la

glissante laisse l’ampoule allumée, à très grande corde ?
vitesse ?
Réf. 44 Une analyse plus attentive montre que, contrairement à l ’observation du creuseur de
trous, le surfeur des neiges ne voit pas que la forme de la planche est figée : au moment de
passer au-dessus du trou, il observe que la planche affecte une forme parabolique et chute
Défi 52 e dans le trou, comme indiqué sur la Figure 22. Pouvez-vous le confirmer ? En d ’autres
termes, la forme n’est pas une notion invariante. (Toutefois, la rigidité est invariante par
rapport à l ’observateur, si elle est correctement définie. Pouvez-vous appuyer ce dernier
Défi 53 s point ?)
Cette explication, bien que répandue, n’est pas exacte, comme Harald van Lintel et
Réf. 45 Christian Gruber l ’ont souligné. Nous ne devrions pas oublier d ’estimer la durée de l ’ef-
fet. Aux vitesses relativistes le temps requis pour que le trou agisse sur toute l ’épaisseur
de la planche ne peut pas être négligé. Le surfeur des neiges voit que sa planche prend une
forme parabolique seulement si elle est extrêmement fine et flexible. Pour des planches
ordinaires se déplaçant à des vitesses relativistes, le surfeur n’a pas le temps de tomber
Défi 54 pe d ’une hauteur h appréciable ou de voir sa planche se courber dans le trou avant de passer
dessus. La Figure 22 est si exagérée qu ’elle est inexacte. Le surfeur des neiges devrait tout
simplement filer à toute vitesse au-dessus du trou.
Les paradoxes autour de la contraction des longueurs deviennent même plus intéres-
Réf. 46 sants dans le cas d ’un conducteur glissant qui établit un contact électrique entre deux
rails, comme dessiné sur la Figure 23. Les deux rails sont parallèles, mais l ’un d ’entre
eux possède un décrochement qui est plus long que la pièce glissante. Pouvez-vous re-
chercher si une ampoule reliée en série reste allumée lorsque la pièce glissante se déplace
Défi 55 s le long des rails à une vitesse relativiste ? (Faites l ’ hypothèse simplificatrice, mais non
parfaitement réaliste, que le courant électrique s’écoule instantanément dès que la pièce
touche les rails.) Obtenez-vous le même résultat pour tous les observateurs ? Et qu ’arrive-
t-il lorsque la pièce glissante est plus longue que le décrochement ? (Attention : ce pro-
blème a donné naissance à des débats houleux !) Qu ’est-ce qui est irréaliste dans cette
expérience ?
Réf. 47 Un autre exemple de contraction des longueurs apparaît lorsque deux objets, disons
deux voitures, sont reliés sur une distance d par une corde tendue, comme indiqué sur
la Figure 24. Imaginez que les deux véhicules soient au repos à l ’ instant t = 0 puis soient
accélérés ensemble exactement de la même façon. L’observateur au repos soutiendra que
les deux voitures demeurent à la même distance √ l ’une de l ’autre. De l ’autre point de vue,
la corde doit recouvrir une distance d = d/ 1 − v 2 /c 2 , et doit donc s’allonger lorsque
′
les deux véhicules accélèrent. En d ’autres termes, la corde rompra. Cette prédiction est-
Défi 56 s elle confirmée par les observateurs situés dans chacun des deux véhicules ?
Un exemple amusant – mais complètement irréaliste – de contraction des longueurs
Réf. 48 est celui d ’un sous-marin se déplaçant horizontalement. Imaginez que le sous-marin
stationnaire ait ajusté son poids afin de flotter dans l ’eau sans avoir tendance à couler ni

à s’élever. Maintenant, le sous-marin se déplace (avec une vitesse relativiste possible). Le
capitaine observe que l ’eau à l ’extérieur est contractée selon la formule de Lorentz, donc
l ’eau est plus dense et il conclut que le sous-marin s’élèvera. Un poisson situé à proximité
voit le sous-marin se contracter, donc ce dernier devient plus dense que l ’eau, et conclut
Défi 57 s que celui-ci coulera. Qui prêche le faux ? Quelle est la contrainte de flottabilité ? À ce
sujet, répondez à la question suivante : pourquoi est-il impossible pour un sous-marin
Défi 58 s de se déplacer à une vitesse relativiste ?
En résumé, la contraction des longueurs ne peut pratiquement jamais être observée
pour des corps macroscopiques. Toutefois, elle joue un rôle important pour les images.
Images relativistes – aberration et effet Doppler
Nous avons rencontré plusieurs situations dans lesquelles les observations varient lors-
qu ’un observateur se déplace à très grande vitesse. En tout premier lieu, la contraction de
Lorentz et l ’aberration provoquent la distorsion des images. Deuxièmement, l ’ aberration
augmente l ’angle de vision au-delà des 180 degrés approximatifs que les êtres humains
perçoivent dans la vie quotidienne. Un observateur relativiste qui regarde dans la direc-
tion du mouvement reçoit de la lumière qui est invisible pour un observateur station-
naire, parce que, pour ce dernier, elle arrive par derrière. Troisièmement, l ’ effet Doppler
engendre un décalage de couleurs sur les images. Quatrièmement, le mouvement rapide
modifie la luminosité et le contraste de l ’ image : c ’est l ’ effet projecteur. Chacune de ces
modifications dépend de la direction du regard, elles sont montrées sur la Figure 26.
Les ordinateurs modernes nous permettent de reproduire les observations faites par
des voyageurs ultra-rapides avec une qualité photographique, et même de produire des
simulations animées*. Les images de la Figure 25 sont particulièrement opportunes pour
nous permettre de comprendre la déformation relativiste des images. Elles indiquent
l ’angle de vision, le cercle qui distingue les objets qui sont devant l ’observateur de ceux
qui se trouvent derrière lui, les coordonnées des pieds de l ’observateur et le point sur
l ’ horizon en direction duquel se déplace cet observateur. En intégrant ces repères dans
votre esprit lorsque vous regardez d ’autres images ou films, vous devez comprendre plus
clairement ce que représentent ces images.
Nous notons que la forme de l ’ image vue par un observateur en mouvement est une
version distordue de celle vue par un observateur au repos au même endroit. Toutefois,
un observateur en déplacement ne voit pas des objets différents d ’un autre observateur
stationnaire au même emplacement. En fait, les cônes de lumière sont indépendants du
mouvement d ’un observateur.
* Consultez par exemple des images et des films sur http://www.anu.edu.au/Physics/Searle par Anthony
Searle, sur http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de/~weiskopf/gallery/index.html par Daniel Weiskopf, sur
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/stone1.htm par Norbert Dragon et Nicolai Mokros,
ou sur http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de par le groupe de Hanns Ruder.

F I G U R E 25 Traversée de douze colonnes verticales (indiquées sur les deux images du haut) à 0,9 fois la
vitesse de la lumière tel que simulé par Nicolai Mokros et Norbert Dragon, exhibant ainsi l’effet de la
vitesse et de la position sur les distorsions. (© Nicolai Mokros)

F I G U R E 26 Traversée de trois colonnes droites verticales à 0,9 fois la vitesse de la lumière tel que
simulé par Daniel Weiskopf : à gauche avec les couleurs d’origine, au milieu en intégrant l’effet Doppler,
et à droite en incluant les effets sur la luminosité, montrant ainsi ce qu’un observateur verrait
réellement. (© Daniel Weiskopf )
F I G U R E 27 Ce qu’un chercheur qui se tient debout et un autre courant rapidement à travers un couloir
observent (en omettant les effets sur les couleurs). (© Daniel Weiskopf )
La contraction de Lorentz est mesurable, pourtant elle ne peut pas être photographiée.
Réf. 49 Cette distinction surprenante ne fut découverte qu ’en 1959. La mesure implique la simul-
tanéité à la position de l ’objet, la photographie entraîne la simultanéité à la position de
l ’observateur. Sur une photographie, la contraction de Lorentz est modifiée par les effets
dus aux différents temps de trajet de la lumière depuis les différentes parties d ’un objet.
Le résultat provoque un changement dans la forme qui rappelle une rotation, bien que
n’en étant pas exactement une. La déformation résultante est une aberration dépendant
Page 18 de l ’angle. Nous avons discuté de l ’aberration au début de cette section. L’aberration
transforme des cercles en d ’autres cercles : de telles transformations sont dites conformes.
Les images de la Figure 27, produites par Daniel Weiskopf, intègrent également l ’effet
Doppler et les changements de luminosité. Elles montrent que ces effets sont au moins
aussi saisissants que la distorsion due à l ’aberration.
Cela nous conduit au « paradoxe du collier de perles ». Si le mouvement relativiste

transforme des sphères en sphères, et des tiges en tiges plus courtes, que se passe-t-il
Défi 59 s pour un collier de perles se déplaçant le long de son grand axe ? Devient-il plus court ?
Il y a encore beaucoup de choses à explorer grâce aux films relativistes. Par exemple,
l ’auteur prédit que des films de sphères en mouvement de rotation rapide révéleront des
Défi 60 r effets intéressants. Dans ce cas aussi, l ’observation visuelle et les résultats des mesures
seront divergents. Pour certaines combinaisons de rotations relativistes et de poussées
relativistes, il a été postulé* que le sens de rotation (horaire ou antihoraire) sera différent
pour des observateurs distincts. Cet effet jouera un rôle intéressant dans la discussion
sur l ’unification.
Q uelle est la meilleure place dans un bus ?
Réf. 47 Explorons une autre surprise de la relativité restreinte. Imaginez des jumeaux à l ’ in-
térieur de deux véhicules accélérés de manière identique, l ’un devant l ’autre, partant du
point mort à l ’ instant t = 0, comme le décrit un observateur au repos par rapport aux
jumeaux. (Il n’y a pas de corde qui relie les voitures maintenant.) Les deux véhicules
contiennent la même quantité de carburant. Nous en déduisons aisément que l ’accélé-
ration des deux jumeaux cessera lorsque le carburant s’épuisera, au même instant dans
Défi 61 e le référentiel de l ’observateur extérieur. De plus, la distance entre les voitures est restée
identique tout au long de la course pour cet observateur, et les deux voitures continuent
de rouler avec une vitesse constante v identique, tant que le frottement reste négligeable.
Si nous appelons les événements correspondant à l ’arrêt des moteurs de la voiture de
devant et de celle de derrière respectivement a et b, leurs coordonnées temporelles dans
le référentiel extérieur sont tout simplement reliées par t a = t b . En utilisant les trans-
formations de Lorentz vous pouvez en déduire, dans le référentiel des jumeaux roulant
Défi 62 e librement, la relation
t b = γ∆x v/c 2 + t a , (20)
qui signifie que le jumeau de devant a vieilli plus vite que le jumeau de derrière ! Par
conséquent, dans des systèmes accélérés, le vieillissement dépend de la position.
Pour choisir une place dans un bus, cependant, ce résultat ne nous est d ’aucune aide.
Il est vrai que la meilleure place dans un bus en accélération est celle du fond, mais dans
un bus qui ralentit c ’est celle de devant. À la fin du parcours, le choix du siège n’ importe
plus.
Est-il exact d ’en déduire que les gens qui habitent dans les hautes montagnes
vieillissent plus vite que ceux des vallées, au point que vivre dans une vallée permettrait
Défi 63 s de retarder l ’apparition des cheveux blancs ?
* En juillet 2005.
vitesse moyenne : c/2

temps temps
vitesse moyenne : c/3
t'

arbitre t'
mobile
J
arbitre signal lumineux
x'
mobile
J
signal lumineux x'
espace espace
F I G U R E 28 Pour l’athlète de gauche, l’arbitre se déplaçant dans la direction opposée voit ses deux
pieds hors du sol à certains moments, mais pas pour celui de droite.
À quelle vitesse pouvons-nous marcher ?

Marcher signifie déplacer les pieds de telle façon qu ’au moins l ’un des deux soit tou-
jours sur le sol à chaque instant. C ’est une des règles que les athlètes doivent respecter
dans les compétitions olympiques de marche à pied, au risque d ’être disqualifiés. Un étu-
diant athlète était en train de réfléchir sur la vitesse maximale théorique qu ’ il pourrait
atteindre aux Jeux olympiques. L’ idéal serait que chaque pied puisse accélérer instanta-
nément jusqu ’à (pratiquement) la vitesse de la lumière. Pour atteindre la vitesse la plus
élevée à la marche, il faudrait lever le second pied du sol exactement au même instant que
le premier est posé. Par « même instant », l ’étudiant entendait au départ « tel que perçu
par l ’arbitre de la compétition au repos par rapport à la Terre ». Le mouvement des pieds
est indiqué par le diagramme de gauche de la Figure 28. Cela donne une vitesse limite
pour la marche égale à la moitié de la vitesse de la lumière. Mais alors l ’étudiant remar-
qua qu ’un arbitre en mouvement verrait ses deux pieds hors du sol et ainsi éliminerait
Réf. 50 l ’athlète de la course. Pour éviter une disqualification par n’ importe quel arbitre, le se-
cond pied doit attendre un signal lumineux du premier. La vitesse limite pour la marche
à pied olympique n’est donc que d ’un tiers de la vitesse de la lumière.
L a vitesse de l ’ ombre est-elle plus grande que la vitesse de la

lumière ?
En réalité, le mouvement plus rapide que la lumière existe et est même plutôt commun.
La relativité restreinte contraint seulement le mouvement de la masse et de l ’énergie.
Ainsi, des points immatériels ou des images et des dispositifs qui ne transportent pas
d ’énergie peuvent se déplacer plus vite que la lumière. Il en existe plusieurs exemples
Page 41 simples. Pour être clair, nous ne parlons pas de vitesse propre, laquelle ne peut pas, de
Défi 64 s toute façon, être définie dans ces situations. (Pourquoi ?)
Les exemples suivants montrent des vitesses qui sont véritablement plus élevées que
Les Beatles

Les Beatles
v
X
Les Beatles
F I G U R E 29 Un exemple élémentaire de F I G U R E 30 Un autre

mouvement qui est plus rapide que la lumière. exemple de mouvement
plus rapide que la lumière.
celle de la lumière dans le vide.

Considérez le point repéré par X sur la Figure 29, l ’emplacement où les ciseaux
coupent le papier. Si ces ciseaux sont refermés suffisamment rapidement, ce point se dé-
place plus vite que la lumière. Des exemples similaires peuvent également être soulignés
pour chaque fenêtre, et en fait pour n’ importe quel dispositif qui possède des parties
rotatives.
Une autre occurrence de mouvement supraluminique survient dans le cas d ’un
disque vinyle – un vieux disque 33 tours démodé – disparaissant dans sa pochette,
comme indiqué sur la Figure 30. Le point où le bord du disque rencontre le bord de
la pochette peut voyager plus vite que la lumière.
Un autre exemple vient à l ’esprit lorsque nous nous rappelons que nous vivons sur une
planète sphérique. Imaginez que vous soyez allongé sur le sol et que vous vous mettiez
debout. Pouvez-vous montrer que la vitesse avec laquelle l ’ horizon s’éloigne de vous
Défi 65 s peut être plus grande que celle de la lumière ?
Pour finir, le mouvement d ’un point lumineux produit en éclairant la Lune avec un
rayon laser est un exemple classique. Si le laser est agité, le point peut facilement se
déplacer plus vite que la lumière. La même chose s’applique au point lumineux situé
sur l ’écran d ’un oscilloscope lorsqu ’un signal de fréquence suffisamment élevée est ali-
menté en entrée.
Tout cela sorrespond à des exemples typiques de la vitesse des ombres, parfois égale-
ment appelée vitesse de l ’obscurité. Les ombres et l ’ obscurité peuvent en réalité se dépla-
cer tous les deux plus vite que la lumière. En fait, il n’y a aucune limite pour leur vitesse.
Défi 66 s Pouvez-vous citer un autre exemple ?
De plus, il y a un nombre toujours croissant d ’ installations expérimentales dans les-
quelles la vitesse de phase ou même la vitesse de groupe de la lumière est plus grande que
c. Elles font régulièrement la une des journaux, généralement sous le titre « la lumière se
déplace plus vite que la lumière ». Nous discuterons de ce phénomène surprenant plus
Page 102 en détail un peu plus tard. En fait, ces situations peuvent aussi être vues – avec un peu
d ’ imagination – comme des cas particuliers du phénomène de la « vitesse de l ’ombre ».
Pour citer un exemple différent, imaginez que nous soyons situés à la sortie d ’un tun-
nel de longueur l. Nous voyons une voiture, dont nous savons que sa vitesse est v, entrant
à l ’autre extrémité du tunnel et roulant dans notre direction. Nous savons qu ’elle y entre

parce qu ’elle n’est plus au soleil ou parce que ses feux sont allumés à ce moment-là. À
quel instant t, après que nous l ’aurons vue entrer dans le tunnel, nous dépassera-t-elle ?
Un raisonnement élémentaire indique que t est donné par
t = l/v − l/c . (21)
En d ’autres termes, la voiture qui s’approche semble avoir une vitesse v appr de
v appr = =
l vc
, (22)
t c−v
qui est plus grande que c pour n’ importe quelle vitesse v supérieure à c/2. Pour des
voitures cela ne se produit pas très souvent, mais les astronomes connaissent un type
d ’objet lumineux dans le ciel appelé quasar (une contraction de « quasi-stellar object »),
qui émet parfois des jets de gaz ultra-rapides. Si l ’émission est dans la direction de la
Terre, ou proche de cette direction, sa vitesse apparente – et même sa composante pu-
rement transversale – est plus grande que c. De telles circonstances sont aujourd ’ hui
Réf. 51 fréquemment observées avec les télescopes.
Remarquez que, pour un deuxième observateur situé à l ’ entrée du tunnel, la vitesse
apparente du véhicule qui s’éloigne est donnée par
v éloi =
vc
, (23)
c+v
ce qui n’est jamais supérieur à c/2. En d ’autres termes, nous n’observons jamais d ’objets
s’éloignant à plus de la moitié de la vitesse de la lumière.
Cette histoire possède un ultime rebondissement. Nous venons de voir qu ’un mou-
vement plus rapide que la lumière peut être observé dans plusieurs situations. Mais un
objet se déplaçant plus vite que la lumière pourrait-il malgré tout être observé ? De façon
surprenante, il le pourrait, mais de manière plutôt insolite. Premièrement, puisqu ’un tel
objet imaginaire, que l ’on appelle généralement un tachyon, se déplace plus vite que la
lumière, nous ne pouvons jamais le voir filer dans notre direction. S ’ il peut malgré tout
être aperçu, un tachyon ne peut être vu que de telle manière qu ’ il s’éloigne de nous.
Apercevoir un tachyon pourrait être similaire à entendre un jet supersonique. Ce n’est
qu ’ après que le tachyon sera passé à proximité, en supposant qu ’ il soit visible le jour,
que nous pourrions le remarquer. Nous verrions d ’abord un flash lumineux, correspon-
dant au bang d ’un avion filant à une vitesse supersonique. Nous verrions ensuite deux
images du tachyon, apparaissant quelque part dans l ’espace et s’éloignant dans des direc-
tions opposées, comme nous pouvons le déduire de la Figure 31. Même si l ’une des deux
images s’approchait de nous, elle paraîtrait de plus en plus petite et indistincte. C ’est,
pour le moins, un comportement plutôt inhabituel. Qui plus est, si vous vouliez observer
temps
observateur
lumière émise ou réfléchie

tachyon
cône
de lumière
espace
F I G U R E 31 Diagramme d’espace-temps hypothétique pour l’observation du tachyon.
un tachyon en pleine nuit, en l ’éclairant à l ’aide d ’une torche électrique, vous devriez
alors tourner votre tête dans la direction opposée au bras qui tient la torche ! Cette condi-
Défi 67 e tion découle également du diagramme de l ’espace-temps : pouvez-vous voir pourquoi ?
Personne n’a jamais observé un tel phénomène. Les tachyons, s’ ils existaient, seraient
Réf. 52 de bien curieux objets : ils accéléreraient lorsqu ’ ils perdent de l ’énergie ; un tachyon
Page 63 d ’énergie nulle serait plus rapide que tout, avec une vitesse infinie, et la direction de son
mouvement dépendrait du mouvement de l ’observateur. Aucun objet possédant ces pro-
priétés n’a été observé. Pire, comme nous l ’avons vu, les tachyons sembleraient surgir
du néant, contredisant les lois de conservation. Comme les tachyons ne peuvent pas être
vus au sens habituel du terme, remarquez qu ’ ils ne peuvent pas non plus être touchés,
puisque ces deux processus font appel aux interactions électromagnétiques, comme nous
le verrons plus tard dans notre ascension de la Montagne Mouvement. Les tachyons ne
peuvent donc pas représenter des objets au sens usuel du terme. Dans la deuxième par-
tie de notre aventure, nous montrerons que la théorie quantique exclut véritablement
l ’existence des tachyons (réels). Cependant, comme nous le découvrirons, elle réclame
en même temps l ’existence de tachyons « virtuels ».
L a parallèle à une parallèle n ’ est pas parallèle – la rotation de

Thomas
En vérité, la relativité conduit à des conséquences étranges. Deux observateurs quel-
conques peuvent maintenir un bâton parallèle à un autre, même s’ ils se déplacent l ’un
relativement à l ’autre. Mais étrangement, étant donné une série de bâtons pour lesquels
deux bâtons adjacents quelconques sont parallèles, le premier et le dernier ne seront gé-
néralement pas parallèles. En particulier, ils ne le seront jamais si les mouvements des
divers observateurs pointent dans des directions différentes, comme dans le cas où l ’en-
semble des vecteurs vitesse forme une boucle.
Le dispositif le plus simple est indiqué sur la Figure 32. En relativité restreinte, un
R v G
u
O w

F I G U R E 32 Si le bâton O est parallèle à R et R parallèle à G, alors le bâton O et le bâton G ne le sont pas.
enchaînement général de mouvements purement translationnels ne donne pas à l ’arri-

Réf. 53 vée un mouvement purement translationnel, mais une translation plus une rotation. Par
conséquent, les éléments extrémaux d ’un ensemble de bâtons parallèles ne sont généra-
lement pas parallèles.
Un exemple de cet effet survient dans le mouvement de rotation. Si nous marchons
rapidement le long d ’un cercle en tenant un bâton, et en maintenant constamment celui-
ci parallèlement à la direction qu ’ il avait juste avant, à la fin de cette course circulaire le
bâton fera un certain angle non nul par rapport à la direction d ’origine. De manière iden-
tique, l ’axe d ’un corps en rotation tournant autour d ’un deuxième corps ne pointera pas
dans la même direction au bout d ’une révolution. Cet effet est nommé la précession de
Thomas, d ’après Llewellyn Thomas, qui le découvrit en 1925, vingt années après la nais-
sance de la relativité restreinte. Il avait échappé à l ’attention d ’une douzaine d ’autres cé-
lèbres physiciens. La précession de Thomas est cruciale dans le fonctionnement interne
des atomes, nous reviendrons là-dessus dans une section ultérieure de notre aventure.
Ces phénomènes surprenants sont purement relativistes, et ne sont donc mesurables que
dans le cas de vitesses comparables à celle de la lumière.
Une histoire sans fin – température et relativité

Les écrits relatifs à la température sont confus. Albert Einstein et Wolfgang Pauli
étaient d ’accord sur le résultat suivant : la température T, relevée par un observateur
se déplaçant à la vitesse v, est reliée à la température T0 , mesurée par l ’observateur au
repos par rapport à la température ambiante, par
√
T = T0 1 − v 2 /c 2 . (24)
Un observateur en mouvement mesure donc toujours des valeurs inférieures à celles me-
surées par un observateur au repos.
En 1908, Max Planck utilisa cette expression, en combinaison avec la transformation
correspondante de la chaleur, pour déduire que l ’entropie est invariante sous les transfor-
mations de Lorentz. Étant le révélateur de la constante de Boltzmann k, Planck démontra
de cette façon que cette constante est un invariant relativiste.
Tous les chercheurs ne s’accordent pas sur cette expression. D’autres soutiennent que
T et T0 devraient être échangés dans la transformation de la température. De même, des
Réf. 54 puissances différentes de la simple racine carrée ont été proposées. L’origine de ces dis-
cordances est évidente : la température est définie uniquement pour des situations d ’équi-
libre, c ’est-à-dire pour des bains thermiques. Mais un bain thermique pour un observa-
teur n’en est pas un pour l ’autre. Pour des vitesses lentes, un observateur en mouvement
observe une situation qui est presque identique à un bain thermique, mais à des vitesses
plus élevées ce problème devient plus subtil. La température est déduite de la vitesse des
particules de matière, tels les atomes et les molécules. Pour des observateurs mobiles, il
n’existe aucune méthode convenable pour mesurer la température. La valeur mesurée

naïvement pour la température dépend même de l ’étendue de l ’énergie des particules
de matière concernées ! En bref, l ’équilibre thermique n’est pas un concept invariant se-
lon l ’observateur. Par conséquent, aucune formule de transformation de la température
n’est correcte. (Avec quelques hypothèses supplémentaires, l ’expression de Planck ne
semble toutefois pas cohérente.) En fait, il n’existe même pas une quelconque observa-
tion expérimentale qui permettrait de vérifier une telle formule. La réalisation d ’une telle
mesure constitue un défi pour les futurs expérimentateurs – mais pas pour la relativité
elle-même.
mécanique rel ativiste
Puisque la vitesse de la lumière est constante et puisque les vitesses ne s’additionnent
pas simplement, nous avons besoin de redéfinir les notions de masse, de quantité de
mouvement et d ’énergie. Nous avons par conséquent besoin de rebâtir la théorie de la
mécanique à partir de zéro.
L a masse en relativité
En physique galiléenne, le rapport des masses entre deux corps a été défini en utilisant
Page 72 la notion de collision ; il était donné par l ’opposé du rapport inverse des variations de
vitesses
=−
m2 ∆v 1
. (25)
m1 ∆v 2
Toutefois, des expériences démontrent que cette expression doit être modifiée pour des
vitesses approchant celle de la lumière. En fait, des expériences ne sont pas nécessaires :
Défi 68 pe nous pouvons montrer cela uniquement par la pensée. Pouvez-vous y parvenir ?
Il y a une seule solution à ce problème. Les deux théorèmes de conservations gali-
léennes, ∑ i m i v i = constante pour la quantité de mouvement et ∑ i m i = constante pour
Réf. 55 la masse, doivent être modifiés en
∑ γ i m i v i = constante (26)
i
et
∑ γ i m i = constante . (27)
i
Ces expressions, qui demeureront inchangées jusqu ’à la fin de notre escalade de la Mon-
tagne Mouvement, impliquent, entre autres, que la téléportation est impossible dans la
Défi 69 s nature. (Pouvez-vous le confirmer ?) Évidemment, afin de pouvoir retrouver la physique
mécanique relativiste 57
Observateur A
m m
avant : v
après :
V
M

Observateur B
avant :
V V F I G U R E 33 Une collision inélastique entre deux particules
m m
après : identiques, observée à partir de deux référentiels inertiels
M distincts.
galiléenne, la correction relativiste représentée par les facteurs γ i doit être proche de la
valeur 1 pour les vitesses quotidiennes, c ’est-à-dire pour les vitesses qui sont très petites
devant la vitesse de la lumière.
Même si nous ne connaissons pas la valeur de ce facteur de correction relativiste, nous
pouvons la déduire à partir de la collision indiquée sur la Figure 33.
Dans le premier référentiel (A) nous avons γv mv = γ V MV et γv m + m = γ V M. À
partir des observations du second référentiel (B) nous déduisons que la composition de
Défi 70 e V avec V donne v, en d ’autres termes que
v=
2V
1 + V 2 /c 2
. (28)
Lorsque ces équations sont combinées, la correction relativiste γ se révèle être dépen-
dante de la grandeur de la vitesse v à travers
γv = √
1
. (29)
1 − v 2 /c 2
À l ’aide de cette expression, et d ’une généralisation de la physique galiléenne, le rapport

des masses entre deux particules incidentes est défini comme étant le rapport
∆(γ2 v 2 )
=−
m1
∆(γ1 v 1 )
. (30)
m2
(Nous ne donnons pas ici la définition généralisée de la masse, mentionnée au chapitre

Page 76 sur la mécanique galiléenne, c ’est-à-dire celle qui est fondée sur le rapport des accélé-
rations, parce qu ’elle contient quelques subtilités que nous découvrirons bientôt.) Les
facteurs de correction γ i assurent que la masse définie par cette équation est la même
que celle définie en mécanique galiléenne, et qu ’elle reste la même pour tous les types
de collisions qu ’un corps peut subir*. De cette façon, la masse demeure une quantité
* Les résultats qui suivent montrent également que γ = 1 + T/mc 2 , où T représente l ’énergie cinétique d ’une
avant
pA
A B

après
θ
pA ϕ
règle : ϕ + θ = 90°
B
F I G U R E 34 Une règle très utile pour jouer au billard non relativiste.
caractérisant la difficulté à accélérer un corps, et elle peut toujours être utilisée pour des
ensembles de corps.
En suivant l ’exemple de la physique galiléenne, nous appelons la quantité
p = γmv (31)
le vecteur quantité de mouvement relativiste (linéaire) d ’une particule. À nouveau, la

quantité de mouvement totale est une quantité conservée pour tout système n’étant pas
sujet à des influences externes, et cette conservation est une conséquence directe de la
manière dont la masse est définie.
Pour des vitesses faibles, où γ ≈ 1, la quantité de mouvement relativiste est identique à
celle de la physique galiléenne, et est proportionnelle à la vitesse. Mais pour des vitesses
élevées, la quantité de mouvement augmente plus vite que la vitesse, convergeant vers
l ’ infini lorsqu ’elle s’approche de la vitesse de la lumière.
Pourquoi le jeu du billard relativiste est plus difficile

Il existe une propriété bien connue qui concerne les collisions entre une sphère ou
une particule en mouvement et une autre au repos de même masse, et qui est primor-
diale lorsque nous jouons au billard, ou snooker. À l ’ issue d ’une telle collision, les deux
sphères s’en iront en formant un angle droit l ’une par rapport à l ’autre, comme indiqué
dans la Figure 34.
Toutefois, les expériences montrent que la règle de l ’angle droit ne s’applique pas aux
collisions relativistes. En fait, en utilisant la conservation de la quantité de mouvement,
Défi 72 e et en faisant preuve d ’un peu de dextérité, vous pouvez calculer que
tan θ tan φ =
2
, (32)
γ+1
où les angles sont définis dans la Figure 35. Il apparaît que la somme φ + θ est plus petite
que l ’angle droit dans le cas relativiste. Des vitesses relativistes modifient ainsi complè-
tement la donne au jeu du billard. En réalité, chaque physicien des accélérateurs le sait :
Défi 71 e particule.
θ
ϕ
faisceau de particules accélérées cible détecteur

F I G U R E 35 Les dimensions des détecteurs dans les accélérateurs de particules sont fondées sur la règle
de l’angle du billard relativiste.
pour des électrons ou des protons, ces angles peuvent facilement être déduits à partir
des photographies prises dans les chambres à brouillard, lesquelles indiquent les traces
laissées par les particules lorsqu ’elles les traversent. Toutes ces photographies confirment
Réf. 22 l ’expression ci-dessus. En fait, les formes des détecteurs sont choisies en fonction de l ’ex-
pression (32), comme esquissé sur la Figure 35. Si cette formule – et la relativité – était
fausse, la plupart de ces détecteurs ne pourraient pas fonctionner, puisqu ’ ils manque-
raient la plupart des particules après la collision. En fait, ces expériences prouvent égale-
Défi 73 pe ment la validité de la formule de la composition des vitesses. Pouvez-vous le montrer ?
L a masse est de l ’ énergie concentrée

Revenons à la collision inélastique et colinéaire de la Figure 33. Quelle est la masse M
Défi 74 s du système à l ’arrivée ? Le calcul montre que
√
M/m = 2(1 + γv ) > 2 . (33)
En d ’autres termes, la masse du système final est plus grande que la somme des deux
masses m originales. Par opposition à la mécanique galiléenne, la somme de toutes les
masses dans un système n’est pas une quantité conservée. Seule la somme ∑ i γ i m i des
masses corrigées est conservée.
La relativité fournit la réponse à cet embarras. Tout rentre dans l ’ordre si, pour
l ’ énergie E d ’un objet de masse m et de vitesse v, nous utilisons l ’expression
mc 2
E = γmc 2 = √ , (34)
1 − v 2 /c 2
en l ’appliquant à la fois au système tout entier et à chacun de ses constituants. La conser-

vation de la masse corrigée peut alors être vue comme étant la conservation de l ’énergie,
simplement sans le facteur c 2 . Dans l ’exemple des deux masses identiques collées l ’une
à l ’autre, les deux particules sont décrites chacune par la masse et l ’énergie, et le système
résultant possède une énergie E donnée par la somme des énergies des deux particules.
En particulier, il en résulte que l ’énergie E 0 d ’un corps au repos et sa masse m sont reliées
par
E 0 = mc 2 , (35)
ce qui est probablement la découverte la plus admirable et la plus célèbre de la physique

moderne. Puisque c 2 est si grand, nous pouvons dire que la masse est de l ’énergie concen-

trée. En d ’autres termes, la relativité restreinte exprime que chaque masse possède de
l ’énergie, et que chaque forme d ’énergie contenue dans un système possède une masse.
L’accroissement de l ’énergie d ’un système entraîne l ’augmentation de sa masse, et la
diminution du contenu en énergie conduit à une diminution de la masse. En bref, si une
bombe explose à l ’ intérieur d ’une boîte fermée, la masse, le poids et la quantité de mou-
vement de la boîte sont les mêmes avant et après l ’explosion, mais la masse cumulée des
décombres à l ’ intérieur de la boîte sera plus petite qu ’auparavant. Toutes les bombes –
pas seulement les nucléaires – tirent donc leur énergie d ’une réduction de la masse. De
même, chaque action réalisée par un système – tels une caresse, un sourire ou un regard
– tire son énergie d ’une diminution de la masse.
L’énergie cinétique T est donc donnée par
1 ⋅ 3 v4 1 ⋅ 3 ⋅ 5 v6
T = γmc 2 − mc 2 = mv 2 +
1
m + m + ... (36)
2 2 ⋅ 4 c2 2 ⋅ 4 ⋅ 6 c4
Défi 75 e (en utilisant la formule du binôme de Newton) laquelle se réduit à l ’expression galiléenne
uniquement pour des petites vitesses.
L’ équivalence masse–énergie E = γmc 2 implique que le prélèvement de n’ importe
quelle énergie sur la matière conduit à une diminution de sa masse. Lorsqu ’une personne
joue du piano, réfléchit ou court, sa masse décroît. Lorsqu ’une tasse de thé refroidit ou
qu ’une étoile brille, leur masse décroît. L’équivalence masse–énergie s’ immisce partout
dans la nature.
Par ailleurs, nous devons faire attention de bien distinguer la transformation de la
masse en énergie de la transformation de la matière en énergie. Cette dernière est beau-
Défi 76 s coup plus rare. Pouvez-vous en fournir quelques exemples ?
La relation masse–énergie (34) implique la mort de nombreux récits fantaisistes de
science-fiction. Elle signifie qu ’ il n’existe pas de sources d ’énergie non découvertes sur
ou près de la Terre. Si de telles sources existaient, elles seraient mesurables à travers leur
masse. De nombreuses expériences ont recherché de tels effets, et sont toujours en train
de le faire, en vain. Il n’y a pas d ’ énergie gratuite disponible dans la nature*.
La relation masse–énergie m = E 0 /c 2 implique également que nous avons besoin d ’en-
viron 90 mille millions kJ (ou 21 mille millions kcal) pour accroître notre poids d ’un seul
gramme. Bien entendu, les diététiciens ont des opinions légèrement divergentes sur cette
question ! En fait, les êtres humains obtiennent leur énergie quotidienne à partir des sub-
stances qu ’ ils mangent, boivent et respirent en réduisant cette masse cumulée avant de
l ’expulser. Cependant, ce défaut de masse chimique survenant lorsque du combustible est
consommé ne peut pas toujours être mesuré en pesant la matière avant et après la réac-
tion : la différence est extrêmement petite, à cause du facteur de conversion impliqué qui
* Il est possible qu ’ il existe deux formes d ’énergie extrêmement diluées et non encore découvertes, que l ’on
appelle la matière noire et (de façon confuse) l ’ énergie sombre, éparpillées partout dans l ’univers. Elles sont
Page 201 déduites de mesures de masses (quoique laborieuses). Cette énigme n’a pas encore été résolue.
est énorme. En réalité, pour toutes les réactions chimiques, les énergies de liaison sont
d ’environ 1 aJ (6 eV) par liaison : cela donne une variation de poids de l ’ordre d ’une par-
tie pour 1010 , trop imperceptible pour être mesurée par des individus qui se pèsent ou
pour déterminer les différences de masse entre les aliments et les excréments. Par consé-
quent, pour des processus chimiques courants, la masse peut être considérée comme

étant constante, en accord avec la physique galiléenne.
L’équivalence masse–énergie a été confirmée par toutes les expériences réalisées jus-
qu ’à ce jour. Le procédé de mesure utilisé pour le défaut de masse nucléaire est celui qui
est le plus simple. L’expérience la plus précise, depuis 2005, a confirmé la relation masse–
énergie jusqu ’à plus de 6 décimales, en comparant d ’une part la différence de masse de
noyaux avant et après la capture de neutrons, et d ’autre part l ’énergie émise par le rayon
Réf. 56 gamma.
Des méthodes modernes de mesure de la masse de molécules uniques ont même per-
mis de mesurer le défaut de masse chimique, en comparant la masse d ’une seule molécule
par rapport à celle de ses atomes constitutifs. Le groupe de David Pritchard a développé
les pièges de Penning, qui permettent de déterminer les masses à partir des mesures de
fréquence. La précision accessible par ces expériences de résonance cyclotron est suffi-
Réf. 57 sante pour confirmer la relation ∆E 0 = ∆mc 2 pour les liaisons chimiques. À l ’avenir,
une précision accrue permettra même de déterminer des énergies de liaison de cette ma-
nière avec exactitude. Puisque l ’énergie de liaison est souvent rayonnée sous forme de
lumière, nous pouvons dire que ces techniques modernes permettent de peser la lumière.
La première dérivation d ’ Einstein de la relation masse–énergie était fondée sur la
réflexion qu ’ il mena à propos de la lumière et de sa masse. Lorsqu ’un objet émet deux
rayons lumineux identiques dans des directions opposées, son énergie décroît de la quan-
tité émise. Puisque les deux rayons lumineux sont identiques en énergie et en quantité de
mouvement, le corps ne se déplace pas. Si nous décrivons la même situation du point de
vue d ’un observateur en mouvement, nous déduisons à nouveau que l ’ énergie au repos
Défi 77 e de cet objet est
E 0 = mc 2 . (37)
En résumé, tous les processus physiques, y compris les collisions, nécessitent un traite-
ment relativiste à chaque fois que l ’énergie concernée représente une portion assez im-
portante de l ’énergie au repos.
Toute augmentation de l ’énergie entraîne une augmentation de la masse. Par consé-
quent, le fait de chauffer un corps le rend également plus lourd. Cependant, cet effet est
si ténu que personne ne l ’a mesuré jusqu ’à ce jour. C ’est un défi pour les expériences
futures de pouvoir le réaliser un jour.
Comment l ’énergie et la quantité de mouvement sont-elles reliées ? Les définitions de
la quantité de mouvement (31) et de l ’énergie (34) conduisent à deux relations fondamen-
Défi 78 e tales. En premier lieu, leurs grandeurs sont reliées par
m 2 c 4 = E 2 − p2 c 2 (38)
pour tous les systèmes relativistes, qu ’ ils soient des objets ou, comme nous le verrons
ci-après, du rayonnement. Pour le vecteur de la quantité de mouvement, nous obtenons
temps t τ
E'2 p'2
E'1 p'1
E

p
E2 p2
E1 p1
objet 1
objet 2 objet 1 objet 2
espace x ξ
F I G U R E 36 Diagramme d’espace-temps d’une collision pour deux observateurs.
l ’autre relation importante
p=
E
v, (39)
c2
qui est également valide pour n’ importe quel type d ’énergie en mouvement, qu ’ il soit
Défi 79 e un objet, un rayon ou une pulsation de rayonnement*. Nous utiliserons souvent ces deux
relations dans le reste de notre ascension de la Montagne Mouvement, et en particulier
dans la discussion qui suit.
C ollisions, objets virtuels et tachyons

Nous venons juste de voir que, dans le cas des collisions relativistes, la conservation
de l ’énergie et celle de la quantité de mouvement totale sont des conséquences implicites
de la définition de la masse. Analysons maintenant les collisions plus en détail, en utili-
sant ces nouveaux concepts. Une collision est un processus, c ’est-à-dire une succession
d ’événements, pour lequel
— la quantité de mouvement totale avant l ’ interaction et après l ’ interaction reste la
même,
— la quantité de mouvement est échangée dans une petite région de l ’espace-temps,
— pour des vitesses faibles, la description galiléenne demeure valide.
Dans la vie quotidienne un choc, c ’est-à-dire une interaction de courte distance, est l ’évé-
nement par lequel deux objets modifient leur quantité de mouvement. Mais ces deux
objets qui se heurtent sont situés en des points différents lorsque cela se produit. Une
Réf. 58 collision est par conséquent décrite par un diagramme d ’espace-temps tel que celui de
gauche dans la Figure 36, évocateur de la constellation d ’ Orion. Il est facile de vérifier
que le processus décrit par un tel diagramme est une collision en accord avec la définition
Défi 80 e donnée ci-dessus.
La partie droite de la Figure 36 représente le même processus vu dans un autre ré-
férentiel, grec. L’observateur grec affirme que le premier objet a modifié sa quantité de
* En notation quadrivectorielle, nous pouvons écrire v/c = P/P0 , où P0 = E/c.
mouvement avant le second. Cela signifie que durant un court intervalle de temps l ’éner-
gie et la quantité de mouvement ne seraient pas conservées !
La seule manière de donner un sens à cette situation est de supposer qu ’ il y a échange
d ’un troisième objet, représenté par une ligne en pointillés. Découvrons quelles sont les
propriétés de ce troisième objet. Si nous notons les masses, les énergies et les quantités

de mouvement des deux corps à l ’aide d ’un indice numérique inférieur, et si nous les
Défi 81 e notons prime après la collision, la masse inconnue m vérifie
1 − v 1 v 1′
m 2 c 4 = (E 1 − E 1′ )2 − (p1 − p′1 )2 c 2 = 2m 21 c 4 − 2E 1 E 1′ ( )<0. (40)
c2
C ’est un résultat étrange, parce qu ’ il signifie que la masse inconnue est un nombre ima-
ginaire* ! Par-dessus tout, nous voyons aussi tout de suite, d ’après le deuxième graphique,
que l ’objet échangé avance plus vite que la lumière. C ’est un tachyon, d ’après le mot grec
ταχύς « rapide ». En d ’autres termes, les collisions impliquent l ’existence d ’un mouve-
ment plus rapide que la lumière ! Nous verrons plus tard que les collisions sont en réalité
les seuls processus où les tachyons jouent un rôle dans la nature. Puisque les objets échan-
gés n’apparaissent que pendant les collisions, et jamais en tant que tels, ils sont appelés
des objets virtuels, pour les distinguer des objets réels usuels, et peuvent se déplacer li-
brement sans aucune restriction**. Nous étudierons leurs propriétés un peu plus tard,
lorsque nous viendrons à discuter de la théorie quantique.
Dans la nature, un tachyon est toujours un objet virtuel. Les objets réels sont des bra-
dyons – d ’après la racine grecque βραδύς « lent » – ou objets se déplaçant moins vite
que la lumière. Remarquez d ’une part que les tachyons, en dépit de leur extrême célérité,
n’autorisent pas un transport de l ’énergie qui soit plus rapide que la lumière, et d ’autre
part qu ’ ils ne violent pas le principe de causalité si, et seulement si, ils sont émis ou
Défi 82 pe absorbés avec une probabilité identique. Pouvez-vous confirmer tout cela ?
Lorsque nous étudierons la théorie quantique, nous découvrirons également qu ’une
interaction de contact entre des objets est décrite en général non par l ’échange d ’un
unique objet virtuel, mais par un flux continu de particules virtuelles. Pour des collisions
courantes entre des objets familiers, l ’ interaction se révèle être d ’origine électromagné-
tique. Dans ce cas, les particules échangées sont des photons virtuels. En d ’autres termes,
quand notre main touche une autre main, quand elle pousse une pierre, ou quand une
montagne soutient les arbres qui poussent sur ses flancs, des flux de photons virtuels sont
Page ?? continuellement échangés.
√ de modifier les relations

* Il est courant √ masse–énergie et masse–quantité de mouvement des tachyons en
E = ±mc 2 / v 2 /c 2 − 1 et p = ±mv/ v 2 /c 2 − 1 : cela revient à redéfinir m. Après cette redéfinition, les
tachyons possèdent une masse réelle. Les relations de l ’énergie et de la quantité de mouvement montrent
que les tachyons perdent de l ’énergie et de la quantité de mouvement lorsqu ’ ils vont plus vite. (De façon
déconcertante, un unique tachyon situé dans une boîte pourrait nous fournir toute l ’énergie que nous sou-
haiterions.) Les deux signes pour ces relations de l ’énergie et de la quantité de mouvement doivent être
maintenus, parce que sinon l ’équivalence entre tous les observateurs inertiels ne serait pas vérifiée. Les ta-
chyons ne possèdent donc pas une énergie minimale ou une quantité de mouvement minimale.
** Plus précisément, une particule virtuelle n’obéit pas à la relation m2 c 4 = E 2 − p2 c 2 , valide pour les parti-
cules réelles.
A CM-0 B
v v
CdM transformé
A CM-1 B

v=0 v 2v/(1+v2/c2 )
CdM géométrique
A CM-2 B
v=0 2 2 2v/(1+v2/c2 )
v/(1+v /c )
CdM de la quantité de mouvement
A CM-3 B
v=0 2 2 1/2 2v/(1+v2/c2 )

v/(1- v /c )
F I G U R E 37 Il n’existe aucune manière de définir un centre de masse relativiste.
Il existe un autre secret dissimulé dans les collisions. Dans la partie droite de la Fi-
gure 36, le tachyon est émis par le premier objet et absorbé par le second. Toutefois, il est
Défi 83 s facile d ’ imaginer un observateur pour lequel la situation opposée se produit. En bref, la
direction de la trajectoire d ’un tachyon dépend de l ’observateur ! En réalité, c ’est une al-
lusion à l ’ antimatière. Dans les diagrammes d ’espace-temps, la matière et l ’antimatière
voyagent dans des directions opposées. Le lien entre la relativité et l ’antimatière devien-
Page ?? dra également plus flagrant dans la théorie quantique.
Systèmes de particules – absence de centre de masse

La relativité nous oblige également à abandonner le concept de centre de masse qui
nous est cher. Nous pouvons déjà le remarquer en prenant l ’exemple le plus simple pos-
sible : celui de deux objets identiques qui se heurtent.
La Figure 37 montre que, à partir du point de vue où une des deux particules inci-
dentes est au repos, il existe au moins trois manières différentes pour définir le centre de
masse. En d ’autres termes, le centre de masse n’est pas un concept invariant par rapport
Réf. 59 à l ’observateur. Nous pouvons déduire à partir de la figure que cette notion a un sens uni-
quement pour des systèmes dont les constituants se déplacent avec des vitesses faibles les
uns par rapport aux autres. Pour des systèmes plus généraux, le centre de masse n’est pas
définissable de manière unique. Cela représentera-t-il une entrave dans notre ascension ?
Non. Nous sommes plus attachés au mouvement de particules prises séparément qu ’à
celui d ’objets ou de systèmes composés.
Pourquoi la plupart des mouvements sont-ils si lents ?

Pour la plupart des systèmes courants, les intervalles de temps mesurés par deux obser-
vateurs distincts sont pratiquement égaux ; ce n’est que pour des vitesses relatives élevées,
typiquement de plus de quelques pour cent de la vitesse de la lumière, qu ’une différence
perceptible se fait ressentir. La plupart de ces situations sont microscopiques. Nous avons

déjà mentionné le cas des électrons à l ’ intérieur du tube d ’un téléviseur ou dans un
accélérateur de particules. Les particules issues des rayons cosmiques en sont un autre
exemple : leur énergie phénoménale a entraîné un grand nombre de mutations qui sont
à la base de l ’évolution des animaux et des plantes sur notre planète. Nous découvrirons
plus loin que les particules impliquées dans la radioactivité sont également relativistes.
Mais pourquoi n’observons-nous jamais de corps macroscopique rapide ? Des corps
mobiles, y compris des observateurs, ayant des vitesses relativistes possèdent une pro-
priété qu ’on ne rencontre pas dans la vie quotidienne : lorsqu ’ ils sont impliqués dans
une collision, une partie de leur énergie est convertie en matière nouvelle via E = γmc 2 .
Dans l ’ histoire du cosmos cela est survenu si fréquemment que pratiquement tous les
corps qui sont demeurés en mouvement relativiste sont des particules microscopiques.
Une deuxième raison qui explique la disparition du mouvement relativement rapide
est l ’amortissement par rayonnement. Pouvez-vous imaginer ce qui survient aux charges
Défi 84 s électriques pendant les collisions, ou dans un bain de lumière ?
En résumé, presque toute la matière contenue dans l ’univers se déplace à des vitesses
relativement petites par rapport à la matière restante. Les quelques contre-exemples
connus sont soit très anciens, comme les jets issus des quasars déjà mentionnés, soit
cessent après un court laps de temps. Les énergies colossales nécessaires pour le mou-
vement relativiste macroscopique sont toujours rencontrées dans les explosions de su-
pernovae, mais elles cessent d ’exister après quelques semaines seulement. Finalement,
l ’ univers est principalement empli de mouvement lent parce qu ’ il est vieux. Nous déter-
Page 210 minerons son âge bientôt.
L’ histoire de la formule de l ’ équivalence masse–énergie de De

Pret to et Einstein
Il a fallu plusieurs mois à Albert Einstein, après la parution de son premier article sur
la relativité restreinte, avant de déduire l ’expression
E = γmc 2 (41)
laquelle est souvent considérée comme étant la plus célèbre formule de la physique. Il la
Réf. 11 publia dans un deuxième article indépendant vers la fin de l ’an 1905. Indubitablement,
cette formule aurait pu être révélée une trentaine d ’années plus tôt, à partir de la théorie
de l ’électromagnétisme.
En fait, au moins une personne déduisit ce résultat avant Einstein. En 1903 et 1904,
avant le premier article d ’ Einstein sur la relativité, un ingénieur italien peu connu,
Olinto De Pretto, fut le premier à calculer, discuter et publier la formule E = mc 2 *. Il se
pourrait qu ’ Einstein ait eu cette idée à partir de la formule de De Pretto, probablement
* Umberto Bartocci, professeur de mathématiques à l ’université de Pérouse en Italie, publia les détails
de cette surprenante histoire dans plusieurs articles. Le récit complet se trouve dans son ouvrage Um-
re
cô
iè
futur
ne
T
m
lu
de
de
lu
m
ne
iè
cô
re

E ailleurs y
passé
F I G U R E 38 Le diagramme d’espace-temps d’un objet mobile T.
par le biais de Michele Besso, un de ses amis, ou d ’autres amis de langue italienne qu ’ il
avait rencontrés lorsqu ’ il rendait visite à ses parents, qui habitaient en Italie à l ’époque.
Bien sûr, l ’ importance des efforts d ’ Einstein n’en est pas diminuée pour autant.
En fait, une formule similaire avait également été déduite en 1904 par Friedrich Ha-
Réf. 60 senöhrl et publiée encore une fois dans Annalen der Physik en 1905, avant Einstein,
quoique avec un facteur numérique erroné, à cause d ’une erreur de calcul. La formule
E = mc 2 constitue également une partie des diverses expressions situées dans deux pu-
blications d ’ Henri Poincaré en 1900. Le véritable héros de l ’ histoire pourrait aussi bien
être Tolver Preston, qui dissertait déjà sur l ’équivalence entre la masse et l ’énergie en
1875, dans son livre Physics of the Ether. L’équivalence masse–énergie flottait donc en
réalité dans l ’air du temps, attendant tout simplement d ’être révélée.
Dans les années 1970, il y eut une histoire similaire : une relation élémentaire entre l ’ac-
célération gravitationnelle et la température du vide fut mise en lumière. Ce résultat avait
attendu pendant plus de 50 ans avant d ’être découvert. En réalité, un grand nombre de
résultats similaires et antérieurs étaient consignés dans la littérature. D’autres relations
élémentaires pourraient-elles être cachées dans la physique moderne, attendant d ’être
Défi 85 s révélées ?
Q uadrivecteurs
Pour décrire le mouvement de manière cohérente pour tous les observateurs, nous
devons introduire quelques nouveaux objets mathématiques. Avant tout, le mouvement
des particules est perçu comme étant une succession d ’événements. Pour décrire les évé-
nements avec précision, nous utilisons des coordonnées événementielles, également ap-
pelées éléments à quatre coordonnées. Ils sont notés comme suit
X = (ct, x) = (ct, x, y, z) = X i . (42)
berto Bartocci, Albert Einstein e Olinto De Pretto : la vera storia della formula più famosa del mondo,
Ultreja, 1998.
De cette manière, un événement est un point dans l ’espace-temps quadridimensionnel et

est décrit par quatre coordonnées. Les coordonnées sont énumérées ainsi : celui d ’ indice
zéro, à savoir le temps X 0 = ct, d ’ indice 1, généralement X 1 = x, d ’ indice 2, X 2 = y, et
d ’ indice 3, X 3 = z. Nous pouvons alors définir une distance d entre des événements
comme étant la longueur du vecteur différence. En fait, nous utilisons généralement le

carré de la longueur, pour éviter ces racines carrées peu maniables. En relativité restreinte,
la grandeur (« longueur au carré ») d ’un vecteur est toujours définie par
XX = X 0 2 − X 1 2 − X 2 2 − X 3 2 = ct 2 − x 2 − y 2 − z 2 = X a X a = η ab X a X b = η ab X a X b .(43)
Dans cette équation nous avons introduit pour la première fois deux notations qui sont
utiles en relativité. En premier lieu, nous sommons automatiquement et implicitement
sur les indices répétés. Ainsi, X a X a représente la somme de tous les produits X a X a si a
est un indice qui prend toutes les valeurs de l ’ intervalle. Deuxièmement, pour chaque
quadrivecteur X nous discernons deux manières d ’écrire les coordonnées, à savoir les
coordonnées avec les indices en position haute et les coordonnées avec les indices en
position basse. (En trois dimensions, nous utilisons uniquement des indices inférieurs.)
Elles sont reliées par la relation générale
X a = η ab X b = (ct, −x, −y, −z) , (44)
où nous avons introduit la métrique η ab , une abréviation de la matrice*
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜0 −1 0 0⎟
η ab = η ab =⎜ ⎟ .
⎜0 0 −1 0⎟
(45)
⎝0 0 0 −1⎠
Ne paniquez pas : ce sera tout, et ce ne sera pas plus compliqué ! Revenons maintenant à
la physique.
La grandeur d ’un vecteur position, ou distance, également nommé intervalle
d ’espace-temps, est essentiellement égale au temps propre multiplié par c. Le temps
propre est le temps indiqué par une horloge se déplaçant en ligne droite et avec une
vitesse constante depuis le point de départ jusqu ’au point d ’arrivée dans l ’espace-temps.
La différence par rapport aux vecteurs classiques (trivecteurs) est que la grandeur de
l ’ intervalle peut être positive, négative ou même nulle. Par exemple, si les points de
départ et d ’arrivée dans l ’espace-temps réclament un mouvement à la vitesse de la
Page 40 lumière, le temps propre est nul (cela est requis pour des vecteurs nuls). Si le mouve-
ment est plus lent que la vitesse de la lumière, le temps propre au carré est positif et la
distance est du genre temps. Pour des intervalles négatifs et donc des temps propres
imaginaires, la distance est du genre espace**. Un tour d ’ horizon simplifié en est donné
par la Figure 38.
* Remarquez que 30 % de tous les manuels de physique emploient la valeur négative de η pour la métrique,
ce que l ’on appelle la convention de genre espace, et emploient donc des signes opposés à cette définition.
Dans ce texte, comme dans les 70 % des textes de physique, nous utilisons la convention de genre temps.
** Dans le dernier cas, la valeur négative de la grandeur, laquelle est un nombre positif, est appelée la distance
Nous sommes maintenant capables de calculer et de mesurer le mouvement en quatre

dimensions. Les mesures sont fondées sur une seule idée centrale. Nous ne pouvons pas
définir la vitesse d ’une particule comme la dérivée de ses coordonnées par rapport au
temps, puisque le temps et les intervalles de temps dépendent de l ’observateur. La solu-
tion consiste à définir toutes les observables en fonction du temps propre τ mentionné

juste ci-dessus, qui est défini comme étant le temps indiqué par une horloge attachée à
l ’objet. En relativité, le mouvement et le changement sont toujours mesurés par rapport
à des horloges fixées au système en mouvement. En particulier, la vitesse relativiste ou
quadrivitesse U d ’un corps est définie comme étant la variation infinitésimale des quatre
coordonnées, ou coordonnées événementielles, X = (ct, x) par rapport au temps propre,
c ’est-à-dire comme
U = dX/dτ . (46)
Les coordonnées X sont mesurées dans le système de coordonnées défini par l ’observa-
teur inertiel choisi. La valeur de la vitesse U dépend de l ’observateur ou du système de
coordonnées utilisé ; ainsi la vitesse dépend de l ’observateur, comme c ’est le cas dans la
vie quotidienne. En utilisant dt = γ dτ et donc
= =γ , où comme d ’ habitude γ = √
dx dx dt dx 1
, (47)
dτ dt dτ dt 1 − v 2 /c 2
nous obtenons la relation avec la vitesse classique v = dx/dt :
u 0 = γc , u i = γv i ou U = (γc, γv) . (48)
Pour des vitesses faibles nous avons γ ≈ 1, et donc les trois dernières composantes de la
quadrivitesse sont celles de la vitesse galiléenne usuelle. Pour la norme de la quadrivitesse
U nous trouvons UU = U a U a = η ab U a U b = c 2 , qui est par conséquent indépendant de
la norme de la vitesse v et fait de celui-ci un vecteur de genre temps, c ’est-à-dire un
vecteur situé à l ’ intérieur du cône de lumière*.
Remarquez que la grandeur d ’un quadrivecteur peut être nulle bien que toutes ses
composantes soient différentes de zéro. Un tel vecteur est qualifié de nul. Quels mouve-
Défi 87 s ments possèdent un vecteur vitesse nul ?
propre au carré. La distance propre est la longueur mesurée par un odomètre si l ’objet se déplace avec celui-
ci.
* En général, un quadrivecteur est défini comme étant une quantité (h0 , h1 , h2 , h3 ) qui se transforme de la
manière suivante
h′0 = γ V (h0 − h1 V /c)

h1 = γ V (h1 − h0 V /c)
′
h′2 = h2
h′3 = h3 (49)
quand on passe d ’un observateur inertiel à un autre se déplaçant avec une vitesse relative V dans la direction
x. Les généralisations correspondantes pour les autres coordonnées peuvent en être déduites. Cette relation
nous permet d ’ inférer les lois de transformation pour n’ importe quel trivecteur. Pouvez-vous déduire la
Défi 86 s formule de composition des vitesses (9) à partir de cette définition, en l ’appliquant à la quadrivitesse ?
De manière identique, l ’ accélération relativiste ou quadri-accélération B d ’un corps

est définie comme suit
B = dU/dτ = d2 X/dτ 2 . (50)
En utilisant dγ/dτ = γdγ/dt = γ 4 va/c 2 , nous obtenons les relations suivantes entre les
quatre composantes de B et l ’accélération a = dv/dt :

Réf. 61
(va)v i
B0 = γ4 B i = γ2 a i + γ4
va
, . (51)
c c2
La grandeur b de la quadri-accélération est facilement retrouvée via BB = η cd B c B d

= −γ 4 (a 2 + γ 2 (va)2 /c 2 ) = −γ 6 (a 2 − (v × a)2 /c 2 ). Remarquez qu ’elle dépend de la valeur
de l ’accélération a. La grandeur de la quadri-accélération est aussi appelée l ’accélération
propre car B2 = −a 2 si v = 0. (Quel est le rapport qui existe entre la quadri-accélération et
Défi 88 s la tri-accélération pour un observateur se déplaçant à la même vitesse que l ’objet ?) Nous
notons que la quadri-accélération se trouve à l ’extérieur du cône de lumière, c ’est-à-dire
qu ’ il est un vecteur de genre espace, et que BU = η cd B c U d = 0, ce qui signifie que la
quadri-accélération est toujours perpendiculaire à la quadrivitesse*. Nous remarquons
également que les accélérations, contrairement aux vitesses, ne peuvent pas être quali-
fiées de relativistes : la différence entre b i et a i , ou entre leurs deux normes, ne dépend
pas de la valeur de a i , mais uniquement de la valeur de la vitesse v. En d ’autres termes,
les accélérations nécessitent un traitement relativiste seulement lorsque les vitesses impli-
quées sont relativistes. Si les vitesses concernées sont faibles, les plus fortes accélérations
peuvent quand même être traitées à l ’aide des méthodes galiléennes.
Quand l ’accélération a est parallèle à la vitesse v, nous obtenons B = γ 3 a, quand a est
perpendiculaire à v, comme dans le cas du mouvement circulaire, nous obtenons B = γ 2 a.
Page 79 Nous réutiliserons ce résultat plus loin.
Q uantité de mouvement relativiste

Pour décrire le mouvement, nous avons également besoin du concept de quantité de
mouvement. La quantité de mouvement relativiste ou quadri-impulsion** est définie par
P = mU (54)
* De façon similaire, le jerk relativiste (dérivée de l ’accélération par rapport au temps) ou quadri-jerk J d ’un
corps est défini par
J = dB/dτ = d2 U/dτ 2 . (52)
Défi 89 e Pour la relation avec le tri-jerk j = da/dt nous obtenons alors
γ5 (va)2 γ5 (va)2 v i
J = (J 0 , J i ) = ( (jv + a 2 + 4γ 2 2 ) , γ 3 j i + 2 ((jv)v i + a 2 v i + 4γ 2 + 3(va)a i ) ) (53)
c c c c2
Défi 90 pe que nous utiliserons un peu plus tard. De façon étonnante, J ne s’annule pas lorsque j s’annule. Pourquoi ?
** Comme nous l ’avons déjà souligné dans le premier chapitre, le terme impulsion est utilisé abusivement
en relativité pour désigner la quantité de mouvement (quadri-impulsion, impulsion–énergie, etc.) : en toute
rigueur, il faudrait dire quadri-quantité de mouvement et quantité de mouvement–énergie. [N.d.T.]
temps
(E/c , p)

espace
F I G U R E 39 L’impulsion–énergie est tangente à la ligne d’univers.
et est par conséquent associée à la quantité de mouvement p par
P = (γmc, γmv) = (E/c, p) . (55)
Pour cette raison la quantité de mouvement relativiste est également appelée quadrivec-
teur impulsion–énergie. En bref, la quantité de mouvement relativiste d’un corps est don-
née par sa masse multipliée par le quadri-déplacement par unité de temps propre. C ’est la
définition la plus simple possible de la quantité de mouvement et de l ’énergie. Ce concept
fut introduit par Max Planck en 1906. Le quadrivecteur impulsion–énergie, appelé éga-
lement 4-moment, est tangent à la ligne d ’univers d ’une particule, de même que la qua-
drivitesse. Cette correspondance, indiquée dans la Figure 39, découle directement de la
définition, puisque
(E/c, p) = (γmc, γmv) = m(γc, γv) = m(dt/dτ, dx/dτ) . (56)
La longueur (au carré) du 4-moment, à savoir PP = η ab P a P b , est par définition la même

pour tous les observateurs inertiels, on montre qu ’elle vaut
E 2 /c 2 − p2 = m 2 c 2 , (57)
confirmant ainsi un résultat donné plus haut. Nous avons déjà mentionné que des éner-
gies ou des situations sont qualifiées de relativistes si l ’énergie cinétique T = E − E 0 n’est
pas négligeable lorsque nous la comparons à l ’énergie au repos E 0 = mc 2 . Une particule
dont l ’énergie cinétique est beaucoup plus élevée que sa masse inertielle est dite ultra-
relativiste. Les particules rencontrées dans les accélérateurs ou dans les rayons cosmiques
Défi 91 s tombent dans cette catégorie. (Quelle est leur relation impulsion–énergie ?)
Par opposition à la mécanique galiléenne, la relativité suggère l ’existence d ’un zéro
absolu pour l ’énergie. Nous ne pouvons pas extraire plus d ’énergie que mc 2 d ’un sys-
tème ou d ’une masse m. En particulier, une valeur nulle pour l ’énergie potentielle est
fixée de cette manière. En bref, la relativité indique que l ’énergie est limitée par le bas.
Remarquez que par le mot « masse » m nous voulons toujours parler de ce que nous
dénommons parfois la masse inertielle. Ce nom dérive de la mauvaise habitude de nom-

breuses sciences-fictions et des manuels de l ’enseignement secondaire à appeler le pro-
duit γm une masse relativiste. Les chercheurs dans ce domaine rejettent généralement
Réf. 62 (mais pas à l ’unanimité) ce point de vue, comme le fit Einstein lui-même, et ils réfutent
également l ’expression « la masse (relativiste) augmente avec la vitesse », que l ’on en-

tend souvent. La masse relativiste et l ’énergie seraient alors deux manières d ’exprimer
la même chose : cette façon de s’exprimer est du ressort de la presse à sensation.
Toute l ’énergie galiléenne ne contribue pas forcément à la masse. Par exemple, l ’éner-
gie potentielle d ’un champ externe n’y participe pas. La relativité nous oblige à tenir
une comptabilité précise de l ’énergie. L’ « énergie potentielle » en relativité est une forme
raccourcie pour dire « la réduction d ’énergie du champ externe ».
Pouvez-vous montrer que, pour deux particules de quantités de mouvement P1 et P2 ,
Défi 92 s nous avons P1 P2 = m 1 E 2 = M 2 E 1 = c 2 γv 12 m 1 m 2 , où v 12 est leur vitesse relative ?
Q uadriforce
La quadriforce K est définie par
K = dP/dτ = mB . (58)
Par conséquent, en relativité, la force reste égale à la masse fois l ’accélération. À partir
Réf. 61, Réf. 63 de la définition de K nous déduisons la relation avec la force classique f = dp/dt =
md(γv)/dt, à savoir*
K = (K 0 , K i ) = (γ 4 mva/c, γ 2 ma i + γ 4 v i )=( , γ ) = (γ , γf) .

mva γ dE dp fv
(59)
c 2 c dt dt c
Défi 94 e La quadriforce, comme la quadri-accélération, est perpendiculaire à la quadrivitesse. La
signification de la composante d ’ indice zéro de la quadriforce peut facilement être dis-
tinguée : c ’est la puissance requise pour accélérer l ’objet. Nous avons KU = c 2 dm/dτ =
γ 2 (dE/dt − fv) : c ’est le rapport adéquat par lequel l ’énergie interne d ’un système aug-
mente. Le produit KU s’annule uniquement pour des forces qui conservent la masse
inertielle. Les collisions de particules qui conduisent à des réactions n’appartiennent pas
à cette classe. Dans la vie quotidienne, la masse inertielle est conservée, et nous obtenons
alors l ’expression galiléenne fv = dE/dt.
L a rotation en relativité
Si, la nuit, nous tournons sur nous-mêmes tout en regardant le ciel, les astres bougent
avec une vitesse beaucoup plus élevée que celle de la lumière. La majorité des étoiles
sont des masses, pas des images. Leur vitesse devrait être limitée par celle de la lumière.
Comment tout cela s’accorde-t-il avec la relativité restreinte ?
* Certains auteurs définissent la tri-force comme dp/dτ, K s’écrit alors de manière légèrement différente.
Dans tous les cas, il est important de remarquer qu ’en relativité la tri-force f = dp/dt est en réalité pro-
portionnelle à la tri-accélération a. Toutefois, la force et l ’accélération ne sont pas parallèles l ’une à l ’autre.
Défi 93 s En fait, pour des forces préservant la masse inertielle, nous trouvons f = γma + (fv)v/c 2 . Au contraire, en
relativité la tri-impulsion n’est pas proportionnelle à la tri-vitesse, bien qu ’elle soit parallèle à celle-ci.
A v
v
v'
F I G U R E 40 Sur la définition de la vitesse

B v'
D relative.
O3 O2 O
1
On
On–1
F I G U R E 41 Observateurs sur un objet en rotation.
Cet exemple aide à éclaircir, d ’une autre manière, ce qu ’est réellement la vitesse limite.
Physiquement parlant, une voûte céleste en rotation ne permet pas le transport d ’éner-
gie supraluminique, et donc ne contredit pas l ’ idée de vitesse limite. Mathématiquement
parlant, la vitesse de la lumière restreint les vitesses relatives uniquement entre des objets
qui sont proches les uns des autres, comme indiqué sur la partie gauche de la Figure 40.
Comparer des vitesses entre des objets éloignés n’est possible que si toutes les vitesses
concernées sont constantes au cours du temps, ce qui n’est pas le cas dans notre exemple.
La version différentielle des transformations de Lorentz rend ce point particulièrement
évident. Dans un grand nombre de situations générales, les vitesses relatives entre des
objets éloignés peuvent être supérieures à la vitesse de la lumière. Nous en avons déjà
Page 53 rencontré un exemple lors de la discussion sur la voiture dans le tunnel, et nous rencon-
Page 86 trerons bientôt quelques exemples supplémentaires.
Avec cet éclaircissement, nous pouvons dorénavant considérer succinctement la rota-
tion en relativité. La première question est de savoir comment les longueurs et les durées
varient dans un référentiel en rotation. Vous devriez pouvoir vérifier qu ’un observateur
situé dans un référentiel en rotation s’accorde avec un collègue, qui n’est pas en rota-
tion, situé sur l ’axe d ’un corps en rotation. Cependant tous les deux remarquent que
le corps en rotation, même s’ il est rigide, possède une circonférence différente de celle
Défi 95 e qu ’ il avait avant de commencer à tourner. Grossièrement dit, la valeur de π change pour
des observateurs en rotation. Le rapport entre la circonférence c et le rayon r se révèle
Défi 96 e être c/r = 2πγ : il augmente avec la vitesse de rotation. Cette conséquence non intuitive
Réf. 64 est souvent appelée le paradoxe d’ Ehrenfest. Par-dessus tout, elle indique que l ’espace-
temps pour un observateur situé sur un disque en rotation n’est pas l ’espace-temps de
Minkowski de la relativité restreinte.
Les corps en rotation se comportent de façon étrange pour plusieurs raisons. Par
exemple, nous éprouvons des difficultés lorsque nous tentons de synchroniser des hor-
loges disposées sur un disque qui tourne, comme indiqué sur la Figure 41. Si nous com-
mençons par synchroniser l ’ horloge située en O2 avec celle en O1 , et ainsi de suite, en
continuant jusqu ’à l ’ horloge On , nous remarquons que la dernière horloge n’est pas syn-
chronisée avec la première. Ce résultat est le reflet du changement dans la circonférence

cité ci-dessus. En fait, une étude attentive montre que les mesures de longueur et de du-
rée amènent tous les observateurs Ok à conclure qu ’ ils vivent dans un espace-temps en
rotation. Les disques tournants peuvent ainsi être utilisés comme une introduction à la
relativité générale, dans laquelle cette courbure et ses conséquences forment le thème
central. Nous en dirons plus à ce propos dans le prochain chapitre.
La vitesse angulaire est-elle limitée ? Oui : la vitesse tangentielle dans un référentiel
inertiel ne peut excéder celle de la lumière. Cette limite dépend donc de la taille du corps
en question, ce qui nous conduit à une énigme simple : pouvons-nous voir des objets
Défi 97 pe tournant très rapidement ?
On dit que le moment cinétique relativiste est naturellement défini comme suit :
l ab = x a pb − x b p a .
(60)
En d ’autres termes, le moment cinétique relativiste est un tenseur, et non un vecteur,

comme indiqué par ses deux indices. Le moment cinétique est conservé en relativité res-
Défi 98 pe treinte. Le moment d ’ inertie est ainsi logiquement défini comme étant le facteur de pro-
portionnalité entre la vitesse angulaire et le moment cinétique.
Certes, pour une particule en rotation, l ’énergie rotationnelle représente une fraction
de la masse inertielle. Vous devriez pouvoir calculer la fraction qu ’elle représente pour
Défi 99 pe la Terre et le Soleil. Elle n’est pas si élevée. Par ailleurs, comment feriez-vous pour déter-
Défi 100 pe miner si une particule microscopique, trop petite pour être observée, est en rotation ?
Dans la théorie de la relativité, la rotation et la translation se combinent de manière
surprenante. Imaginez un cylindre en rotation uniforme le long de son axe, telle qu ’elle
apparaît pour un observateur au repos. Comme l ’avait affirmé Max von Laue, le cylindre
sera déformé pour un observateur avançant le long de l ’axe de rotation. Pouvez-vous
Défi 101 e confirmer ce point ?
Maintenant, un dernier problème concernant la rotation. La vitesse est relative : cela
signifie que la valeur mesurée dépend de l ’observateur. Est-ce le cas également pour la
Défi 102 pe vitesse angulaire ?
Mouvement ondulatoire
En physique galiléenne, une onde est décrite par un vecteur d ’onde et par une fré-
quence. En relativité restreinte, les deux sont combinés en un quadrivecteur d ’onde,
donné par
L = ( , n) ,
1 ω
(61)
λ c
où λ représente la longueur d ’onde, ω la fréquence angulaire de l ’onde et n le vecteur

normal dans la direction de propagation. Supposons qu ’un observateur ayant une qua-
drivitesse U observe qu ’une onde L possède une fréquence ν. Montrez que
ν = LU (62)
Défi 103 pe doit être vérifié. De façon intéressante, la vitesse angulaire ω de l ’onde se transforme
d ’une manière différente de la vitesse d ’une particule, sauf dans le cas où ω = c. La

Réf. 16
formule de l ’aberration pour le mouvement ondulatoire diffère également de celle des
Défi 104 pe particules, excepté dans le cas ω = c.
Action d ’ une particule libre – comment les choses

b ougent-elles ?
Si nous désirons exposer le mouvement relativiste d ’une particule libre en termes de
Page 173 principe extrémal, nous avons besoin d ’une définition de l ’action. Nous savons déjà que
l ’action physique est une mesure du changement qui intervient dans un système. Pour
une particule libre ou en mouvement inertiel, le seul changement est celui de la cadence
du tic-tac de sa propre horloge. Par conséquent, l ’action d ’une particule libre sera pro-
portionnelle au temps propre écoulé. Afin d ’appliquer l ’unité standard de l ’énergie fois
le temps, ou Js, à l ’action, la première estimation de l ’action pour une particule libre est
S = −mc 2
τ2
∫τ1
dτ , (63)
où τ est le temps propre le long de sa trajectoire. C ’est en vérité l ’expression exacte.

Elle implique la conservation de l ’énergie et de l ’ impulsion (relativiste), puisque la vari-
ation du temps propre est maximale pour un mouvement en ligne droite avec une vitesse
Défi 105 pe constante. Pouvez-vous le confirmer ? En fait, dans la nature, toutes les particules se dé-
placent de telle manière que leur temps propre soit maximal. En d ’autres termes, nous
trouvons une nouvelle fois que dans la nature les choses changent le moins possible. La
nature s’apparente à une vieille dame circonspecte : ses mouvements sont aussi lents que
permis. Si vous préférez, tout changement recherche l ’efficacité maximale. Comme nous
l ’avons déjà mentionné, Bertrand Russel appelait cela la loi de la paresse universelle.
L’expression (63) pour la définition de l ’action est due à Max Planck. En 1906, en
l ’explorant plus en détail, il nota que le quantum d ’action ħ, qu ’ il avait découvert avec la
constante de Boltzmann, est un invariant relativiste (comme la constante de Boltzmann
Défi 106 pe k). Pouvez-vous imaginer comment il s’y est pris ?
L’action peut également être décrite de manière plus compliquée, et apparemment
plus effrayante. Ces modalités équivalentes pour l ’écrire sont particulièrement appro-
priées pour préparer le terrain de la relativité générale :
√
√
S= ∫ L dt = −mc ∫ dt = −mc u a u a dτ = −mc
t2 1 τ2 dx a dx b
s2
2
t1 γ τ1
∫ s1
∫ ds ds
η ab
ds ,
(64)
où s représente une certaine fonction de τ, arbitraire, mais invariablement croissante, tel
que τ lui-même. Comme d ’ habitude, la métrique η α β de la relativité restreinte est
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜0 −1 0 0⎟
= η ab =⎜ ⎟ .
⎜0 0 −1 0⎟
ab
η (65)
⎝0 0 0 −1⎠

Vous pouvez aisément confirmer cette forme (64) de l ’action en déduisant l ’équation du
Défi 107 pe mouvement de la manière habituelle.
En résumé, la nature n’est pas pressée : chaque objet se déplace de telle manière que sa
propre horloge indique la durée la plus longue possible par rapport à n’ importe quel autre
mouvement proche et peu différent*. Ce principe général est également valable pour des
particules sous l ’ influence de la gravitation, comme nous le verrons dans la section sur
la relativité générale, et pour des particules sous l ’ influence d ’ interactions électriques
ou magnétiques. En fait, elle est valable dans toutes les situations de mouvement (macro-
scopique) rencontrées dans la nature. Pour l ’ instant, nous remarquons simplement que
le temps propre le plus long est atteint lorsque la différence entre l ’énergie cinétique et
Défi 109 pe l ’énergie potentielle est minimale. (Pouvez-vous le confirmer ? ) Pour l ’approximation
galiléenne, le temps propre maximal implique donc une différence moyenne minimale
entre ces deux types d ’énergie. Nous retrouvons ainsi le principe de moindre action dans
sa formulation galiléenne.
Page 173 Auparavant, nous avions vu que l ’action quantifie le changement qui se produit dans
un système. La relativité restreinte montre que la nature minimise le changement en
maximisant le temps propre. Dans la nature, le temps propre est toujours maximal. En
d ’autres termes, les choses se déplacent le long de trajectoires de vieillissement maximum.
Pouvez-vous expliquer pourquoi le « vieillissement maximum » et la « paresse univer-
Défi 110 pe selle » sont équivalents ?
Nous découvrons ainsi une nouvelle fois que la nature est à l ’opposé d ’une superpro-
duction d ’ Hollywood : la nature se modifie de la manière la plus parcimonieuse pos-
sible. La signification plus profonde de ce résultat est livrée à votre réflexion personnelle :
amusez-vous avec !
Transformations conformes – pourquoi la vitesse de la lumière

est-elle constante ?
La distinction entre l ’espace et le temps en relativité restreinte dépend de l ’observa-
teur. D’un autre côté, tous les observateurs inertiels s’accordent sur la position, la forme
et l ’orientation du cône de lumière en un point donné. Donc, dans la théorie de la re-
lativité, les cônes de lumière représentent les « objets » physiques fondamentaux. Étant
donné leur importance, nous devrions nous demander si les observateurs inertiels sont
uniquement ceux qui observent des cônes de lumière identiques. De manière intéres-
sante, il apparaît que d’autres observateurs sont également concernés.
La première catégorie de ce type d ’observateurs représente ceux qui utilisent des uni-
tés de mesure pour lesquelles toutes les longueurs et les durées sont multipliées par un
* Si les neutrinos étaient sans masse, l ’action (64) ne serait pas applicable pour eux. Pourquoi ? Pouvez-vous
Défi 108 pe trouver une alternative pour ce cas (indubitablement purement académique) ?
facteur d’échelle λ. Les transformations qui représentent ces points de vue sont données
par
x a ↦ λx a (66)
et sont appelées des dilatations.

Une seconde catégorie d ’observateurs additionnels est relevée en appliquant les trans-
formations conformes spéciales. Celles-ci sont composées d ’une inversion
xa ↦
xa
(67)
x2
et d ’une translation par un vecteur b a , à savoir
xa ↦ xa + ba , (68)
puis d ’une deuxième inversion. Ainsi les transformations conformes spéciales sont
xa + ba x2
xa ↦ ↦ 2 + ba .
xa xa
ou (69)
1 + 2b a x a + b 2 x 2 x2 x
Ces transformations sont qualifiées de conformes parce qu ’elles ne changent pas les
Défi 111 pe angles pour des formes (infinitésimalement) petites, comme vous pouvez le vérifier. Elles
laissent par conséquent la morphologie (d ’objets infinitésimalement petits) intacte. Par
exemple, elles transforment des cercles infinitésimaux en cercles infinitésimaux. Elles
sont qualifiées de spéciales parce que le groupe conforme tout entier contient les dilata-
tions et aussi les transformations de Lorentz non homogènes*.
Remarquez que la manière dont les transformations conformes spéciales laissent les
Défi 113 pe cônes de lumière invariants est plutôt subtile.
Puisque les dilatations ne permutent pas avec les translations dans le temps, il n’existe
aucune quantité conservée associée à cette symétrie. (La même chose est vraie pour les
poussées de Lorentz.) Au contraire, les rotations et les translations dans l ’espace per-
mutent avec les translations dans le temps et donc conduisent à des quantités conservées.
En résumé, le vide est conformément invariant – au sens précis indiqué juste ci-dessus
– et est donc également invariant par dilatation. C ’est une autre manière d ’exprimer le
fait que le vide tout seul n’est pas suffisant pour définir des longueurs, puisqu ’ il ne fixe
pas un facteur d ’échelle. Comme nous devons nous y attendre, la matière est nécessaire
pour cela. En fait, les transformations conformes (spéciales) ne sont pas des symétries re-
présentatives de situations contenant de la matière. Seul l ’espace vide est conformément
invariant, la nature dans son intégralité ne l ’est pas.
Défi 112 pe * L’ensemble de toutes les transformations conformes spéciales forme un groupe ayant quatre paramètres, en
ajoutant les dilatations et les transformations de Lorentz non homogènes nous obtenons quinze paramètres
pour le groupe conforme complet. Le groupe conforme est localement isomorphe à SU(2,2) et au groupe
Page ?? simple SO(4,2) : ces concepts sont expliqués dans l ’ Annexe ??. Remarquez que tout cela est vrai seulement
pour quatre dimensions d ’espace-temps ; en deux dimensions – l ’autre cas important, particulièrement en
théorie des cordes – le groupe conforme est isomorphe au groupe des transformations de coordonnées ana-
lytiques arbitraires, et est donc de dimension infinie.
observateurs en accélération 77
Toutefois, l ’ invariance conforme, ou l ’ invariance des cônes de lumière, est suffisante

pour permettre des mesures de vitesse. Elle est également nécessaire pour les mesures de
Défi 114 pe vitesse, comme vous devriez pouvoir le vérifier.
Nous avons vu que l ’ invariance conforme implique la symétrie par renversement :
c ’est-à-dire que les grandes échelles et les petites échelles d ’un espace vide sont reliées.

Cela suggère que la constance de la vitesse de la lumière est associée à l ’existence d ’une
symétrie par renversement. Cette correspondance mystérieuse nous permet d ’entrevoir
les aventures qui nous attendent dans la troisième partie de notre ascension de la Mon-
tagne Mouvement. L’ invariance conforme s’avère être une propriété cruciale qui nous
conduira vers des perspectives merveilleuses*.
observateurs en ac célération
Jusque-là, nous n’avons étudié que ce que des observateurs inertiels, ou en mou-
vement libre, se disent l ’un à l ’autre lorsqu ’ ils parlent de la même observation. Par
exemple, nous avons vu que des horloges en mouvement avancent toujours lentement.
Cette histoire devient encore plus intéressante lorsque l ’observateur ou les deux sont ac-
célérés.
Nous entendons parfois dire que la relativité restreinte ne peut pas être utilisée pour
décrire des observateurs accélérés. C ’est faux, comme il est faux d ’affirmer que la phy-
sique galiléenne ne peut pas être utilisée pour des observateurs accélérés. L’unique res-
triction de la relativité restreinte concerne le fait qu ’elle ne peut être utilisée dans un
espace-temps non plat, c ’est-à-dire courbé. Des corps accélérés existent dans des espaces-
temps plats, et par conséquent ils peuvent être discutés dans le cadre de la relativité res-
treinte.
En guise d ’ introduction, regardons ce qu ’un observateur grec accéléré dit concernant
Réf. 65 l ’ horloge d ’un autre inertiel, romain, et vice versa. Supposez que l ’observateur grec, indi-
qué sur la Figure 42, se déplace le long de la trajectoire x(t), tel que le note l ’observateur
romain inertiel. En général, le rapport entre les variations des horloges grecque/romaine
est donné par ∆τ/∆t = (τ 2 − τ 1 )/(t 2 − t 1 ). Ici les coordonnées grecques sont construites
à l ’aide d ’une procédure simple : prenez les deux ensembles d ’événements définis par
t = t 1 et t = t 2 , et posez τ 1 et τ 2 comme étant les points où ces ensembles coupent l ’axe
* Le groupe conforme n’apparaît pas seulement dans la cinématique de la relativité restreinte : il est le groupe
de symétrie de toutes les interactions physiques, comme l ’électromagnétisme, à condition que toutes les par-
ticules impliquées possèdent une masse nulle, comme c ’est le cas pour le photon. Un champ qui possède une
masse ne peut pas être conformément invariant, par conséquent l ’ invariance conforme n’est pas une symé-
trie exacte de la nature tout entière. Pouvez-vous confirmer qu ’un terme de masse mφ2 dans un lagrangien
Défi 115 pe n’est pas conformément invariant ?
Cependant, puisque toutes les particules observées jusqu ’à présent possèdent des masses qui sont de
plusieurs ordres de grandeur plus petites que la masse de Planck, nous pouvons dire qu ’elles ont pour la
plupart une masse évanescente, la symétrie conforme pouvant alors être vue comme une symétrie approxi-
mative de la nature. Selon cette idée, toutes les particules massives devraient être perçues comme des petites
corrections, ou perturbations, de champs sans masse, c ’est-à-dire conformément invariants. Donc, pour la
construction d ’une théorie fondamentale, des lagrangiens conformément invariants sont souvent présumés
fournir une bonne approximation de départ.
observateur (Grec)
v
lumière
c
F I G U R E 42 L’exemple le plus simple d’un
observateur (Romain) observateur inertiel et d’un autre accéléré.

du temps de l ’observateur grec*. Nous supposons que l ’observateur grec est inertiel et
se déplace avec une vitesse v tel qu ’observé par le romain. Le rapport des horloges, pour
un observateur grec est alors donné par
∆τ dτ √
= = 1 − v 2 /c 2 =
1
, (70)
∆t dt γv
Défi 116 pe une formule que nous avons l ’ habitude d ’utiliser. Nous trouvons encore une fois que
des horloges en mouvement avancent plus lentement.
Pour des mouvements accélérés, la version différentielle du raisonnement précédent
Réf. 65 est indispensable. Le rapport de la variation des horloges grecque/romaine est encore
dτ/dt, τ et τ + dτ sont calculés de la même manière que t et t + dt. Supposons à nouveau
que l ’observateur grec se déplace le long de la trajectoire x(t), telle que mesurée par le
romain. Il s’ensuit immédiatement que
τ = t − x(t)v(t)/c 2 (71)
et donc
τ + dτ = (t + dt) − [x(t) − dtv(t)][v(t) + dta(t)]/c 2 . (72)
Ensemble, ces équations produisent
« dτ/dt » = γv (1 − vv/c 2 − xa/c 2 ) . (73)
Cela indique que des horloges accélérées peuvent avancer rapidement ou lentement, en
fonction de leur position x et du signe de leur accélération a. Les guillemets dans l ’équa-
tion ci-dessus sont là parce que nous pouvons voir directement que l ’observateur grec
remarque que
« dt/dτ » = γv , (74)
ce qui n’est pas égal à l ’ inverse de l ’équation (73). Cette divergence devient plus flagrante
dans la situation simple de deux horloges ayant des vitesses égales, l ’une d ’entre elles
possédant une accélération constante д en direction de l ’origine, alors que l ’autre se
déplace de façon inertielle. Nous avons alors
« dτ/dt » = 1 + дx/c 2 (75)

* Ces ensembles forment ce que les mathématiciens nomment des hypersurfaces.
et
« dt/dτ » = 1 . (76)
Nous allons bientôt discuter de ce contexte. Mais nous devons auparavant éclaircir la
notion liée à l ’accélération.

Accélération pour des observateurs inertiels
Les accélérations se comportent différemment des vitesses sous un changement de
point de vue. Prenons tout d ’abord le cas simple dans lequel l ’objet et deux observateurs
inertiels se déplacent tous le long de l ’axe des x. Si l ’observateur inertiel romain mesure
une accélération a = dv/dt = d2 x/dt 2 , et si l ’observateur grec, également inertiel, mesure
Réf. 17 une accélération α = dω/dτ = d2 ξ/dτ 2 , nous obtenons
γv3 a = γ 3ω α . (77)
Cette relation indique que les accélérations ne sont pas des invariants de Lorentz, à moins
que les vitesses soient très petites comparées à la vitesse de la lumière. C ’est en contra-
diction avec notre expérience quotidienne, où les accélérations sont indépendantes de la
vitesse de l ’observateur.
L’expression (77) se simplifie si les accélérations sont mesurées à un instant t pour
lequel ω disparaît – c ’est-à-dire si elles sont mesurées par l ’observateur inertiel comobile.
Dans ce cas la relation pour l ’accélération est donnée par
a c = aγv3 (78)
et l ’accélération a c = α est également appelée accélération propre, puisque sa valeur dé-

crit ce que l ’observateur comobile grec ressent : l ’accélération propre décrit la sensation
d ’être poussé vers l ’arrière du siège en accélération.
En général, la vitesse de l ’observateur et l ’accélération ne sont pas parallèles. Nous
pouvons évaluer comment la valeur de la tri-accélération a mesurée par un observateur
Réf. 66 inertiel général est reliée à la valeur ac mesurée par l ’observateur comobile en utilisant
les expressions (51) et (49). Nous obtenons la généralisation de (78) :
vac = vaγv3 (79)
et
(1 − γv )(vac )v γv (vac )v
a= (ac − ) .
1
− (80)
γv2 v2 c2
En mettant le tout au carré nous obtenons la relation
(ac v)2
a2 = (a )
1 2
c − (81)
γv4 c2
Page 69 que nous connaissons déjà sous une forme légèrement différente. Elle montre (à
nouveau) que la tri-accélération propre ou comobile est toujours supérieure à la tri-

accélération mesurée par un observateur inertiel extérieur. Plus l ’observateur inertiel
Défi 117 e extérieur se déplace vite, plus l ’accélération qu ’ il observe est petite. L’accélération n’est
pas un invariant relativiste. Cette expression montre également qu ’à chaque fois que
la vitesse est perpendiculaire à l ’accélération une poussée produit un facteur γv2 , tandis

qu ’une vitesse parallèle à l ’accélération donne la dépendance en γv3 déjà mentionnée.
Nous voyons que l ’accélération complique de nombreux problèmes et requiert une
analyse plus poussée. Pour rester dans des sujets simples, nous allons désormais étudier
uniquement des accélérations constantes. Il est intéressant de noter que cette situation
Page 241 constitue aussi une bonne introduction aux trous noirs et, comme nous le verrons bientôt,
à l ’univers dans son ensemble.
R éférentiels accélérés
Comment pouvons-nous vérifier que nous sommes dans un référentiel inertiel ? Dé-
finissons tout d ’abord ce terme. Un référentiel inertiel possède deux propriétés détermi-
nantes. Premièrement, des longueurs et des distances mesurées avec une règle sont dé-
crites par la géométrie euclidienne. En d ’autres termes, les règles agissent de la même
manière que dans la vie courante. En particulier, des distances relevées en comptant
combien de règles (barres) doivent être positionnées bout à bout pour arpenter la dis-
tance d ’un point à un autre – la distance des barres – se comportent comme dans la
vie quotidienne. Par exemple, elles obéissent au théorème de Pythagore dans le cas de
triangles rectangles. Deuxièmement, la vitesse de la lumière est constante. En d ’autres
termes, deux observateurs quelconques situés dans ce référentiel, où leurs temps et leurs
positions sont indépendants, font l ’observation suivante : le rapport c entre le double de
la distance des barres entre deux points et le temps mis par la lumière pour voyager d ’un
de ces points à l ’autre puis revenir au point de départ est toujours le même.
De façon équivalente, un référentiel inertiel est celui pour lequel toutes les horloges
restent toujours synchronisées et où la géométrie est euclidienne. En particulier, dans
un référentiel inertiel, tous les observateurs situés à des coordonnées fixes demeurent
toujours au repos l ’un par rapport à l ’autre. Cette dernière condition est cependant plus
générale : il existe d ’autres situations, non inertielles, où cela reste le cas.
Les référentiels non inertiels, ou référentiels accélérés, constituent un concept utile en
relativité restreinte. En fait, nous vivons tous dans un tel référentiel. Nous pouvons utili-
ser la relativité restreinte pour les décrire, de la même manière que nous avons utilisé la
physique galiléenne pour les décrire au début de notre expédition.
Un référentiel en général est un ensemble continu d ’observateurs demeurant au repos
les uns par rapport aux autres. Ici, « au repos les uns par rapport aux autres » signifie que
le temps nécessaire à un signal lumineux pour aller d ’un observateur à un autre et reve-
nir est constant au cours du temps, ou, de manière équivalente, que la distance des barres
entre deux observateurs est constante. N ’ importe quel référentiel peut par conséquent
également être appelé collection rigide d ’observateurs. Nous remarquons donc qu ’un ré-
férentiel en général n’est pas la même chose qu ’un ensemble de coordonnées, ce dernier
n’est généralement pas rigide. Si tous les observateurs reliés de manière rigide possèdent
des valeurs constantes de coordonnées, nous parlons d ’un système de coordonnées rigide.
Bien sûr, ceux-ci sont utiles surtout lorsqu ’ il est nécessaire de décrire des référentiels
τ
t
r
tu
II
fu
du
ξ
on
riz
ho

Ω
O
III c 2 /g x
I
ho
riz
on
IV
du
pa
ss
é
F I G U R E 43 Mouvement hyperbolique d’un observateur Ω en accélération uniforme et rectiligne.
accélérés*.
Réf. 68 Remarquez que si deux observateurs se déplacent ensemble avec une vitesse v, telle
que mesurée dans un certain référentiel inertiel, ils observent qu ’ ils sont au repos l ’un
Défi 118 pe par rapport à l ’autre seulement si cette vitesse est constante. Encore une fois nous notons,
comme ci-dessus, que deux individus attachés l ’un à l ’autre par une corde, et à une
distance telle que la corde soit tendue, verront la corde se rompre (ou ne seront plus
attachés) s’ ils accélèrent ensemble vers (ou décélèrent depuis) des vitesses relativistes
exactement de la même manière. L’accélération relativiste exige une attention rigoureuse.
Un observateur qui ressent constamment la même force appliquée sur son corps est
qualifié d ’ uniformément accéléré. Plus précisément, un observateur en accélération uni-
forme est un observateur dont l ’accélération à chaque instant, mesurée dans le référen-
tiel inertiel par rapport auquel l ’observateur est au repos à cet instant, possède toujours
la valeur identique B. Il est important de remarquer que l ’accélération uniforme n’est
pas uniformément accélérée quand elle est toujours observée depuis le même référentiel
inertiel. C ’est une différence importante par rapport au cas galiléen.
Pour un mouvement uniformément accéléré au sens où nous venons de le définir,
nous exigeons que
B ⋅ B = −д2 (82)
Réf. 69 où д représente une constante indépendante de t. Le cas le plus simple est un mouve-
ment uniformément accéléré qui est également rectiligne, c ’est-à-dire pour lequel l ’accé-
lération a est parallèle à v à un instant donné du temps et (par conséquent) pour tous les
autres instants également. Dans ce cas nous pouvons écrire, en utilisant des vecteurs à
* Il n’existe fondamentalement que deux autres types de référentiels de coordonnées rigides, excepté les
Réf. 67 référentiels inertiels :
— Le référentiel ds 2 = dx 2 +dy 2 +dz 2 −c 2 dt 2 (1+ дk x k /c 2 )2 avec une accélération arbitraire, mais constante,
de l ’origine. L’accélération est a = −g(1 + gx/c 2 ).
— Le référentiel en rotation uniforme ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 + 2ω(−y dx + x dy)dt − (1 − r 2 ω2 /c 2 )dt. Ici
l ’axe z représente l ’axe de rotation, et r 2 = x 2 + y 2 .
Défi 119 pe trois composantes,

γ3 a = g =g.
dγv
ou (83)
dt
En supposant que la direction considérée coïncide avec l ’axe des x, puis en résolvant
pour v(t), nous obtenons

v=√
дt
2 2
, (84)
1 + дc 2t
où il a été supposé que v(0) = 0. Nous remarquons que pour des durées très petites
nous avons v = дt, et que pour des longues durées v = c, comme attendu. La quantité
de mouvement de l ’observateur accéléré augmente linéairement avec le temps, encore
Défi 120 pe une fois comme prévu. En intégrant, nous découvrons que l ’observateur accéléré suit la
trajectoire √
c2 д2 t 2
x(t) = 1+ 2 , (85)
д c
où nous avons fait l ’ hypothèse que x(0) = c 2 /д, afin d ’obtenir une expression plus
simple. À cause de ce résultat, visualisé dans la Figure 43, on dit qu ’un observateur en
accélération uniforme et rectiligne décrit un mouvement hyperbolique. Pour des durées
très petites, la ligne d ’univers se réduit à l ’expression habituelle x = дt 2 /2 + x 0 , tandis
que pour des grandes durées elle vaut x = ct, comme prévu. Ce mouvement est donc
uniformément accéléré uniquement pour le corps mobile lui-même, et non pas pour un
observateur extérieur.
Le temps propre τ de l ’observateur accéléré est relié au temps t du référentiel inertiel
de la manière classique par dt = γdτ. En utilisant l ’expression pour la vitesse v(t) de
Réf. 69, Réf. 70 l ’équation (84) nous obtenons*
c2
t= x=
c дτ дτ
sinh et cosh (86)
д c д c
pour la relation entre le temps propre τ, mesuré par l ’observateur romain inertiel et ex-
terne, et le temps t et la position x. Nous rencontrerons cette relation à nouveau pendant
notre étude des trous noirs.
Tout cela vous semble inintéressant ? Imaginez simplement que vous accélériez à vive
allure sur une moto à д = 10 m/s2 pendant un temps propre τ de 25 ans. Cette moto
vous emporterait au-delà des confins de l ’univers connu ! Cela ne vaut-il pas la peine
d ’essayer ? Malheureusement, il n’existe ni moto ni missile qui pourraient accélérer à ce
point, parce que leur réservoir à carburant devrait être énorme. Pouvez-vous le confir-
Défi 121 s mer ?
* Utilisez votre formulaire préféré de mathématiques – chaque étudiant devrait en avoir un – pour déduire
cela. Le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique sont définis par sinh y = (e y − e−y )/2 et cosh y =
√ √
Réf. 71
(e y + e−y )/2. Ils impliquent que ∫ dy/ y 2 + a 2 = arsinh y/a = Arsh y/a = ln(y + y 2 + a 2 ).
Pour l ’accélération uniforme, les coordonnées se transforment comme suit
t = ( + ) sinh
c ξ дτ
д c c
c2
x = ( + ξ) cosh
дτ

д c
y=υ
z=ζ, (87)
où τ représente maintenant la coordonnée de temps dans le référentiel grec. Nous remar-

quons également que l ’ intervalle d ’espace-temps dσ vérifie
dσ 2 = (1 + дξ/c 2 )2 c 2 dτ 2 − dξ 2 − dυ 2 − dζ 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 , (88)
et puisque pour dτ = 0 les distances sont données par le théorème de Pythagore, le réfé-
Réf. 72 rentiel grec est en réalité rigide.
Après cette foison de formules, occupons-nous d ’une question simple, indiquée sur
la Figure 43. L’observateur inertiel romain O voit l ’observateur grec Ω se déplacer avec
une accélération д, s’éloignant de plus en plus et obéissant à l ’équation (85). Qu ’est-ce
que l ’observateur grec dit à propos de son collègue romain ? Avec tout ce que nous sa-
vons maintenant, il est facile de répondre. À chaque point de sa trajectoire, Ω voit que
Défi 122 e O possède la coordonnée τ = 0 (pouvez-vous confirmer ce point ? ), ce qui signifie que
la distance à l ’observateur romain, telle qu ’elle est perçue par le Grec, est la même que
Réf. 73 l ’ intervalle d ’espace-temps OΩ. En utilisant l ’expression (85), nous voyons qu ’elle est
√ √
dOΩ = ξ2 = x 2 − c 2 t 2 = c 2 /д , (89)
ce qui est, de manière assez surprenante, constant au cours du temps ! En d ’autres termes,
l ’observateur grec notera qu ’ il demeure à une distance constante du romain, en parfaite
contradiction avec ce que l ’observateur romain affirme. Prenez votre temps pour vérifier
cette conséquence bouleversante d ’une tout autre manière. Nous aurons encore besoin
de cela plus tard, pour expliquer pourquoi la Terre n’explose pas. (Pouvez-vous deviner
Défi 123 s comment cette question est reliée à ce résultat ?)
Le théorème de la composition des accélérations est plus complexe que le théorème de
Réf. 74 la composition des vitesses. Sa meilleure explication fut publiée par Mishra. Si nous ap-
pelons a nm l ’accélération du système n par l ’observateur m, nous cherchons à exprimer
l ’accélération de l ’objet a 01 comme une fonction de la valeur a 02 mesurée par l ’autre
observateur, de l ’accélération relative a 12 et de l ’accélération propre a 22 de l ’autre obser-
vateur : regardez la Figure 44. Ici nous étudierons uniquement des situations unidimen-
sionnelles, où tous les observateurs et tous les objets se déplacent le long d ’un seul axe.
(Pour plus de clarté, nous notons également v 11 = v et v 02 = u.) En physique galiléenne
Défi 124 e nous avons la relation générale
a 01 = a 02 − a 12 + a 22 (90)
a11 : accélération propre

v11 = 0
y
Observateur 1

x
a22 : accélération propre
v22 = 0
v0n : vitesse de l'objet notée par
Observateur 2 l'observateur n
x a0n : accélération de l'objet
Objet notée par l'observateur n
F I G U R E 44 Les définitions nécessaires pour déduire le comportement de la composition des

accélérations.
parce que les accélérations se comportent de manière simple. En relativité restreinte, nous
obtenons
(1 − v 2 /c 2 )3/2 (1 − u 2 /c 2 )(1 − v 2 /c 2 )−1/2 (1 − u 2 /c 2 )(1 − v 2 /c 2 )3/2

a 01 = a 02 a a
(1 − uv/c 2 )3 (1 − uv/c 2 )2 (1 − uv/c 2 )3
− 12 + 22
(91)
Défi 125 pe et vous devriez vous amuser à vérifier cette expression.
Page 57 Pouvez-vous maintenant stipuler comment le rapport des accélérations s’ inscrit dans
Défi 126 pe la définition de la masse en relativité restreinte ?
Horizons des événements

Le mouvement accéléré exhibe de nombreuses propriétés surprenantes. Il en est une
d ’un intérêt particulier qui concerne la trajectoire, en termes de coordonnées ξ et τ dans
le référentiel rigide accéléré, d ’un objet situé au point de départ x = x 0 = c 2 /д, à chaque
Défi 127 pe instant t. Nous avons les deux relations*
c2
ξ=− (1 − sech )
дτ
д c
dξ/dτ = −c sech
дτ дτ
tanh . (93)
c c
Ces équations sont étranges. Pour des temps τ très grands, la coordonnée ξ s’approche de
la valeur limite −c 2 /д et dξ/dτ devient nulle. Cette situation est identique à celle d ’un vé-
* Les fonctions apparaissant ci-dessus, la sécante hyperbolique et la tangente hyperbolique, sont définies en
utilisant les expressions provenant de la note de la page 82 :
sech y = tanh y =
1 sinh y
et . (92)
cosh y cosh y
τ
t
r
tu
II
fu
du
ξ
on
riz
ho

Ω
O
III c 2 /g x
I
ho
riz
on
IV
du
pa
ss
é
F I G U R E 45 Mouvement hyperbolique et horizons des événements.
hicule qui accélère en s’éloignant d ’une femme debout au bord d ’une longue route. Vue
depuis la voiture, la femme s’éloigne ; pourtant, après un certain temps, la seule chose
que le conducteur remarque est qu ’elle s’approche lentement de l ’ horizon. En physique
galiléenne, à la fois le conducteur du véhicule et la femme sur la route observent que
l ’autre personne s’approche de leur horizon. En relativité restreinte, seul l ’observateur
accéléré fait cette observation.
Un graphique de la situation permet d ’éclaircir ce résultat. Dans la Figure 45 nous
pouvons voir que la lumière émise depuis n’ importe quel événement des régions II et
III ne peut atteindre l ’observateur grec. Ces événements-là sont masqués pour lui et ne
peuvent pas être observés. Assez étrangement, pourtant, la lumière émise par l ’observa-
teur grec peut atteindre la région II. La frontière entre la partie de l ’espace-temps qui peut
être observée et la partie que ne peut l ’être est appelée l ’ horizon des événements. En rela-
tivité, les horizons des événements agissent comme des passerelles à sens unique pour la
lumière et d ’autres signaux. Afin d ’être exhaustif, le graphique indique également l ’ ho-
rizon des événements passés. Pouvez-vous confirmer que les horizons des événements
Défi 128 pe sont noirs ?
Donc, tous les événements observés dans un référentiel inertiel ne peuvent pas être
observés dans un référentiel en accélération uniforme. Les référentiels uniformément
accélérés produisent des horizons des événements situés à une distance de −c 2 /д. Par
exemple, une personne qui est debout ne peut jamais voir plus loin que cette distance,
mesurée depuis ses pieds.
Par ailleurs, est-il vrai qu ’un rayon lumineux ne peut pas être intercepté par un ob-
servateur en mouvement hyperbolique, si l ’observateur possède une longueur d ’avance
Défi 129 s suffisante ?
Maintenant nous formulons un défi encore plus fort, qui nous préparera à la relati-
vité générale. Quelle est la forme de l ’ horizon, vue par un observateur uniformément
Défi 130 s accéléré ?
L’ accélération modifie la couleur

Nous avons vu auparavant qu ’un récepteur mobile perçoit des couleurs différentes
par rapport à l ’émetteur. Jusqu ’à présent, nous avons discuté du décalage de couleur, ou
effet Doppler, uniquement pour des observateurs inertiels. Pour des référentiels accélérés
la situation est encore plus bizarre : l ’émetteur et le récepteur ne s’accordent pas sur les

Réf. 69, Réf. 75 couleurs, même s’ ils sont au repos l ’un par rapport à l ’autre. En réalité, si la lumière
est émise dans la direction de l ’accélération, la formule des intervalles d ’espace-temps
donne
д0 x 2
dσ 2 = (1 + 2 ) c 2 dt 2 (94)
c
dans laquelle д0 est l ’accélération propre d ’un observateur situé au point x = 0. Nous
Défi 131 pe pouvons déduire d ’une manière directe que
=1− 2 =
fr дr h 1
(95)
fs c (1 + cs2 )
д h
où h représente la distance des barres entre la source et le récepteur, et où дs = д0 /(1 +
д0 x s /c 2 ) et дr = д0 /(1+ д0 x r /c 2 ) sont les accélérations propres mesurées à la source et au
détecteur. En bref, la fréquence de la lumière décroît lorsque la lumière se déplace dans
la direction de l ’accélération. D’ailleurs, cela a-t-il un effet sur la couleur des arbres dans
Défi 132 s leur direction verticale ?
La formule généralement citée, à savoir
=1− 2 ,
fr дh
(96)
fs c
n’est exacte qu ’en première approximation. Dans des référentiels accélérés, nous devons
être prudents à propos de la signification de chaque quantité. Pour les accélérations cou-
rantes, toutefois, les différences entre les deux formules sont négligeables. Pouvez-vous
Défi 133 pe confirmer ce point ?
L a lumière peu t-elle aller plus vite que c ?

Quelle est la vitesse de la lumière mesurée par un observateur accéléré ? En utilisant
l ’expression (96) précédente, un observateur en accélération en tire que
v lumière = c (1 + )
дh
(97)
c2
ce qui est supérieur à c pour de la lumière se déplaçant en face ou « au-dessus » de lui,

et inférieur à c pour de la lumière se déplaçant derrière ou « en dessous » de lui. Cette
conséquence déconcertante découle d ’une propriété élémentaire d ’un référentiel accé-
léré quelconque. Dans un tel référentiel, bien que tous les observateurs soient au repos
les uns par rapport aux autres, les horloges ne restent pas synchronisées. Cette variation
temps
horloge 1 horloge 2
t3

t2
t1
espace
F I G U R E 46 Horloges et mesure de la vitesse de la lumière par une approche à double sens.
de la vitesse de la lumière a également été confirmée par l ’expérience*. Ainsi, la vitesse
de la lumière n’est constante que lorsqu ’elle est définie par c = dx/dt, et si dx et dt sont
mesurés avec une règle située à l ’ intérieur de l ’ intervalle dx et une horloge lue pendant
l ’ intervalle dt. Si la vitesse de la lumière est définie par ∆x/∆t, ou si la règle définissant
les distances, ou l ’ horloge mesurant le temps, est située à une grande distance de la lu-
mière qui se propage, la vitesse de la lumière est différente de c pour des observateurs en
accélération ! C ’est le même effet que vous pouvez expérimenter lorsque vous tournez
sur vous-même, autour de votre axe vertical, la nuit : les vitesses des étoiles que vous
observez sont beaucoup plus élevées que la vitesse de la lumière.
Remarquez que ce résultat n’ implique pas que des signaux ou de l ’énergie puissent se
Défi 134 s déplacer plus vite que c. Vous devez pouvoir le vérifier par vous-même.
En fait, tous ces effets sont négligeables pour des distances l qui sont insignifiantes
par rapport à c 2 /a. Pour une accélération de 9,5 m/s2 (environ celle de la chute libre), les
distances devraient être de l ’ordre d ’une année-lumière, ou 9,5 ⋅ 1012 km, afin de rendre
observable n’ importe quel effet significatif. En bref, c est la vitesse de la lumière seulement
relativement à la matière située à proximité.
D’ailleurs, la gravité quotidienne est équivalente à une accélération constante. Donc
pourquoi, d ’après l ’expression (97), des objets éloignés tels que des étoiles ne se
Défi 135 s déplacent-ils pas plus vite que la lumière ?
Q u ’ est-ce que la vitesse de la lumière ?

Nous avons vu que la vitesse de la lumière, telle qu ’elle est généralement définie, est
donnée par c seulement si l ’observateur est inertiel ou s’ il mesure la vitesse de la lumière
passant à proximité (au lieu de la lumière qui passe au loin). En résumé, la vitesse de
la lumière doit être mesurée localement. Mais cette condition n’élimine pas toutes les
subtilités.
Page 164 * Les propagations retardées qui seront discutées au chapitre sur la relativité générale peuvent être vues
comme des confirmations de cet effet.
Un point supplémentaire est souvent omis. Généralement, la longueur est mesurée

par le temps que la lumière met pour voyager. Dans un tel cas la vitesse de la lumière
sera bien évidemment constante. Mais comment vérifions-nous cette constance ? Nous
avons besoin de faire abstraction des mesures de longueur. La manière la plus simple
pour y parvenir est de faire réfléchir la lumière avec un miroir, comme indiqué sur la

Figure 46. La constance de la vitesse de la lumière implique que, si la lumière va et vient
le long d ’une courte ligne droite, alors les horloges situées aux deux extrémités mesurent
le temps donné par
t 3 − t 1 = 2 (t 2 − t 1 ) . (98)
Nous supposons ici que les horloges ont été synchronisées en accord avec les instructions
de la page 44. Si le facteur n’était pas exactement égal à deux, la vitesse de la lumière
ne serait pas constante. En réalité, toutes les expériences réalisées jusqu ’à présent ont
produit un facteur égal à deux, dans les limites des erreurs de mesure*.
Ce résultat est parfois exprimé en disant qu ’ il est impossible de mesurer la vitesse de
la lumière à sens unique, seule la vitesse de la lumière à double sens (aller et retour) est
Défi 136 s mesurable. Êtes-vous d ’accord ?
Limites sur la longueur des corps solides

Un objet solide familier se brise lorsqu ’une certaine partie de celui-ci se déplace par
rapport à une autre partie donnée à une vitesse supérieure à la vitesse du son c pour ce
matériau**. Par exemple, quand un objet frappe le sol et que sa partie frontale est stoppée
dans l ’ intervalle d ’une distance d, l ’objet finit par se briser lorsque
v 2 2d
⩾ . (99)
c2 l
De cette manière, nous voyons que nous pouvons éviter de briser des objets fragiles en les
enveloppant dans de la mousse – ce qui augmente la distance d ’arrêt – ayant une épais-
seur approximativement égale à la taille de l ’objet. Cela pourrait expliquer pourquoi des
boîtes contenant des cadeaux sont généralement beaucoup plus grandes que les cadeaux
eux-mêmes !
La limite de rupture peut aussi être écrite d ’une manière différente. Pour éviter la
brisure, l ’accélération a d ’un corps solide de longueur l doit vérifier
l a < c2 , (100)
où c représente la vitesse du son, qui est la vitesse limite pour les parties matérielles
* Les subtilités concernant l ’approche à sens unique et à double sens de la vitesse de la lumière demeureront
un sujet de discussion pendant longtemps. Un grand nombre d ’expériences sont expliquées et discutées dans
la Réf. 22. Zhang affirme, dans son récapitulatif en page 171, que la vitesse de la lumière à sens unique est en
réalité indépendante de la source lumineuse. Toutefois, aucune expérience ne montre réellement qu ’elle est
Réf. 76 équivalente à l ’approche à double sens. Qui plus est, la plupart des expériences dites à « sens unique » sont
toujours en fait des expériences à « double sens » (consultez sa page 150).
** La vitesse (longitudinale) du son est d ’environ 5,9 km/s pour le verre, le fer ou l ’acier, environ 4,5 km/s
pour l ’or et environ 2 km/s pour le plomb. La page 209 liste d ’autres vitesses pour le son.
des solides. Reprenons maintenant la discussion en relativité, en utilisant la vitesse de la

Réf. 77 lumière au lieu de celle du son. Imaginez que vous accélériez la face frontale d ’un corps
solide avec une certaine accélération propre a. La face arrière ne peut pas se déplacer
avec une accélération α supérieure ou égale à l ’ infini, ou, si nous préférons, elle ne peut
Défi 137 s pas se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière. Une rapide vérification montre par

conséquent que la longueur l d ’un corps solide doit vérifier
l α < c 2 /2 , (101)
où c est maintenant la vitesse de la lumière. Celle-ci limite donc la taille des corps solides.
Par exemple, à 9,8 m/s2 , l ’accélération d ’une moto puissante, cette expression donne une
longueur limite de 9,2 Pm, soit environ une année-lumière. Ce n’est pas une restriction
importante : toutes les motos sont plus courtes.
En revanche, il existe d ’autres situations plus intéressantes. Les accélérations les plus
élevées atteintes aujourd ’ hui sont produites dans les accélérateurs de particules. Les
noyaux atomiques possèdent une taille de quelques femtomètres. Pouvez-vous déduire
Défi 138 pe à quelles énergies ils se brisent lorsqu ’ ils se heurtent violemment dans un accélérateur ?
En fait, à l ’ intérieur d ’un noyau, les nucléons se déplacent à des accélérations de l ’ordre
de v 2 /r ≈ ħ 2 /m 2 r 3 ≈ 1031 m/s2 : c ’est une des valeurs les plus élevées rencontrées dans la
nature.
Remarquez que la physique galiléenne et la relativité induisent une conclusion iden-
tique : une vitesse limite, fût-elle celle du son ou celle de la lumière, fait qu ’ il est im-
possible que les corps solides soient rigides. Lorsque nous poussons une extrémité d ’un
corps, l ’autre extrémité se déplace toujours un petit peu plus tard.
Une énigme : la vitesse limite entraîne-t-elle l ’existence d ’une « relation d ’ incerti-
tude » relativiste
∆l ∆a ⩽ c 2 (102)
Page ?? pour l ’ indétermination entre la longueur et l ’accélération ?

Qu ’est-ce que tout cela implique pour la taille des particules élémentaires ? Prenez
deux électrons séparés par une distance d, et notez l leur taille. L’accélération due à la
répulsion électrostatique conduit alors à une limite supérieure pour leur taille donnée
Défi 139 pe par
4πε 0 c 2 d 2 m
l< . (103)
e2
Plus les électrons peuvent être proches, plus ils doivent être petits. La limite expérimen-
tale actuelle donne une taille inférieure à 10−19 m. Les électrons peuvent-ils être réelle-
ment ponctuels ? Nous reviendrons sur cette question durant notre étude de la relativité
générale et de la théorie quantique.
l a rel ativité restreinte en quatre prop ositions

Cette étape de notre ascension de la Montagne Mouvement peut être rapidement syn-
thétisée.
— Tout observateur (flottant librement) remarque qu ’ il existe une vitesse unique et par-

faite dans la nature, à savoir une vitesse maximale pour l ’énergie ordinaire, qui se
rapporte au rayonnement sans masse comme la lumière ou les signaux radio, mais
qui ne peut être atteinte par les systèmes matériels.
— Par conséquent, bien que l ’espace-temps soit le même pour tous les observateurs, les
durées et les longueurs varient d ’un observateur à l ’autre, comme les transformations
de Lorentz (13) et (14) l ’expliquent, et comme les expériences le confirment.
— Les collisions indiquent qu ’une vitesse maximale implique que la masse est de l ’éner-
gie concentrée, et que l ’énergie totale d ’un corps est donnée par E = γmc 2 , comme
les expériences le confirment encore une fois.
— Appliqués à des objets accélérés, ces résultats conduisent à un grand nombre de consé-
quences qui défient l ’ intuition, tels le paradoxe des jumeaux, l ’émergence des hori-
zons des événements et l ’apparition de tachyons à courte durée de vie dans les colli-
sions.
La relativité restreinte montre que le mouvement, bien qu ’ il soit limité en vitesse, est
relatif, défini à l ’aide de la propagation de la lumière, conservé, réversible et déterministe.
L a vitesse de la lumière a-t-elle pu fluctuer ?

La vitesse de la lumière dépourvue de masse est la vitesse limite. En supposant que
toute la lumière soit en réalité sans masse, la vitesse de la lumière a-t-elle pu malgré
tout varier d ’un endroit à l ’autre, ou au fil du temps ? Ce problème retors nous donne
toujours la sensation d ’être idiot à côté de nombreux physiciens. La première réponse est
généralement formulée sous la forme d ’un net : « Oui, bien sûr ! Regardez simplement
ce qui se passe lorsque la valeur de c est modifiée dans la formule ». (En réalité, il y a
même eu des tentatives pour bâtir des « théories de la vitesse de la lumière variable ».)
Cependant, cette affirmation souvent formulée est fausse.
Puisque la vitesse de la lumière s’ inscrit dans notre définition de l ’espace et du temps,
elle s’ immisce alors, même si nous ne le remarquons pas, dans la construction de toutes
les règles, tous les étalons de mesure et tous les instruments de mesure. Donc il n’y a
aucune manière de détecter si cette valeur fluctue réellement. Aucune expérience conce-
vable ne pourrait détecter une variation de la vitesse limite, puisque celle-ci représente
Défi 140 s le fondement de toutes les mesures. « C ’est une cruauté intellectuelle ! », pourriez-vous
penser. « Toutes les expériences montrent que la vitesse de la lumière est invariante, nous
devons admettre les conséquences non intuitives les unes après les autres pour accep-
ter la constance de la vitesse de la lumière, et nous serions dorénavant censés admettre
qu ’ il n’y a aucun autre choix ? » Oui, nous le sommes. C ’est le comble des progrès de la
physique. L’ invariance de la vitesse de la lumière par rapport à l ’observateur est contre-
intuitive et choquante lorsqu ’elle est comparée à l ’absence d ’ invariance par rapport à
l ’observateur aux vitesses quotidiennes, galiléennes. Mais si nous avions pris en considé-
ration le fait que chaque mesure de vitesse est fondée – que nous le voulions ou non –
la relativité restreinte en quatre propositions 91
sur une comparaison avec la vitesse de la lumière, nous n’aurions pas été étonnés par la
constance de celle-ci ; au contraire, nous aurions été étonnés par les propriétés étranges
des petites vitesses.
En résumé, il n’existe en principe aucune façon de vérifier l ’ invariance d ’un étalon
de mesure. Autrement dit, l ’aspect vraiment surprenant de la relativité n’est pas l ’ inva-

riance de c, c ’est sa disparition des formules propres au mouvement quotidien.
Q ue se passe-t-il près de la vitesse de la lumière ?

Au fur et à mesure que nous approchons de la vitesse de la lumière, les quantités pré-
sentes dans la transformation de Lorentz divergent. Une division par zéro est impossible :
en réalité, ni les masses ni les observateurs ne peuvent se déplacer à la vitesse de la lu-
mière. Toutefois, cette conclusion est incomplète.
Aucune observable ne diverge réellement dans la nature. En s’approchant aussi près
que possible de la vitesse de la lumière, la relativité restreinte elle-même s’effondre. Aux
contractions de Lorentz extrêmement grandes, il n’existe aucune manière de faire fi de
la courbure de l ’espace-temps. En fait, la gravitation doit être prise en compte dans ces
situations. À proximité des horizons, nous ne pouvons pas ignorer les fluctuations de
vitesse et de position : ici la théorie quantique doit être prise en considération. L’explora-
tion de ces deux limitations définit les deux prochaines étapes de notre ascension de la
Montagne Mouvement.
Au début de notre aventure, pendant notre exploration de la physique galiléenne,
après avoir défini les concepts fondamentaux de la vitesse, de l ’espace et du temps, nous
avons tourné notre regard vers la gravitation. L’ invariance de la vitesse de la lumière
nous a obligé à revoir ces concepts de base. Nous allons maintenant revenir à l ’étude de
la gravitation à la lumière de cette invariance.
Chapitre 2
R E L AT I V I T É G É N É R A L E :

G R AV I TAT ION , V I T E S SE M A X I M A L E
ET F ORC E M A X I M A L E
G énérale, cette nouvelle théorie (relativiste) est à la portée de tous. De même que la
ravitation universelle et sa loi en l ’ inverse du carré, elle peut être rendue très intui-
tive, de nos jours, en utilisant la bonne approche. Les idées principales de la relativité
générale, tout comme celles de la relativité restreinte, sont accessibles aux étudiants du
second cycle. Les trous noirs, les ondes gravitationnelles, la courbure de l ’espace-temps
et les frontières de l ’ Univers dans son ensemble peuvent alors être appréhendés aussi
facilement que l ’effet Doppler ou le paradoxe des jumeaux.
Nous découvrirons que, comme la relativité restreinte qui est fondée sur l ’existence
d ’une vitesse maximale c, la relativité générale est fondée sur une force maximale c 4 /4G
ou sur une puissance physique maximale c 5 /4G. Nous allons montrer, tout d ’abord, que
toutes les données expérimentales connues sont cohérentes avec ces limitations. En fait,
nous remarquerons que la force maximale et la puissance maximale ne sont atteintes
que sur des surfaces limites infranchissables : ces surfaces extrêmes sont dénommées
horizons. Nous serons alors capables de déduire les équations du champ de la relativité
générale. En particulier, l ’existence d ’une valeur maximum pour la force ou la puissance
implique que l ’espace-temps est courbé. Ceci explique pourquoi le ciel est noir la nuit et
indique que l ’ Univers est de taille finie.
Nous discuterons également des principaux paradoxes qui surgissent de ces limites,
ainsi que des arguments de ses détracteurs. Les réponses aux paradoxes nous permettront
de comprendre pourquoi ces limites sont restées invisibles pendant si longtemps, à la fois
dans les expériences et dans l ’enseignement.
Passé cette introduction, nous étudierons les effets de la gravitation relativiste plus
en détail. En particulier, nous analyserons les conséquences de la courbure de l ’espace-
temps sur les mouvements des corps et de la lumière dans notre environnement quo-
tidien. Par exemple, la loi en l ’ inverse du carré sera remaniée. (Pouvez-vous expliquer
Défi 141 s pourquoi cela est nécessaire au vu de tout ce que nous avons appris jusqu ’à présent ?)
De manière totalement fascinante, nous découvrirons comment nous pouvons déplacer
et courber le vide. Nous étudierons alors l ’ Univers dans sa globalité, et pour finir nous
explorerons les formes les plus extrêmes de gravitation : les trous noirs.
gravitation, vitesse maximale et force maximale 93

F I G U R E 47 Effets de la gravitation : une stalactite qui coule (© Richard Cindric) et les anneaux de
Saturne, photographiés lorsque le Soleil est masqué par la planète. (CICLOPS, JPL, ESA, NASA)
Force maximale – tou te la relativité générale dans une formule

Un des principaux objets de la recherche
théorique dans de nombreux départements
scientifiques consiste à découvrir le point de vue
à partir duquel le sujet étudié se manifeste dans
sa plus grande simplicité.
”
Réf. 78
Willard Gibbs
Nous venons de voir que la théorie de la relativité restreinte se manifeste à partir du

moment où nous reconnaissons l ’existence d ’une vitesse limite c dans la nature et où
nous prenons cette limite comme principe fondamental. Au tournant du vingt et unième
siècle, on a montré que la relativité générale peut être appréhendée en utilisant un prin-
Réf. 79, Réf. 81 cipe élémentaire similaire :
⊳ Il existe une force maximale dans la nature :
c4
F⩽ = 3,0 ⋅ 1043 N . (104)
4G
Dans la nature, aucune force ne peut excéder cette valeur, quel que soit le muscle, la
machine ou le système qui l ’exerce. Pour les curieux, la valeur de cette force limite re-
présente l ’énergie d ’un trou noir (de Schwarzschild) divisée par le double de son rayon.
Cette force maximale peut être comprise intuitivement en remarquant que les trous noirs
(de Schwarzschild) sont les corps les plus denses possibles pour une masse donnée. Puis-
qu ’ il existe une limite à la façon dont un corps peut être comprimé, les forces – qu ’elles
soient gravitationnelles, électriques, centripètes ou de n’ importe quel autre type – ne
peuvent pas être arbitrairement grandes.
Alternativement, il est possible de faire usage d ’un autre énoncé, équivalent, comme
principe fondamental :
⊳ Il existe une puissance maximale dans la nature :
c5
P⩽ = 9,1 ⋅ 1051 W . (105)
4G
94 2 relativité générale
La puissance dégagée par n’ importe quel moteur, ampoule ou explosion ne peut excé-
der cette valeur. Cette puissance maximale est atteinte lorsqu ’un trou noir (de Schwarz-
schild) rayonne dans l ’espace durant le temps que la lumière met pour parcourir une
longueur correspondant à son diamètre. Nous verrons précisément plus bas ce que sont
les trous noirs et pourquoi ils sont reliés à ces valeurs limites.

Toute la théorie de la relativité générale découle de l ’existence d ’une force ou d ’une
puissance maximale. Afin de démontrer l ’exactitude et l ’efficacité de cette approche, une
énumération d ’arguments est nécessaire. Cette liste est la même que pour la démonstra-
tion de la légitimité de la vitesse limite en relativité restreinte. En premier lieu, nous
devons recueillir tout témoignage observationnel sur cette prétendue limite. Deuxième-
ment, pour ériger cette limite en principe naturel, nous devons montrer que la relativité
générale découle de celle-ci. Finalement, nous devons vérifier que cette limite s’applique
dans toutes les situations possibles et imaginables. N ’ importe quel paradoxe apparent
demandera à être résolu.
Ces trois étapes structurent cette introduction à la relativité générale. Nous commen-
cerons cette histoire en racontant la genèse de cette idée d ’une valeur limite.
Les limites d ’ une force et d ’ une puissance maximales
Au cours des dix-neuvième et vingtième siècles, de nombreux physiciens s’efforçaient
d ’éviter de faire appel au concept de force. Heinrich Hertz en fit une ligne directrice de
ses travaux, et écrivit un ouvrage influent sur la mécanique classique sans jamais utiliser
ce concept. Les pères de la théorie quantique, qui connaissaient tous ce texte, suppri-
mèrent alors complètement le terme « force » du vocabulaire de la physique microsco-
pique. Entre-temps, le concept de « force gravitationnelle » fut éliminé de la relativité
générale, en le réduisant à une « pseudo-force ». La notion de force tomba en désuétude.
Pourtant, le principe de force maximale a un sens, pourvu que nous l ’ imaginions au
moyen de cette définition pratique : la force est le flux de quantité de mouvement par unité
de temps. La quantité de mouvement ne peut pas être créée ou détruite. Nous employons
le mot « flux » pour nous rappeler que la quantité de mouvement, étant une quantité
conservée, ne peut varier que par un écoulement vers l ’ intérieur ou vers l ’extérieur. En
d ’autres termes, la variation de la quantité de mouvement se produit toujours à travers
une certaine surface frontière. Cette remarque est d ’une importance cruciale. À chaque
fois que nous pensons à une force en un point, nous cherchons à matérialiser la quantité
de mouvement qui « s’écoule » à travers une surface en ce point. La relativité générale
formule habituellement cette idée comme suit : la force oblige les corps à suivre des géo-
désiques. Le mécanisme sous-jacent à la mesure d ’une force n’est pas important. Afin de
fournir un exemple concret pour éclairer cette discussion, il peut être utile d ’ imaginer la
force comme étant d ’origine électromagnétique. En réalité, n’ importe quel type de force
est possible.
Le principe de la force maximale se ramène ainsi à l ’assertion suivante : si nous imagi-
nons une surface physique quelconque (et que nous la recouvrons d ’observateurs), l ’ in-
tégrale du flux de la quantité de mouvement à travers cette surface (mesurée par tous ces
observateurs) ne dépasse jamais une certaine valeur. Il importe peu de savoir comment
cette surface est choisie tant qu ’elle reste physique, c ’est-à-dire tant que nous pouvons
TA B L E AU 2 Comment persuader les gens, ainsi que vous-même, qu’il

existe une force maximale c 4 /4G (ou une puissance maximale c 5 /4G) dans
la nature.
Problème Méthode
Des valeurs de force > c 4 /4G ne vérifiez toutes les

sont pas observées observations
Des valeurs de force > c 4 /4G ne vérifiez toutes les tentatives
peuvent pas être produites possibles
Des valeurs de force > c 4 /4G ne vérifiez toutes les
sont pas locales ou ne sont pas dues observations
à un transport d ’énergie
Des valeurs de force > c 4 /4G ne résolvez tous les paradoxes
peuvent être imaginées
Une valeur maximale de force de montrez que toutes les
c 4 /4G est cohérente conséquences, même
bizarres, sont confirmées
par l ’observation
déduisez-en la théorie de la
relativité générale
attacher des observateurs* sur celle-ci.

Ce principe impose une limite aux muscles, aux effets des marteaux, à l ’écoulement
de matière, à l ’accélération des corps massifs, et à bien d ’autres encore. Aucun système
ne peut créer, mesurer ou ressentir une force supérieure à cette limite. Aucune particule,
aucune galaxie et aucun bulldozer ne peuvent la surpasser.
L’existence d ’une force limite possède une conséquence séduisante. Dans la nature,
les forces peuvent être mesurées. Chaque mesure est une comparaison avec un standard.
La force limite fournit une unité naturelle de force qui s’ajuste dans le système d ’unités
naturelles** que Max Planck dériva de c, G et h (ou ħ). La force maximale fournit donc
un étalon de force valable à chaque endroit de l ’espace et à chaque instant du temps.
La valeur limite de c 4 /4G se distingue de l ’unité que Planck proposa sur deux points.
Premièrement, le facteur numérique est différent (Planck avait dans l ’esprit la valeur
c 4 /G). Deuxièmement, l ’unité de force est une valeur limitante. À cet égard, la force
Réf. 80 maximale joue le même rôle que la vitesse maximale. Comme nous le verrons plus tard,
cette propriété limite est également valide pour toutes les autres unités de Planck, une
Page ?? fois que les facteurs numériques ont été correctement corrigés. Le facteur 1/4 n’a pas
de signification plus profonde : c ’est juste la valeur qui conduit à la forme correcte des
équations du champ de la relativité générale. Ce facteur 1/4 dans la limite est également
requis pour retrouver, dans des situations plus courantes, la loi en l ’ inverse du carré de
Page 115 la gravitation universelle. Lorsque ce facteur est correctement pris en considération, la
* Les observateurs en relativité générale, comme en relativité restreinte, sont des systèmes physiques possé-
dant une masse qui est si petite que leur influence sur le système observé est imperceptible.
** Lorsque Planck découvrit le quantum d ’action, il remarqua également qu ’ il était possible de définir des
Page ?? unités naturelles. Lors d ’une promenade dans la forêt au voisinage de Berlin avec son fils alors âgé de sept
force (ou puissance) maximale est simplement donnée par l ’énergie de Planck (corrigée)
divisée par la longueur de Planck (corrigée) ou le temps de Planck.
L’expression de la force maximale inclut la vitesse de la lumière c et la constante gra-
vitationnelle G ; elle peut donc être qualifiée d ’expression de la gravitation relativiste. Le
principe fondamental de la relativité restreinte établit que la vitesse v vérifie v ⩽ c pour

tous les observateurs. De manière analogue, le principe de base de la relativité générale
établit que, dans tous les cas, la force F et la puissance P vérifient F ⩽ c 4 /4G et P ⩽ c 5 /4G.
Il importe peu que l ’observateur mesure la force ou la puissance tout en se déplaçant avec
une vitesse élevée par rapport au système observé, tout en étant en chute libre ou tout en
étant fortement accéléré. Cependant, nous verrons qu ’ il est essentiel que l ’observateur
relève des valeurs mesurées à son emplacement propre et que l ’observateur soit réaliste,
c ’est-à-dire constitué de matière et non séparé du système par un horizon. Ce sont les
mêmes contraintes qui doivent être vérifiées par des observateurs mesurant la vitesse en
relativité restreinte.
Puisque la puissance physique est la force multipliée par la vitesse, et puisque la nature
fournit une vitesse limite, la borne de la force et la borne de la puissance sont équivalentes.
Nous avons déjà vu que la force et la puissance apparaissent ensemble dans la définition
Page 71 de la quadri-force, nous pouvons donc affirmer que cette borne supérieure s’applique à
chaque composante d ’une force, ainsi qu ’à sa grandeur. La borne de la puissance limite
le débit d ’énergie des moteurs des voitures et des motos, des ampoules, des lasers, des
astres, des sources de rayonnement gravitationnel et des galaxies. Elle est équivalente à
1, 2 ⋅ 1049 chevaux-vapeur. Le principe de puissance maximale établit qu ’ il n’existe au-
cune manière de fournir ou de se débarrasser de l ’énergie plus rapidement que cette
borne.
La puissance limite peut être comprise intuitivement en remarquant que chaque mo-
teur produit des échappements, c ’est-à-dire une certaine quantité de matière ou d ’énergie
qui est délaissée. Pour une ampoule, une étoile ou un trou noir en évaporation, les échap-
pements sont les rayonnements émis. Pour une voiture ou un moteur à réaction ce sont
des gaz chauds, pour une turbine à eau l ’échappement est l ’eau qui se déplace lentement
en quittant la turbine, pour une fusée c ’est la matière éjectée à son extrémité arrière,
pour un photon qui fuse ou un moteur électrique, c ’est l ’énergie électromagnétique. À
chaque fois que la puissance d ’un moteur se rapproche de la valeur limite, les échap-
pements s’accroissent de façon drastique en termes de masse–énergie. Pour des masses
dégagées extrêmement élevées, l ’attraction gravitationnelle issue de ces échappements –
même s’ ils ne sont que rayonnements – empêche une accélération supplémentaire du
moteur par rapport à ceux-ci. Le principe de puissance maximale exprime donc le fait
qu ’ il existe un mécanisme automatique de freinage dans la nature, ce mécanisme de ra-
lentissement est la gravité.
De plus, une autre limite analogue surgit lorsque la puissance maximale est divisée
par c 2 .
⊳ Il existe un taux maximum de variation de la masse dans la nature :
dm c 3
⩽ = 1,0 ⋅ 1035 kg/s . (106)
dt 4G
ans, il lui déclara qu ’ il avait fait une découverte aussi importante que celle de la gravitation universelle.
Cette borne impose une limite aux pompes, aux moteurs à réaction et à ceux qui mangent
très rapidement. En réalité, le débit d ’écoulement de l ’eau ou d ’une matière quelconque
à l ’ intérieur des conduits est restreint. La limite de l ’écoulement de masse est manifeste-
ment équivalente à l ’une des deux limites, de la force ou de la puissance.
Cette revendication d ’une force, puissance ou variation de masse maximale dans la

nature semble presque trop saugrenue pour être vraie. Notre première tâche consiste par
conséquent à la vérifier empiriquement de la manière la plus complète possible.
L’ évidence expérimentale
De même que le principe de vitesse maximale, le principe de force maximale doit en
premier lieu être contrôlé de manière expérimentale. Michelson a consacré une grande
partie de sa vie de chercheur à rechercher des variations possibles dans la valeur de la
vitesse de la lumière. Personne n’a jusqu ’à présent consacré autant d ’efforts à tester la
force ou la puissance maximale. Toutefois, il faut reconnaître honnêtement qu ’aucune
expérience, qu ’elle soit microscopique, macroscopique ou astronomique, n’a jamais me-
suré des valeurs de force supérieures à la limite établie. De nombreuses personnes ont
prétendu avoir réalisé des vitesses plus grandes que celle de la lumière. Jusque-là, per-
sonne n’a jamais proclamé avoir produit une force plus importante que la valeur limite.
Les accélérations colossales que les particules éprouvent lors des collisions à l ’ inté-
rieur du Soleil, dans les accélérateurs les plus puissants ou dans les réactions induites
par les rayons cosmiques correspondent à des grandeurs de forces beaucoup plus petites
que la force limite. Il en est de même pour les neutrons dans les étoiles à neutrons, pour
les quarks à l ’ intérieur des protons, et pour toute la matière qui a été observée en train
de chuter en direction des trous noirs. En outre, la recherche de singularités de l ’espace-
temps, qui pourraient permettre à des forces d ’atteindre ou de dépasser la force limite,
est restée infructueuse.
Dans le domaine astronomique, toutes les forces qui agissent entre les étoiles ou les ga-
laxies se situent en deçà de la valeur limite, comme le sont les forces qui agissent en leur
sein. Même les interactions qui agissent entre deux moitiés quelconques de l ’ Univers
n’excèdent pas la limite, à condition qu ’une division physiquement raisonnable entre
les deux moitiés soit prise en compte. (La signification de « division physiquement rai-
Page 113 sonnable » sera donnée ci-après, pour des divisions qui ne sont pas raisonnables, des ex-
ceptions à cette exigence de force maximale peuvent être construites. Vous devriez vous
Défi 142 s amuser à rechercher une telle exception.)
Les astronomes ne sont également pas parvenus à découvrir une quelconque région
de l ’espace-temps dont la courbure (une notion qui est introduite plus bas) est assez
grande pour permettre aux forces de surpasser la force limite. En fait, aucune des très
nombreuses observations récentes des trous noirs n’a permis de révéler des forces supé-
rieures à la valeur limite ou des objets plus petits que le rayon du trou noir correspondant.
Les observations n’ont pareillement pas réussi à trouver une situation qui pourrait per-
mettre à un observateur rapide d ’observer une grandeur de force qui dépasse la limite,
grâce au facteur d ’ impulsion relativiste.
La limite à la puissance peut aussi être vérifiée expérimentalement. Il apparaît que la
puissance – ou la luminosité – des étoiles, des quasars, des pulsars binaires, des sursauts
gamma, des galaxies ou des amas de galaxies peut en réalité représenter une fraction
significative de la puissance limite. Toutefois, aucune violation de cette frontière n’a été
Réf. 82 constatée jusqu ’à présent. En fait, la somme de toute la lumière émise par tous les astres
de l ’ Univers ne dépasse pas la limite. De la même manière, les sources les plus intenses
d ’ondes gravitationnelles, des trous noirs qui fusionnent, n’excèdent pas la puissance
limite. Seule la luminosité des trous noirs qui s’évaporent, dans leur phase terminale,

peuvent égaler cette limite. Mais, jusqu ’à ce jour, on n’en a jamais observé. (Le fait que
des sources dans l ’ Univers puissent à elles seules approcher la puissance limite, alors que
l ’ Univers tout entier doit également obéir à celle-ci, constitue le paradoxe de la puissance.
Page 113 Nous en dirons plus ci-dessous.)
De façon similaire, tous les débits d ’écoulement de masse observés ont des ordres de
grandeur inférieurs à la limite associée. Même des systèmes physiques qui sont les ana-
logues mathématiques des trous noirs – par exemple, des trous noirs acoustiques silen-
cieux ou des trous noirs optiques – n’ infirment pas les limites à la force et à la puissance,
lesquelles sont vérifiées dans les systèmes correspondants.
La réalité expérimentale est quelque peu décevante. Les expériences ne contredisent
pas les valeurs limites. Mais ces données ne les confirment pas non plus. La raison en
est que dans la vie quotidienne et dans les systèmes expérimentalement accessibles, les
horizons sont absents. Nous rencontrons la vitesse maximale à la base de la relativité
restreinte presque partout, la force maximale et la puissance maximale ne se manifestent
Page 119 presque nulle part. Nous proposerons ci-dessous quelques tests consacrés aux limites qui
pourraient être atteintes à l ’avenir.
En déduire la relativité générale*

Afin d ’ériger les limites de la force et de la puissance maximales en principes phy-
siques fondamentaux, il n’est pas suffisant de montrer qu ’elles sont cohérentes avec ce
que nous observons dans la nature. Il est nécessaire de vérifier qu ’elles impliquent la théo-
rie complète de la relativité générale. (Cette section est destinée uniquement aux lecteurs
qui connaissent déjà les équations du champ de la relativité générale. Les autres devraient
Page 103 passer à la section suivante.)
Afin de déduire la théorie de la relativité, nous avons besoin d ’étudier minutieusement
les systèmes qui réalisent cette limite. Dans le cas de la théorie restreinte de la relativité, le
système principal qui réalise la vitesse limite est la lumière. Pour cette raison, la lumière
est primordiale dans l ’exploration de la relativité restreinte. Dans le cas de la relativité gé-
nérale, les systèmes qui réalisent cette limite sont moins évidents. Nous remarquons tout
d ’abord qu ’une force (ou puissance) maximale ne peut pas être réalisée dans tout un
volume d ’espace. Si cela était possible, une simple poussée de Lorentz** pourrait trans-
former cette force (ou puissance) en une valeur plus élevée. Par conséquent, la nature
ne peut réaliser de force et de puissance maximales que sur des surfaces, non sur des
volumes. De plus, ces surfaces doivent être inaccessibles. Ces surfaces inaccessibles sont
Réf. 80 élémentaires pour la relativité générale, elles sont appelées horizons. La force et la puis-
sance maximales n’apparaissent que sur des horizons. Nous avons rencontré ceux-ci en
Page 85 relativité restreinte, où ils étaient définis comme des surfaces qui imposent des limites
* Cette section peut être sautée en première lecture. (La preuve mentionnée date de décembre 2003.)
** Une poussée de Lorentz a été définie en relativité restreinte comme un changement de point de vue pour
un deuxième observateur se déplaçant par rapport au premier.
Force maximale c4/4G, Première loi de la Équations

mécanique de
Puissance maximale sont est du champ
l'horizon
c5/4G, équivalents équivalent de la
à aux relativité
(équation de
Variation de masse générale

l'horizon)
maximale c3/4G
F I G U R E 48 Présentation de l’équivalence de la force ou puissance maximale avec les équations du
champ de la relativité générale.
à l ’observation. (Remarquez le contraste avec la vie courante, où un horizon est simple-

ment une ligne, et non une surface.) Cette définition d ’un horizon comme étant une
surface de force (ou puissance) maximale est équivalente à la définition d ’une surface
au-delà de laquelle aucun signal ne peut être reçu. Dans les deux cas, un horizon est une
surface au-delà de laquelle l ’ interaction demeure impossible.
La correspondance entre les horizons et la force maximale est un point capital de la
gravitation relativiste. Elle est aussi importante que le rapport qui existe entre la lumière
et la vitesse maximale en relativité restreinte. Dans celle-ci, nous avons montré que le
fait que la vitesse de la lumière soit la vitesse maximale dans la nature implique la trans-
formation de Lorentz. En relativité générale, nous allons maintenant démontrer que la
force maximale dans la nature, que nous pouvons baptiser force de l ’ horizon, implique
les équations du champ de la relativité générale. Pour atteindre cet objectif, nous com-
mençons avec la remarque pertinente qu ’un flux d ’énergie traverse tous les horizons. Ce
flux dépend de la courbure de l ’ horizon, comme nous le verrons. Cette correspondance
implique que des horizons ne peuvent être plats, puisqu ’un plan s’étendant à l ’ infini
impliquerait un flux infini d ’énergie.
La déduction des équations de la relativité générale ne se fait qu ’en deux étapes,
comme l ’ indique la Figure 48. Dans la première, on montre que le principe de force
ou puissance maximale implique la première « loi » de la mécanique de l ’ horizon. Dans
la seconde, on montrera que cette première « loi » implique les équations du champ de
la relativité générale.
L’ horizon fini le plus simple est une sphère statique, correspondant à un trou noir
de Schwarzschild. Un horizon sphérique est caractérisé par son rayon de courbure R
ou, de manière équivalente, par sa gravité de surface a. Ces deux quantités sont reliées
par 2aR = c 2 . Maintenant, l ’écoulement d ’énergie à travers n’ importe quel horizon est
toujours fini par extension lorsqu ’ il est mesuré le long de la direction de propagation.
Nous pouvons alors parler plus précisément d ’une impulsion d ’énergie. Toute impul-
sion d ’énergie qui traverse un horizon est donc caractérisée par une énergie E et une
longueur propre L. Lorsque cette impulsion d ’énergie s’écoule perpendiculairement à
travers un horizon, le taux de variation de la quantité de mouvement, ou la force, pour
un observateur situé sur l ’ horizon est
F=
E
. (107)
L
Notre but est de montrer que l ’existence d ’une force maximale implique la relativité
générale. Maintenant, la force maximale est réalisée sur des horizons. Nous avons ainsi
besoin d ’ insérer les valeurs maximales possibles de chaque côté de l ’équation (107) et de
montrer que la relativité générale en découle.
En utilisant la valeur de la force maximale et l ’aire 4πR 2 pour un horizon sphérique,

nous obtenons :
c4
=
E
4πR 2 . (108)
4G LA
La fraction E/A représente l ’énergie par unité de surface s’écoulant à travers n’ importe
quelle aire A qui est une partie d ’un horizon. L’ insertion des valeurs maximales est ache-
vée lorsque nous remarquons que la longueur L de l ’ impulsion d ’énergie est restreinte
par le rayon R. La limite L ⩽ R découle de considérations géométriques : vue depuis le
côté concave de l ’ horizon, l ’ impulsion doit être plus courte que le rayon de courbure.
Un argument indépendant est le suivant. La longueur L d ’un objet accéléré d ’un facteur
Réf. 83 a est limitée, par la relativité restreinte, par L ⩽ c 2 /2a. La relativité restreinte montre déjà
que cette limite est associée à l ’émergence d ’un horizon. Avec la relation (108), l ’alléga-
tion que les horizons sont des surfaces de force maximale conduit à la relation importante
suivante pour des horizons sphériques et statiques :
c2
E= aA. (109)
8πG
Cette équation de l ’ horizon relie le flux d ’énergie E qui traverse une surface A d ’un
horizon sphérique à la gravité de surface a. Elle établit que l ’énergie qui s’écoule à travers
un horizon est limitée, que cette énergie est proportionnelle à l ’aire de cet horizon, et
que le flux d ’énergie est proportionnel à la gravité de surface. (L’équation de l ’ horizon
est également appelée première loi de la mécanique du trou noir ou première loi de la
Réf. 84 mécanique de l ’ horizon.)
La dérivation ci-dessus conduit également au résultat intermédiaire suivant :
c4 A
E⩽ . (110)
16πG L
Cette variante de l ’équation de l ’ horizon formule plus clairement le fait qu ’aucune sur-
face autre qu ’un horizon ne peut parvenir au flux d ’énergie maximal, lorsque l ’aire et la
longueur de l ’ impulsion (ou la gravité de surface) sont données. Aucun autre domaine
de la physique ne fait de déclarations comparables : elles sont intrinsèques à la théorie de
la gravitation.
Une dérivation alternative de l ’équation de l ’ horizon peut débuter en mettant l ’accent
sur la puissance au lieu de la force, en utilisant P = E/T comme équation de départ.
Il est important de souligner que les équations de l ’ horizon (109) et (110) découlent
uniquement de deux hypothèses : premièrement, il existe une vitesse maximale dans la
nature et, deuxièmement, il existe une force (ou puissance) maximale dans la nature. Au-
cune théorie spécifique de la gravitation n’est présumée. L’équation de l ’ horizon pour-
rait même être testée de manière expérimentale, comme il est argumenté ci-dessous.
(Nous remarquons également que l ’équation de l ’ horizon – ou, de façon équivalente,

la force ou puissance limite – implique un taux de variation de masse maximal dans la
nature donné par dm/dt ⩽ c 3 /4G.)
Ensuite, nous devons généraliser l ’équation de l ’ horizon, des horizons sphériques et
statiques aux horizons généraux. Puisque la force maximale est supposée valide pour tous

les observateurs, qu ’ ils soient au repos ou accélérés, la généralisation est immédiate. Pour
un horizon dont la courbure est irrégulière ou variable au cours du temps, l ’équation de
l ’ horizon devient :
c2
δE = a δA . (111)
8πG
Cette relation différentielle – qui devrait être baptisée équation généralisée de l ’ horizon
– est valable pour un horizon quelconque. Elle peut être appliquée séparément pour
chaque morceau δA d ’un horizon spatialement ou dynamiquement variable. L’équation
généralisée de l ’ horizon (111) a été comprise comme étant équivalente à la relativité géné-
rale au moins depuis 1995, lorsque cette équivalence fut (implicitement) démontrée par
Jacobson. Nous montrerons que cette équation différentielle de l ’ horizon joue le même
Réf. 85
rôle pour la relativité générale que l ’équation dx = c dt pour la relativité restreinte. Désor-
mais, lorsque nous évoquerons l ’équation de l ’ horizon, nous sous-entendrons la forme
différentielle générale (111) de cette relation.
Il est instructif de reformuler le comportement des impulsions d ’énergie de longueur
L d ’une manière qui reste valable pour n’ importe quelle surface, même s’ il ne s’agit pas
d ’un horizon. En réitérant la dérivation précédente, nous obtenons
c4 1
⩽
δE
. (112)
δA 16πG L
L’égalité est réalisée uniquement quand la surface A est un horizon. En d ’autres termes,
à chaque fois que la valeur δE/δA dans un système physique approche celle du membre
de droite, un horizon commence à se former. Cette correspondance sera essentielle dans
notre discussion sur les contradictions apparentes des principes limites.
Si nous nous souvenons que, sur un horizon, la longueur L de l ’ impulsion vérifie
L ⩽ c 2 /2a, il devient clair que l ’équation généralisée de l ’ horizon est une conséquence
de la force maximale c 4 /4G ou de la puissance maximale c 5 /4G. De plus, l ’équation de
l ’ horizon prend aussi en compte la vitesse maximale, laquelle est à l ’origine de la relation
L ⩽ c 2 /2a. L’équation de l ’ horizon découle donc complètement de ces deux limites de
la nature.
La partie restante de l ’argumentation est tout simplement la dérivation de la relativité
générale à partir de l ’équation généralisée de l ’ horizon. Cette déduction fut tacitement
Réf. 85 conduite par Jacobson, et les étapes indispensables en sont données dans les paragraphes
qui suivent. (Jacobson n’avait pas insisté sur le fait que sa dérivation était aussi valable
pour un espace-temps continu, ou que son argument pouvait aussi être utilisé en relati-
vité générale classique.) Pour visualiser le rapport qui existe entre l ’équation généralisée
de l ’ horizon (111) et les équations du champ, nous avons juste besoin de généraliser cette
équation aux systèmes de coordonnées généralisées et aux directions quelconques du flux
de l ’énergie–impulsion. Nous y parvenons en introduisant la notation tensorielle qui est
adaptée à l ’espace-temps courbé.

Pour étendre l ’équation généralisée de l ’ horizon, nous introduisons l ’élément géné-
ral de surface dΣ et le champ vectoriel de Killing k de la poussée de Lorentz locale qui
engendre l ’ horizon (avec la norme appropriée). Jacobson utilisa ces deux quantités pour
récrire le membre de gauche de l ’équation généralisée de l ’ horizon (111) comme suit :

δE = ∫T ab k
a
dΣ b , (113)
où Tab représente le tenseur énergie–impulsion. Cette expression donne manifestement

l ’énergie à l ’ horizon pour des systèmes de coordonnées arbitraires et des directions quel-
conques du flux d ’énergie.
Le principal résultat de Jacobson est que le facteur a δA dans la partie droite de l ’équa-
tion généralisée de l ’ horizon (111) peut être reformulé, en tirant profit de l ’équation de
Raychaudhuri (purement géométrique), comme suit :
a δA = c 2 ∫R a
dΣ b ,
ab k (114)
où R ab est le tenseur de Ricci décrivant la courbure de l ’espace-temps. Cette relation

décrit comment les propriétés locales de l ’ horizon dépendent de la courbure locale.
En combinant ces deux étapes, l ’équation généralisée de l ’ horizon (111) devient
c4
∫T ab k
a
dΣ b = ∫R ab k
a
dΣ b . (115)
8πG
Jacobson montra alors que cette équation, combinée avec la conservation locale de l ’éner-
gie (c ’est-à-dire l ’annulation de la divergence du tenseur énergie–impulsion), ne peut
être satisfaite que si
c4
Tab = (R ab − ( + Λ)дab ) ,
R
(116)
8πG 2
où R représente le scalaire de Ricci et Λ est une constante d ’ intégration pour laquelle

la valeur n’est pas déterminée par ce problème. Les équations ci-dessus constituent les
équations complètes du champ de la relativité générale, incluant la constante cosmolo-
gique Λ. Les équations du champ résultent donc de l ’équation de l ’ horizon. Elles sont
par conséquent représentées comme étant valides aux horizons.
Puisqu ’ il est possible, en choisissant une transformation de coordonnées appropriée,
de placer un horizon à n’ importe quel point souhaité de l ’espace-temps, les équations du
champ doivent être valables partout, dans tout l ’espace-temps. Cette observation achève
l ’argumentation de Jacobson. Puisque les équations du champ découlent, via l ’équa-
tion de l ’ horizon, du principe de force maximale, nous avons également démontré qu ’à
chaque point de l ’espace-temps dans la nature la même force maximale s’applique : la
valeur de la force maximale est un invariant et une constante de la nature.
En d ’autres termes, les équations du champ de la relativité générale sont une consé-
quence directe de la limite sur le flux d ’énergie aux horizons, lequel en fin de compte
est dû à l ’existence d ’une force (ou puissance) maximale. En réalité, comme Jacobson
le montra, l ’argument fonctionne dans les deux sens. La force (ou puissance) maximale,
l ’équation de l ’ horizon et la relativité générale sont équivalentes.
En bref, le principe de force maximale représente une manière simple d’exprimer le fait
que, sur des horizons, le flux d’énergie est proportionnel à l ’aire et à la gravité de surface.
Cette correspondance permet de déduire complètement la théorie de la relativité géné-

rale. En particulier, une valeur de force maximale est suffisante pour indiquer à l ’espace-
temps comment il doit être courbé. Nous explorerons les particularités de cette relation
sous peu. Remarquez que si aucune force limite n’existait dans la nature il serait pos-
sible de « prélever » n’ importe quelle quantité souhaitée d ’énergie à travers une surface
donnée, comprenant n’ importe quel horizon. Dans ce cas, le flux d ’énergie ne serait pas
proportionnel à l ’aire, les horizons n’auraient pas les propriétés qu ’ ils ont, et la relativité
générale ne pourrait pas s’appliquer. Nous avons ainsi une idée de la manière dont le flux
maximal d ’énergie, le flux maximal d ’ impulsion et le flux maximal de masse sont asso-
ciés aux horizons. Ce lien est plus évident pour des trous noirs, où l ’énergie, l ’ impulsion
Page 243 ou la masse sont ce qui tombe dans le trou noir.
Par ailleurs, puisque la dérivation de la relativité générale à partir du principe de force
maximale ou à partir du principe de puissance maximale est dorénavant bien établie,
nous pouvons baptiser à juste titre ces limites force de l ’ horizon et puissance de l ’ hori-
zon. Toute confirmation expérimentale ou théorique des équations du champ confirme
indirectement leur existence.
L’ espace-temps est courbé

Imaginez deux observateurs qui commencent à se déplacer parallèlement l ’un à
l ’autre et qui continuent à avancer en ligne droite. Si, après un moment, ils découvrent
qu ’ ils ne se déplacent plus parallèlement l ’un à l ’autre, alors ils peuvent en déduire
Défi 143 s qu ’ ils se sont déplacés sur une surface incurvée (essayez !) ou dans un espace courbé.
En particulier, cela se produit près d ’un horizon. La dérivation précédente a montré
qu ’une force maximale finie implique que tous les horizons sont courbes ; la courbure
des horizons entraîne ensuite la courbure de l ’espace-temps. Si la nature n’avait que des
horizons plats, il n’y aurait pas d ’espace-temps courbe. L’existence d ’une force maxi-
male implique que l ’espace-temps est courbé.
Un horizon si fortement courbé qu ’ il forme une frontière fermée, comme la surface
Page 241 d ’une sphère, est appelé un trou noir. Nous étudierons les trous noirs en détail plus loin.
La propriété principale d ’un trou noir, comme celle de n’ importe quel horizon, est qu ’ il
est impossible de définir ce qui se trouve « derrière » la frontière*.
L’analogie qui existe entre relativité restreinte et relativité générale peut être pous-
sée plus loin. En relativité restreinte, la vitesse maximale implique dx = c dt, et la vari-
ation du temps dépend de l ’observateur. En relativité générale, la force (ou puissance)
maximale implique l ’équation de l ’ horizon δE = 8πG c2
a δA et l ’observation que l ’espace-
temps est courbé.
La force (ou puissance) maximale possède donc le même double rôle en relativité
générale que la vitesse maximale en relativité restreinte. Dans celle-ci, la vitesse de la lu-
mière est la vitesse maximale, elle représente également la constante de proportionnalité
* De façon analogue, il est impossible en relativité restreinte de détecter ce qui se déplace plus vite que la
limite de la lumière.
qui relie l ’espace et le temps, comme le souligne l ’équation dx = c dt. En relativité géné-
rale, la force de l ’ horizon est la force maximale ; elle apparaît également (avec un facteur
2π) dans les équations du champ comme étant la constante de proportionnalité qui relie
l ’énergie et la courbure. La force maximale décrit donc à la fois l ’élasticité de l ’espace-
temps et – si nous employons la représentation simple de l ’espace-temps comme étant

un milieu dans lequel nous sommes baignés – la tension maximale à laquelle l ’espace-
temps peut être soumis. Ce double rôle d ’une constante matérielle comme facteur de
proportionnalité et comme valeur limite est bien connu dans les sciences de la matière.
Cette similitude vous fait penser à l ’éther ? Ne vous inquiétez pas : la physique n’a pas
Page 108 besoin du concept d ’éther, parce qu ’ il est indiscernable du vide. La relativité générale
décrit l ’espace vide comme une sorte de milieu qui peut être déformé et déplacé.
Pourquoi la force maximale est-elle également le facteur de proportionnalité entre la
courbure et l ’énergie ? Imaginez l ’espace-temps comme un matériau élastique. L’élasti-
cité d ’un matériau est décrite par une constante matérielle numérique. La définition la
plus simple de cette constante matérielle est le rapport entre la contrainte (la force par
unité de surface) et la déformation (la variation relative de la longueur). Une définition
exacte doit prendre en compte la géométrie de la situation. Par exemple, le module de ci-
saillement G (ou µ) décrit la difficulté à déplacer deux surfaces parallèles d ’un matériau
l ’une contre l ’autre. Si une force F est nécessaire pour déplacer deux surfaces parallèles
d ’aire A et de longueur l l ’une contre l ’autre d ’une distance ∆l, alors nous définissons
le module de cisaillement G par
=G
F ∆l
. (117)
A l
Le module de cisaillement pour les métaux et les alliages varie entre 25 et 80 GPa. La
théorie des milieux continus appliquée aux solides montre que, pour n’ importe quel
solide cristallin dépourvu d ’ impuretés (un solide « parfait »), il existe une contrainte de
cisaillement théorique : lorsqu ’on applique des contraintes supérieures à cette valeur, le
matériau cède. La contrainte de cisaillement théorique, en d ’autres mots la contrainte
maximale dans un matériau, est donnée par
G cct =
G
. (118)
2π
La contrainte maximale est donc principalement donnée par le module de cisaillement.
Cette correspondance est similaire à celle que nous avons rencontrée pour le vide. En
réalité, imaginer le vide comme un milieu matériel qui peut être tordu est un procédé
Réf. 86 utile pour mieux comprendre la relativité générale. Nous l ’utiliserons régulièrement par
la suite.
Que se passe-t-il quand on exerce une contrainte sur le vide avec la force maximale ?
Est-il également déchiré comme un solide ? Oui : en réalité, lorsque le vide est déchiré,
des particules surgissent. Nous en saurons plus à propos de ce phénomène plus tard :
puisque les particules sont des entités quantiques, nous avons d ’abord besoin d ’étudier
la théorie quantique avant que nous puissions en décrire les effets dans la dernière partie
de notre ascension montagneuse.
C onditions de validité des limites de la force et de la puissance

La valeur de la force maximale est valable uniquement sous certaines conditions. Pour
éclaircir ce point, nous pouvons la comparer à la vitesse maximale. La vitesse de la lu-
mière (dans le vide) est une borne supérieure pour le mouvement des systèmes simple-
ment dotés d ’une quantité de mouvement ou d ’une énergie. Elle peut, cependant, être

dépassée pour des mouvements de points immatériels. En réalité, le point de découpage
d ’une paire de ciseaux, un point de lumière laser sur la Lune, la vitesse de groupe ou la
Page 51 vitesse de phase de paquets d ’ondes peuvent dépasser la vitesse de la lumière. De plus,
la vitesse de la lumière est une limite uniquement si elle est mesurée près de la masse ou
de l ’énergie qui se déplace : la Lune avance plus vite que la lumière si nous faisons un
tour sur nous-mêmes en une seconde, des points éloignés dans un univers de Friedmann
s’éloignent les uns des autres avec des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière. Fi-
nalement, l ’observateur doit être réaliste : il doit être constitué de matière et d ’énergie,
il doit donc avancer plus lentement que la lumière, et doit être capable d ’observer le sys-
tème. Aucun système se déplaçant à une vitesse égale ou supérieure à celle de la lumière
Réf. 87 ne peut représenter un observateur.
Ces trois mêmes conditions s’appliquent en relativité générale. En particulier, la gra-
vitation relativiste interdit l ’existence d ’observateurs et de masses ponctuels : ils ne sont
pas réalistes. Des surfaces se déplaçant plus vite que la lumière ne sont également pas réa-
listes. Dans ces cas, nous pouvons trouver des contradictions à l ’ idée de la force maxi-
male. Essayez d ’en découvrir une – de nombreuses sont possibles, et elles sont toutes
Défi 144 s fascinantes. Nous en explorerons quelques-unes parmi les plus importantes ci-après.
Un autre point mériterait d ’être mentionné. La relativité générale implique une puis-
sance et une force maximales. La déduction inverse, celle des équations du champ de la
relativité générale à partir de la force ou puissance maximale, est correcte uniquement
sous l ’ hypothèse que la gravitation est purement géométrique. C ’est l ’énoncé primor-
dial de la relativité générale. Si le mécanisme de la gravitation était fondé sur d ’autres
champs, tels que des particules inconnues jusqu ’ ici, l ’équivalence entre la gravitation et
une force maximale ne pourrait être établie.
Expériences de pensée et parad oxes sur la force limite
“
Wenn eine Idee am Horizonte eben aufgeht, ist
gewöhnlich die Temperatur der Seele dabei sehr
kalt. Erst allmählich entwickelt die Idee ihre
Wärme, und am heissesten ist diese (das heisst
sie tut ihre grössten Wirkungen), wenn der
Glaube an die Idee schon wieder im Sinken ist.
Friedrich Nietzsche*
”
* « Quand une idée émerge tout juste à l ’ horizon, la température de l ’esprit par rapport à celle-ci est habi-
tuellement très froide. Ce n’est que petit à petit que l ’ idée développe sa chaleur, et elle est la plus chaude
(ce qui signifie qu ’elle exerce sa plus forte influence) lorsque la conviction dans cette idée est déjà une nou-
velle fois en train de décliner. » Friedrich Nietzsche (1844–1900) fut un philosophe et savant allemand. Cette
phrase est l ’aphorisme 207 – Sonnenbahn der Idee – tiré de son ouvrage Menschliches Allzumenschliches –
Der Wanderer und sein Schatten.
La dernière étape, bien que cruciale, dans notre discussion de la force limite est la
même que dans la discussion de la vitesse limite. Nous avons besoin de montrer que
n’ importe quelle expérience concevable – pas seulement une qui soit réelle – vérifie l ’ hy-
pothèse. Selon une convention qui remonte au début du vingtième siècle, une telle expé-
rience imaginaire est dénommée une expérience de pensée, en anglais on dit « Gedanken

experiment » d ’après l ’expression allemande « Gedankenexperiment ».
Pour invalider toutes les tentatives concevables permettant de dépasser la vitesse maxi-
male, il suffit d ’étudier les propriétés de l ’addition des vitesses et la divergence de l ’éner-
gie cinétique près de la vitesse de la lumière. Dans le cas de la force maximale, la tâche est
beaucoup plus compliquée. En effet, énoncer une force maximale, une puissance maxi-
male et une variation maximale de masse engendre facilement de nombreuses tentatives
pour les contredire. Nous allons maintenant discuter de quelques-unes d ’entre elles.
∗∗
L’ approche brutale de la force. La tentative la plus simple pour dépasser la force limite est
de tenter d ’accélérer un objet avec une force plus élevée que la valeur maximale. Mainte-
nant, l ’accélération implique le transfert de l ’énergie. Ce transfert est limité par l ’équa-
tion de l ’ horizon (111) ou par la limite (112). Pour chaque tentative de surpasser cette force
limite, l ’écoulement de l ’énergie engendre l ’apparition d ’un horizon. Mais un horizon
empêche cette force de dépasser la limite, parce qu ’elle impose une borne à l ’ interaction.
Nous pouvons explorer directement cette limite. En relativité restreinte, nous avons
Page 88 remarqué que l ’accélération d ’un objet est restreinte par sa longueur. En fait, à une dis-
tance donnée par c 2 /2a dans la direction opposée à l ’accélération a, un horizon se forme.
En d ’autres termes, un corps accéléré se brise, au plus tard, en ce point. La force F qui
agit sur un corps de masse M et de rayon R est donc limitée par
F⩽
M 2
c . (119)
2R
L’ajout des effets (généralement minuscules) de la gravitation est immédiat. Pour être
observable, un corps accéléré doit demeurer plus gros qu ’un trou noir ; en y insérant le
rayon correspondant R = 2GM/c 2 , nous obtenons la force limite (104). Des tentatives
dynamiques pour dépasser la force limite échouent donc forcément.
∗∗
La tentative par la corde. Nous pouvons aussi essayer de produire une force plus élevée
dans une situation statique, par exemple en tirant sur les deux extrémités d ’une corde
dans des directions opposées. Nous supposons pour simplifier qu ’une corde incassable
puisse exister. Pour produire une force dépassant la valeur limite, nous avons besoin
d ’emmagasiner une très grande énergie (élastique) dans cette corde. Cette énergie doit
être introduite à partir des extrémités. Lorsque nous augmentons la tension de la corde
vers des grandeurs de plus en plus élevées, de plus en plus d ’énergie (élastique) doit être
stockée dans des distances de plus en plus petites. Pour surpasser la force limite, nous
aurions besoin d ’ajouter plus d ’énergie par unité de distance et de surface que celle qui
est permise par l ’équation de l ’ horizon. Un horizon surgit donc inévitablement. Mais
il n’existe aucune manière de tendre une corde à travers un horizon, même si elle est
incassable. Un horizon conduit soit à la brisure de la corde, soit à son détachement du

système de traction. Des horizons interdisent donc de générer des forces supérieures à la
force limite. En réalité, l ’ hypothèse d ’une puissance filaire infinie n’est pas nécessaire :
la force limite ne peut pas être dépassée même si la puissance contenue dans un fil est
finie.

Nous remarquons qu ’ il n’est pas important que la force appliquée soit une force qui
tire – comme pour les cordes ou les fils – ou qui pousse. Si nous poussons deux objets
l ’un contre l ’autre, une tentative pour accroître sans fin la valeur de la force conduira
également à la formation d ’un horizon, à cause de la limite imposée par l ’équation de
l ’ horizon. Par définition, cela se produit précisément au moment où la force limite est
atteinte. Comme il n’y a aucune manière de pousser (ou tirer) quelque chose en présence
d ’un horizon, la tentative pour atteindre une force plus élevée s’achève une fois que
l ’ horizon s’est formé. Des forces statiques ne peuvent pas dépasser la valeur limite.
∗∗
L’essai par le freinage. Une force limite impose une variation maximale de la quantité
de mouvement par unité de temps. Nous pouvons donc rechercher une manière de stop-
per un système physique en mouvement si brutalement que la force maximale devrait
être surpassée. L’ inexistence de corps rigides dans la nature, déjà mise en évidence avec
Page 88 la relativité restreinte, rend impossible le fait de s’arrêter subitement, mais la relativité
restreinte ne donne en elle-même aucune limite inférieure pour le temps de freinage.
Toutefois, l ’ introduction de la gravitation le fait. Arrêter un système mobile implique un
transfert d ’énergie. Le flux d ’énergie par unité de surface ne peut pas dépasser la valeur
fournie par l ’équation de l ’ horizon. Par conséquent, nous ne pouvons pas dépasser la
force limite en freinant un objet.
De la même manière, si un système rapide est réfléchi au lieu d ’être stoppé, une cer-
taine quantité d ’énergie exige d ’être transférée et emmagasinée pendant un court instant.
Par exemple, lorsqu ’une balle de tennis rebondit sur un grand mur, sa quantité de mou-
vement est modifiée et une force est appliquée. Si un grand nombre de balles identiques
rebondissent en même temps, une force assurément plus grande que la limite peut-elle
être réalisée ? Il apparaît que c ’est impossible. Si nous le tentions, l ’énergie qui est trans-
férée au mur parviendrait à la limite donnée par l ’équation de l ’ horizon et engendrerait
alors un horizon. Dans ce cas, la réflexion ne serait plus possible. Donc la limite ne peut
pas être dépassée.
∗∗
La tentative par le rayonnement classique. À la place de systèmes qui tirent, poussent,
freinent ou réfléchissent la matière, nous pouvons explorer des systèmes dans lesquels
c ’est le rayonnement qui est concerné. Cependant, l ’argumentation se tient exactement
de la même manière, que soient mis en jeu des photons, des gravitons ou d ’autres parti-
cules. En particulier, les miroirs, comme les murs, sont limités dans leurs facultés.
Il est également impossible de produire une force supérieure à la force maximale en
concentrant une grande quantité de lumière sur une surface. La même situation que pour
les balles de tennis se manifeste : quand la valeur limite E/A donnée par l ’équation de
l ’ horizon (112) est obtenue, un horizon apparaît, empêchant la limite d ’être enfreinte.
∗∗
La tentative avec des briques. Les limites de la force et de la puissance peuvent également
être testées avec des expériences de pensée plus tangibles. Nous pouvons tenter de dépas-
ser la force limite en entassant des poids. Mais même bâtir une tour en brique infiniment
haute n’engendre pas une force suffisamment forte au niveau de ses fondations : en inté-

grant le poids, en prenant en considération sa décroissance avec la hauteur, on produit
une valeur finie qui ne peut pas parvenir à la force limite. Si nous augmentons conti-
nuellement la densité des briques, nous avons besoin de prendre en compte le fait que la
tour et la Terre se transformeront en un trou noir. Et les trous noirs, comme mentionné
ci-dessus, n’autorisent pas le dépassement de la force limite.
∗∗
L’essai avec la poussée de Lorentz. Une poussée peut apparemment être choisie de telle
manière qu ’une valeur de force F dans un référentiel soit transformée en n’ importe
Réf. 88 quelle valeur souhaitée F ′ dans un autre référentiel. Toutefois, ce résultat n’est pas phy-
sique. Pour être plus concret, imaginez un observateur massif, mesurant la valeur F, au
repos par rapport à une grande masse, et un second observateur se déplaçant en direc-
tion de cette masse conséquente avec une vitesse relativiste, mesurant la valeur F ′ . Les
deux observateurs peuvent être imaginés comme étant aussi petits qu ’on le désire. Si
nous convertissons le champ de force au repos F en appliquant la transformation de
Lorentz, la force F ′ pour l ’observateur mobile peut atteindre des valeurs extrêmement
élevées, à condition que la vitesse soit suffisamment grande. Cependant, une force doit
être mesurée par un observateur situé en un point précis. Nous devons par conséquent
vérifier ce qui se passe quand l ’observateur rapide avance en direction de la région où
la force est supposée dépasser la force limite. Imaginez que l ’observateur possède une
masse m et un rayon r. Pour être un observateur digne de ce nom, il doit être plus grand
qu ’un trou noir ; en d ’autres termes, son rayon doit vérifier r > 2Gm/c 2 , ce qui implique
que cet observateur possède une taille non négligeable. Lorsque celui-ci plonge dans le
champ de force entourant la sphère, il y aura un écoulement d ’énergie E vers l ’observa-
teur déterminé par la valeur du champ transformé et l ’aire de son intersection avec l ’ob-
servateur. Cette énergie d ’ interaction peut être rendue aussi petite qu ’on le souhaite, en
choisissant un observateur suffisamment petit, mais l ’énergie n’est jamais nulle. Quand
l ’observateur mobile s’approche de l ’énorme charge massive, l ’énergie de l ’ interaction
augmente. Avant que l ’observateur n’arrive au point où la force était supposée être supé-
rieure à la force limite, l ’énergie de l ’ interaction aura atteint les limites de l ’ horizon (111)
ou (112) pour l ’observateur. Par conséquent, un horizon surgit et l ’observateur mobile
est empêché d ’observer quoi que ce soit, en particulier n’ importe quelle valeur que ce
soit au-delà de la force de l ’ horizon.
La même restriction apparaît quand des interactions électriques ou autres sont analy-
sées en utilisant un observateur-test qui est chargé. En résumé, les poussées de Lorentz
ne peuvent vaincre la force limite.
∗∗
L’offensive par la divergence. La force agissant sur une masse m située à une distance
Réf. 82 radiale d d ’un trou noir de Schwarzschild (pour Λ = 0) est donnée par
F= √
GMm
. (120)
M
d 2 1 − 2G
dc 2
De plus, la loi en l ’ inverse du carré de la gravitation universelle déclare que la force

agissant entre deux masses m et M est

F=
GMm
. (121)
d2
Ces deux expressions peuvent prendre n’ importe quelle valeur, ce qui suggère qu ’ il
n’existe aucune force limite maximale.
Une étude méticuleuse montre que la force maximale reste toujours valide. En réalité,
la force dans ces deux situations diverge uniquement pour des masses ponctuelles, non
physiques. Ainsi, la force maximale implique une distance d ’approche minimale, pour
une masse m, donnée par
dmin = 2 .
2Gm
(122)
c
La distance minimale d ’approche – en termes élémentaires, ceci devrait correspondre
au rayon du trou noir associé – interdit d ’atteindre une distance nulle entre deux masses
ou entre un horizon et une masse. Cela implique qu ’une masse ne peut jamais être ponc-
tuelle, et qu ’ il existe une distance d ’approche (réelle) minimale, proportionnelle à la
masse. Si ce minimum est inséré dans les équations (120) et (121), nous obtenons
c4 c4
F= √ ⩽
Mm 1
4G (M + m)
(123)
2
1− M 4G
M+m
et
c4 c4
F= ⩽
Mm
. (124)
4G (M + m)2 4G
La valeur de la force maximale n’est donc jamais dépassée tant que nous prenons en
compte la taille des observateurs et des objets.
∗∗
Le problème de cohérence. Si les observateurs ne peuvent être ponctuels, nous devrions
nous demander s’ il est toujours correct d ’appliquer la définition initiale de la variation
de la quantité de mouvement ou de la variation de l ’énergie comme l ’ intégrale des va-
leurs mesurées par des observateurs attachés à une surface donnée. En relativité générale,
les observateurs ne peuvent être ponctuels, mais ils peuvent être aussi petits que souhai-
tés. La définition originale reste donc applicable lorsqu ’elle est considérée comme étant
une procédure limite pour une taille d ’observateur qui décroît toujours. Bien évidem-
ment, si la théorie quantique est prise en compte, cette procédure limite touche à sa fin à
la longueur de Planck. Ce n’est pas un problème pour la relativité générale, tant que les
dimensions caractéristiques de la situation sont beaucoup plus grandes que cette valeur.
∗∗
La question quantique. Si les effets quantiques sont négligés, il est possible de construire
des surfaces ayant des angles pointus ou même des formes fractales qui surpassent la
Défi 145 pe force limite. Toutefois, de telles surfaces ne sont pas physiques, puisqu ’elles supposent
que des longueurs plus petites que la longueur de Planck peuvent être réalisées ou mesu-

rées. La condition qu ’une surface soit physique entraîne qu ’ il devrait y avoir une incer-
Réf. 80 titude intrinsèque donnée par la longueur de Planck. Une étude détaillée indique que les
effets quantiques ne permettent pas à la force de l ’ horizon d ’être dépassée.
∗∗
La tentative de l ’observateur relativiste extrême. Tout observateur extrême, qu ’ il soit en
mouvement inertiel rapide ou accéléré, n’a aucune chance de devancer la limite. En phy-
sique classique, nous sommes habitués à imaginer que l ’ interaction nécessaire pour réali-
ser une mesure peut être aussi petite qu ’on le veut. Cette affirmation, toutefois, n’est pas
valable pour tous les observateurs, en particulier des observateurs extrêmes ne peuvent
pas la satisfaire. Pour eux, l ’ interaction de la mesure est énorme. Ainsi, un horizon se
forme et empêche la limite d ’être dépassée.
∗∗
L’essai microscopique. Nous pouvons tenter de dépasser la force limite en accélérant une
petite particule aussi fortement que possible ou en la faisant entrer en collision avec
d ’autres particules. Des forces gigantesques apparaissent en réalité lorsque deux parti-
cules de haute énergie sont écrasées l ’une contre l ’autre. Toutefois, si l ’énergie cumulée
de ces deux particules devenait assez élevée pour défier la force limite, un horizon appa-
raîtrait avant qu ’elles puissent être suffisamment proches.
En fait, la théorie quantique aboutit exactement à la même conclusion. Elle prévoit
déjà en elle-même une limite à l ’accélération. Pour une particule de masse m, elle est
Réf. 89 donnée par
2mc 3
a⩽ . (125)
ħ
Ici, ħ = 1,1 ⋅ 10−34 Js représente le quantum d ’action, une constante fondamentale de

la nature. En particulier, cette accélération limite est vérifiée dans les accélérateurs de
particules, dans les collisions de particules et dans les créations de paires virtuelles. Par
exemple, l ’apparition spontanée des paires électron–positron dans les champs électroma-
gnétiques intenses ou près des horizons des trous noirs respecte la limite (125). En intro-
duisant la masse maximale possible pour une particule élémentaire, à savoir la masse de
Page ?? Planck (corrigée), nous trouvons alors que l ’équation (125) établit que la force de l ’ hori-
zon est la borne supérieure pour les particules élémentaires.
∗∗
L’offensive par le compactage. Les trous noirs représentent-ils réellement la forme la plus
dense de matière ou d ’énergie ? L’étude de la thermodynamique des trous noirs montre
que des concentrations de masse ayant des densités plus fortes que les trous noirs contre-
Réf. 82 diraient les principes de la thermodynamique. Dans la thermodynamique des trous noirs,
la surface et l ’entropie sont reliées : des processus réversibles qui réduisent l ’entropie
pourraient être réalisés si les systèmes physiques pouvaient être comprimés à des valeurs
plus petites que le rayon du trou noir. Par conséquent, la taille d ’un trou noir est la taille
limite pour une masse dans la nature. De manière équivalente, la force limite ne peut pas
être dépassée dans la nature.

∗∗
La tentative d ’addition des forces. En relativité restreinte, la composition des vitesses par
une simple addition vectorielle n’est pas possible. De manière identique, dans le cas des
forces, une telle somme naïve est incorrecte ; ainsi toute tentative pour additionner des
forces engendrerait un horizon. Si les manuels de relativité avaient exploré le comporte-
ment des vecteurs de force sous l ’addition avec le même soin qu ’ ils l ’ont fait avec les
vecteurs vitesse, la borne de la force serait apparue beaucoup plus tôt dans la littérature.
(Évidemment, la relativité générale est requise pour un traitement rigoureux.)
∗∗
Pouvez-vous proposer et résoudre une autre tentative pour dépasser la force ou la puis-
Défi 146 r sance limite ?
Expériences de pensée sur la puissance limite et le flux limite de

masse
Comme la borne de la force, la borne de la puissance doit être valide pour tous les
systèmes imaginables. Nous présentons ici quelques idées pour tenter de la réfuter.
∗∗
La tentative par le funiculaire. Imaginez un moteur qui accélère un objet à l ’aide d ’un
câble incassable dénué de masse (en supposant qu ’un tel câble puisse exister). Au mo-
ment où le moteur atteint la barrière de la puissance, celui-ci ou son échappement attein-
drait l ’équation de l ’ horizon. Lorsqu ’un horizon se forme, le moteur ne peut pas conti-
nuer à tirer le câble, puisqu ’un câble, même infiniment résistant, ne peut pas traverser
un horizon. La limite de la puissance est donc respectée, que le moteur soit installé à
l ’ intérieur du corps en accélération ou à l ’extérieur, à l ’extrémité du câble qui le tire.
∗∗
La tentative de la montagne. Il est possible de définir une surface qui serait si étrangement
courbée qu ’elle passerait juste au-dessous des noyaux de chaque atome d ’une montagne,
comme la surface A indiquée sur la Figure 49. Tous les atomes de la montagne situés au-
dessus du niveau de la mer sont alors juste au-dessus de la surface, la touchant à peine. En
outre, imaginez que cette surface se déplace vers le haut presque à la vitesse de la lumière.
Il n’est pas difficile de montrer que l ’écoulement de masse à travers cette surface est plus
élevé que le flux limite de masse. En fait, on attribue au flux limite de masse c 3 /4G une
valeur d ’environ 1035 kg/s. En un temps de 10−22 s, soit le diamètre d ’un noyau divisé
par la vitesse de la lumière, 1013 kg seulement ont besoin de traverser la surface : c ’est la
masse d ’une montagne.
Cette surface semble fournir un contre-exemple à la limite. Toutefois, une attention
minutieuse montre que ce n’est pas le cas. Le problème vient de l ’expression « juste au-
6 000 m
montagne

noyaux
surface A
F I G U R E 49 La tentative de la
montagne pour dépasser la valeur
0m
surface B maximale du flux de masse.
dessous ». Les noyaux sont des particules quantiques et possèdent une incertitude quant à
leur position ; cette indétermination est essentiellement la distance de noyau à noyau. Par
conséquent, afin d ’être certain que la surface qui nous intéresse ait bien tous les atomes
au-dessus d ’elle, la forme ne peut pas être celle de la surface A de la Figure 49. Elle doit
être plutôt une surface plane qui reste au-dessous de la montagne entière, comme la sur-
face B de la figure. Cependant, une surface plane située sous une montagne ne permet
pas de dépasser la variation limite de masse.
∗∗
L’essai avec de nombreux atomes. Nous pouvons imaginer un nombre d ’atomes égal à
celui d ’une montagne, qui se tiennent tous (approximativement) dans un plan unique et
largement espacés les uns des autres. Une nouvelle fois, le plan se déplace vers le haut à la
vitesse de la lumière. Mais, même dans ce cas, l ’ incertitude sur les positions atomiques
fait qu ’ il est impossible d ’affirmer que la limite à l ’écoulement de la masse a été dépassée.
∗∗
L’offensive des trous noirs multiples. Les trous noirs sont typiquement énormes, et l ’ in-
certitude sur leur position est donc négligeable. La masse limite c 3 /4G, ou la puissance
limite c 5 /4G, correspond au flux d ’un unique trou noir traversant une surface plane à
la vitesse de la lumière. Plusieurs trous noirs passant ensemble à travers un plan à une
vitesse juste inférieure à celle de la lumière semblent donc vaincre la limite. Toutefois,
la surface doit être physique : on doit pouvoir positionner un observateur à chacun de
ses points. Mais aucun observateur ne peut traverser un trou noir. Un trou noir perfore
donc réellement la surface plane. Personne ne peut affirmer qu ’un quelconque trou noir
a traversé une surface plane, même sans faire appel à une telle quantité de trous noirs. La
limite demeure valide.

∗∗
La tentative des étoiles à neutrons multiples. Le flux limite de masse semble être atteint
lorsque plusieurs étoiles à neutrons (qui sont légèrement moins denses qu ’un trou noir

de même masse) traversent une surface plane en même temps, à une vitesse élevée. Ce-
pendant, quand la vitesse approche celle de la lumière, les temps de traversée pour des
points éloignés des étoiles à neutrons et pour ceux qui traversent réellement les étoiles
sont très différents. Les étoiles à neutrons qui sont presque à l ’état de trou noir ne peuvent
pas être traversées de part en part en un temps court selon une horloge de référence qui
est située loin des étoiles. À nouveau, la limite n’est pas dépassée.
∗∗
L’essai par la luminosité. L’existence d ’une luminosité maximale a été discutée par les
Réf. 82 astrophysiciens. En toute généralité, la borne maximale sur la puissance, c ’est-à-dire sur
l ’énergie par unité de temps, est valable pour chaque flux d ’énergie traversant n’ importe
quelle surface physique, quelle qu ’elle soit. Cette surface physique peut même recouvrir
l ’ Univers tout entier. Pourtant, même en rassemblant toutes les chandelles, toutes les
étoiles et toutes les galaxies de l ’ Univers, on ne recouvrira jamais une surface qui aurait
une puissance d ’émission supérieure à la limite proposée.
La surface doit être physique*. Une surface est physique si un observateur peut être
placé sur chacun de ses points. En particulier, une surface physique ne peut pas traverser
un horizon, ou avoir une caractéristique locale plus fine qu ’une certaine longueur mi-
Page ?? nimale. Cette longueur minimale, qui sera introduite plus tard, est fixée par la longueur
de Planck corrigée. Si une surface n’est pas physique, elle peut représenter un contre-
Défi 147 s exemple aux limites de la force et de la puissance. Cependant, ces contradictions ne per-
mettent pas d ’affirmer quoi que ce soit concernant la nature. (Ex falso quodlibet**.)
∗∗
La tentative des nombreuses sources lumineuses, ou paradoxe de la puissance. Une limite
absolue pour la puissance impose une limite sur le flux d ’énergie qui s’écoule à travers
n’ importe quelle surface imaginable. À première vue, il peut apparaître que la puissance
cumulée émise par deux sources de rayonnement qui émettent chacune 3/4 de la valeur
maximale devrait donner une fois et demie cette valeur. Cependant, de telles chandelles
cosmiques devraient être si massives qu ’elles formeraient un trou noir. Aucune quantité
de rayonnement, qui dépasse cette limite, ne peut en sortir. À nouveau, puisque la limite
de l ’ horizon (112) est franchie, un horizon se présente, il absorbe la lumière et empêche
la force ou la puissance limite d ’être dépassée.
∗∗
La tentative de la concentration de lumière. Une autre approche consiste à illuminer une
masse ronde avec un flash lumineux sphérique, bref et intense. À première vue, il semble
* Elle peut également être qualifiée de physiquement raisonnable.

** Nous pouvons déduire n’ importe quoi à partir d ’une affirmation fausse. (Cette propriété de la logique
classique énonce que, si une proposition est à la fois fausse et vraie, alors tout autre énoncé est vrai. [N.d.T.])
que les limites de la force et de la puissance puissent être surpassées, parce que l ’énergie
lumineuse peut être concentrée dans des volumes minuscules. Toutefois, une concentra-
tion colossale d ’énergie lumineuse forme un trou noir ou incite la masse à en former
un. Il n’existe aucune manière de prélever de l ’énergie dans une masse à un débit plus
rapide que celui dicté par la puissance limite. En réalité, il est impossible de regrouper

des sources lumineuses de telle manière que leur émission totale soit supérieure à la puis-
sance limite. Chaque fois que l ’on s’approche de la force limite, un horizon se forme et
empêche cette limite d ’être franchie.
∗∗
L’offensive par le trou noir. Un système possible dans la nature qui atteint réellement la
puissance limite est la phase finale de l ’évaporation d ’un trou noir. Cependant, même
dans ce cas, la puissance limite n’est pas dépassée mais seulement égalée.
∗∗
L’essai par l ’écoulement d ’eau. Nous pouvons essayer de pomper de l ’eau aussi rapide-
ment que possible à travers un grand tube dont l ’aire de la section transversale est A.
Malgré tout, quand un tube de longueur L rempli avec de l ’eau s’écoulant à une vitesse
v s’approche de la limite de l ’écoulement de masse, la force de gravité exercée par l ’eau
attendant d ’être pompée à travers l ’aire A fera ralentir l ’eau qui est en train d ’être pom-
pée à travers cette surface. La limite est une nouvelle fois atteinte lorsque la section A se
transforme en un horizon.
Le fait de vérifier qu ’aucun système – du microscopique à l ’astrophysique – n’excède

jamais la puissance maximale ou le flux maximal de masse constitue une épreuve supplé-
mentaire pour la relativité générale. Il peut sembler facile de trouver une contradiction,
puisque cette surface peut traverser l ’ Univers tout entier ou envelopper n’ importe quel
nombre de réactions entre particules élémentaires. Cependant, tous ces efforts sont vains.
En résumé, dans toutes les situations qui défient la force, la puissance ou le flux de
masse limite, à chaque fois que le flux d ’énergie atteint la densité de masse–énergie du
trou noir dans l ’espace ou le flux de l ’ impulsion correspondante dans le temps, un hori-
zon des événements surgit. Cet horizon fait qu ’ il est impossible de dépasser les limites.
Ces trois limites sont confirmées à la fois par les observations et par la théorie. Des va-
leurs dépassant ces limites ne peuvent ni être produites ni être mesurées. Les expériences
de pensée montrent également que ces trois bornes sont celles qui sont les plus strictes
possibles. Évidemment, elles sont ouvertes à des tests ultérieurs et à des expériences de
pensée supplémentaires. (Si vous réussissez à en dénicher une excellente, signalez-le à
Défi 148 r l ’auteur.)
L a vérité se cache
L’absence d ’ horizons dans la vie quotidienne constitue la première raison pour la-
quelle le principe de la force maximale est resté dissimulé pendant si longtemps. Les
expériences dans la vie courante ne peuvent mettre en évidence les limites de la force ou
de la puissance. La deuxième raison pour laquelle ce principe est demeuré caché, c ’est la
croyance erronée dans l ’existence des particules ponctuelles. C ’est une justification théo-
rique. (Les préjugés contre le concept de force en relativité générale y furent également
pour quelque chose.) Le principe de force maximale – et de puissance maximale – est
donc resté enfoui durant tant de temps à cause d ’une « conspiration » de la nature qui
l ’a dissimulé à la fois aux yeux des théoriciens et des expérimentateurs.
Afin de comprendre soigneusement la relativité générale, il est essentiel de rappeler

que les particules ponctuelles, les masses ponctuelles et les observateurs assimilés à des
points n’existent pas. Ils ne sont que des approximations applicables uniquement en phy-
sique galiléenne ou en relativité restreinte. En relativité générale, les horizons interdisent
leur existence. L’ habitude de croire qu ’on peut rendre la taille d ’un système aussi petite
que souhaité, tout en conservant sa masse, empêche de révéler l ’existence de la force ou
puissance limite.
Une compréhension intuitive de la relativité générale
“
Wir leben zwar alle unter dem gleichen Himmel,
aber wir haben nicht alle den gleichen
Horizont*.
Konrad Adenauer
Les idées de force de l ’ horizon et de puissance de l ’ horizon peuvent être utilisées

comme fondements pour une approche directe et intuitive de la relativité générale.
∗∗
Qu ’est-ce que la gravitation ? Parmi les nombreuses réponses possibles que nous ren-
contrerons, nous en tenons maintenant une : la gravitation est l ’ « ombre » de la force
maximale. Toutes les fois que nous ressentons faiblement la gravitation, nous pouvons
nous rappeler qu ’un autre observateur situé au même endroit et au même instant ressen-
tirait la force maximale. Un bon exercice consiste à rechercher les propriétés précises de
cet observateur. Une autre manière de le dire : s’ il n’y avait pas de force maximale, la
gravitation ne pourrait exister.
∗∗
La force maximale implique l ’attraction universelle. Pour le vérifier, nous allons étudier
un système planétaire élémentaire, c ’est-à-dire doté de vitesses et de forces faibles. Un
système planétaire simple de taille L est composé d ’un (petit) satellite tournant autour
d ’une masse centrale M à une distance radiale R = L/2. Notons a l ’accélération de l ’ob-
√ la condition
jet. Une vitesse faible implique aL ≪ c 2 , déduite de la relativité restreinte.
Une force faible implique 4GMa ≪ c , déduite à partir de la force limite. Ces condi-
2
tions sont valables pour le système tout entier et pour toutes ses composantes. Ces deux
expressions possèdent les dimensions d ’une vitesse au carré. Puisque √ ce système n’a
qu ’une seule vitesse caractéristique, les deux expressions aL = 2aR et 4GMa doivent
être proportionnelles, entraînant
a= f 2 ,
GM
(126)
R
* « Nous vivons tous sous le même ciel, mais nous n’avons pas tous le même horizon. » Konrad Adenauer
(1876–1967), chancelier d ’Allemagne de l ’Ouest.
où le facteur numérique f reste à déterminer. Pour ce faire, nous étudions la vitesse de

libération nécessaire pour s’échapper du corps central. Cette vitesse d ’échappement doit
être plus petite que la vitesse de la lumière pour un corps quelconque plus grand qu ’un
trou noir. Celle-ci, dérivée à partir de l ’expression (126), pour un corps de masse M et
de rayon R est donnée par v lib 2
= 2 f GM/R. Le rayon minimal R des objets, donné par
R = 2GM/c , implique alors que f = 1. Par conséquent, pour des vitesses lentes et des

2
forces faibles, la loi en l ’ inverse du carré décrit l ’orbite d ’un satellite autour d ’une masse
centrale.
∗∗
Si l ’espace-temps vide est flexible, comme une feuille métallique, alors il doit également
être capable d ’osciller. N ’ importe quel système physique peut présenter des oscillations
lorsqu ’une déformation engendre une force de rétablissement. Nous avons vu plus haut
qu ’ il existe une telle force dans le vide : elle est appelée gravitation. En d ’autres termes,
le vide doit pouvoir osciller et, puisqu ’ il est étendu, il doit également être capable d ’en-
tretenir la propagation d ’ondes. En réalité, les ondes gravitationnelles sont prédites par
Page 154 la relativité générale, comme nous le verrons plus loin.
∗∗
Si la courbure et l ’énergie sont reliées, la vitesse maximale doit également être valable
pour l ’énergie gravitationnelle. En fait, nous découvrirons que la gravité possède une
vitesse de propagation finie. La loi en l ’ inverse du carré de la vie quotidienne ne peut
pas être exacte, puisqu ’elle est incompatible avec une vitesse limite quelconque. Des in-
formations supplémentaires concernant les corrections induites par la vitesse maximale
permettront bientôt d ’y voir plus clair. De plus, puisque les ondes gravitationnelles sont
des ondes d ’énergie sans masse, nous nous attendons à ce que la vitesse maximale soit
Page 154 celle de leur propagation. Comme nous le verrons, c ’est effectivement le cas.
∗∗
Un corps ne peut pas être plus dense qu ’un trou noir (statique) de même masse. Les
limites de la force et de la puissance maximales, qui s’appliquent aux horizons, font qu ’ il
est impossible de comprimer une masse en horizons encore plus petits. La limite de la
force maximale peut par conséquent être reformulée comme une contrainte sur la taille
L des systèmes physiques de masse m :
L⩾
4Gm
. (127)
c2
Si nous appelons le double du rayon d ’un trou noir sa « taille », nous pouvons stipuler
qu ’aucun système physique de masse m n’est plus petit que cette valeur*. √ La taille limite
joue un rôle crucial en relativité générale. L’ inégalité inverse, m ⩾ A/16π c 2 /G, qui
définit la « taille » maximale des trous noirs, est appelée l ’ inégalité de Penrose et a été dé-
Réf. 90, Réf. 91, montrée dans un grand nombre de situations physiquement réalistes. On peut pressentir
Réf. 92
* La valeur maximale de la masse pour la taille limite est manifestement similaire à la variation maximale
de masse donnée plus haut.
que cette inégalité de Penrose implique la limite de la force maximale, et vice versa. Le
principe de la force maximale, ou la taille minimale équivalente des systèmes constitués
de matière–énergie, empêche donc la formation de singularités nues, et implique la vali-
dité de ce que nous appelons la censure cosmique.

∗∗
Il y a une puissance limite pour toutes les sources d ’énergie. En particulier, la valeur
c 5 /4G restreint la luminosité de toutes les sources gravitationnelles. En réalité, toutes les
formules concernant l ’émission d ’ondes gravitationnelles impliquent que cette valeur
Réf. 82 est une limite supérieure. En outre, les simulations numériques de la relativité ne l ’ont
jamais excédée : par exemple, la puissance émise durant la simulation de la fusion de
deux trous noirs reste en deçà de cette limite.
∗∗
Les ondes parfaitement planes n’existent pas dans la nature. Les ondes planes sont infi-
niment étendues. Mais ni les ondes électromagnétiques ni les ondes gravitationnelles ne
peuvent être infinies, puisque de telles ondes transporteraient une quantité de mouve-
ment par unité de temps à travers une surface plane supérieure à celle qui est permise
par la limite de la force. La non-existence d ’ondes gravitationnelles planes exclut aussi la
possibilité d ’apparition de singularités lorsque deux ondes de ce type interfèrent.
∗∗
Dans la nature, il n’existe pas de forces infinies. Il n’y a donc aucune singularité nue na-
turelle. Les horizons interdisent leur émergence. En particulier, le Big Bang n’était pas
une singularité. Les théorèmes mathématiques de Penrose et Hawking qui semblent en-
traîner l ’existence de singularités supposent implicitement que les masses ponctuelles
existent – souvent sous la forme de « poussières » – contrairement à ce que la relativité
générale présuppose. Un réexamen attentif de chacune de ces démonstrations s’ impose.
∗∗
La force limite signifie que l ’espace-temps possède une stabilité réduite. Cette limite sug-
gère que l ’espace-temps peut être déchiré en morceaux. C ’est effectivement le cas. Tou-
tefois, la manière dont cela se produit n’est pas décrite par la relativité générale. Nous
l ’étudierons dans la dernière partie de ce livre.
∗∗
La force maximale est l ’étalon de la force. Cela implique que la constante gravitationnelle
G est constante dans l ’espace et le temps – ou, du moins, que ses variations à travers
l ’espace et le temps ne peuvent pas être détectées. Les données actuelles corroborent
Réf. 93 cette affirmation jusqu ’à un haut degré de précision.
∗∗
Le principe de la force maximale entraîne que l ’énergie gravitationnelle – à condition
qu ’elle puisse être définie – chute dans les champs gravitationnels de la même manière
que les autres types d ’énergie. Ainsi, le principe de la force maximale prévoit que l ’ effet
Réf. 82 Nordtvedt disparaît. L’effet Nordtvedt est une variation périodique hypothétique dans
l ’orbite de la Lune qui apparaîtrait si l ’énergie gravitationnelle du système Terre–Lune

ne diminuait pas, comme d ’autres masses–énergies, dans le champ gravitationnel du
Soleil. Une large gamme de mesures lunaires a confirmé l ’absence de cet effet.
∗∗

Si les horizons sont des surfaces, nous pouvons nous demander de quelle couleur ils sont.
Page 241 Cette question sera explorée plus tard.
∗∗
Page ?? Nous découvrirons plus loin que les effets quantiques ne peuvent pas être mis à contri-
Défi 149 e bution pour dépasser la force ou puissance limite. (Pouvez-vous deviner pourquoi ? ) La
théorie quantique fournit également une limite au mouvement, à savoir une borne infé-
rieure pour l ’action. Cependant, cette limite est indépendante de la force ou puissance
maximale. (Une analyse dimensionnelle montre déjà cela : il n’existe aucune manière de
définir une action par une combinaison de c et G.) Par conséquent, même l ’association
de la théorie quantique avec la relativité générale n’est d ’aucune aide pour surpasser les
limites de la force et de la puissance.
Une perception intuitive de la cosmolo gie

Une puissance maximale constitue l ’explication la plus simple possible du paradoxe
d ’Olbers. La puissance et la luminosité sont deux désignations différentes de la même
observable. Le total de toutes les luminosités qui rayonnent dans l ’ Univers est fini ; la
lumière, et toute autre énergie, émise par tous les astres pris collectivement est finie. Si
nous supposons que l ’ Univers est homogène et isotrope, la puissance limite P ⩽ c 5 /4G
doit rester valide à travers n’ importe quel plan qui divise l ’ Univers en deux parties iden-
tiques. La partie de la luminosité de l ’ Univers qui parvient à la Terre est alors si ténue
que le ciel est noir la nuit. En fait, la luminosité réellement mesurée est toujours plus
petite que son estimation par le calcul, puisqu ’une grande partie de la puissance n’est
pas visible pour l ’ œil humain (étant donné que la majorité de celle-ci est de toute façon
constituée de matière). En d ’autres termes, la nuit est noire à cause de la puissance li-
mite de la nature. Cette explication ne contredit pas celle, plus banale, qui fait appel à la
durée de vie finie des astres, à leur densité finie, à leur taille finie, ainsi qu ’à l ’âge limité
et à l ’expansion de l ’ Univers. En réalité, la combinaison de tous ces arguments conven-
tionnels implique simplement, et ne fait que répéter en termes plus compliqués, que la
puissance limite ne peut pas être dépassée. Pourtant, cette explication plus simple semble
être absente de la littérature.
L’existence d ’une force maximale dans la nature, de concert avec l ’ homogénéité et
l ’ isotropie, implique que l ’ Univers visible est de taille finie. Le cas contraire serait un
Univers homogène, isotrope et infiniment grand. Mais, dans ce cas, deux moitiés quel-
conques de l ’ Univers s’attireraient l ’une vers l ’autre avec une force supérieure à la limite
(pourvu que l ’ Univers soit assez âgé). Ce résultat peut être quantifié en imaginant une
sphère centrée sur la Terre, qui contient tout l ’ Univers, et dont le rayon décroît avec le
temps presque aussi rapidement que la vitesse de la lumière. On conjecture alors que la
variation de masse dm/dt = ρAv atteint le flux limite de masse c 3 /4G. Nous avons donc
c3
= ρ 0 4πR 02 c =
dm
, (128)
dt 4G
une relation également prédite par les modèles de Friedmann. Les mesures de précision

Réf. 94
du rayonnement cosmologique de fond effectuées par le satellite WMAP confirment que
la densité totale d ’énergie ρ 0 actuelle (incluant la matière noire et l ’énergie sombre) et
que le rayon de l ’ horizon R 0 parviennent quasiment à la valeur limite. La limite de la
force maximale prédit donc la taille observée du cosmos.
Une puissance limite finie suggère également que nous pouvons conclure que l ’ Uni-
Défi 150 s vers possède un âge fini. Pouvez-vous en trouver un raisonnement ?
Défis expérimentaux pour le troisième millénaire

Le manque de tests directs sur la force, la puissance ou le flux de masse de l ’ horizon est
évidemment dû à l ’absence d ’ horizons dans l ’environnement de toutes les expériences
réalisées jusqu ’à présent. Malgré les difficultés pour parvenir aux limites, leurs valeurs
sont observables et réfutables.
En réalité, la force limite pourrait être examinée avec des mesures de haute précision
dans les pulsars binaires ou les trous noirs binaires. De tels systèmes permettent une
détermination précise de la position de chaque astre. Le principe de force maximale im-
plique une relation entre l ’ incertitude sur la position ∆x et l ’ incertitude sur l ’énergie
Réf. 80 ∆E. Pour tous les systèmes, nous avons
∆E c 4
⩽ . (129)
∆x 4G
Par exemple, une erreur sur la position de 1 mm donne une erreur sur la masse inférieure
à 3 ⋅ 1023 kg. Dans la vie quotidienne, toutes les mesures s’accordent avec cette relation.
En réalité, le membre de gauche de l ’ inégalité est tellement petit comparé au membre de
droite que nous faisons rarement allusion à cette relation. Pour une vérification directe,
seuls les systèmes qui pourraient accomplir l ’égalité pure et simple sont intéressants. Les
trous noirs doubles ou les pulsars doubles représentent de tels systèmes.
Il se pourrait qu ’un jour la quantité de matière chutant dans un trou noir, tel celui
situé au centre de la Voie lactée, puisse être mesurée. La borne dm/dt ⩽ c 3 /4G pourrait
alors être testée directement.
La puissance limite entraîne que les luminosités les plus intenses ne sont atteintes
que lorsque des systèmes émettent de l ’énergie à la vitesse de la lumière. En réalité,
la puissance émise maximale n’est approchée que lorsque toute la matière est diffu-
sée, par rayonnement dans l ’espace, le plus rapidement possible : la puissance émise
P = Mc 2 /(R/v) ne peut pas parvenir à la valeur maximale si le rayon R du corps est
supérieur à celui d ’un trou noir (le corps le plus dense pour une masse donnée) ou si la
vitesse d ’émission v est inférieure à celle de la lumière. Les sources ayant les plus fortes
luminosités doivent par conséquent être de densité maximale et émettre des entités dé-
pourvues de masse au repos, comme des ondes gravitationnelles, des ondes électroma-
gnétiques ou (probablement) des gluons. Les prétendants à la détection de ces limites

sont les trous noirs en formation, en évaporation ou ceux qui fusionnent.
Le ciel nocturne est une surface candidate qui parvient à la limite. La voûte céleste est
un horizon. Étant donné que les flux de lumière, de neutrinos, de particules et d ’ondes
gravitationnelles se cumulent, on prédit que la limite c 5 /4G est atteinte. Si la puissance

mesurée est inférieure à la limite (comme il semble que ce soit le cas en ce moment), cela
pourrait même fournir un indice sur l ’existence de nouvelles particules qui resteraient
à découvrir. Si la limite était dépassée ou loin d ’être atteinte, la relativité générale appa-
raîtrait comme étant fausse. Ceci constituerait un test expérimental très intéressant pour
l ’avenir.
La puissance limite implique qu ’une onde dont l ’ intégrale de l ’ intensité s’approche
de la force limite ne peut pas être plane. La puissance limite entraîne donc une restriction
sur le produit de l ’ intensité I (donnée comme une énergie par unité de temps et unité de
surface) par la taille (rayon de courbure) R du front d ’une onde se déplaçant à la vitesse
de la lumière c :
c5
4πR 2 I ⩽ . (130)
4G
De toute évidence, cette affirmation est difficile à vérifier expérimentalement, bien que
la fréquence et le type de l ’onde puissent l ’être, parce que la valeur apparaissant dans le
membre de droite est extrêmement grande. Des expériences futures probables avec des
détecteurs d ’ondes gravitationnelles, des détecteurs de rayons X, de rayons gamma, des
récepteurs radio ou des détecteurs de particules pourraient nous permettre de contrôler
la relation (130) avec rigueur. (Vous pourriez chercher à prédire laquelle de ces expé-
Défi 151 e riences confirmera la première cette limite. )
Le manque de tests expérimentaux directs sur les limites de la force et de la puissance
explique pourquoi les tests indirects sont particulièrement importants. Tous ces tests étu-
dient le mouvement de la matière ou de l ’énergie et le comparent avec une célèbre consé-
quence de la force et de la puissance limites : les équations du champ de la relativité
générale. Ce sera notre prochain domaine d ’exploration.
Un résumé de la relativité générale

Il existe une formulation axiomatique élémentaire de la relativité générale : la force de
l ’ horizon c 4 /4G et la puissance de l ’ horizon c 5 /4G sont les plus fortes valeurs possibles
pour la force et la puissance. Nous ne connaissons aucune observation qui contredise cela.
Il n’a été imaginé aucun contre-exemple. La relativité générale découle de ces limites. Par
ailleurs, ces limites expliquent l ’obscurité de la nuit et la finitude de la taille de l ’ Univers.
Le principe de la force maximale possède des applications évidentes dans l ’enseigne-
ment de la relativité générale. Ce principe met celle-ci à la portée des étudiants du pre-
mier niveau universitaire, et probablement aux élèves bien préparés du second cycle :
seuls les concepts de force maximale et d ’ horizon sont nécessaires. La courbure de
l ’espace-temps est une conséquence de la courbure de l ’ horizon.
Le concept d ’une force maximale met le doigt sur un autre aspect de la gravitation.
La constante cosmologique Λ n’est pas fixée par le principe de la force maximale. (Tou-
Défi 152 pe tefois, ce principe lui attribue un signe positif.) Des mesures récentes donnent le résultat
Page 221 Λ ≈ 10−52 /m2 . Une constante cosmologique positive entraîne l ’existence d ’une densité
d ’énergie négative −Λc 4 /G. Cette valeur correspond à une pression négative, puisque
la pression et la densité d ’énergie possèdent les mêmes dimensions. La multiplication
Page ?? par l ’aire de Planck (numériquement corrigée) 2Għ/c 3 , la plus petite aire dans la nature,
redonne une valeur pour la force de :

F = 2Λħc = 0,60 ⋅ 10−77 N . (131)
Elle représente également la√ √ de Planck

force gravitationnelle qui agit entre deux masses
(numériquement corrigées) ħc/8G situées à la distance cosmologique 1/4 Λ . Si nous
formulons l ’ hypothèse, quelque peu séduisante, que l ’expression (131) est la plus petite
force possible dans la nature (les facteurs numériques ne sont pas encore vérifiés), nous
obtenons la conjecture fascinante que la théorie complète de la relativité générale, in-
cluant la constante cosmologique, peut être définie par la combinaison d ’une force maxi-
Défi 153 d male et d ’une minimale dans la nature. (Pouvez-vous découvrir une force plus petite ?)
Il est plus compliqué de démontrer la conjecture de la force minimale que celle de la
force maximale. Jusqu ’à présent, seules certaines présomptions peuvent être formulées.
Comme la force maximale, la force minimale doit être compatible avec la gravitation, ne
doit pas être mise en défaut par une quelconque expérience, et doit résister à toute ex-
périence de pensée. Un examen rapide montre que cette force minimale, comme nous
venons de le souligner, nous permet de déduire la gravitation, est un invariant, et n’est
réfutée par aucune expérience. Il y a également un faisceau d ’ indices qui laisse présa-
ger qu ’ il n’existe probablement aucune manière d ’engendrer ou de mesurer une valeur
plus petite. Par exemple, la force minimale correspond à l ’énergie par unité de longueur
contenue dans un photon ayant une longueur d ’onde de la taille de l ’ Univers. Il est ardu
– mais peut-être pas impossible – d ’ imaginer la formation d ’une force encore plus petite.
Nous avons vu que le principe de la force maximale et la relativité générale ne par-
viennent pas à fixer la valeur de la constante cosmologique. Seule une théorie unifiée
peut le faire. Nous avons donc deux prérequis pour une telle théorie. Premièrement, toute
théorie unifiée doit prédire la même borne supérieure pour la force. Deuxièmement, une
théorie unifiée doit déterminer la constante cosmologique. L’apparition de ħ dans l ’ex-
pression conjecturée pour la force minimale suggère que celle-ci est établie par une com-
binaison de la relativité générale et de la théorie quantique. La démonstration de cette
hypothèse et la mesure directe de la force minimale constituent deux défis majeurs pour
notre ascension au-delà de la relativité générale.
Nous sommes dorénavant prêts à explorer les conséquences de la relativité générale
et ses équations du champ plus en détail. Nous allons commencer en nous concentrant
sur le concept de courbure de l ’espace-temps dans la vie quotidienne, et en particulier
sur ses conséquences pour l ’observation du mouvement.
R emerciements
L’auteur remercie Steve Carlip, Corrado Massa, Tom Helmond, Gary Gibbons, Hein-
rich Neumaier et Peter Brown pour leurs discussions passionnantes sur ces sujets.
La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique Traduit de l’anglais par Benoît Clénet disponible gratuitement sur www.motionmountain.net Copyright © Christoph Schiller Novembre 1997–Mai 2010
2 relativité générale
122
Chapitre 3
L E S I DÉ E S NOU V E L L E S SU R L’ E SPAC E ,

L E T E M P S ET L A G R AV I T É
“
Sapere aude.
Les attractions gravitationnelles transportent de l ’énergie**. Notre description du

mouvement doit par conséquent être assez précise pour supposer que ce transport puisse
Horace*
”
se produire tout au plus à la vitesse de la lumière. Henri Poincaré avait déjà exprimé cette
condition dès 1905. Les implications qui découlent de ce principe sont palpitantes : nous
découvrirons que l ’espace vide peut se déplacer, que l ’ Univers possède un âge fini et que
des objets peuvent être perpétuellement en chute libre. Il en ressortira que l ’espace vide
peut être courbé, bien qu ’ il soit beaucoup moins flexible que l ’acier. Malgré ces étranges
conséquences, la théorie et toutes ses prédictions ont été confirmées par toutes les expé-
riences.
La théorie de la gravitation universelle, qui décrit le mouvement engendré par la gra-
vité en utilisant la relation a = GM/r 2 , autorise des vitesses supérieures à celle de la lu-
mière. En réalité, la vitesse d ’une masse en orbite n’est pas limitée. La manière dont les
valeurs de a et de r dépendent de l ’observateur est également vague. Donc cette théorie
ne peut pas être exacte. Afin de parvenir à la description correcte, dénommée relativité gé-
nérale par Albert Einstein, nous devons jeter par-dessus bord un certain nombre d ’ idées
Réf. 95, Réf. 96 préconçues.
R epos et chu te libre

L’antithèse du mouvement dans la vie quotidienne est matérialisée par un corps au
repos, comme un enfant qui dort ou un rocher qui résiste aux vagues. Un corps est dit
au repos à chaque fois qu ’ il n’est pas perturbé par d ’autres corps. Dans la description
galiléenne du monde, le repos est l ’ absence de vitesse. En relativité restreinte, le repos
devient le mouvement inertiel, puisque aucun observateur en mouvement inertiel ne peut
faire la distinction entre son propre mouvement et le repos : rien ne le perturbe. Le rocher
dans les vagues et les protons qui traversent promptement la galaxie, comme les rayons
cosmiques, sont tous au repos. L’ intrusion de la gravité nous emmène tout droit vers une
définition encore plus générale.
Défi 154 e Si tout corps en mouvement inertiel doit être considéré comme étant au repos, alors
* « Ose être sage. » Quintus Horatius Flaccus, Épîtres, 1, 2, 40.

** Les particularités de cette affirmation sont loin d ’être évidentes. Elles sont discutées à la page 154 et à la
page 190.
124 3 les idées nouvelles sur l ’ espace, le temps et la gravité
tout corps en chute libre doit également l ’être. Joseph Kittinger le sait mieux que qui-
conque, lui qui, en août 1960, sauta de la capsule d ’un ballon à une hauteur record de
Réf. 97 31,3 km. À cette altitude, l ’air est si raréfié que, pendant la première minute de sa chute
libre, il se sentit complètement au repos, comme s’ il était en train de flotter. Bien qu ’étant
parachutiste expérimenté, il fut si étonné qu ’ il dut se tourner vers le haut afin de se

convaincre qu ’ il était vraiment en train de s’éloigner de son ballon ! Malgré son manque
flagrant de sensation de mouvement, il était en train de chuter à 274 m/s ou 988 km/h en
direction de la surface de la Terre. Il ne commença à ressentir quelque chose que lorsqu ’ il
rencontra les premières couches d ’air substantielles, ce qui se produisit lorsque sa chute
libre commença à être perturbée. Ensuite, après quatre minutes et demie de descente, son
parachute spécial s’ouvrit, et neuf minutes plus tard il atterrissait au Nouveau-Mexique.
Kittinger et tous les autres observateurs en chute libre, comme les cosmonautes qui
gravitent autour de la Terre ou les passagers des vols aériens paraboliques*, font la même
observation : il est impossible de distinguer quoi que ce soit survenant en chute libre
de ce qui surviendrait au repos. Cette impossibilité est appelée le principe d’équivalence,
c ’est l ’un des points de départ de la relativité générale. Elle conduit à la définition la plus
précise, et la dernière : le repos est la chute libre. Le repos est l ’absence de perturbation,
donc il est la chute libre.
L’ensemble de tous les observateurs chutant librement en un point de l ’espace-temps
généralise la notion relativiste (restreinte) d ’ensemble des observateurs inertiels ponc-
tuels. Cela signifie que nous devons décrire le mouvement de telle manière que non
seulement les observateurs inertiels mais également ceux chutant librement puissent se
comprendre. De plus, une description complète du mouvement doit être apte à décrire
la gravitation et le mouvement qu ’elle engendre, et doit être capable de décrire le mou-
vement pour n’ importe quel observateur concevable. La relativité générale y parvient.
En premier lieu, nous exprimons ce résultat en termes simples : le véritable mouve-
ment est le contraire de la chute libre. Ce postulat soulève immédiatement de nombreuses
questions : la plupart des arbres ou des montagnes ne sont pas en chute libre, donc ils
Défi 155 s ne sont pas au repos. Quel mouvement effectuent-ils ? Et si la chute libre est du repos,
qu ’est-ce que le poids ? Et, en fin de compte, que représente la gravité ? Commençons
par la dernière question.
Q u ’ est-ce que la gravité ? – Une deuxième réponse

Au début, nous avons décrit la gravité comme étant l ’ombre de la force maximale.
Mais il existe une deuxième façon de la décrire, plus proche de la vie courante. Comme
Réf. 98 William Unruh aime l ’expliquer, la constance de la vitesse de la lumière pour tous les
observateurs implique une conclusion élémentaire : la gravité est l ’avancement inégal
d’ horloges situées en des endroits différents**. Bien sûr, cette définition apparemment ab-
Défi 157 e surde a besoin d ’être vérifiée. Celle-ci ne dit rien concernant une unique situation per-
çue par des observateurs distincts, comme nous le faisions fréquemment en relativité
* Actuellement, il est possible de réserver de tels vols dans les agences de voyages spécialisées.
** La gravité est aussi la longueur inégale de mètres étalons situés en des endroits différents, comme nous
le verrons plus bas. Ces deux effets sont nécessaires pour la décrire de manière complète, mais dans la vie
courante sur Terre l ’effet des horloges est suffisant, puisqu ’ il est beaucoup plus significatif que l ’effet des
Défi 156 s longueurs, lequel peut généralement être ignoré. Pouvez-vous voir pourquoi ?
les idées nouvelles sur l ’ espace, le temps et la gravité 125
v(t)=gt
B lumière F
F I G U R E 50 À l’intérieur d’un train ou d’un bus en
accélération.

restreinte. Cette définition dépend du fait que des horloges adjacentes identiques, fixées
l ’une contre l ’autre, avancent différemment en présence d ’un champ gravitationnel lors-
qu ’elles sont regardées par le même observateur. Par ailleurs, cette différence est directe-
ment reliée à ce que nous appelons généralement la gravité. Il existe deux manières de
vérifier ce rapport : par l ’expérience et par le raisonnement. Commençons avec la der-
nière méthode, puisqu ’elle est plus économique, plus rapide et plus amusante.
Un observateur ne ressent aucune différence entre la gravité et une accélération
constante. Nous pouvons donc étudier l ’accélération constante et employer une manière
de réfléchir que nous avons déjà rencontrée dans le chapitre sur la relativité restreinte.
Supposons que de la lumière soit émise à l ’extrémité arrière d ’un train de longueur ∆h
qui est accéléré vers l ’avant avec une accélération д, comme indiqué sur la Figure 50. La
lumière arrive à l ’avant après une durée t = ∆h/c. Toutefois, pendant ce temps, le train en
accélération a gagné une certaine vitesse supplémentaire, à savoir ∆v = дt = д∆h/c. Par
conséquent, à cause de l ’effet Doppler que nous avons rencontré dans notre discussion
Page 50 sur la relativité restreinte, la fréquence f de la lumière parvenant à l ’avant est modifiée.
Défi 158 e En utilisant l ’expression de l ’effet Doppler, nous avons alors*
= 2 .
∆ f д∆h
(132)
f c
Le signe de la variation de fréquence dépend du fait que le mouvement de la lumière et

l ’accélération du train se font dans la même direction ou dans des directions opposées.
Défi 160 s Pour des trains ou des bus réels, la variation de fréquence est très petite, mais reste mesu-
rable. L’accélération induit des variations de fréquence pour la lumière. Comparons cet
effet de l ’accélération avec les effets de la gravité.
Pour mesurer l ’espace et le temps, nous nous servons de la lumière. Qu ’est-ce qui se
passe pour la lumière quand la gravité entre en jeu ? L’expérience la plus simple consiste
Réf. 99 à laisser la lumière tomber ou s’élever. Afin de déduire ce qui devrait se produire, nous
ajoutons quelques précisions. Imaginez un tapis roulant transportant des masses autour
de deux roues, une en bas et une en haut, comme le montre la Figure 51. Les masses
vertes qui descendent sont légèrement plus grosses. À chaque fois qu ’une telle masse
plus importante s’approche du bas, un certain dispositif – non montré sur la figure –
transforme l ’excédent de masse en lumière, en accord avec l ’équation E = mc 2 , et en-
voie cette lumière vers le niveau supérieur**. Au sommet, une des masses blanches plus
* L’expression v = дt est uniquement valable pour des vitesses non relativistes, cependant, la conclusion de
Défi 159 e cette section n’est pas affectée par cette approximation.
** Comme en relativité restreinte, ici et dans le reste de notre ascension montagneuse, le terme « masse » se
m+E/c2

h
lumière
F I G U R E 51 La contrainte du décalage vers le rouge et le bleu de la
lumière : pourquoi les arbres sont plus verts au pied.
légères passe à proximité, absorbe la lumière et, à cause de sa masse additionnelle, fait
tourner le tapis roulant jusqu ’à ce qu ’elle parvienne en bas. Le même processus se répète
alors*.
Puisque les masses vertes sur le flanc descendant sont toujours plus lourdes, le tapis
tournerait perpétuellement et ce système pourrait produire continuellement de l ’énergie.
Néanmoins, puisque la conservation de l ’énergie est le fondement même de notre défini-
Page 200 tion du temps, comme nous l ’avons vu au début de notre promenade, le processus dans
sa globalité doit être inconcevable. Nous devons conclure que la lumière voit son énergie
modifiée lorsqu ’elle monte. La seule possibilité est que celle-ci parvient au sommet avec
une fréquence différente de celle à laquelle elle a été émise en bas**.
En bref, il apparaît que la lumière montante est gravitationnellement décalée vers le
rouge. De manière similaire, la lumière qui descend de la cime d ’un arbre vers un ob-
servateur situé plus bas est décalée vers le bleu, ce qui donne une couleur plus sombre
au sommet par rapport au pied de l ’arbre. La relativité générale affirme donc que les
arbres possèdent différentes nuances de vert le long de leur hauteur***. Quelle est l ’ im-
Défi 163 e portance de cet effet ? Le résultat déduit à partir du schéma est une nouvelle fois celui de
la formule (132). C ’est ce que nous cherchions, puisque la lumière se déplaçant dans un
train en accélération et la lumière avançant sous l ’effet de la gravité sont des situations
réfère toujours à la masse inertielle.
Défi 161 s * Ce processus peut-il être réalisé avec 100 % d ’efficacité ?
** La relation précise entre l ’énergie et la fréquence de la lumière est décrite et expliquée dans notre discus-
sion de la théorie quantique, à la page ??. Mais nous savons déjà grâce à l ’électrodynamique classique que
l ’énergie de la lumière dépend de son intensité et de sa fréquence.
Défi 162 pe *** Quel est l ’ impact sur cet argument si vous prenez en compte l ’ illumination due au Soleil ?
Défi 164 s équivalentes, comme vous devriez pouvoir le vérifier vous-même. Cette formule donne
une variation relative de fréquence de 1,1 ⋅ 10−16 /m seulement, à proximité de la surface
de la Terre. Pour les arbres, ce que nous appelons le décalage vers le rouge gravitationnel
ou effet Doppler gravitationnel est beaucoup trop insignifiant pour être observable, tout
au moins en faisant appel à la lumière ordinaire.

Réf. 100 En 1911, Einstein proposa une expérience pour vérifier la variation de fréquence avec
la hauteur par la mesure du décalage vers le rouge de la lumière émise par le Soleil, en
Page ?? utilisant les fameuses raies de Fraunhofer* comme marqueurs de couleur. Les résultats
des premières expériences, réalisées par Schwarzschild et d ’autres, étaient imprécis, voire
négatifs, à cause d ’un grand nombre d ’effets additionnels qui induisent des variations
de couleur à haute température. Mais, en 1920 et 1921, Grebe et Bachem, et de manière
indépendante Perot, confirmèrent le décalage vers le rouge gravitationnel à l ’aide d ’ex-
périences méticuleuses. Dans les années qui suivirent, les avancées technologiques facili-
tèrent la réalisation des mesures, jusqu ’à ce qu ’ il fût même possible de mesurer cet effet
sur Terre. En 1960, dans une expérience exemplaire utilisant l ’ effet Mössbauer, Pound et
Rebka validèrent le décalage vers le rouge gravitationnel dans la tour de leur université
Réf. 101 en utilisant des rayons γ.
Mais nos deux expériences de pensée nous en disent beaucoup plus. Utilisons les
mêmes arguments que dans le cas de la relativité restreinte : une variation de couleur
implique que des horloges avancent différemment à des hauteurs différentes, de la même
manière qu ’elles avancent différemment à l ’avant et à l ’arrière du train. On prédit que
la différence temporelle ∆τ dépend de la différence de hauteur ∆h et de l ’accélération de
la gravité д comme suit
= = 2 .
∆τ ∆ f д∆h
(133)
τ f c
Par conséquent, sous l ’effet de la gravité, le temps dépend de la hauteur. C ’est exactement
ce que nous avions affirmé plus haut. En réalité, la hauteur fait vieillir. Pouvez-vous confir-
Défi 165 pe mer cette conclusion ?
En 1972, en embarquant quatre horloges très précises dans un avion tout en en gardant
Réf. 102 une identique au sol, Hafele et Keating relevèrent que les horloges avançaient réellement
différemment à des altitudes distinctes en accord avec l ’expression (133). Par la suite, en
Réf. 103 1976, l ’équipe de Vessot et al. propulsa dans l ’atmosphère une horloge ultra-précise basée
sur un maser – un générateur et oscillateur micro-onde précis – et située sur un missile.
L’équipe compara le maser à l ’ intérieur du projectile avec un maser identique cloué au
Réf. 104 sol, confirmant de nouveau cette expression. En 1977, Briatore et Leschiutta montrèrent
qu ’une horloge située à Turin égrène ses tic-tac plus lentement qu ’une autre située au
sommet du mont Rose. Ils confirmèrent la prédiction que sur Terre, pour chaque hauteur
Défi 166 pe parcourue de 100 m, les gens vieillissent plus rapidement d ’environ 1 ns par jour. Cet effet
a été confirmé pour tous les systèmes pour lesquels des expériences ont été réalisées, tels
que diverses planètes, le Soleil et de nombreuses autres étoiles.
Ces expériences montrent-elles que le temps varie ou sont-elles tout simplement dues
à des horloges qui fonctionnent mal ? Prenez un peu de temps et essayez de répondre à
Défi 167 e cette question. Nous ne donnerons qu ’un seul argument : la gravité change la couleur de
* Plus communément appelées raies d ’absorption solaire [N.d.T.]

avant
après

F I G U R E 52 Forces de marée : le seul effet que des corps ressentent en chutant.
la lumière, et donc agit effectivement sur le temps. La précision des horloges n’est pas un
problème, ici.
En résumé, la gravité est vraiment l ’avancement inégal d ’ horloges situées à des alti-
tudes différentes. Remarquez qu ’un observateur en position basse et un autre en position
haute s’accordent sur ce résultat : tous les deux remarqueront que l ’ horloge supérieure
avance plus vite. En d ’autres termes, lorsque la gravité est présente, l ’espace-temps n’est
pas décrit par la géométrie de Minkowski de la relativité restreinte, mais par une géo-
métrie encore plus générale. Pour l ’exprimer de manière mathématique, à chaque fois
que la gravité entre en jeu, la quadri-distance ds 2 entre des événements est différente de
l ’expression qui ne tient pas compte de la gravité :
ds 2 ≠ c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 . (134)
Nous allons donner sous peu l ’expression exacte.

Cette vision de la gravité comme un temps dépendant de la hauteur est-elle sérieuse-
ment raisonnable ? Non. Il apparaît qu ’elle est encore plus étrange que cela ! Puisque la
vitesse de la lumière est la même pour tous les observateurs, nous pouvons en dire plus.
Si le temps varie avec la hauteur, la longueur doit également en faire autant ! Plus préci-
sément, si des horloges avancent différemment à des hauteurs différentes, la longueur de
mètres étalons doit aussi varier avec la hauteur. Pouvez-vous le confirmer pour le cas de
Défi 168 pe barres horizontales situées à des altitudes distinctes ?
Si la longueur varie avec la hauteur, la circonférence d ’un cercle entourant la Terre
ne peut pas être donnée par 2πr. Un désaccord analogue est également relevé par une
fourmi qui mesure le rayon et la circonférence d ’un cercle tracé sur la surface d ’un bal-
lon de basket. En réalité, la gravité implique que les êtres humains sont dans une situation
semblable à celle des fourmis sur un ballon de basket, l ’unique différence étant que les
circonstances se manifestent en deux et en trois dimensions. Nous en concluons que par-
tout où la gravité joue un rôle, l ’espace est courbé.
Ce que les marées nous enseignent à propos de la gravité

Durant sa chute libre, Kittinger était capable de définir un référentiel inertiel pour
lui-même. En fait, il se sentait complètement au repos. Cela signifie-t-il qu ’ il est impos-
sible de distinguer l ’accélération de la gravitation ? Non : la distinction est possible. Nous
avons juste besoin de comparer deux observateurs (ou plus) qui chutent.
Kittinger n’aurait pas pu trouver un référentiel qui soit également inertiel pour un
Défi 169 e confrère chutant du côté opposé de la Terre. Un tel référentiel commun n’existe pas. En
général, il est impossible de découvrir un unique référentiel inertiel décrivant des obser-
vateurs distincts chutant librement près d ’une masse. En fait, il est même impossible de
trouver un référentiel inertiel commun pour des observateurs proches plongés dans un

champ gravitationnel. Deux observateurs proches remarquent que, pendant leur chute,
Défi 170 s leur distance relative varie. (Pourquoi ?) La même chose se produit pour des observateurs
en orbite.
Dans une pièce close en orbite autour de la Terre, une personne ou une masse située au
centre de la pièce ne ressentirait aucune force, et en particulier aucune force de pesanteur.
Mais, si plusieurs particules sont placées dans cette pièce, elles se comporteront différem-
ment en fonction de leur position exacte dans la pièce. Deux particules ne conserveraient
la même position relative que si elles étaient exactement sur la même orbite. Si une parti-
cule est située sur une orbite plus haute ou plus basse que l ’autre, elles s’écarteront l ’une
de l ’autre au cours du temps. De façon encore plus intéressante, si une particule en or-
bite est poussée latéralement, elle oscillera autour d ’une position centrale. (Pouvez-vous
Défi 171 pe entériner ce point ? )
La gravitation conduit à des variations relatives de distance. Ces changements té-
moignent d ’un autre effet, indiqué dans la Figure 52 : un corps étendu en chute libre est
légèrement comprimé. Cet effet nous enseigne aussi qu ’une caractéristique essentielle de
la gravité est que la chute libre est différente d ’un point à un autre. Cela nous rappelle
Page 136 quelque chose. La compression d ’un corps est le même effet que celui qui engendre les
marées. En réalité, le renflement des océans peut être vu comme étant la compression de
Réf. 105 la Terre dans sa chute vers la Lune. En utilisant ce résultat de la gravitation universelle,
nous pouvons maintenant confirmer : l ’essence de la gravité est acquise par l ’observation
des forces de marée.
Formulé autrement, la gravité n’est simple que localement. Ce n’est que localement
qu ’elle ressemble à l ’accélération. Ce n’est que localement qu ’un observateur qui tombe
comme Kittinger se sentira au repos. En fait, seul un observateur assimilé à un point peut
le faire ! Dès que nous prenons en considération l ’extension spatiale, nous rencontrons
les forces de marée. La gravité est la présence d’effets de marée. L’absence de forces de
marée implique l ’absence de gravité. Elles représentent la conséquence quotidienne du
temps dépendant de la hauteur. N ’est-ce pas un merveilleux dénouement ?
En principe, Kittinger aurait pu ressentir la gravitation durant sa chute libre, même en
fermant les yeux, s’ il avait prêté plus attention à lui-même. S ’ il avait mesuré la variation
de distance entre ses deux mains, il aurait remarqué une minuscule diminution qui au-
rait pu lui faire dire qu ’ il était en train de tomber. Cette fine diminution aurait imposé à
Kittinger une étrange conclusion. Deux mains en mouvement inertiel devraient se dépla-
cer le long de deux lignes parallèles, conservant constamment la même distance. Puisque
la distance varie, il doit conclure que dans l ’espace qui l ’environne des lignes qui com-
mencent en étant parallèles ne le restent pas. Kittinger aurait pu conclure que l ’espace
autour de lui était analogue à la surface de la Terre, où deux lignes qui démarrent au nord,
parallèles l ’une à l ’autre, ont également un écartement qui varie, jusqu ’à ce qu ’elles se
rencontrent au pôle Nord. En d ’autres termes, Kittinger aurait pu conclure qu ’ il était
dans un espace courbe.
En étudiant la variation de distance entre ses mains, Kittinger aurait même pu en
déduire que la courbure de l ’espace varie avec la hauteur. L’espace physique est différent
d ’une sphère, où la courbure est constante. L’espace physique est plus complexe. Cet effet
est extrêmement faible, et ne peut pas être perçu par les facultés sensorielles humaines.
Kittinger n’avait aucune chance de déceler quoi que ce soit. La détection requiert des
appareils ultrasensibles spécifiques. Néanmoins, cette conclusion reste valable. L’espace-

temps n’est pas décrit par la géométrie de Minkowski quand la gravité est présente. Les
forces de marée impliquent la courbure de l ’espace-temps. La gravité est la courbure de
l ’espace-temps.
Espace courbe et matelas

Wenn ein Käfer über die Oberfläche einer Kugel
“ krabbelt, merkt er wahrscheinlich nicht, daß der

Weg, den er zurücklegt, gekrümmt ist. Ich
dagegen hatte das Glück, es zu merken*.
Réponse d ’Albert Einstein à la question de son
fils Édouard sur la raison de sa renommée.
”
Le 7 novembre 1919, Albert Einstein devint mondialement célèbre. Ce jour-là, un ar-
ticle paru dans le quotidien Times de Londres annonçait les résultats d ’une double ex-
pédition partie vers l ’Amérique du Sud, sous le titre « Révolution en sciences – Une
nouvelle théorie de l ’ Univers – Les conceptions newtoniennes sont détrônées ». Cette
expédition avait démontré sans équivoque – bien que ce ne fût pas la première fois –
que la théorie de la gravitation universelle, essentiellement donnée par a = GM/r 2 , était
fausse, et qu ’à la place l ’espace était courbé. Un élan enthousiaste s’empara du monde
entier. Einstein fut présenté comme étant le plus grand de tous les génies. La plupart des
journaux titraient « L’espace est déformé ». Les articles d ’ Einstein sur la relativité géné-
rale furent réimprimés en entier dans des revues populaires. Les gens pouvaient lire les
équations du champ de la relativité générale, sous forme tensorielle et avec les indices
en lettres grecques, dans la revue Time. Rien de comparable à cela ne s’était produit au-
paravant ni ne s’est produit depuis pour n’ importe quel autre physicien. Quelle était la
raison de cette effervescence ?
L’expédition partie dans l ’ hémisphère Sud avait effectué une expérience proposée par
Réf. 106 Einstein lui-même. Mis à part la vérification de la variation du temps avec l ’altitude,
Einstein avait également songé à un grand nombre d ’expériences supplémentaires pour
détecter la courbure de l ’espace. Dans celle qui l ’a rendu célèbre par la suite, Einstein sug-
gérait de prendre une photographie des étoiles proches du Soleil, si possible pendant une
éclipse solaire, et de la comparer à une photographie des mêmes étoiles, la nuit, lorsque
le Soleil est très éloigné. Einstein avait prédit une variation dans la position de 1, 75′ (1,75
seconde d ’arc) pour des photos d ’étoiles situées en bordure du Soleil, une valeur deux
Page 139 fois plus grande que celle prédite par la gravitation universelle. Ce pronostic, correspon-
dant à une distance de 1/40 mm sur les photographies, fut confirmé en 1919, et ainsi la
gravitation universelle fut anéantie.
Ce résultat implique-t-il que l ’espace est courbé ? En lui-même, non. En fait, d ’autres
explications pourraient être données pour le résultat de l ’expérience de l ’éclipse, comme
* « Lorsqu ’un insecte marche sur la surface d ’une sphère, il ne remarque probablement pas que le chemin
qu ’ il emprunte est courbé. Moi, par contre, j’ai eu la chance de le remarquer. »
image image
de l'étoile
position
étoile de l'étoile
Soleil

Soleil
Mercure Terre
Terre
F I G U R E 53 Le modèle de l’espace sous forme de matelas : la trajectoire d’un rayon lumineux et d’une
planète près d’une masse sphérique.
par exemple un potentiel différent de la forme en l ’ inverse du carré. Toutefois, les résul-
tats de l ’éclipse ne constituent pas les seules données. Nous savons déjà que le temps varie
en fonction de la hauteur. Des expériences montrent que deux observateurs placés à des
altitudes distinctes mesurent la même valeur pour la vitesse de la lumière c à leur proxi-
mité. Mais ces expériences montrent aussi que, si un observateur mesure la vitesse de la
lumière à la position de l ’ autre observateur, il obtient une valeur différente de c, puisque
son horloge avance différemment. Il n’y a qu ’une solution possible à ce dilemme : les
mètres étalons, comme les horloges, varient également avec la hauteur, et d ’une façon
telle qu ’ ils doivent produire partout la même vitesse pour la lumière.
Si la vitesse de la lumière est constante mais que les horloges et les mètres étalons va-
Défi 172 pe rient avec l ’altitude, la conclusion doit être que l ’espace est courbé à proximité des masses.
De nombreux physiciens au cours du vingtième siècle s’assurèrent que les mètres étalons
sont vraiment différents là où la gravité est présente. Et en réalité la courbure a été déce-
lée autour de plusieurs planètes, dans le voisinage de toutes les centaines d ’étoiles où elle
pouvait être mesurée, et autour de douzaines de galaxies. Beaucoup d ’effets indirects de
la courbure autour des masses, qui seront analysés en détail ci-dessous, ont également
été observés. Tous les résultats confirment la courbure de l ’espace et de l ’espace-temps
autour des masses, et valident de surcroît les valeurs de courbure prédites par la relati-
vité générale. En d ’autres termes, les mètres étalons situés à proximité des masses voient
réellement leur taille varier d ’un endroit à l ’autre, et même d ’une orientation à l ’autre.
La Figure 53 donne une idée de cette situation.
Mais attention : la figure de droite, même si on la rencontre dans de nombreux ma-
Réf. 107 nuels, peut induire en erreur. Elle peut facilement être confondue avec une reproduction
d ’un potentiel autour d ’un corps. En réalité, il est impossible de dessiner un graphique
Défi 173 s représentant la courbure et le potentiel séparément. (Pourquoi ?) Nous verrons que pour
des courbures faibles il est même possible d ’expliquer la variation de la longueur du
mètre étalon en utilisant seulement un potentiel. Cette figure ne triche donc pas réelle-
ment, au moins dans le cas d ’une faible gravité. Mais pour des valeurs énormes et va-
riables de la gravité, on ne peut pas définir de potentiel, et il n’existe donc en fait aucune
manière de ne pas utiliser l ’espace courbe pour décrire la gravitation. En résumé, si nous
imaginons l ’espace comme une sorte de matelas généralisé dans lequel des masses pro-
duisent des déformations, nous avons un modèle plausible de l ’espace-temps. Puisque
les masses bougent, les déformations les suivent.

L’accélération d ’une particule ne dépend que de la courbure du matelas. Elle ne dé-
pend pas de sa masse. Donc le modèle du matelas explique pourquoi tous les corps
tombent de la même manière. (Autrefois, on appelait également cela l ’égalité entre la
masse inertielle et la masse gravitationnelle.)

L’espace se comporte donc comme un matelas lisse qui s’ infiltre partout. Nous vivons
à l ’ intérieur du matelas, mais nous ne le ressentons pas dans la vie courante. Les objets
massifs tirent la mousse du matelas vers eux, modifiant ainsi la forme de ce dernier. Une
force, une énergie ou une masse plus importante entraîne une déformation plus impor-
tante. (Le matelas vous fait-il penser à l ’éther ? Ne vous inquiétez pas : la physique a
Page 108 évincé le concept d ’éther parce qu ’ il est indiscernable du vide.)
Si la gravité signifie que l ’espace est courbé, alors n’ importe quel observateur accéléré,
comme un homme dans une voiture qui démarre, doit aussi le constater. Toutefois, dans
la vie quotidienne, nous n’observons pas de tels effets, parce que pour les accélérations
et les dimensions de la vie courante les valeurs de courbure sont trop insignifiantes pour
être perçues. Pouvez-vous concevoir une expérience, faisant appel à nos sens, qui vérifie
Défi 174 pe cette prédiction ?
Espace-temps courbe
La Figure 53 montre la courbure de l ’espace uniquement, mais en fait c ’est l ’espace-
temps qui est courbé. Nous découvrirons bientôt comment décrire à la fois la forme de
l ’espace et la forme de l ’espace-temps, et comment mesurer leur courbure.
Faisons une première tentative pour décrire la nature avec l ’ idée d ’espace-temps
courbe. Dans le cas de la Figure 53, la meilleure description des événements est faite
par l ’emploi du temps t indiqué par une horloge située à l ’ infini dans l ’espace. Cela
contourne les problèmes dus à l ’avancement inégal d ’ horloges situées à des distances
différentes de la masse centrale. Pour la coordonnée radiale r, le choix le plus commode
pour éviter des problèmes avec la courbure de l ’espace consiste à utiliser la circonférence
d ’un cercle situé autour du corps central, divisé par 2π. La forme courbe de l ’espace-
temps est mieux décrite par le comportement de la distance de l ’espace-temps ds, ou par
Page 38 le temps de l ’ horloge dτ = ds/c, entre deux points voisins ayant des coordonnées (t, r) et
Page 128 (t +dt, r +dr). Comme nous l ’avons vu ci-dessus, la gravité implique qu ’en coordonnées
sphériques nous ayons
ds 2
dτ 2 = ≠ dt 2 − dr 2 /c 2 − r 2 dφ2 /c 2 . (135)
c 2
Cette inégalité exprime le fait que l ’espace-temps est courbé. En réalité, les expériences
sur la variation du temps avec la hauteur confirment que l ’ intervalle d ’espace-temps
autour d ’une masse sphérique est donné par
ds 2 dr 2 r2 2
dτ 2 = = (1 )
2GM 2
− dt − − dφ . (136)
c2 rc 2 c 2 − 2Gr M c 2
Cette expression est appelée la métrique de Schwarzschild d ’après l ’un de ses décou-
vreurs*. La métrique (136) décrit la forme courbée de l ’espace-temps situé autour d ’une
masse sphérique qui n’est pas en rotation. Elle est bien approchée par celle de la Terre
Défi 175 s ou du Soleil. (Pourquoi leur rotation peut-elle être négligée ?) L’expression (136) indique
également que l ’ intensité de la gravité autour d ’un corps de masse M et de rayon R est
quantifiée par un nombre h sans dimension défini comme suit

h=
2G M
. (137)
c2 R
Ce rapport explicite la tension gravitationnelle avec laquelle les longueurs et le vide sont
déformés par rapport à la situation plate de la relativité restreinte, et donc détermine
également la durée de ralentissement des horloges lorsque la gravité entre en jeu. (Ce
rapport indique aussi à quelle distance nous nous trouvons de n’ importe quel horizon
possible.) À la surface de la Terre, le rapport h possède la minuscule valeur de 1, 4 ⋅ 10−9 ;
à la surface du Soleil, elle possède la valeur, dans une certaine mesure plus importante,
de 4, 2 ⋅ 10−6 . La précision des horloges modernes nous permet de déceler des effets aussi
ténus plutôt facilement. Nous discuterons bientôt des diverses conséquences et usages de
la déformation de l ’espace-temps.
Nous remarquons que si une masse est fortement concentrée, en particulier quand
son rayon devient égal à son rayon de Schwarzschild
RS =
2GM
, (138)
c2
la métrique de Schwarzschild se comporte bizarrement : à cet emplacement, le temps dis-
paraît (remarquez que t représente le temps à l ’ infini). Au rayon de Schwarzschild, le
temps local (indiqué par une horloge située à l ’ infini) s’arrête – et un horizon apparaît.
Page 244 Nous explorerons plus bas ce qui se passe précisément. Cette situation n’est pas com-
mune : le rayon de Schwarzschild pour une masse comme la Terre est de 8,8 mm, et
pour le Soleil de 3,0 km. Vous devriez pouvoir vérifier que la taille de chaque objet de
Défi 176 e la vie quotidienne est supérieure à son rayon de Schwarzschild. Des corps qui atteignent
Réf. 109 cette limite sont appelés des trous noirs, nous les étudierons en détail prochainement. En
fait, la relativité générale stipule qu ’ aucun système dans la nature n’est plus petit que sa
taille de Schwarzschild, en d ’autres termes que le rapport h défini par l ’expression (137)
n’est jamais supérieur à 1.
En résumé, les résultats mentionnés jusqu ’ ici établissent clairement que la masse en-
gendre la courbure. L’équivalence masse–énergie que nous connaissons en relativité res-
treinte nous enseigne que, par conséquent, l ’espace devrait également être courbé par
la présence de n’ importe quel type d ’énergie–impulsion. Chaque type d ’énergie courbe
l ’espace-temps. Par exemple, la lumière devrait également le courber. Cependant, même
les rayons de plus forte énergie que nous puissions créer correspondent à des masses
* Karl Schwarzschild (1873–1916) fut un important astronome allemand, il fut un des premiers à comprendre
la relativité générale. Il publia sa formule en décembre 1915, seulement quelques mois après qu ’ Einstein eut
publié ses équations du champ. Il décéda prématurément à 42 ans, ce qui attrista énormément Einstein. Nous
déduirons la forme de la métrique plus loin, directement à partir des équations du champ de la relativité
Réf. 108 générale. L’autre inventeur de cette métrique, inconnu d ’ Einstein, fut le physicien hollandais J. Droste.
extrêmement petites, et donc à des courbures infinitésimales. Même la chaleur courbe

l ’espace-temps, mais, dans la plupart des systèmes, la chaleur ne représente approximati-
vement qu ’une fraction de 10−12 de la masse totale, son effet sur la courbure n’est donc
pas mesurable et est négligeable. Néanmoins, il est toujours possible de montrer expéri-
mentalement que l ’énergie courbe l ’espace. Dans presque tous les atomes, une portion

considérable de la masse est due à l ’énergie électrostatique qui existe entre les protons
chargés positivement. En 1968 Kreuzer confirma que l ’énergie courbe l ’espace à l ’aide
Réf. 110 d ’une expérience astucieuse utilisant une masse flottante.
Nous pouvons immédiatement imaginer que l ’avancement inégal des horloges est
Défi 177 pe l ’équivalent temporel de la courbure spatiale. En rassemblant ces deux notions, nous
concluons que lorsque la gravité est présente l ’ espace-temps est courbé.
Résumons notre chapelet de réflexions. L’énergie est équivalente à la masse, la masse
engendre la gravité, celle-ci est équivalente à l ’accélération, l ’accélération est le temps
dépendant de la position. Puisque la vitesse de la lumière est constante, nous en dédui-
sons que l ’énergie–impulsion dicte à l ’espace-temps de se courber. Cet énoncé représente
la première moitié de la relativité générale.
Nous découvrirons bientôt comment mesurer la courbure, comment la calculer à par-
tir de l ’énergie–impulsion et ce que nous constatons lorsque les mesures et les calculs
sont comparés. Nous découvrirons également que des observateurs distincts mesurent
des valeurs de courbure différentes. L’ensemble des transformations qui associent un
point de vue à un autre en relativité générale, la symétrie difféomorphisme, nous appren-
dra comment relier les mesures faites par des observateurs différents.
Puisque la matière se déplace, nous pouvons même en dire plus. Non seulement
l ’espace-temps est courbé près des masses, mais il se met aussi à onduler comme des
vagues après qu ’une masse est passée à proximité. En d ’autres termes, la relativité gé-
nérale stipule que l ’espace, de même que l ’espace-temps, est élastique. Cependant, il est
Réf. 111 plutôt rigide : beaucoup plus rigide que l ’acier. Pour courber une région de l ’espace de
1 % il faut une densité d ’énergie considérablement plus importante que pour courber un
Défi 178 pe simple rail de chemin de fer de 1 %. Tout cela, ainsi que d ’autres conséquences intéres-
santes de l ’élasticité de l ’espace-temps, nous absorbera durant le reste de ce chapitre.
L a vitesse de la lumière et la constante gravitationnelle
“
Si morior, moror*.
”
Nous poursuivons notre chemin vers une compréhension précise de la gravitation.
Toute notre connaissance théorique et empirique concernant la gravité peut être résumée
en seulement deux formulations générales. Le premier principe établit que :
⊳ La vitesse v d’un système physique est bornée par :
v⩽c (139)
pour tous les observateurs, où c représente la vitesse de la lumière.
* « Si je m’arrête, je meurs. » C ’est la devise de l ’oiseau de paradis.

La théorie qui découle de ce premier principe, la relativité restreinte, est étendue à la re-
lativité générale en y ajoutant un deuxième principe, caractérisant la gravitation. Il existe
plusieurs manières équivalentes de formuler ce principe. En voici une.
⊳ Pour tous les observateurs, la force F agissant sur un système est limitée par

c4
F⩽ , (140)
4G
où G représente la constante universelle de la gravitation.
En bref, il existe une force maximale dans la nature. La gravitation conduit à l ’attrac-
tion entre les masses. Cependant, cette force d ’attraction est restreinte. Une formulation
Défi 179 e équivalente est :
⊳ Pour tous les observateurs, la taille L d’un système de masse M est limitée
par
⩾ 2 .
L 4G
(141)
M c
En d ’autres termes, un système massif ne peut pas être plus concentré qu ’un trou noir
de même masse qui n’est pas en rotation. Une autre façon d ’exprimer le principe de la
gravitation est la suivante :
⊳ Pour tous les systèmes, la puissance émise P est restreinte par
c5
P⩽ . (142)
4G
En bref, il existe une puissance maximale dans la nature.
Les trois limitations citées ci-dessus sont toutes équivalentes, et aucune exception n’est
connue ou réellement possible. Ces limites incluent la gravitation universelle dans le cas
non relativiste. Elles nous disent ce qu ’est la gravité, à savoir la courbure, et comment elle
se comporte exactement. Ces limites nous permettent de déterminer la courbure dans
toutes les situations, pour tous les événements de l ’espace-temps. Comme nous l ’avons
Page 98 vu ci-dessus, la vitesse limite associée à n’ importe lequel des trois derniers principes
implique toute la relativité générale*.
Par exemple, pouvez-vous montrer que la formule décrivant le décalage vers le rouge
gravitationnel est conforme à la limite générale (141) pour les rapports longueur sur
Défi 180 pe masse ?
Nous remarquons que toute formule qui contient la vitesse de la lumière c est fondée
sur la relativité restreinte et, si elle contient la constante de la gravitation G, elle est reliée
à la gravitation universelle. Si une formule contient à la fois c et G, elle est propre à la
relativité générale. Le présent chapitre soulignera souvent cette correspondance.
Jusqu ’à présent, notre ascension de la montagne nous a appris qu ’une description
précise du mouvement exige la caractérisation de tous les points de vue autorisés, leurs
* Cette approche didactique n’est pas conventionnelle. Il est possible qu ’elle ait été initiée par le présent
Réf. 112 auteur. Le physicien britannique Gary Gibbons l ’a également développée de manière indépendante. Des
références plus anciennes ne sont pas connues.
particularités, leurs différences, et les transformations possibles entre eux. Désormais,

tous les points de vue sont permis, sans exception : quiconque doit être capable de com-
muniquer avec n’ importe qui d ’autre. Il n’y a aucune différence entre un observateur
qui ressent la gravité, celui qui est en chute libre, celui qui est accéléré ou celui qui est
en mouvement inertiel. En outre, les individus qui intervertissent la gauche et la droite,

ceux qui échangent le haut et le bas ou les gens qui affirment que le Soleil tourne autour
de la Terre doivent pouvoir se parler entre eux, et avec nous. Cela introduit un ensemble
beaucoup plus vaste de transformations des points de vue que dans le cas de la relativité
restreinte, et rend la relativité générale à la fois difficile et captivante. Et puisque tous les
points de vue sont autorisés, la description du mouvement qui en résulte est complète*.
Pourquoi une pierre jetée en l ’ air retombe-t-elle sur la Terre ? –

Les géodésiques
“
Un génie est une personne qui fait toutes les
erreurs possibles dans le temps le plus court
possible.
Anonyme
Dans notre discussion de la relativité restreinte, nous avons vu que le mouvement iner-
tiel ou de flottaison libre est le mouvement qui associe deux événements qui nécessitent le
Page 74 plus long temps propre. En l ’absence de la gravité, le mouvement qui satisfait cette condi-
tion est un mouvement en ligne droite (rectiligne). D’autre part, nous sommes également
Page 47 habitués à imaginer les rayons lumineux comme étant droits. En réalité, nous avons tous
l ’ habitude de vérifier la rectitude d ’une bordure en l ’observant de profil sur toute sa lon-
gueur. À chaque fois que nous dessinons les axes d ’un système de coordonnées physique,
nous imaginons que nous traçons soit des trajectoires de rayons lumineux soit celles du
mouvement de corps se déplaçant librement.
En l ’absence de la gravité, les trajectoires d ’objets et celles de la lumière coïncident.
Cependant, si la gravité est présente, les objets ne se déplacent plus le long de trajets lumi-
neux, comme l ’ indique chaque pierre lancée en l ’air. La lumière ne définit plus la notion
de rectitude spatiale. En présence de la gravité, les trajets de la lumière et de la matière
sont tous les deux courbés, bien que ce soit avec des amplitudes différentes. Mais la for-
mulation originale reste valide : même quand la gravité est présente, les corps suivent des
trajectoires de plus long temps propre possible. Pour la matière, de tels trajets sont appe-
lés des géodésiques de genre temps. Pour la lumière, ils sont dénommés des géodésiques
nulles ou de genre lumière.
Nous remarquons que dans l ’espace-temps les géodésiques sont les courbes qui ont
la longueur maximale. C ’est en contradiction avec le cas purement spatial, telle la sur-
face d ’une sphère, où les géodésiques sont les courbes de longueur minimale. En termes
simples, les pierres retombent parce qu ’elles suivent des géodésiques. Faisons quelques vé-
rifications concernant cette affirmation.
Puisque les pierres se déplacent en maximisant le temps propre pour des observateurs
inertiels, elles doivent en faire autant pour des observateurs chutant librement, comme
Kittinger. En fait, elles doivent en faire autant pour tous les observateurs. Au moins,
l ’équivalence entre les trajectoires de chute et les géodésiques reste cohérente.
* Ou du moins devrait-elle l ’être, s’ il n’y avait pas une minuscule déviation appelée théorie quantique.
hauteur
c · temps
lancer élevé, lent
h
d

lancer plat, rapide
distance du lancer
F I G U R E 54 Toutes les trajectoires des pierres voltigeant en l’air, indépendamment de leurs vitesses et
de leurs angles, ont la même courbure dans l’espace-temps. (Photographie © Marco Fulle)
Si la chute est perçue comme étant une conséquence du rapprochement de la surface

de la Terre – comme nous le discuterons plus tard –, nous pouvons déduire directement
Défi 181 pe que la chute implique un temps propre qui est aussi long que possible. La chute libre est
en réalité un mouvement qui suit des géodésiques.
Nous avons vu plus haut que la gravitation découle de l ’existence d ’une force maxi-
male. Ce résultat peut être visualisé d ’une autre manière. Si l ’attraction gravitationnelle
entre un corps central et un satellite était plus forte qu ’elle ne l ’est, les trous noirs seraient
plus petits qu ’ ils ne le sont. Dans ce cas, les limites de la force maximale et de la vitesse
maximale pourraient être dépassées en s’approchant suffisamment d ’un tel trou noir. Si,
d ’autre part, la gravitation était plus faible qu ’elle ne l ’est, il y aurait des observateurs
pour lesquels les deux astres n’ interagiraient pas, donc pour lesquels ils ne formeraient
pas un système physique. En résumé, une force maximale de c 4 /4G implique la gravita-
tion universelle. Il n’y a aucune différence entre l ’affirmation que tous les corps s’attirent
à travers la gravitation et celle qu ’ il existe une force maximale dont la valeur est détermi-
née par c 4 /4G. Mais en même temps, le principe de la force maximale implique que les
Défi 182 pe objets se déplacent le long de géodésiques. Pouvez-vous le montrer ?
Tournons-nous vers une vérification expérimentale. Si la chute est une conséquence
de la courbure, alors les trajectoires de toutes les pierres jetées ou chutant près de la Terre
doivent avoir la même courbure dans l ’espace-temps. Prenez une pierre lancée horizon-
talement, une pierre jetée verticalement, une pierre jetée avec vigueur, ou une pierre
lancée mollement : un bref raisonnement permet de montrer que dans l ’espace-temps
Défi 183 pe toutes leurs trajectoires sont approchées avec une grande précision par des arcs de cercle,
comme indiqué sur la Figure 54. Toutes les trajectoires possèdent le même rayon de cour-
bure r, donné par :
c2
r= ≈ 9,2 ⋅ 1015 m . (143)
д
La valeur énorme du rayon, correspondant à une faible courbure, explique pourquoi

nous ne la remarquons pas dans notre vie de tous les jours. La forme parabolique, caracté-
ristique de la trajectoire d ’une pierre dans la vie courante, représente juste la projection
de la trajectoire plus fondamentale dans l ’espace-temps quadridimensionnel sur l ’espace
tridimensionnel. La remarque importante est que la valeur de la courbure ne dépend pas
des conditions du lancer. En fait, ce résultat élémentaire aurait pu suggérer les idées de la
relativité générale aux chercheurs un siècle avant Einstein ; ce qui manquait était l ’ iden-
tification de l ’ importance de la vitesse de la lumière comme vitesse limite. Dans tous les
cas, ce calcul simple confirme que la chute et la courbure sont reliées. Comme attendu,
et comme il a déjà été mentionné ci-dessus, la courbure décroît avec l ’augmentation de
la hauteur, jusqu ’à ce qu ’elle disparaisse à une distance infinie de la Terre. Maintenant,

étant donné que toutes les trajectoires pour la chute libre ont la même courbure, et étant
donné que toutes ces trajectoires sont des chemins de moindre action, on en déduit im-
médiatement qu ’elles sont également des géodésiques.
Si nous décrivons la chute comme une conséquence de la courbure de l ’espace-temps,
nous devons montrer que la description avec les géodésiques reproduit toutes ses carac-
téristiques. En particulier, nous devons être capables d ’expliquer le fait que les pierres
lancées avec une vitesse faible retombent, et que celles propulsées avec une vitesse impor-
Défi 184 pe tante s’échappent. Pouvez-vous déduire cela à partir de la courbure spatiale ?
En résumé, le mouvement de n’ importe quelle particule chutant librement « dans un
champ gravitationnel » est décrit par le même principe variationnel que le mouvement
d ’une particule libre en relativité restreinte : la trajectoire maximise le temps propre ∫ dτ.
Nous le reformulons en disant qu ’une particule quelconque en chute libre du point A au
point B minimise l ’action S donnée par
S = −mc 2
B
∫A
dτ . (144)
C ’est tout ce que nous avons besoin de connaître concernant la chute libre des objets.
En conséquence, toute déviation par rapport à la chute libre vous rajeunit. Plus l ’écart est
important, plus vous restez jeune.
Page 267 Comme nous le verrons ci-après, la description de l ’action minimale de la chute libre
a été contrôlée avec beaucoup de précision, et l ’expérience n’a pas décelé le moindre
Réf. 113 écart. Nous découvrirons aussi que, pour la chute libre, les prédictions de la relativité
générale et de la gravitation universelle diffèrent de manière significative, à la fois pour les
particules proches de la vitesse de la lumière et pour les corps centraux de densité élevée.
Jusqu ’ ici, toutes les expériences ont montré qu ’à chaque fois que les deux prédictions
étaient différentes la relativité générale était exacte, et que la gravitation universelle ou
toute description alternative était fausse.
Tous les corps chutent le long de géodésiques. Cela nous indique quelque chose d ’ im-
portant. La façon dont les corps chutent ne dépend pas de leur masse. Les géodésiques
sont comme des « rails » dans l ’espace-temps qui indiquent aux corps comment tom-
ber. En d ’autres termes, l ’espace-temps peut vraiment être imaginé comme une entité
unique, énorme, déformée. L’espace-temps n’est pas un « néant », c ’est une réalité is-
sue de notre réflexion. La forme de cette entité indique aux objets comment se déplacer.
L’espace-temps est donc en réalité assimilable à un matelas impalpable, ce matelas dé-
formé guidant les objets qui chutent le long de ses réseaux de géodésiques.
Qui plus est, l ’énergie de liaison chute de la même manière que la masse, comme
on le prouve en comparant la chute d ’objets constitués de matériaux différents. Ils pos-
Défi 185 s sèdent des pourcentages différents d ’énergie de liaison. (Pourquoi ?) Par exemple, sur la
Lune, où il n’y a pas d ’air, les astronautes lâchent des boules en acier et des plumes, et
remarquent qu ’elles tombent ensemble, les unes à côté des autres. L’ indépendance de la
Réf. 114 composition matérielle pour la chute a été vérifiée et confirmée maintes et maintes fois.
L a lumière peu t-elle tomber ?

Comment le rayonnement tombe-t-il ? La lumière, comme tout rayonnement, est de
l ’énergie possédant une masse inertielle nulle. Elle se déplace comme un courant d ’en-

tités lumineuses extrêmement rapides. Par conséquent, les écarts par rapport à la gra-
vitation universelle deviennent plus flagrants dans le cas de la lumière. Comment la lu-
mière tombe-t-elle ? La lumière ne peut pas modifier sa vitesse. Quand elle chute verti-
Page 124 calement, elle change uniquement de couleur, comme nous l ’avons vu ci-dessus. Mais
la lumière peut également changer de direction. Bien avant que les idées de la relativité
Réf. 115 ne deviennent populaires, en 1801, l ’astronome prussien Johann Soldner comprit que la
gravitation universelle implique que la lumière est déviée lorsqu ’elle passe à proximité
d ’une masse. Il calcula également dans quelle mesure l ’angle de déviation dépend de la
Page 139 masse du corps et de la distance de la trajectoire du rayon lumineux. Pourtant, personne
au cours du dix-neuvième siècle ne fut capable de vérifier ce résultat expérimentalement.
Évidemment, la lumière possède de l ’énergie, et l ’énergie a un poids. La déviation de
la lumière en elle-même ne constitue pas une pièce à conviction pour la courbure de l ’es-
pace. La relativité générale prédit également un angle de déviation pour la lumière frôlant
des masses, mais du double de la valeur classique de Soldner, parce que la courbure de
l ’espace autour de grosses masses s’ajoute à l ’effet de la gravitation universelle. La dévia-
tion de la lumière ne confirme donc la courbure de l ’espace que si sa grandeur s’accorde
avec celle prédite par la relativité générale. C ’est effectivement le cas : les observations
Page 162 coïncident avec les prédictions. Nous allons donner bientôt un peu plus de détails.
La masse n’est donc pas nécessaire pour ressentir la gravité, l ’énergie est suffisante.
On doit se familiariser avec cette notion de l ’équivalence masse–énergie lorsque l ’on
étudie la relativité générale. En particulier, la lumière n’entre pas dans la catégorie poids
plume, mais est plutôt lourde. Pouvez-vous étayer le fait que la courbure de la lumière
Défi 186 pe près de la Terre doit être la même que celle des pierres, donnée par l ’expression (143) ?
En résumé, toutes les expériences montrent que l ’énergie, tout comme la masse, chute
le long des géodésiques, quel que soit son type (liée ou libre) et quelle que soit l ’ interac-
tion en jeu (fût-elle électromagnétique ou nucléaire). De plus, le mouvement du rayon-
nement confirme que l ’espace-temps est courbé.
Puisque les expériences démontrent que toutes les particules tombent de la même
manière, indépendamment de leur masse, de leur charge ou de toute autre propriété,
nous pouvons en conclure que le système constitué de toutes les trajectoires possibles
forme une structure indépendante. Cette structure est ce que nous appelons l ’ espace-
temps.
Nous remarquons donc que l ’espace-temps indique à la matière, à l ’énergie et au rayon-
nement comment ils doivent tomber. Cette proposition représente la seconde moitié de la
relativité générale. Elle complète la première partie, qui stipule que l ’énergie spécifie à
l ’espace-temps comment il doit se courber. Pour achever la description du mouvement
macroscopique, nous avons juste besoin de rendre ces formulations plus quantitatives,
de telle manière qu ’elles puissent devenir réfutables. Comme d ’ habitude, nous pouvons
procéder de deux manières différentes : nous pouvons déduire ces équations directement
du mouvement, ou nous pouvons d ’abord déterminer le lagrangien correspondant puis

F I G U R E 55 Un casse-tête : quelle est la façon la plus simple de mettre la balle
attachée au fil élastique dans la coupe ?
en déduire les équations du mouvement. Mais, avant de faire cela, divertissons-nous un
peu.
Curiosités et défis amusants sur la gravitation

Wenn Sie die Antwort nicht gar zu ernst
“ nehmen und sie nur als eine Art Spaß ansehen,

so kann ich Ihnen das so erklären : Früher hat
man geglaubt, wenn alle Dinge aus der Welt
verschwinden, so bleiben noch Raum und Zeit
übrig. Nach der Relativitätstheorie
verschwinden aber auch Zeit und Raum mit den
Dingen*.
Albert Einstein en 1921 à New York.
Prenez une bouteille en plastique et faites quelques trous près de sa base. Remplissez
la bouteille avec de l ’eau et bouchez les trous avec vos doigts. Si vous laissez tomber la
”
bouteille, l ’eau ne quittera pas celle-ci durant la chute. Pouvez-vous expliquer comment
Défi 187 s cette expérience confirme l ’équivalence entre le repos et la chute libre ?
∗∗
Lors de son soixante-seizième anniversaire, Einstein reçut un cadeau spécialement conçu
pour lui, indiqué sur la Figure 55. Une coupe plutôt profonde est montée sur le haut d ’un
manche à balai. La coupe contient un petit morceau de fil élastique, attaché à son fond,
à l ’autre extrémité duquel une balle est fixée. En position initiale, la balle est suspendue
* « Si vous ne prenez pas cette réponse trop au sérieux et la considérez uniquement comme une distraction,
je peux vous l ’expliquer de la manière suivante : par le passé nous pensions que, si toutes les choses dispa-
raissaient du monde, l ’espace et le temps seraient ce qui resterait. Mais, en suivant la théorie de la relativité,
l ’espace et le temps disparaîtraient en même temps que les choses. »
à l ’extérieur de la coupe. Le fil élastique est trop mince pour vaincre la gravité et tirer
la balle dans la coupe. Quelle est la manière la plus élégante de placer la balle dans la
Défi 188 s coupe ?
∗∗

La gravité possède les mêmes propriétés partout dans l ’ Univers – sauf dans le bureau
des brevets américain. En 2005, il accorda un brevet, n° 6 960 975, pour un dispositif
d ’antigravité qui fonctionne en déformant l ’espace-temps d ’une manière telle que la
gravité se trouve « compensée » (allez sur patft.uspto.gov). Connaissez-vous un dispositif
Défi 189 s plus simple ?
∗∗
Le rayon de courbure de l ’espace-temps à la surface de la Terre est de 9,2 ⋅ 1015 m. Pouvez-
Défi 190 e vous confirmer cette valeur ?
∗∗
Un morceau de bois flotte sur l ’eau. Émergera-t-il un peu plus ou un peu moins dans un
Défi 191 pe ascenseur qui accélère vers le haut ?
∗∗
Page 50 Nous avons vu en relativité restreinte que si des jumeaux sont accélérés de manière iden-
tique dans la même direction, sachant qu ’un jumeau se tient à une certaine distance
devant l ’autre, alors le jumeau situé devant vieillit plus vite que le jumeau resté derrière.
Cela se produit-il également dans un champ gravitationnel ? Et que se passe-t-il lorsque
Défi 192 pe le champ varie avec la hauteur, comme sur Terre ?
∗∗
Une force maximale et une puissance maximale impliquent également un flux maximal
Défi 193 pe de masse. Pouvez-vous montrer qu ’aucun flux de masse ne peut excéder 1,1 ⋅ 1035 kg/s ?
∗∗
Les expériences des figures 50 et 51 diffèrent sur un point : l ’une se passe dans un espace
plat, l ’autre dans un espace courbe. L’une semble être reliée à la conservation de l ’énergie,
Défi 194 pe l ’autre pas. Ces différences contredisent-elles l ’équivalence des observations ?
∗∗
Comment les cosmonautes peuvent-ils eux-mêmes se peser pour vérifier qu ’ ils ont assez
Défi 195 s mangé ?
∗∗
Un cosmonaute en orbite flotte-t-il réellement librement ? Non. Il apparaît que les sta-
tions orbitales et les satellites sont accélérés par plusieurs effets minuscules. Les plus im-
portants sont la pression de la lumière issue du Soleil, le frottement de l ’air ténu, et les ef-
fets du vent solaire. (Les micrométéorites peuvent généralement être négligées.) Ces trois
effets entraînent tous des accélérations de l ’ordre de 10−6 m/s2 à 10−8 m/s2 , en fonction
de l ’altitude de l ’orbite. Pouvez-vous estimer combien de temps il faudrait à une pomme
flottant dans l ’espace pour frapper la paroi d ’une station orbitale, sachant qu ’elle se situe
Défi 196 s au départ au milieu ? Par ailleurs, quelle est la grandeur des accélérations de marée dans
cette situation ?
∗∗

Il n’existe pas de masse négative dans la nature, comme nous en avons déjà débattu au
Page 78 début de notre promenade (même l ’antimatière possède une masse positive). Cela signi-
fie que, à la différence des interactions électromagnétiques, rien ne peut se soustraire
à la gravitation. Puisque la gravitation ne peut pas être évitée, il n’y a aucune manière
de concevoir un système parfaitement isolé. Mais de tels systèmes forment la base de
Page ?? la thermodynamique ! Nous étudierons les implications fascinantes de cela plus tard :
par exemple, nous découvrirons une limite supérieure pour l ’entropie des systèmes phy-
siques.
∗∗
L’espace courbe peut-il être utilisé pour voyager plus vite que la lumière ? Imaginez un
espace-temps dans lequel deux points peuvent être connectés, soit par un itinéraire qui
traverse une zone plate, soit par un deuxième trajet qui traverse une zone partiellement
courbée. Cette zone courbée pourrait-elle être utilisée pour voyager entre les points plus
rapidement qu ’à travers celle qui est plate ? Mathématiquement, c ’est possible ; toutefois,
un tel espace courbé aurait besoin d ’avoir une densité d ’énergie négative. Une telle situa-
tion est incompatible avec la définition de l ’énergie et avec l ’ inexistence avérée de masses
Réf. 116 négatives. Le postulat que cela ne se produit pas dans la nature est également appelé la
condition faible sur l ’énergie. Est-elle implicitement suggérée par la limite des rapports
Défi 197 pe longueur sur masse ?
∗∗
La proposition d ’une limite de la longueur par rapport à la masse L/M ⩾ 4G/c 2 invite
les expérimentateurs à tenter de la surpasser. Pouvez-vous expliquer ce qui se produit
lorsqu ’un observateur se déplace si rapidement vers une masse que la contraction de la
Défi 198 pe longueur du corps parvient à la limite ?
∗∗
Il existe une propriété mathématique primordiale de R3 qui distingue l ’espace tridimen-
sionnel de toutes les autres possibilités. Une courbe (unidimensionnelle) fermée peut for-
mer des nœuds uniquement dans R3 : dans n’ importe quel autre nombre supérieur de
dimensions, elle peut toujours être dénouée. (L’existence des nœuds explique également
pourquoi le nombre trois représente le plus petit nombre de dimensions qui permet aux
particules d ’avoir un mouvement chaotique.) Néanmoins, la relativité générale ne dit
pas pourquoi l ’espace-temps possède quatre dimensions. Elle est simplement fondée sur
la réalité. Cette question ardue et profonde ne sera résolue que dans la dernière partie de
notre ascension de la montagne.
∗∗
Henri Poincaré, qui est décédé en 1912, peu avant que la théorie de la relativité générale
ne fût achevée, pensait depuis un certain temps que l ’espace courbe n’était pas une néces-
sité, mais seulement une possibilité. Il imaginait que nous pouvions continuer à utiliser
l ’espace euclidien à condition que nous autorisions la lumière à suivre des trajectoires
Défi 199 pe courbées. Pouvez-vous élucider pourquoi une telle théorie est impossible ?
∗∗

Deux atomes d ’ hydrogène peuvent-ils tourner l ’un autour de l ’autre, dans leur champ
Défi 200 s gravitationnel mutuel ? Quelle serait la taille de cette « molécule » ?
∗∗
Deux impulsions lumineuses peuvent-elles tourner l ’une autour de l ’autre, dans leur
Défi 201 s champ gravitationnel mutuel ?
∗∗
Les divers mouvements de la Terre mentionnés dans la section sur la physique galiléenne,
Page 84 tels que sa rotation autour de son axe ou autour du Soleil, conduisent à plusieurs va-
riantes de temps en physique et en astronomie. Le temps défini par les meilleures hor-
loges atomiques est baptisé temps dynamique terrestre ou TDT. En introduisant des sauts
de quelques secondes de temps en temps pour compenser la mauvaise définition de la
Page 283 seconde (une rotation terrestre ne dure pas 86 400 mais 86 400,002 secondes) et, acces-
soirement, pour compenser le ralentissement de la rotation de la Terre, nous obtenons le
temps universel coordonné ou TUC. Il existe alors un temps dérivé de celui-ci qui prend
en compte toutes les corrections de l ’ordre de quelques secondes. Nous aurions ainsi le
temps – distinct – qui serait indiqué par une horloge non rotative située au centre de la
Terre. Finalement, il y a le temps dynamique barycentrique ou TDB, qui est le temps qui
Réf. 117 serait indiqué par une horloge située au centre de masse du Système solaire. C ’est en
utilisant ce dernier uniquement que les satellites peuvent être guidés de manière fiable à
travers le Système solaire. En résumé, la relativité dit adieu au Temps Moyen de Green-
wich, comme le fit en son temps la loi britannique, dans une des rares situations où la loi
a écouté la science. (Seule la BBC continue de l ’utiliser.)
∗∗
Les agences spatiales doivent donc tenir compte de la relativité générale si elles veulent
envoyer des satellites artificiels vers Mars, Vénus ou des comètes. Sans celle-ci, les or-
bites ne seraient pas calculées avec exactitude, et les satellites manqueraient leur cible et
même carrément la planète elle-même. En réalité, les agences spatiales jouent la carte de
la sécurité : elles utilisent une généralisation de la relativité générale, à savoir le forma-
lisme post-newtonien paramétrisé, qui effectue une vérification continuelle pour savoir si
la relativité générale est correcte. Aucune déviation n’a été décelée jusqu ’à présent, aux
erreurs de mesures près*.
* Pour donner une idée de ce que cela signifie, le formalisme post-newtonien non paramétrisé, fondé sur la
relativité générale, compose l ’équation du mouvement d ’un corps de masse m près d ’une grande masse M
comme un développement de l ’expression en l ’ inverse du carré, pour l ’accélération a :
GM v 2 GM v 4 Gm v 5
a=
GM
+ f2 2 2 + f4 2 4 + f5 2 5 + ⋅ ⋅ ⋅ (145)
r 2 r c r c r c
Ici les facteurs numériques f n sont évalués à partir de la relativité générale et sont du premier ordre. Les
∗∗
La relativité générale est également utilisée par les agences spatiales tout autour du
monde pour calculer les positions exactes des satellites et pour ajuster les radios à la fré-
Réf. 118 quence des émetteurs radio situés sur ceux-ci. De plus, la relativité générale est cruciale
pour le système de positionnement mondial (en anglais global positioning system ou GPS).

Cet outil moderne de navigation* est composé de 24 satellites équipés d ’ horloges, qui
couvrent la surface du globe. Pourquoi ce système nécessite-t-il la relativité générale pour
pouvoir fonctionner ? Puisque tous les satellites, de même que n’ importe qui à la surface
de la Terre, voyagent le long de cercles, nous avons dr = 0, et nous pouvons réécrire la
métrique de Schwarzschild (136) ainsi
dτ 2 2GM r 2 dφ 2 2GM v 2
( ) =1− − ( ) = 1 − − 2 . (146)
dt rc 2 c 2 dt rc 2 c
Défi 202 e Pour la relation entre le temps du satellite et le temps terrestre, nous obtenons alors
2
M v sat
dt sat 2 1 − r2G
( ) =
2 − c2
sat c
2 . (147)
dt Terre 1 − r 2G M
2 −
v Terre
Terre c c2
Pouvez-vous déduire de combien de microsecondes une horloge de satellite avance

chaque jour, étant donné que les satellites GPS font le tour de la Terre une fois toutes les
Défi 203 s douze heures ? Puisqu ’un décalage de trois microsecondes seulement entraînerait une
erreur sur la position d ’un kilomètre au bout d ’une seule journée, les horloges dans les
Réf. 119 satellites doivent être réajustées de la quantité calculée pour avancer plus lentement. Les
ajustements nécessaires sont contrôlés, et jusqu ’ ici chaque jour qui s’est écoulé depuis
que le système est entré en fonctionnement a confirmé la relativité générale, aux erreurs
expérimentales près.
∗∗
La relativité générale est à la base du sport dénommé géocaching, sorte de chasse au trésor
internationale utilisant des récepteurs GPS. Consultez les sites Web www.terracaching.
com et www.geocaching.com pour avoir plus d ’ informations.
∗∗
Réf. 120 La constante de la gravitation G ne semble pas varier au cours du temps. Les dernières
deux premiers termes impairs sont omis à cause de la réversibilité (approximative) du mouvement en rela-
tivité générale : l ’émission d ’ondes gravitationnelles, qui est irréversible, compte pour le minuscule terme
f 5 . Remarquez qu ’ il contient la petite masse m au lieu de la grosse masse M. Tous les facteurs f n jusqu ’à
f 7 ont maintenant été calculés. Cependant, dans le Système solaire, seul le terme f 2 a déjà été détecté. Cette
situation pourrait changer avec les futures expériences utilisant des satellites de haute précision. Des effets
Page 160 d ’ordres supérieurs, jusqu ’à f 5 , ont été mesurés dans les pulsars binaires, comme discuté ci-après.
Dans un formalisme post-newtonien paramétrisé, tous les facteurs f n , y compris ceux qui sont impairs,
sont ajustés par rapport aux données recueillies, jusqu ’ ici tous ces ajustements concordent avec les valeurs
prédites par la relativité générale.
* Pour plus d ’ informations, consultez le site Web www.gpsworld.com.
expériences restreignent son taux de variation à moins d ’une partie pour 1012 par an.
Défi 204 d Pouvez-vous imaginer comment cela peut être vérifié ?
∗∗
La sensation que nous éprouvons de vivre dans trois dimensions d ’espace seulement

Défi 205 s pourrait-elle être due à une limitation de nos facultés sensorielles ? Comment ?
∗∗
Pouvez-vous estimer l ’effet de la force de marée sur la couleur de la lumière émise par
Défi 206 pe un atome ?
∗∗
Le plus fort champ gravitationnel possible est celui d ’un petit trou noir. Le champ gra-
vitationnel le plus intense jamais observé est malgré tout plus faible. En 1998, Zhang et
Réf. 121 Lamb utilisèrent les données issues du rayonnement X d ’une étoile double pour déter-
miner que l ’espace-temps à proximité de l ’étoile à neutrons d ’une taille de 10 km est
courbé de 30 % au plus de la valeur maximale possible. Quelle est l ’accélération gravita-
tionnelle correspondante, en supposant que l ’étoile à neutrons possède la même masse
Défi 207 pe que le Soleil ?
∗∗
Réf. 122 La déviation de la lumière modifie la taille angulaire δ d ’une masse M de rayon r lors-
Défi 208 e qu ’elle est observée à une distance d. Cet effet conduit à la belle expression
√
r 1 − R S /d
δ = arcsin( √ ) où RS =
2GM
. (148)
d 1 − R S /r c2
Défi 209 pe Quel pourcentage de la surface du Soleil un observateur situé à l ’ infini peut-il voir ? Nous
Page 252 examinerons ce problème plus en détail bientôt.
Q u ’ est-ce que le poids ?

Il n’existe aucune manière pour un unique observateur (ponctuel) de distinguer les
effets de la gravité de ceux de l ’accélération. Cette propriété de la nature nous permet de
formuler une étrange assertion : les choses tombent parce que la surface de la Terre accé-
lère dans leur direction. Par conséquent, le poids d ’un objet résulte de l ’accélération vers
le haut de la surface de la Terre, qui pousse ainsi l ’objet. C ’est le principe d ’équivalence
appliqué à la vie quotidienne. Pour la même raison, les objets en chute libre n’ont pas de
poids.
Vérifions les ordres de grandeur. Bien évidemment, une surface terrestre en accéléra-
tion engendre un poids pour chaque corps reposant sur celle-ci. Ce poids est proportion-
nel à la masse inertielle. En d ’autres termes, la masse inertielle d ’un corps est identique à
la masse gravitationnelle. C ’est en réalité ce que les expériences soulignent, et ce jusqu ’à
Réf. 123 la plus haute précision accessible. Roland von Eőtvős* réalisa beaucoup d ’expériences
* Roland von Eőtvős (n. Budapest 1848 , d. id. 1919), un physicien hongrois, réalisa de nombreuses expé-
très précises de ce type tout au long de sa vie, sans jamais découvrir un quelconque désac-
cord. Dans ces expériences, il utilisait le fait que la masse inertielle détermine les effets
centrifuges alors que la masse gravitationnelle détermine la chute libre. (Pouvez-vous
Défi 210 pe imaginer comment il testa la concordance ? ) Des expériences récentes ont montré que
Réf. 123 les deux masses sont égales à 10−12 près.

Toutefois, l ’égalité des masses n’est pas une surprise. Si nous revenons sur la défini-
Page 73 tion du rapport des masses comme étant le rapport négatif inverse des accélérations, in-
dépendamment de l ’origine des accélérations, nous nous rappelons alors que les mesures
des masses ne peuvent pas être utilisées pour distinguer la masse inertielle de la masse
gravitationnelle. Comme nous l ’avons vu, les deux masses sont égales par définition en
Page 141 physique galiléenne, et ainsi toute cette discussion est véritablement stérile. Le poids est
un effet intrinsèque de la masse.
L’équivalence entre l ’accélération et la gravité nous permet d ’ imaginer la chose sui-
vante. Supposez que vous entriez dans un ascenseur afin de descendre de quelques étages.
Vous appuyez sur le bouton. L’ascenseur est poussé vers le haut par la surface terrestre
en accélération bien que ce soit d ’une valeur plus faible que l ’ immeuble. L’ immeuble est
en train de dépasser l ’ascenseur, qui prend par conséquent de la distance. Qui plus est,
à cause de cette poussée plus faible, au départ tout le monde à l ’ intérieur de l ’ascenseur
se sent un peu plus léger. Quand le contact avec l ’ immeuble est restitué, l ’ascenseur est
accéléré pour rattraper la surface terrestre en accélération. Par conséquent, nous avons
tous l ’ impression d ’être dans une voiture qui accélère fortement, poussés dans la direc-
tion opposée à l ’accélération : pendant un court instant, nous nous sentons plus lourds,
jusqu ’à ce que l ’ascenseur parvienne à sa destination.
Pourquoi les pommes tombent-elles ?
“
Vires acquirit eundo.
Un véhicule en accélération rattrapera en peu de temps un objet projeté devant celui-

ci. Pour la même raison, la surface de la Terre rattrape assez vite une pierre jetée en l ’air,
Virgile*
”
parce qu ’elle est continuellement accélérée vers le haut. Si vous aimez cette façon de voir
les choses, imaginez une pomme qui tombe d ’un arbre. À l ’ instant où elle se détache,
elle cesse d ’être accélérée vers le haut par la branche. La pomme peut dorénavant jouir de
la sérénité du véritable repos. À cause de notre perception humaine limitée, nous appe-
lons cet état de repos la chute libre. Malheureusement, la surface de la Terre qui accélère
s’approche impitoyablement et, en fonction du temps durant lequel la pomme est restée
au repos, la Terre la frappe avec une vitesse plus ou moins importante, provoquant une
déformation plus ou moins prononcée de sa forme.
Les pommes qui tombent nous instruisent également sur la manière de ne plus être
préoccupé par la déclaration que la gravité est l ’avancement inégal d ’ horloges avec la
hauteur. En fait, cette phrase est équivalente à l ’affirmation que la surface de la Terre est
riences de haute précision sur la gravité. Il découvrit, entre autres, l ’effet qui porte son nom. L’université de
Budapest a été rebaptisée en son honneur.
* « Elle acquiert des forces dans sa course. » (En référence à la Renommée. [N.d.T.]) Publius Vergilius Maro
(n. Andes 70 av. J.-C. , d. Brundisium 19 av. J.-C. ), tiré de l ’ Énéide 4, 175.
accélérée vers le haut, comme l ’a montré la discussion ci-dessus.

Ce raisonnement peut-il être prolongé indéfiniment ? Nous pouvons continuer pen-
dant un certain temps. Il est amusant de montrer comment la Terre peut garder un rayon
Défi 211 pe constant alors que sa surface est partout accélérée vers le haut. Nous pouvons alors jouer
avec l ’équivalence entre l ’accélération et la gravité. Cependant, cette équivalence est utile

uniquement dans des situations qui font appel à un seul corps accéléré. Elle s’écroule dès
que deux objets qui chutent sont étudiés. Toute étude de plusieurs corps conduit inévita-
blement à la conclusion que la gravité n’est pas l ’accélération, la gravité est l ’espace-temps
courbe.
De nombreux aspects de la gravité et de la courbure peuvent être appréhendés avec
très peu de mathématiques seulement, voire pas du tout. La section suivante mettra en
relief certaines des différences qui existent entre la gravitation universelle et la relativité
générale, montrant que seule la dernière description s’accorde avec l ’expérience. Après
cela, quelques concepts concernant la mesure de la courbure seront introduits et ap-
pliqués au mouvement des objets et à l ’espace-temps. Si le raisonnement devient trop
compliqué pour une première lecture, sautez plus loin. De toute façon, la section sur les
étoiles, la cosmologie et les trous noirs fera à nouveau usage d ’un minimum de mathé-
matiques.
Chapitre 4
MOU V E M E N T E N R E L AT I V I T É

G É N É R A L E – LUM I È R E C OU R BÉ E ET
F LU C T UAT ION DU V I DE
“
J ’ai le sentiment qu ’ Einstein comprend très
bien la théorie de la relativité.
Chaim Weitzmann, premier président d ’ Israël
Avant que nous passions en revue les détails de la relativité générale, nous allons ex-
plorer comment le mouvement des objets et de la lumière diverge de celui prédit par la
”
gravitation universelle, et comment ces différences peuvent être quantifiées.
champs faibles
La gravitation est puissante près des horizons. Cela survient lorsque la masse M et
l ’échelle de distance R vérifient
≈1.
2GM
(149)
Rc 2
Par conséquent, la gravitation est forte principalement dans trois circonstances : près
des trous noirs, près de l ’ horizon de l ’ Univers, et lorsque des particules possèdent des
énergies extrêmement élevées. Les deux premiers cas sont étudiés plus loin, tandis que le
troisième sera examiné dans la dernière partie de notre escalade de la montagne. En re-
vanche, dans la plupart des régions de l ’ Univers, il n’y a pas d ’ horizons proches et, dans
ces cas-là, la gravité agit faiblement. Malgré la violence des avalanches ou des impacts
d ’astéroïdes, dans la vie courante la gravité est considérablement plus faible que la force
maximale. Sur la Terre, le rapport mentionné ci-dessus ne vaut que 10−9 environ. Dans
ce cas, et tous les autres de la vie quotidienne, la gravitation peut toujours être appro-
chée par un champ, en dépit de ce que nous avons dit plus haut. Ces situations en champ
faible sont intéressantes parce qu ’elles sont simples à comprendre, elles nécessitent sur-
tout pour leur explication de prendre en compte l ’avancement inégal d ’ horloges situées à
des altitudes différentes. Les situations en champ faible nous permettent de faire allusion,
en passant, à la courbure de l ’espace-temps, et de continuer à imaginer la gravité comme
une source d ’accélération. Cependant, la variation du temps avec la hauteur induit déjà
de nombreux effets intéressants et inédits. La seule chose dont nous ayons besoin est une
démarche relativiste cohérente.
champs faibles 149
EFFET THIRRING
prédiction de la gravitation
universelle prédiction relativiste
Lune a
m

Terre M
univers ou anneau
massif
EFFET THIRRING-LENSE
prédiction de la gravitation
universelle prédiction relativiste
pendule de Foucault
ou
satellite en orbite
Terre
Terre F I G U R E 56 Les effets Thirring et
univers ou anneau
massif Thirring–Lense.
Les effets Thirring

En 1918, le physicien autrichien Hans Thirring publia deux prédictions simples et élé-
gantes de mouvements, dont l ’une avec son collaborateur Josef Lense. Aucun de ces
deux mouvements ne se produit dans le cadre de la gravitation universelle, mais ils appa-
Réf. 124 raissent tous les deux dans la relativité générale. La Figure 56 montre ces prédictions.
Dans le premier exemple, aujourd ’ hui appelé l ’ effet Thirring, on prédit que des accélé-
rations centrifuges ainsi que des accélérations de Coriolis se produisent pour des masses
situées à l ’ intérieur d ’une coquille sphérique massive en rotation. Thirring montra que,
si une masse sphérique enveloppante tourne, des masses situées dedans sont attirées vers
la coquille. L’effet est très petit ; toutefois, cette prédiction est en parfaite contradiction
avec celle de la gravitation universelle, dans laquelle une coquille sphérique massive –
en rotation ou non – n’agit nullement sur les masses situées en son sein. Pouvez-vous
Défi 212 pe expliquer cet effet en utilisant la figure et l ’analogie du matelas ?
Le deuxième effet, l ’ effet Thirring–Lense*, est plus connu. La relativité générale prévoit
qu ’un pendule de Foucault en oscillation, ou un satellite faisant le tour de la Terre sur
une orbite polaire, ne demeure pas exactement dans un plan figé par rapport au reste
de l ’ Univers, mais que la rotation de la Terre entraîne un tout petit peu ce plan dans
une direction donnée. Cet effet, également appelé entraînement de référentiel, survient
parce que la Terre dans l ’espace vide se comporte comme une balle en rotation dans un
matelas de mousse. Quand une balle ou une coquille tourne dans la mousse, elle entraîne
* Bien que l ’ordre des auteurs soit Lense puis Thirring, on a coutume (mais cela ne fait pas l ’unanimité)
d ’ insister sur l ’ idée de Hans Thirring en le plaçant en premier.
150 4 mouvement en relativité générale

F I G U R E 57 Les satellites LAGEOS : des sphères métalliques d’un
diamètre de 60 cm, d’une masse de 407 kg, recouvertes de 426
rétro-réflecteurs. (NASA)
partiellement la mousse située près d ’elle. De même, la Terre entraîne le vide avec elle, et
fait donc tourner le plan d ’oscillation du pendule. Pour la même raison, la rotation de la
Terre fait tourner le plan de l ’orbite d ’un satellite.
L’effet Thirring–Lense, ou effet d ’entraînement de référentiel, est extrêmement ténu.
Il fut mesuré pour la première fois en 1998 par un groupe italien dirigé par Ignazio Ciu-
folini, et une nouvelle fois par la même équipe dans les années qui précédèrent 2004. Ils
surveillèrent le mouvement de deux satellites artificiels spécifiquement conçus – dont
l ’un est indiqué dans la Figure 57 – constitués uniquement d ’un corps en acier muni
de quelques réflecteurs. Le groupe mesura le mouvement de chaque satellite autour de la
Terre avec une très haute résolution, en faisant usage de pulsations laser réfléchies. Cette
méthode permit à cette expérience à faible coût de devancer de plusieurs années les ef-
Réf. 125 forts d ’autres groupes beaucoup plus importants mais aussi beaucoup moins réactifs*.
Les résultats confirmèrent les prédictions de la relativité générale avec une approxima-
tion d ’environ 25 %.
Les effets d ’entraînement de référentiel ont également été mesurés dans des systèmes
d ’étoiles binaires. Cela est possible lorsque l ’une des étoiles est un pulsar, parce que de
tels astres envoient des signaux radio réguliers, par exemple chaque milliseconde, avec
une précision de métronome. En mesurant l ’ instant précis où le signal arrive sur Terre,
nous pouvons déduire de quelle manière ces étoiles se déplacent et confirmer que des
Réf. 126 effets aussi subtils que l ’entraînement de référentiel se produisent réellement.
Gravitomagnétisme**
L’effet d ’entraînement de référentiel et l ’effet Thirring–Lense peuvent être vus comme
des cas particuliers de gravitomagnétisme. (Nous ferons ressortir cette correspondance
plus loin.) Cette approche de la gravitation, déjà étudiée au cours du dix-neuvième siècle
Réf. 127 par Holzmüller et par Tisserand, est à nouveau devenue populaire ces dernières années,
particulièrement pour ses qualités pédagogiques. Comme nous l ’avons mentionné, le
fait de parler de champ gravitationnel représente toujours une approximation. Dans le cas
d ’une faible gravité, comme cela se passe dans la vie quotidienne, cette approximation est
excellente. De nombreux effets relativistes peuvent être décrits en termes de champ gravi-
tationnel, sans faire usage du concept de courbure de l ’espace ou du tenseur métrique. Au
* L’une d ’entre elles est la mission du satellite Gravity Probe B, qui devrait accroître de manière significative
la précision des mesures. Le satellite fut mis en orbite polaire en 2004, après 30 années d ’études.
** Cette section peut être sautée en première lecture.
champs faibles 151
lieu de décrire complètement le matelas de l ’espace-temps, le modèle du champ gravita-

tionnel ne traite que des écarts du matelas par rapport à l ’espace-temps plat, en stipulant
que cet écart représente une entité distincte, appelée champ gravitationnel. Mais quelle
est la manière relativistiquement correcte de décrire le champ gravitationnel ?
Nous pouvons comparer cette situation à l ’électromagnétisme. Dans une description

relativiste de l ’électrodynamique, le champ électromagnétique possède une composante
Page 40 électrique et une composante magnétique. Le champ électrique est responsable de la
force de Coulomb en l ’ inverse du carré. De la même manière, dans une description
relativiste de la gravitation (faible)*, le champ gravitationnel possède une composante
gravitoélectrique et une composante gravitomagnétique. Le champ gravitoélectrique est
responsable de l ’accélération en l ’ inverse du carré de la gravitation ; ce que nous appe-
lons le champ gravitationnel dans la vie quotidienne est la partie gravitoélectrique du
champ gravitationnel relativiste complet.
Dans la nature, toutes les composantes du tenseur énergie–impulsion produisent des
effets gravitationnels. Autrement dit, ce ne sont pas seulement la masse et l ’énergie qui
engendrent un champ, mais également les déplacements (ou courants) de masse ou d ’éner-
gie. Ce dernier cas est baptisé gravitomagnétisme (ou entraînement de référentiel). Cette
dénomination est due à l ’analogie qui existe avec l ’électrodynamique, dans laquelle ce
n’est pas uniquement la densité de charge qui produit un champ (le champ électrique),
mais également le déplacement des charges** (le champ magnétique).
Dans le cas de l ’électromagnétisme, la distinction entre le champ magnétique et le
champ électrique dépend de l ’observateur, chacun des deux pouvant (en partie) être
Réf. 128 transformé en l ’autre. La gravitation est exactement similaire. L’électromagnétisme four-
nit une excellente indication sur la manière dont les deux types de champs gravitation-
nels se comportent, cette intuition peut être directement transposée à la gravitation. En
électrodynamique, le mouvement x(t) d ’une particule chargée est décrit par l ’équation
Page 23 de Lorentz
mẍ = qE − qẋ ∧ B . (150)
En d ’autres termes, les champs électriques E agissent sur la variation de la vitesse, tandis
que les champs magnétiques B contribuent à une variation, en fonction de la grandeur
de la vitesse, de la direction de cette vitesse, sans faire varier sa grandeur elle-même. Ces
deux modifications dépendent de la valeur de la charge q. Dans le cas de la gravitation,
cette expression devient
mẍ = mG − mẋ ∧ H . (151)
Le rôle de la charge est campé par la masse. Dans cette expression, nous connaissons déjà
le champ G, donné par
G = ∇φ = ∇ =− 3 .
GM GMx
(152)
r r
Comme d ’ habitude, la quantité φ représente le potentiel (scalaire). Le champ G est le
champ gravitationnel usuel de la gravitation universelle, produit par chaque masse, et
* Cette approximation requiert que les vitesses soient faibles, les champs faibles, et les distributions de masse–
énergie stationnaires et localisées.
** Ce qu ’on appelle plus couramment le courant électrique. [N.d.T.]
M tige
m particule F I G U R E 58 La réalité du gravitomagnétisme.

dans ce contexte il est appelé le champ gravitoélectrique. Sa dimension est celle d ’une
accélération. Les masses sont les sources du champ gravitoélectrique. Celui-ci vérifie
∆G = −4πGρ, où ρ représente la masse volumique. Un champ G statique n’a aucun
mouvement de rotation, il vérifie ∆ ∧ G = 0.
Il n’est pas difficile de montrer que si des champs gravitoélectriques existent, alors
Réf. 129 des champs gravitomagnétiques doivent également être rencontrés. Ces derniers appa-
raissent à chaque fois que nous changeons de point de vue, d ’un observateur au repos
Page 40 à un autre en mouvement. (Nous utiliserons le même argument en électrodynamique.)
Une particule qui chute perpendiculairement en direction d ’une tige de longueur in-
finie illustre cette idée, comme indiqué sur la Figure 58. Un observateur au repos par
rapport à la tige peut décrire toute la situation à l ’aide uniquement des forces gravito-
électriques. Un deuxième observateur, se déplaçant le long de la tige à vitesse constante,
observe que la quantité de mouvement de la particule le long de la tige augmente aussi.
Il ne mesurera donc pas seulement un champ gravitoélectrique, il mesurera aussi un
champ gravitomagnétique. En réalité, une masse se déplaçant à une vitesse v engendre
Défi 213 pe une (tri-)accélération gravitomagnétique, sur une masse de référence m, donnée par
ma = −mv ∧ H (153)
où, presque comme en électrodynamique, le champ gravitomagnétique statique H vérifie
H = ∇ ∧ A = 16πN ρv , (154)
ici, ρ est la masse volumique de la source du champ et N est une constante de proportion-
nalité. La quantité A est appelée le potentiel vecteur gravitomagnétique. Dans la nature, il
n’existe aucune source pour le champ gravitomagnétique, celui-ci obéit donc à la rela-
tion ∇H = 0. Le champ gravitomagnétique possède la dimension de l ’ inverse du temps,
comme une vitesse angulaire.
Défi 214 pe Lorsque la situation de la Figure 58 est quantifiée, nous trouvons que la constante de
proportionnalité N est donnée par
N= = 7,4 ⋅ 10−28 m/kg ,

G
(155)
c2
soit une valeur extrêmement faible. Nous découvrons alors que, comme dans le cas de
l ’électrodynamique, le champ gravitomagnétique est plus faible que le champ gravitoélec-
trique d ’un facteur c 2 . Il est donc très délicat de l ’observer. De plus, un deuxième aspect
champs faibles 153
rend l ’observation du gravitomagnétisme encore plus ardue. Contrairement à l ’électro-

magnétisme, dans le cas de la gravitation il n’existe aucune façon d ’observer des champs
Défi 215 s gravitomagnétiques purs (pourquoi ?). Ils sont toujours combinés avec les champs gra-
vitoélectriques, plus communs. Pour ces raisons, les effets gravitomagnétiques ne furent
mesurés pour la première fois que dans les années 1990. Nous remarquons que la gravita-

tion universelle constitue l ’approximation de la relativité générale lorsque tous les effets
gravitomagnétiques sont ignorés.
En résumé, si une masse se déplace, elle engendre également un champ gravitomagné-
tique. Comment pouvons-nous imaginer le gravitomagnétisme ? Jetons un œil sur ses
effets. L’expérience de la Figure 58 a montré qu ’une tige en mouvement a pour effet
d ’accélérer délicatement une masse de référence dans la même direction. Dans notre
métaphore du vide comme étant un matelas, il apparaît que si une tige en mouvement
entraîne le vide dans sa course, il en sera de même pour toute masse observée dans cette
zone. Le gravitomagnétisme peut donc être perçu comme étant un effet de l ’entraîne-
ment de l ’espace vide. À cause d ’une réticence répandue à imaginer le vide comme étant
un matelas, l ’expression entraînement de référentiel est utilisée à la place.
Dans cette description, tous les effets d’entraînement de référentiel sont des effets gra-
vitomagnétiques. En particulier, un champ gravitomagnétique apparaît aussi lorsqu ’une
grosse masse tourne, comme dans l ’effet Thirring–Lense de la Figure 56. Pour un mo-
ment cinétique J, le champ gravitomagnétique H est un champ dipolaire, qui est exprimé
par
H = ∇ ∧ h = ∇ ∧ (−2 3 )
J∧x
(156)
r
exactement comme dans le cas de l ’électrodynamique. Le champ gravitomagnétique qui

règne autour d ’une masse en rotation possède trois implications majeures.
En premier lieu, comme en électromagnétisme, une particule observée en rotation
avec un moment cinétique S ressent un couple si elle se trouve près d ’une grosse masse
en rotation ayant un moment cinétique J. Ce couple T est donné par
T= = S∧H .
dS 1
(157)
dt 2
Ce couple provoque la précession des gyroscopes. Pour la Terre, cet effet est extrêmement
petit : au pôle Nord, cette précession a un angle conique de 0,6 milliseconde d ’arc et une
période de rotation de l ’ordre de 10−10 fois celle de la Terre.
Puisque pour le couple nous avons T = Ω̇ ∧ S, le champ dipolaire d ’une grosse masse
en rotation ayant un moment cinétique J conduit à un deuxième effet. Une masse en
orbite subira une précession de son plan orbital. Observée à partir d ’une position située
Défi 216 pe à l ’ infini, nous obtenons pour une orbite de demi-grand axe a et d ’excentricité e,
Ω=− =− 2 3 + 2 = 2 3
H G J G 3(Jx)x G 2J
c ∣x∣ c ∣x∣ c a (1 − e 2 )3/2
Ω̇ , (158)
2 5
ce qui constitue la prédiction de Lense et Thirring*. Cet effet est une nouvelle fois extrê-
Défi 217 pe * Une sphère homogène en rotation possède un moment cinétique exprimé comme suit : J = 25 MωR 2 .
mement ténu, engendrant une variation de seulement 8 ′′ par révolution pour un satel-
lite situé à proximité de la surface de la Terre. Malgré cette valeur modique et un grand
nombre d ’effets plus importants qui la perturbent, l ’équipe de Ciufolini est parvenue à
Réf. 125 confirmer ce résultat.
En conséquence du troisième effet du gravitomagnétisme, une masse en rotation en-

traîne une précession du périastre. C ’est un effet analogue à celui produit par la courbure
spatiale sur des masses en orbite, même si le corps central ne tourne pas. La rotation
atténue simplement la précession due à la courbure de l ’espace-temps. Cet effet a été en-
tièrement confirmé dans le cas du célèbre pulsar binaire PSR B1913+16, découvert en 1974,
ainsi que pour le « véritable » pulsar double* PSR J0737-3039, découvert en 2003. Ce dernier
exhibe une précession de son périastre de 16,9°/a, la plus grande valeur observée jusqu ’à
Réf. 130 présent.
Le fossé qui sépare les effets gravitoélectriques des effets gravitomagnétiques est donc
utile pour réaliser une approximation pertinente de la description de la gravité. Cela nous
permet également de répondre à des questions telles que : comment la gravité peut-elle
maintenir la Terre en orbite autour du Soleil, si elle met 8 minutes pour voyager du So-
Défi 218 pe leil jusqu ’à nous ? Pour découvrir la réponse, il s’avère très utile de réfléchir en s’aidant
de l ’analogie de l ’électromagnétisme. De plus, la séparation du champ gravitationnel en
composantes gravitoélectrique et gravitomagnétique nous permet de brosser une descrip-
tion simple des ondes gravitationnelles.
Ondes gravitationnelles
L’une des prédictions les plus fantastiques de la physique concerne l ’existence des
ondes gravitationnelles. Les ondes de gravité** démontrent que l ’espace vide lui-même
possède l ’aptitude à se déplacer et à vibrer. L’ idée de base est élémentaire. Puisque l ’es-
pace est flexible, tel ce vaste matelas dans lequel nous vivons, il devrait être capable d ’os-
ciller sous la forme d ’ondes de propagation, exactement comme un matelas ou n’ im-
porte quel autre milieu élastique.
TA B L E AU 3 L’éventail attendu des ondes gravitationnelles.
Fréquence Longueur Nom Phénomène prévu

d ’ onde
< 10−4 Hz > 3 Tm fréquences systèmes d ’étoiles binaires
extrêmement basses lentes, trous noirs
supermassifs
10−4 Hz–10−1 Hz 3 Tm–3 Gm fréquences très systèmes d ’étoiles binaires
basses rapides, trous noirs massifs,
oscillations de naines
blanches
* Le terme de « pulsar double » ne doit pas être confondu avec celui de « pulsar binaire », dont seulement
l ’une des deux composantes est identifiée comme étant un pulsar. [N.d.T.]
** En toute rigueur, l ’expression « onde de gravité » possède une signification particulière : les ondes de gra-
vité sont les ondes de surface de l ’océan, où la gravité est la force de rétablissement. Cependant, en relativité
générale, cette expression est employée de façon interchangeable avec « onde gravitationnelle ».
champs faibles 155
Fréquence Longueur Nom Phénomène prévu

d ’ onde
10−1 Hz–102 Hz 3 Gm–3 Mm basses fréquences pulsars binaires, trous noirs
moyens et légers
102 Hz–105 Hz 3 Mm–3 km fréquences supernovae, oscillations de

moyennes pulsars
105 Hz–108 Hz 3 km–3 m hautes fréquences inconnu, peut-être des
sources futures
anthropiques
> 108 Hz < 3m peut-être des sources
cosmologiques inconnues
Réf. 131 Jørgen Kalckar et Ole Ulfbeck ont développé un argument simple pour justifier la
nécessité des ondes gravitationnelles, fondé sur la réalité d ’une vitesse maximale. Ils étu-
dièrent deux masses identiques chutant l ’une vers l ’autre sous l ’effet de l ’attraction gra-
vitationnelle, et imaginèrent la présence d ’un ressort situé entre elles. Un tel ressort fera
rebondir les masses l ’une contre l ’autre, puis elles chuteront à nouveau, et ainsi de suite.
Le ressort central emmagasine l ’énergie cinétique des masses en question. La valeur de
l ’énergie peut être mesurée en déterminant de quelle longueur le ressort est comprimé.
Lorsque ce ressort se détend à nouveau et projette les masses en arrière dans l ’espace, l ’at-
traction gravitationnelle fera graduellement ralentir celles-ci, jusqu ’à ce qu ’elles tombent
à nouveau l ’une vers l ’autre, entamant donc un nouveau cycle identique.
Néanmoins, l ’énergie stockée dans le ressort doit diminuer à chaque cycle. Dès
qu ’une sphère se détache du ressort, elle est décélérée par la traction gravitationnelle
que l ’autre sphère exerce. Maintenant, la valeur de ce ralentissement dépend de la dis-
tance à l ’autre masse, mais, puisqu ’ il existe une vitesse maximale de propagation, la dé-
célération effective est fonction de la distance où l ’autre masse était lorsque sa gravité
s’est mise effectivement en route en direction de la seconde masse. Pour deux masses
s’éloignant l ’une de l ’autre, la distance effective est donc légèrement inférieure à la vé-
ritable distance. En bref, tout au long de l ’éloignement, la véritable décélération est plus
importante que celle calculée en ne tenant pas compte du délai de propagation.
De façon similaire, lorsqu ’une masse retombe vers l ’autre, elle est accélérée par cette
autre masse en fonction de la distance où elle était quand la gravité effective a commencé
à se déplacer dans sa direction. Par conséquent, tout en s’approchant, l ’accélération est
plus faible que celle calculée sans ce décalage temporel.
Par conséquent, les masses reviennent avec une énergie inférieure à celle qu ’elles
avaient avant de s’en aller. À chaque rebond, le ressort est un peu moins comprimé. La
différence entre ces deux énergies est perdue par chaque masse : elle est prélevée par
l ’espace-temps ; en d ’autres termes, elle est diffusée en tant que rayonnement gravitation-
nel. La même chose se produit avec les matelas. Rappelez-vous qu ’une masse déforme
l ’espace autour d ’elle de même qu ’une boule métallique posée sur un matelas déforme
la surface autour d ’elle. (Toutefois, contrairement aux véritables matelas, il n’y a aucun
frottement entre la boule et le matelas.) Si deux boules métalliques se cognent à plusieurs
reprises l ’une contre l ’autre puis s’éloignent alors, jusqu ’à ce qu ’elles reviennent à nou-
veau ensemble, elles émettront des ondes de surface sur le matelas. Au cours du temps,
F I G U R E 59 Une expérience de pensée

démontrant l’existence nécessaire des
ondes gravitationnelles.

cet effet réduira la distance à laquelle les deux boules s’écartent l ’une de l ’autre après
chaque heurt. Comme nous le verrons bientôt, un effet similaire a déjà été mesuré, où les
deux masses, au lieu d ’être repoussées par un ressort, étaient en train de graviter l ’une
autour de l ’autre.
Une description mathématique simple des ondes de gravité découle de la séparation
Réf. 132 entre les effets gravitomagnétiques et gravitoélectriques. Il n’est pas besoin de faire beau-
coup d ’efforts pour étendre la gravitomagnétostatique et la gravitoélectrostatique à la
gravitodynamique. De même que l ’électrodynamique peut être déduite de l ’attraction de
Coulomb lorsque nous commutons vers d ’autres observateurs inertiels, la gravitodyna-
Défi 219 pe mique peut être déduite de la gravitation universelle. Nous obtenons les quatre équations
∇ G = −4πGρ , ∇∧G = −
∂H
∂t
∇H = 0 , ∇ ∧ H = −16πGρv +
N ∂G
. (159)
G ∂t
Nous avons déjà rencontré deux de ces équations. Les deux autres sont des versions éten-
dues de ce que nous avons vu, prenant en compte la dépendance temporelle. Mis à part
un facteur de 16 au lieu de 4 dans la dernière équation, ces équations pour la gravitody-
namique sont les mêmes que les équations de Maxwell pour l ’électrodynamique*. Ces
équations possèdent une propriété élémentaire : dans le vide, nous pouvons déduire de
celles-ci une équation d’onde pour les champs gravitoélectrique et gravitomagnétique G
Défi 220 pe et H. (Ce n’est pas difficile : essayez !) En d ’autres termes, la gravité peut se comporter
comme une onde : la gravité peut rayonner. Tout cela découle de l ’expression de la gravi-
tation universelle lorsqu ’elle est appliquée à des observateurs en mouvement, en exigeant
que ni les observateurs ni l ’énergie ne puissent se déplacer plus vite que c. L’argument
présenté ci-dessus concernant le ressort et le présent argument mathématique utilisent
tous les deux les mêmes hypothèses et parviennent à la même conclusion.
* Le facteur supplémentaire souligne le fait que le rapport entre le moment cinétique et l ’énergie (le « spin »)
des ondes gravitationnelles est différent de celui des ondes électromagnétiques. Les ondes de gravité ont un
spin égal à 2, alors que les ondes électromagnétiques ont un spin de 1. Remarquez que, puisque la gravitation
est universelle, il ne peut exister qu ’ une seule sorte de particule de rayonnement de spin 2 dans la nature.
C ’est en contradiction flagrante avec le cas du spin 1, dont il existe plusieurs exemplaires dans la nature.
Par ailleurs, le spin de rayonnement est une propriété classique. Le spin d ’une onde est le rapport E/Lω,
où E est l ’énergie, L le moment cinétique, et ω la fréquence angulaire. Pour des ondes électromagnétiques,
ce rapport est égal à 1, pour des ondes gravitationnelles, il est de 2.
Réf. 133 Remarquez que, à cause de l ’approximation à la base des équations de la gravitodynamique, ces équations
ne sont ni des invariants de jauge ni covariantes en général.
champs faibles 157
Onde qui se déplace perpendiculairement à la page

t1 t2 t3 t4 t5

polarisation rectiligne dans la direction +
Aucune onde (à
chaque instant)
polarisation rectiligne dans la direction x
polarisation circulaire droite
polarisation circulaire gauche

F I G U R E 60 Effets exercés sur un corps circulaire ou sphérique, dus à une onde plane gravitationnelle se
déplaçant dans une direction perpendiculaire à la page.
Quelques manipulations nous indiquent que la vitesse de ces ondes est déterminée
Défi 221 e par √
c=
G
. (160)
N
Page 78 Ce résultat correspond à l ’équivalent électromagnétique
c=√
1
. (161)
ε0 µ0
La même lettre a été utilisée pour désigner les deux vitesses, puisqu ’elles sont identiques.
Ces deux influences se propagent avec la vitesse commune à toute énergie dépourvue de
masse au repos. (Nous remarquons que c ’est, à proprement parler, une prédiction : la
vitesse des ondes gravitationnelles n’a pas encore été mesurée. Il s’est avéré qu ’en 2003
Réf. 134 certains ont prétendu, à tort, l ’avoir fait.)
Réf. 136 Comment pourrions-nous imaginer ces ondes ? Nous avons affirmé plus haut avec
insouciance qu ’une onde gravitationnelle correspondait à une onde de surface sur un
matelas. Maintenant, nous devons faire mieux et imaginer que nous vivons à l ’ intérieur
du matelas. Les ondes gravitationnelles représentent donc des déformations mouvantes
et oscillantes du matelas, c ’est-à-dire de l ’espace. Comme les ondes du matelas, il appa-
raît que les ondes de gravité sont transversales. Elles peuvent donc être polarisées. (Les
ondes de surface sur le matelas ne le peuvent pas, parce qu ’en deux dimensions il n’y a

pas de polarisation possible.) Les ondes gravitationnelles peuvent être polarisées de deux
manières indépendantes. Les effets d ’une onde gravitationnelle sont indiqués sur la Fi-
gure 60, à la fois pour des polarisations rectiligne et circulaire*. Nous remarquons que
les ondes sont invariantes par une rotation d ’angle π et que les deux polarisations recti-
lignes diffèrent d ’un angle π/4. Cela montre que les particules associées à ces ondes, les
gravitons, ont un spin égal à 2. (En général, le champ de rayonnement classique pour une
particule de spin S est invariant par une rotation d ’angle 2π/S. De plus, les deux com-
posantes orthogonales de la polarisation rectiligne d ’une particule de spin S forment
un angle de π/2S. Pour le photon, par exemple, le spin est de 1. En réalité, son angle de
rotation invariant est 2π et l ’angle formé par les deux polarisations est π/2.)
Si nous schématisons le vide comme un matelas qui emplit l ’espace, les ondes gravita-
tionnelles sont des déformations fluctuantes de ce matelas. Plus précisément, la Figure 60
montre qu ’une onde de polarisation circulaire possède les mêmes propriétés qu ’un tire-
bouchon progressant à travers ce matelas. Nous découvrirons plus tard pourquoi l ’analo-
gie entre un tire-bouchon et une onde de gravité de polarisation circulaire fonctionne si
bien. En réalité, dans la dernière partie, nous mettrons la main sur un modèle particulier
de la substance du matelas de l ’espace-temps qui incorpore automatiquement des ondes
en tire-bouchon (à la place des ondes de spin 1 générées par des matelas ordinaires en
latex).
Comment engendrons-nous des ondes gravitationnelles ? Évidemment, des masses
* Une onde de gravité plane (de faible amplitude) se propageant dans la direction des z est décrite par une
métrique д donnée par
⎛1 0 0 0⎞
⎜0 −1 + h x x 0⎟
д=⎜ ⎟
hx y
⎜0 −1 + h x x 0 ⎟
(162)
hx y
⎝0 0 0 −1⎠
où ses deux composantes, dont le rapport des amplitudes détermine la polarisation, sont exprimées par
h ab = B ab sin(kz − ωt + φ ab ) (163)
comme dans toute onde harmonique plane. Les amplitudes B ab , la fréquence ω et la phase φ sont détermi-
nées par le système physique en particulier. La relation de dispersion générale, pour le nombre d ’onde k,
issue de l ’équation d ’onde est
=c
ω
(164)
k
et montre ainsi que l ’onde se déplace à la vitesse de la lumière.
Dans une autre jauge, une onde plane peut être écrite comme
⎛c (1 + 2φ) A3 ⎞
2
A1 A2
⎜ 0⎟
д=⎜ ⎟
A1 −1 + 2φ hx y
⎜ 0⎟
(165)
A2 hx y −1 + h x x
⎝ A3 0 0 −1 ⎠
où φ et A représentent les potentiels tels que G = ∇φ − ∂A

c ∂t
et H = ∇ ∧ A.
champs faibles 159
doivent être accélérées. Mais comment, précisément ? La conservation de l ’énergie inter-

dit à des distributions de masses monopolaires (des monopôles) de voir leurs potentiels
énergétiques varier. Nous savons également par la gravitation universelle qu ’une masse
sphérique dont le rayon oscille ne devrait pas émettre des ondes gravitationnelles. De
plus, la conservation de la quantité de mouvement empêche les distributions de masses

Défi 222 pe dipolaires (les dipôles) d ’être variables.
Par conséquent, seuls les quadrupôles variables peuvent émettre des ondes*. Par
exemple, deux masses en orbite l ’une autour de l ’autre émettront des ondes gravitation-
nelles. De même, n’ importe quel objet en rotation qui ne possède pas une symétrie cy-
lindrique autour de son axe de rotation en fera de même. Ainsi, le simple fait de faire
tourner son bras conduit à l ’émission d ’ondes gravitationnelles. La plupart de ces af-
firmations s’appliquent également à des masses situées dans un matelas. Pouvez-vous
Défi 223 pe indiquer quelles en sont les différences ?
Einstein remarqua que l ’amplitude h d ’ondes situées à une distance r d ’une source
est donnée, en bonne approximation, par la dérivée seconde du moment quadrupolaire
Réf. 135 retardé Q :
h ab = 4 d t t Q ab = 4 d t t Q ab (t − r/c) .
2G 1 2G 1
ret
(166)
c r c r
Cette expression montre que l ’amplitude des ondes de gravité décroît uniquement en
1/r, contrairement aux attentes naïves. Cependant, cette caractéristique est la même que
pour les ondes électromagnétiques. De plus, la valeur minuscule du premier facteur,
1,6 ⋅ 10−44 Wm/s, indique que des systèmes vraiment gigantesques sont nécessaires pour
produire des variations du moment quadrupolaire qui puissent entraîner une fluctuation
décelable de la longueur des corps. Pour vous en convaincre, remplacez simplement les
Défi 224 pe lettres par quelques nombres, en gardant à l ’esprit que les meilleurs détecteurs actuels
sont capables de mesurer des variations de longueur allant jusqu ’à h = δl/l = 10−19 .
La création d ’ondes gravitationnelles détectables par les êtres humains est probablement
impossible.
Les ondes gravitationnelles, comme toutes les autres ondes, transportent de l ’éner-
gie**. Si nous appliquons la formule générale de la puissance émise P au cas de deux
masses m 1 et m 2 en orbite circulaire l ’une autour de l ’autre à une distance l, nous
Réf. 96 obtenons
G ... ret ... ret 32 G m1 m2 2 4 6
P=− = = ( ) l ω
dE
Q Q (167)
dt 45c 5 ab ab 5 c 5 m1 + m2
ce qui, en utilisant la relation de Kepler 4π2 r 3 /T 2 = G(m 1 + m 2 ), devient
32 G 4 (m 1 m 2 )2 (m 1 + m 2 )
P= . (168)
5 c5 l5
* Un quadrupôle est une disposition symétrique, sur les quatre côtés d ’un carré, de quatre pôles alternatifs.
Dans la gravitation, un monopôle est représenté par une masse ponctuelle ou deux masses sphériques, et,
puisque les masses ne peuvent pas être négatives, un quadrupôle est formé par deux monopôles. Une sphère
aplatie, telle la Terre, peut être approchée par l ’addition d ’un monopôle et d ’un quadrupôle. La même chose
reste valable pour une sphère allongée.
Page 61 ** Le gravitomagnétisme et la gravitoélectricité nous permettent de définir un vecteur de Poynting gravita-
Réf. 129 tionnel. Il est aussi aisé à définir et à utiliser que dans le cas de l ’électrodynamique.
décalage
temporel
(s)
0
données
(points)
5

10
15
prédiction
20 de la relativité
générale
F I G U R E 61 Comparaison entre le retard

25 temporel mesuré du périastre du pulsar
binaire PSR 1913+16 et la prédiction due à
année la perte d’énergie par rayonnement
30
1975 1980 1985 1990 1995 2000 gravitationnel.
Pour des orbites elliptiques, la proportion augmente avec l ’ellipticité, comme l ’explique
Réf. 96 Goenner. En insérant les valeurs propres au cas de la Terre et du Soleil, nous obtenons
une puissance d ’environ 200 W, et une valeur de 400 W pour le système Jupiter–Soleil.
Ces grandeurs sont si petites que leurs effets ne peuvent pas du tout être décelés.
Pour tous les systèmes qui gravitent, la fréquence des ondes est le double de la fré-
Défi 225 pe quence orbitale, comme vous devriez pouvoir le vérifier. Ces basses fréquences font qu ’ il
est encore plus difficile de les détecter.
Par conséquent, la seule observation possible des effets des ondes gravitationnelles se
trouve pour le moment dans les pulsars binaires. Les pulsars sont des astres petits mais
prodigieusement denses : même avec une masse équivalente à celle du Soleil, leur dia-
mètre est approximativement de 10 km seulement. En conséquence, ils peuvent graviter
l ’un près de l ’autre à faible distance et à des vitesses considérables. En réalité, dans le
système le plus connu constitué d ’un pulsar binaire, PSR 1913+16, les deux astres gravitent
l ’un autour de l ’autre en une période ahurissante de 7,8 h, bien que leur demi-grand axe
soit d ’environ 700 Mm, un peu moins du double de la distance Terre–Lune. Puisque leur
vitesse orbitale grimpe à 400 km/s, ce système est significativement relativiste.
Les pulsars sont dotés d ’une propriété très utile : à cause de leur rotation, ils émettent
des pulsations radio extraordinairement régulières (d ’où leur nom), souvent de l ’ordre
de quelques millisecondes. Par conséquent, il est facile de retrouver leur orbite en mesu-
rant la variation du temps d ’arrivée du signal. Dans une célèbre expérience, une équipe
d ’astrophysiciens dirigée par Joseph Taylor* mesura la décroissance de la vitesse du pul-
Réf. 137 sar binaire déjà cité. Après avoir écarté tous les autres effets et collecté les données du-
* Il partagea le prix Nobel de physique en 1993 pour tout le travail effectué durant sa carrière.
champs faibles 161
miroir
L1
miroir

source L2
lumineuse F I G U R E 62 Détection d’ondes gravitationnelles.
rant vingt années, ils notèrent une diminution de la fréquence orbitale, indiquée sur la
Réf. 138 Figure 61. Ce ralentissement est dû à l ’émission d ’ondes gravitationnelles. Le résultat
s’ajuste parfaitement avec la prédiction de la relativité générale, sans faire appel à un
quelconque paramètre d’ajustement. (Vous devriez pouvoir vérifier que cet effet doit dé-
Défi 226 pe pendre de façon quadratique du temps.) C ’est la seule fois jusqu ’à présent où la relativité
Page 143 générale a été testée jusqu ’à la précision de (v/c)5 . Pour se faire une idée de cette préci-
sion, considérez bien que cette expérience avait détecté une réduction du diamètre orbital
Réf. 137 de 3,1 mm par révolution, ou de 3,5 m par an ! Les mesures furent possibles uniquement
parce que les deux astres qui constituent ce système sont des étoiles à neutrons de petite
taille, de très grande vitesse et sous l ’ influence d ’ interactions purement gravitationnelles.
La période de rotation du pulsar autour de son axe, environ 59 ms, est connue jusqu ’à
une précision de onze chiffres, la période orbitale de 7,8 h est connue jusqu ’à dix chiffres
Réf. 96 et l ’excentricité de l ’orbite jusqu ’à six chiffres.
La détection directe des ondes gravitationnelles constitue l ’un des objectifs de la rela-
tivité générale expérimentale. La compétition est en cours depuis les années 1990. L’ idée
fondamentale est simple, comme l ’ indique la Figure 62 : prenez quatre corps, généra-
lement quatre miroirs, pour lesquels la ligne reliant une paire est perpendiculaire à la
ligne reliant l ’autre paire. Mesurez alors les variations de distance de chaque paire. Si
une onde gravitationnelle traverse le dispositif, une paire verra sa distance augmenter
alors que l ’autre diminuera, au même moment.
Puisque les ondes gravitationnelles détectables ne peuvent pas être produites par les
hommes, la détection d ’onde sollicite avant tout beaucoup de patience, pour attendre
qu ’une onde suffisamment puissante arrive. Deuxièmement, un système capable de dé-
tecter des variations de longueur de l ’ordre de 10−22 ou mieux est requis – autrement
dit, il faut beaucoup d ’argent. Toute détection est assurée de faire la une des journaux
télévisés*.
Il apparaît que, même pour un corps gravitant autour d ’un trou noir, seul 6 % environ
de sa masse inertielle peut être rayonnée dans l ’espace sous forme d ’ondes gravitation-
nelles. En outre, la majorité de l ’énergie est diffusée pendant la chute finale dans le trou
noir, de telle façon que seuls des processus plutôt violents, comme des collisions de trous
noirs, sont de bons candidats de sources d ’ondes de gravité décelables.
Les ondes gravitationnelles constituent un domaine d ’étude captivant. Elles four-
nissent toujours de nombreux sujets à investiguer. Par exemple : pouvez-vous trouver
Réf. 139 * Le thème des ondes gravitationnelles est rempli d ’applications potentielles pratiques. Par exemple, peut-on
tirer profit des ondes de gravité pour propulser une fusée ? Oui, répondent Bonnor et Piper. Vous devriez
Défi 227 pe méditer cette éventualité vous-même.

M
x F I G U R E 63 Calcul du fléchissement de la lumière par une masse.
Défi 228 r une méthode pour mesurer leur vitesse ? Une fausse annonce largement diffusée est sur-
Réf. 134 venue en 2003. En réalité, toute mesure correcte qui n’utilise pas clairement deux détec-
teurs distants, du type de ceux de la Figure 62, serait une fabulation scientifique.
Pour le moment, une autre question sur les ondes gravitationnelles nous taraude :
si tout changement est dû au mouvement de particules, comme l ’affirmèrent les Grecs
Défi 229 pe en leur temps, comment les ondes de gravité s’ insèrent-elles dans cette vision ? Si les
ondes gravitationnelles étaient constituées de particules, l ’espace-temps devrait l ’être
aussi. Nous devrons patienter jusqu ’au début de la dernière partie de notre ascension
pour en savoir plus.
Fléchissement de la lumière et des ondes radio

Comme nous le savons d ’après ce qui a été dit, la gravité influence également le mou-
vement de la lumière. Un observateur éloigné mesure une valeur fluctuante pour la vi-
tesse v de la lumière près d ’une masse. (Mesurée à son propre emplacement, la vitesse
de la lumière est bien entendu toujours égale à c.) Il s’avère qu ’un observateur éloigné
mesure une vitesse plus faible, de telle façon que pour lui la gravité a le même effet qu ’un
milieu optique épais. Il suffit d ’un peu de réflexion pour s’apercevoir que cet effet aug-
mentera donc le fléchissement de la lumière qui passe à proximité des masses, par rapport
à celui déjà déduit en 1801 par Soldner dans le cadre de la gravitation universelle.
Nous donnons dans ce qui suit une méthode simple pour calculer cet effet. Comme
d ’ habitude, nous utilisons le système de coordonnées de l ’espace-temps plat à l ’ infini.
L’ idée est de faire tous les calculs au premier ordre, puisque la valeur de la courbure est
Réf. 140 très petite. L’angle de déviation α, au premier ordre, est simplement
α=
∞ ∂v
∫−∞ ∂x
dy , (169)
où v représente la vitesse de la lumière mesurée par un observateur éloigné. (Pouvez-vous

Défi 230 pe le confirmer ?) L’étape suivante consiste à se servir de la métrique de Schwarzschild
champs faibles 163
dr 2 r2 2
dτ 2 = (1 − )dt
2GM 2
dφ (170)
(c 2 − r ) c 2
− 2G M
−
rc 2
Défi 231 pe et de la transformer en coordonnées (x, y) au premier ordre. Cela donne

dτ 2 = (1 − )dt 2 − (1 + ) (dx 2 + dy 2 )
2GM 2GM 1
(171)
rc 2 rc 2 c 2
ce qui entraîne, une nouvelle fois, au premier ordre
= (1 − )c .
∂v 2GM
(172)
∂x rc 2
Cela confirme ce que nous savions déjà, à savoir que des observateurs éloignés observent
que la lumière ralentit lorsqu ’elle frôle une masse. Donc nous pouvons également dire
que l ’ indice de réfraction dépend de l ’altitude. En d ’autres termes, une vitesse de la
lumière locale constante conduit à un ralentissement global.
Défi 232 pe En glissant ce dernier résultat dans (169) et en effectuant une substitution astucieuse,
nous obtenons un angle de déviation α donné par
α=
4GM 1
(173)
c2 b
où la distance b représente ce que nous appelons le paramètre d’ impact du rayon lumi-

neux qui s’approche. L’angle de déviation α résultant est le double du résultat que nous
Page 139 avions trouvé pour la gravitation universelle. Pour un rayon situé juste au-dessus de la
surface du Soleil, le résultat donne la valeur célèbre de 1,75 ′′ qui fut confirmée par l ’ex-
Défi 233 pe pédition expérimentale de 1919. (Comment mesurèrent-ils l ’angle de déviation ?) Ce fut
l ’expérience qui rendit Einstein illustre, puisqu ’elle confirma définitivement que la gra-
vitation universelle est incorrecte. En réalité, Einstein avait eu de la chance. Deux expé-
ditions antérieures organisées pour mesurer cette valeur avaient échoué. En 1912, il fut
impossible de relever les données à cause de la pluie et, en 1914, en Crimée, les scienti-
fiques furent arrêtés (par erreur) parce que la Première Guerre mondiale venait d ’être
déclenchée et qu ’ ils étaient soupçonnés d ’être des espions. Mais, en 1911, Einstein avait
Réf. 141 déjà publié un calcul incorrect, indiquant seulement la valeur de Soldner, la moitié de
la véritable grandeur. Ce n’est qu ’en 1915, lorsqu ’ il acheva la relativité générale, qu ’ il
Page 139 trouva la valeur juste. Par conséquent, Einstein devint célèbre uniquement en raison de
l ’échec des deux expéditions qui eurent lieu avant qu ’ il publie le bon calcul.
Pour réaliser des expériences de haute précision au voisinage du Soleil, il est plus ef-
ficace de mesurer le fléchissement des ondes radio, puisqu ’elles subissent moins de per-
turbations lorsqu ’elles se propagent à travers la couronne solaire. Jusqu ’ ici, plus d ’une
douzaine d ’expériences indépendantes l ’ont fait, en utilisant des sources radio présentes
Réf. 118, Réf. 95 dans le ciel, qui sont alignées avec la direction du Soleil. Elles ont confirmé la prédiction
Réf. 96 de la relativité générale à quelques pour cent près.
Jusqu ’à présent, la courbure du rayonnement a aussi été observée près de Jupiter, de
Page 230 certaines étoiles, de plusieurs galaxies et près des amas de galaxies. Pour la Terre, l ’angle
est au maximum de 3 nrad, trop insignifiant pour pouvoir être mesuré, bien que cela
puisse être faisable dans un proche avenir. Il existe une chance de détecter cette valeur
si, comme le suggère Andrew Gould, les données du satellite Hipparcos, qui a pris des
images très précises du ciel nocturne, sont dorénavant analysées de manière adéquate.
Page 173 Bien sûr, la courbure de la lumière confirme également que, dans un triangle, la

somme des angles ne donne pas π (deux angles droits), comme on le prévoit a posteriori
Défi 234 pe pour l ’espace courbe. (Quel est le signe de la courbure ?)
Décalage temporel
Le calcul précédent de la courbure de la lumière à proximité des masses montre que,
pour un observateur éloigné, la lumière est ralentie en s’approchant d ’une masse. La vi-
tesse de la lumière locale constante provoque un ralentissement de la vitesse de la lumière
globale. Si la lumière n’était pas ralentie près d ’une masse, elle irait plus vite que c pour
un observateur situé près de cette masse* ! En 1964, Irwin Shapiro eut l ’ idée de mesurer
Réf. 142 cet effet. Il proposa deux méthodes. La première consistait à envoyer des signaux radar
vers Vénus, et à mesurer le temps mis pour que le signal réfléchi revienne sur Terre. Si
les signaux passent près du Soleil, ils doivent être retardés. La seconde manière reposait
sur l ’utilisation d ’un satellite artificiel communiquant avec la Terre.
Réf. 143 La première mesure, publiée en 1968, confirma directement la prédiction de la relati-
vité générale, aux erreurs expérimentales près. Tous les tests ultérieurs de même espèce,
tel celui indiqué sur la Figure 64, ont également corroboré ce pronostic, aux erreurs ex-
périmentales près, qui sont de nos jours de l ’ordre d ’une partie pour mille. Le retard a
Réf. 144 également été mesuré dans les pulsars binaires, puisqu ’ il existe certains systèmes de ce
type dans le ciel pour lesquels la ligne de visée se trouve presque exactement dans le plan
orbital.
Les calculs élémentaires présentés ici proposent un défi : est-il également possible de
décrire complètement la relativité générale – donc la gravitation en champs forts – comme
étant une variation de la vitesse de la lumière, par rapport à la position et au temps, in-
Défi 236 pe duite par la masse et l ’énergie ?
C onséquences sur les orbites

L’astronomie permet de réaliser des mesures précises des mouvements. Ainsi, Ein-
stein tenta avant toutes choses d ’appliquer ses résultats au mouvement des planètes. Il
cherchait des décalages dans leur mouvement par rapport aux prédictions de la gravita-
tion universelle. Einstein trouva une telle déviation : la précession du périhélie de Mer-
cure. Cet effet est indiqué sur la Figure 65. Einstein annonça plus tard que l ’ instant où il
s’était aperçu que ses calculs sur la précession de Mercure coïncidaient avec les observa-
tions fut l ’un des moments les plus euphoriques de sa vie.
Les calculs ne sont pas compliqués. Dans la gravitation universelle, les orbites sont
calculées en posant a grav = a centri ; en d ’autres termes, en posant GM/r 2 = ω2 r et en
* Un admirable exercice consiste à montrer que la courbure d ’une particule lente donne la valeur de Soldner,
Défi 235 e vu qu ’avec une vitesse croissante la valeur du fléchissement se rapproche du double de cette valeur. Dans
toutes ces considérations, la rotation de la masse a été négligée. Comme l ’effet de l ’ entraînement de réfé-
rentiel le montre, la rotation modifie également la déviation de l ’angle ; toutefois, dans tous les cas étudiés
jusqu ’à présent, cette influence reste inférieure au seuil de détection.
champs faibles 165
10 Mai 1970
orbite terrestre
31 Mars 1970
Soleil orbite de
Mariner 6

a : demi-grand périastre
axe
240
Retard temporel (µs)
a
180
M
120
60
Jan Fev Mar Avr Mai Juin
1970
F I G U R E 64 Décalage temporel dans des F I G U R E 65 Tracé de l’orbite

signaux radio – une des expériences d’Irwin autour d’un corps central en
Shapiro. relativité générale.
fixant l ’énergie et le moment cinétique. La masse d ’un satellite qui gravite n’apparaît
donc pas explicitement.
Dans la relativité générale, nous pouvons faire disparaître la masse du satellite en or-
bite en effectuant un changement de variable pour l ’énergie et le moment cinétique :
Réf. 95, Réf. 96 e = E/mc 2 et j = J/m. Ensuite, la courbure de l ’espace a besoin d ’être intégrée. Nous uti-
Page 132 lisons la métrique de Schwarzschild (170) mentionnée plus haut pour déduire que l ’état
initial pour l ’énergie e, associé à sa conservation, conduit à une relation entre le temps
Défi 237 e propre τ et le temps t à l ’ infini :
=
dt e
, (174)
dτ 1 − 2GM/rc 2
tandis que l ’état initial pour le moment cinétique j et sa conservation impliquent que
= 2 .
dφ j
(175)
dτ r
Ces relations sont valables pour n’ importe quelle particule, quelle que soit sa masse m.
En insérant tout cela dans la métrique de Schwarzschild, nous trouvons que le mouve-
ment d ’une particule vérifie
( ) + V 2 ( j, r) = e 2
dr 2
(176)
cdτ
où le potentiel effectif V est donné par
j2
V 2 (J, r) = (1 − )(1 ).
2GM
+ (177)
rc 2 r2 c 2
Cette expression diffère légèrement de celle de la gravitation universelle, comme vous

Défi 238 pe
devriez pouvoir le vérifier. Nous avons maintenant besoin de résoudre l ’équation pour
Défi 239 e r(φ). Pour des orbites circulaires nous obtenons deux possibilités
6GM/c 2
r± = √ (178)
1 ± 1 − 12( GcMj )2
√le signe moins donne une orbite stable et le signe plus une orbite instable. Si c j/GM <
où
2 3 , aucune orbite stable n’existe, l ’objet entrera en collision avec la surface ou, pour
√ une orbite circulaire stable uniquement si le moment
un trou noir, sera avalé. Il existe
cinétique j est supérieur à 2 3 GM/c. Nous découvrons donc que, dans la relativité gé-
nérale, par opposition à la gravitation universelle, il y a une plus petite orbite circulaire
stable. Le rayon de cette orbite circulaire stable minimale est 6GM/c 2 = 3R S .
Quelle est la situation pour des orbites elliptiques ? En posant u = 1/r dans (176) et en
dérivant, l ’équation pour u(φ) devient
u′ + u =
GM 3GM 2
+ 2 u . (179)
j2 c
Sans la correction non linéaire située à l ’extrême droite et due à la relativité générale, les
Défi 240 e solutions sont représentées par les fameuses sections coniques
u 0 (φ) = (1 + ε cos φ) ,
GM
(180)
j2
c ’est-à-dire des ellipses, des paraboles ou des hyperboles. Le type de section conique dé-
pend de la valeur du paramètre ε, que nous appelons l ’ excentricité. Nous connaissons les
Page 134 formes de ces courbes grâce à la gravitation universelle. Maintenant, la relativité générale
introduit le terme non linéaire dans le membre de droite de l ’équation (179). Ainsi, les so-
lutions ne sont plus des sections coniques. Toutefois, puisque la correction est minuscule,
Défi 241 e une bonne approximation en est donnée par
3G 2 M 2
u 1 (φ) = [1
GM
+ ε cos(φ − φ)] . (181)
j2 j2 c 2
Les hyperboles et paraboles de la gravitation universelle sont donc légèrement déformées.

Au lieu d ’avoir des orbites elliptiques, nous obtenons la célèbre trajectoire en forme de
rosace indiquée sur la Figure 65. Une telle trajectoire est par-dessus tout caractérisée par
une avancée du périastre. Le périastre, ou périhélie dans le cas du Soleil, est le point le
plus proche du corps central que le corps gravitant puisse atteindre. Le périastre tourne
champs faibles 167
précession

géodésique
Terre
départ
précession
de Lense– après une S
Thirring révolution
F I G U R E 66 L’effet géodésique.
Défi 242 e autour du corps central d ’un angle
α ≈ 6π
GM
a(1 − ε 2 )c 2
(182)
à chaque révolution, où a est le demi-grand axe. Pour Mercure, cette valeur est de 43 ′′
par siècle. Autour des années 1900, c ’était le seul effet connu qui demeurait inexpliqué
par la gravitation universelle. Lorsque les calculs d ’ Einstein le conduisirent exactement
à cette valeur, il fut submergé de joie durant plusieurs jours.
Pour être certain de l ’égalité entre les calculs et l ’expérience, tous les autres effets
conduisant aux trajectoires en forme de rosace doivent être évincés. Pendant un certain
temps, on pensa que le moment quadrupolaire du Soleil pourrait être une autre origine
de cet effet, mais des mesures ultérieures éliminèrent cette possibilité.
Entre-temps, l ’avancée du périhélie a également été mesurée pour les orbites d ’ Icare,
de Vénus et de Mars autour du Soleil, ainsi que pour plusieurs systèmes d ’étoiles binaires.
Réf. 144 Dans les pulsars binaires, l ’avancée du périastre peut représenter plusieurs degrés par an.
Dans tous les cas, l ’expression (182) décrit correctement le mouvement aux erreurs de
mesure près.
Nous remarquons que l ’orbite en forme de rosace elle-même n’est pas réellement
stable, à cause de l ’émission d ’ondes gravitationnelles. Mais, dans le Système solaire,
la puissance perdue de cette manière est complètement négligeable, même au bout de
Page 159 quelques milliards d ’années, comme nous l ’avons déjà vu ; ainsi cette trajectoire reste
une excellente description des observations.
L’ effet géodésique
Lorsqu ’un corps orienté gravite autour d ’une masse centrale m à une distance r, la di-
rection de la pointe ne sera plus la même après une révolution complète. Cet effet n’existe
que dans la relativité générale. L’angle α décrivant la variation de la direction est donné
√
par
⎛ 3Gm ⎞ 3πGm
α = 2π 1 − 1− ≈ . (183)
⎝ rc 2 ⎠ rc 2
La modification de l ’angle est appelée effet géodésique – que l ’on désigne également par

effet « géodétique ». C ’est une conséquence supplémentaire de la séparation entre les
Défi 243 e champs gravitoélectrique et gravitomagnétique, comme vous pouvez le montrer. Mani-
festement, elle n’existe pas dans la gravitation universelle.
Dans les cas où la direction dans laquelle pointe le corps gravitant est indiquée par
une rotation intrinsèque, comme un satellite qui tourne comme une toupie en même
temps qu ’ il effectue sa révolution, l ’effet géodésique engendre une précession de cet axe.
Donc cet effet est comparable au couplage spin–orbite de la théorie atomique. (L’ effet
Thirring–Lense cité ci-dessus est l ’analogue du couplage spin–spin.)
Réf. 145 L’effet géodésique, ou précession géodésique, fut prédit par Willem de Sitter en 1916.
En particulier, il proposa de détecter le changement de direction dans laquelle pointe le
système Terre–Lune au cours de sa chute autour du Soleil. Cet effet est ténu : pour l ’axe
de la Lune, l ’angle de précession est d ’environ 0,019 arcsec par an. Cette incidence fut
Réf. 146 détectée pour la première fois en 1987 par une équipe italienne, pour le système Terre–
Lune, par le truchement d ’une astucieuse combinaison d ’ interférométrie radio et de
disposition lunaire, en tirant profit des réflecteurs, indiqués sur la Figure 67, déposés
par Lunokhod et Apollo sur la Lune. Des expériences sont également en cours pour le
détecter dans des satellites artificiels.
À première vue, la précession géodésique est similaire à la précession de Thomas que
Page ?? nous avons rencontrée dans la relativité restreinte. Dans les deux cas, un cheminement
le long d ’une ligne fermée provoque la perte de la direction originale. Cependant, une
analyse méticuleuse montre que la précession de Thomas peut s’ajouter à la précession
géodésique en appliquant une certaine interaction supplémentaire non gravitationnelle.
Ainsi, cette analogie est bancale.
Ceci achève notre discussion des effets de la faible gravité. Nous allons maintenant
nous tourner vers la forte gravité, où la courbure ne peut pas être ignorée et où le plaisir
est encore plus vif.
Curiosités et défis amusants sur les champs faibles

Défi 244 pe Existe-t-il un champ gravitationnel statique oscillant ?
∗∗
Des faisceaux concentrés d ’ondes gravitationnelles, semblables aux rayons de lumière,
Défi 245 pe sont-ils possibles ?
∗∗
Deux faisceaux parallèles d ’ondes gravitationnelles pourraient-ils s’attirer l ’un vers
Défi 246 pe l ’autre ?
comment la courbure est-elle mesurée ? 169

F I G U R E 67 Les dispositifs rétro-réfléchissants lunaires déposés par Apollo 11 (en haut à gauche),
Lunokhod (en haut au centre et à droite), Apollo 14 (au milieu à gauche) et Apollo 15 (au milieu à
droite) avec leurs positions sur la Lune et un télescope réalisant une mesure de la distance. (© NASA,
Observatoire de la Côte d’Azur)
c omment l a c ourbure est-elle mesurée ?

Nous avons vu que dans la description précise de la gravité le mouvement dépend de
la courbure de l ’espace-temps. Afin de pouvoir quantifier cette idée, nous avons besoin
en premier lieu de décrire la courbure elle-même aussi fidèlement que possible. Pour
simplifier ce problème, nous allons commencer la discussion en deux dimensions, puis
nous reviendrons aux trois et quatre dimensions.
Incontestablement, une feuille de papier plane ne possède aucune courbure. Si nous
l ’enroulons en cône ou en cylindre, nous obtenons ce que nous appelons une courbure ex-
trinsèque. Ainsi, la feuille de papier semble toujours plane pour n’ importe quel animal
bidimensionnel vivant dessus – comme nous pouvons l ’ idéaliser par une fourmi mar-

F I G U R E 68 Courbure
positive, nulle et
négative en deux
dimensions.
chant dessus. En d ’autres termes, la courbure intrinsèque de la feuille de papier est nulle
même si cette feuille tout entière est courbée extrinsèquement. (Un espace unidimension-
nel peut-il avoir une courbure intrinsèque ? Un tore est-il intrinsèquement courbé ?)
Défi 247 s
La courbure intrinsèque représente donc le concept clé, quantifiant la courbure qui
peut être observée même par une fourmi. (Toutes les surfaces intrinsèquement courbées
sont également extrinsèquement courbées.) La surface de la Terre, la surface d ’une île
ou les pentes d ’une montagne* sont intrinsèquement courbées. À chaque fois que nous
discutons de la courbure en relativité générale, nous parlons toujours de courbure intrin-
sèque, puisqu ’un observateur quelconque dans la nature est par définition dans la même
situation qu ’une fourmi sur une surface : leurs expériences, leurs actions et leurs projets
ne concernent toujours que leur voisinage immédiat dans l ’espace et le temps.
Mais comment une fourmi peut-elle déterminer si elle vit sur une surface intrinsèque-
ment courbée** ? Une méthode est indiquée sur la Figure 68. La fourmi peut contrôler
si la circonférence d ’un cercle ou son aire donne naissance à une relation euclidienne
pour mesurer le rayon. Elle peut même utiliser la différence qui existe entre la valeur
mesurée et la valeur euclidienne comme une mesure de la courbure locale intrinsèque,
si elle prend comme limite des cercles infiniment petits et si elle normalise les valeurs
correctes. En d ’autres termes, la fourmi peut s’ imaginer découper un minuscule disque
autour de l ’emplacement où elle se trouve, le repasser pour l ’aplatir et vérifier si le disque
se déchire ou se froisse. On dit qu ’une surface bidimensionnelle quelconque est intrin-
sèquement courbée à chaque fois qu ’en la repassant on ne parvient pas à produire une
carte plate. La « densité » des plis ou des déchirures est reliée à la courbure.
Cela signifie que nous pouvons aussi mettre en évidence la courbure intrinsèque en
examinant si deux lignes parallèles le restent lorsque leurs prolongements se rapprochent
l ’un de l ’autre, ou lorsqu ’ ils s’éloignent l ’un de l ’autre. Dans le premier cas, telles les
lignes sur un cylindre de papier, on dit que la surface possède une courbure intrinsèque
nulle ; une surface où les parallèles se rapprochent, comme sur Terre, est dite de courbure
positive ; et une surface où les parallèles s’éloignent, comme sur une selle, est dite de cour-
Défi 248 e * À moins que la montagne ait la forme d ’un cône parfait. Pouvez-vous le confirmer ?
** Remarquez que la solution à cette question nous indique également comment distinguer une véritable
courbure des systèmes de coordonnées courbes attachés à un espace plat. Cette question est souvent posée
par ceux qui côtoient la relativité générale pour la première fois.
bure négative. En bref, la courbure positive signifie que nous sommes plus limités dans
nos possibilités de mouvements, et négative que nous le sommes moins. Une courbure
constante implique même que nous sommes enfermés dans un espace fini. Vous devriez
pouvoir vérifier cela à l ’aide de la Figure 68.
La troisième manière de mesurer la courbure consiste à utiliser des triangles. Sur des

surfaces courbes, la somme des angles d ’un triangle est soit plus grande, soit plus petite
que π (deux angles droits).
Réf. 147 Regardons comment nous pouvons quantifier la courbure. Tout d ’abord, faisons une
mise au point terminologique : on dit qu ’une sphère de rayon a est, par définition, dotée
d ’une courbure intrinsèque K = 1/a 2 . Par conséquent, un plan possède une courbure
nulle. Vous devriez vérifier que, pour un cercle tracé sur une sphère, le rayon r, la circon-
Défi 249 e férence C et l ’aire A mesurés sont reliés par
C = 2πr(1 − A = πr 2 (1 −
K 2 K 2
r + ...) et r + ...) (184)
6 12
où les points de suspension désignent les termes d ’ordres supérieurs. Cela nous permet
de définir la courbure intrinsèque K, également appelée courbure gaussienne, pour un
point généralisé situé sur une surface bidimensionnelle, de l ’une des deux manières équi-
valentes qui suivent :
K = 6 lim(1 − ) K = 12 lim(1 − ) .
C 1 A 1
ou (185)
r→0 2πr r 2 r→0 πr 2 r 2
Ces expressions permettent à une fourmi de mesurer la courbure intrinsèque en chaque
point d ’une surface régulière quelconque*. Désormais dans ce texte, la courbure sera
toujours considérée sous sa signification de courbure intrinsèque. Remarquez que la cour-
bure peut être différente d ’un endroit à l ’autre, et qu ’elle peut être positive, comme pour
un œuf, ou négative, comme pour la zone d ’un tore la plus proche du trou. La selle repré-
sente un autre exemple de ce dernier cas, mais, contrairement au tore, sa courbure change
dans toutes les directions. En fait, il est tout à fait impossible de plonger une surface bidi-
mensionnelle de courbure négative constante à l ’ intérieur d ’un espace tridimensionnel ;
il faut pour cela au moins quatre dimensions, comme vous pourrez le découvrir si vous
Défi 251 e tentez d ’ imaginer cette situation.
Pour n’ importe quelle surface, en chaque point, la direction de la courbure maximale
et la direction de la courbure minimale sont perpendiculaires l ’une par rapport à l ’autre.
Cette relation, indiquée dans la Figure 69, fut découverte par Leonhard Euler au dix-
huitième siècle. Vous devriez pouvoir la vérifier avec une tasse à café, avec une sculpture
de Henry Moore ou avec n’ importe quel autre objet courbé situé dans votre voisinage,
Défi 252 e par exemple une Volkswagen Coccinelle. La courbure gaussienne K définie dans (185)
* Si le volume n-dimensionnel d ’une sphère est noté Vn = C n r n et sa « surface » (n − 1)-dimensionnelle

Réf. 148 O n = nC n r n−1 , nous pouvons généraliser l ’expression de la courbure ainsi
K = 3(n + 2) lim(1 − ) K = 3n lim(1 − ) ,

Vn 1 On 1
ou (186)
r→0 Cn r n r2 r→0 nC n r n−1 r 2
Défi 250 pe comme l ’a indiqué Vermeil. Une célèbre devinette consiste à déterminer le nombre C n .
direction de point considéré

courbure minimale
angle

droit direction de F I G U R E 69 La courbure maximale et
courbure maximale minimale d’une surface courbe.
est en réalité le produit des inverses des deux rayons de courbure correspondants. Donc,
bien que la ligne de niveau de la courbure ne soit pas une propriété intrinsèque, ce produit
particulier l ’est. La courbure gaussienne est une mesure de la courbure intrinsèque. Les
mesures de la courbure intrinsèque sont nécessaires si nous sommes obligés de rester
à l ’ intérieur de la surface ou de l ’espace que nous explorons. Les physiciens sont ainsi
particulièrement attachés à la courbure gaussienne et ses analogues de dimensions plus
élevées.
Pour des « surfaces » tridimensionnelles, le problème est un peu plus corsé. En premier
lieu, nous avons beaucoup de mal à imaginer cette situation. Mais nous pouvons toujours
admettre que la courbure d ’un petit disque situé autour d ’un point dépendra d ’une
direction donnée. Examinons les exemples les plus simples. Si la courbure en un point
est la même dans toutes les directions, ce point est qualifié d ’ isotrope. Nous pouvons
imaginer une petite sphère qui entoure celui-ci. Dans ce cas précis, en trois dimensions,
la relation entre, d ’une part, le rayon r mesuré et, d ’autre part, l ’aire A de la surface et
Défi 253 pe le volume V mesurés de la sphère entraîne que
A = 4πr 2 (1 − V= r (1 − r 2 + ...) ,
K 2 4π 3 K
r + ...) et (187)
3 3 5
où K représente la courbure pour un point isotrope. Cela nous conduit à
√
r − A/4π
K = 3 lim(1 − ) 2 = 6 lim = 6 lim 3 ,
A 1 rexcès
(188)
r→0 4πr r
2 r→0 r 3 r→0 r
√
en définissant l ’ excès de rayon par rexcès = r − A/4π . Nous trouvons donc que pour
un espace tridimensionnel la courbure moyenne est six fois l ’excès de rayon d’une petite
sphère divisé par le cube du rayon. Une courbure positive est équivalente à un excès de
rayon positif, et le raisonnement est similaire pour les cas nul et négatif.
Bien évidemment, une valeur de courbure définie de cette manière n’est qu ’une
moyenne de toutes les directions possibles. La définition rigoureuse de la courbure
concerne le disque. Pour des points qui ne sont pas isotropes, la valeur produite pour
un disque sera différente de la valeur calculée en utilisant une sphère, puisqu ’elle dépen-
dra de l ’ orientation du disque. En réalité, il existe une relation entre toutes les courbures
possibles de disques en un point donné : considérées toutes ensemble, elles doivent for-
Défi 254 pe mer un tenseur. (Pourquoi ?) Pour une description exhaustive de la courbure, nous de-
vons donc spécifier, comme pour n’ importe quel tenseur en trois dimensions, les valeurs
principales de la courbure dans trois directions orthogonales*.
Quelles sont les valeurs de la courbure dans l ’espace qui nous entoure ? Déjà en 1827, le
mathématicien et physicien Carl-Friedrich Gauss** était reconnu pour avoir vérifié que
les trois angles formés par trois pics montagneux près de son lieu de villégiature étaient

supérieurs à π. De nos jours, nous savons que l ’écart δ par rapport à l ’angle π, sur la
surface d ’un corps de masse M et de rayon r, est donné par
δ = π − (α + β + γ) ≈ A triangle K = A triangle
GM
. (189)
r3 c 2
Cette expression est caractéristique des géométries hyperboliques. Pour le cas de la cour-
bure mathématique négative K, la première égalité fut déduite par Johann Lambert (1728–
1777). Toutefois, ce fut Einstein qui découvrit que la courbure négative K est reliée à la
masse et à l ’accélération gravitationnelle d ’un corps. Pour le cas de la Terre et des dis-
tances typiques concernant les montagnes, l ’angle δ est de l ’ordre de 10−14 rad. Gauss
n’avait aucune chance de déceler le moindre écart, et en réalité il n’en détecta aucun.
Même aujourd ’ hui, des études faisant appel à des lasers et des appareils de haute préci-
sion n’ont détecté aucune déviation jusqu ’à présent – sur Terre. Le facteur du membre
de droite, qui mesure la courbure de l ’espace-temps à la surface de la Terre, est naturel-
lement trop petit. Mais Gauss ne savait pas, contrairement à nous maintenant, que la
gravitation et la courbure étaient pieds et poings liés.
C ourbure et espace-temps
“
Notre tête est ronde pour permettre à la pensée
de changer de direction.
Francis Picabia***
* Ces trois valeurs pour les disques ne sont toutefois pas indépendantes puisque, ensemble, elles doivent
”
produire la courbure volumique moyenne K citée ci-dessus. Au total, il y a ainsi trois scalaires indépendants
décrivant la courbure en trois dimensions (en chaque point). Avec le tenseur métrique дab et le tenseur de
Ricci R ab qui sont introduits ci-dessous, une possibilité consiste à prendre les valeurs R = −2K, R ab R ab et
detR/detд pour les trois nombres indépendants.
** Carl-Friedrich Gauß (n. Brunswick 1777 , d. Göttingen 1855) fut un mathématicien allemand. Avec Leon-
hard Euler, il fut le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Tel un remarquable enfant prodige,
lorsqu ’ il avait 19 ans, il construisit l ’ heptadécagone régulier à l ’aide d ’un compas et d ’une règle (consultez
www.mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html). Il était si fier de son résultat qu ’ il demanda à ce que
l ’on grave un dessin de cette figure sur sa tombe. Gauss présenta une kyrielle de résultats en théorie des
nombres, en topologie, en statistiques, en algèbre, sur les nombres complexes et en géométrie différentielle,
qui représentent tous des pans entiers des mathématiques modernes et qui portent son nom. Parmi ses nom-
breuses réalisations, il produisit une théorie de la courbure et développa la géométrie non euclidienne. Il
travailla également sur l ’électromagnétisme et l ’astronomie.
Gauss avait un tempérament dur, travaillait toujours tout seul et n’enseigna jamais les mathématiques. Il
publiait très peu, et sa devise était : « pauca sed matura » (« peu mais mûr »). En conséquence, lorsqu ’un
autre mathématicien publiait un nouveau résultat, il exhibait régulièrement une note dans laquelle il avait
déjà inscrit exactement le même résultat quelques années auparavant. Ses notes sont dorénavant disponibles
en ligne sur www.sub.uni-goettingen.de.
*** Francis Picabia (n. Paris 1879 , d. id. 1953) fut un peintre dadaïste et surréaliste français.
F I G U R E 70 Courbure
a
positive, nulle et
négative (en deux
dimensions) et
comportement

géodésique.
Dans la nature, avec quatre dimensions d ’espace-temps, déterminer la courbure re-

quiert une approche plus compliquée. En premier lieu, l ’utilisation des coordonnées de
l ’espace-temps introduit automatiquement la vitesse de la lumière c comme vitesse li-
mite, laquelle est une contrainte cruciale pour la relativité générale. En outre, le nombre
de dimensions étant de quatre, nous nous attendons à avoir une valeur pour une cour-
bure moyenne en un point, définie en comparant le 4-volume d ’une 4-sphère dans
l ’espace-temps avec celui déduit du rayon mesuré. Nous nous attendons alors à avoir un
ensemble de courbures « presque moyennes » définies par les 3-volumes des 3-sphères
dans diverses orientations, en sus d ’un ensemble de courbures de « niveau inférieur »
définies par les 2-aires classiques des 2-disques usuels dans des directions encore plus
nombreuses. Évidemment, nous avons besoin de mettre un peu d ’ordre pour dévoiler
cet ensemble, et nous avons besoin d ’éliminer le comptage redondant que nous avons
rencontré dans le cas de trois dimensions.
Par chance, la physique peut nous aider à rendre les mathématiques plus accessibles.
Commençons en définissant ce que nous entendons par courbure de l ’espace-temps.
Nous définirons alors les courbures pour des disques d ’orientations diverses. Pour réa-
liser cela, nous interprétons la définition de la courbure d ’une autre manière, laquelle
nous permet de la généraliser aussi pour le temps. La Figure 70 illustre l ’ idée que la
courbure K décrit également comment les géodésiques divergent. Les géodésiques sont
les chemins les plus directs sur une surface, c ’est-à-dire les itinéraires qu ’un minuscule
véhicule ou un vélo suivrait s’ il roulait sur la surface en maintenant son cap droit devant
lui.
Si un espace est courbé, la distance s qui sépare deux géodésiques augmentera le long
Défi 255 e des géodésiques comme
d2 s
= −Ks + ordres supérieurs (190)
dl 2
où l mesure la longueur parcourue le long de la géodésique, et K est la courbure, autre-

ment dit l ’ inverse du rayon de courbure au carré. Dans l ’espace-temps, cette relation
est étendue en substituant le temps propre (multiplié par la vitesse de la lumière) à la
longueur propre. Donc la séparation et la courbure sont reliées par
d2 s
= −Kc 2 s + ordres supérieurs . (191)
dτ 2
Mais c ’est la définition d ’une accélération. Autrement dit, ce qui dans la situation pure-
ment spatiale est décrit par la courbure devient l ’ accélération relative de deux particules
chutant librement depuis des points proches, dans le cas de l ’espace-temps. En réalité,
Page 136 nous avons déjà rencontré ces accélérations : elles décrivent les forces de marée. En bref,
la courbure de l ’espace-temps et les forces de marée sont précisément les mêmes choses.
Incontestablement, la grandeur des forces de marée, et donc la courbure, dépendra de

l ’orientation – plus précisément de l ’orientation du plan de l ’espace-temps généré par les
vitesses des deux particules. Cette définition montre également que K représente un ten-
Défi 256 pe seur, donc par la suite nous devrons lui adjoindre des indices. (Combien ?) Le plus amu-
sant est que nous pouvons tout de même éviter d ’ajouter des indices pendant un certain
Réf. 149 temps en considérant une combinaison particulière de courbures spatiales. Si nous pre-
nons trois plans plongés dans l ’espace, tous perpendiculaires l ’un par rapport à l ’autre
et se coupant en un point donné, la somme des trois valeurs des courbures sectionnelles
ne dépend pas de l ’observateur. (Cela correspond à la trace du tenseur.) Pouvez-vous
Défi 257 pe entériner ce point, en utilisant la définition de la courbure que nous venons de donner ?
La somme des trois courbures sectionnelles définies pour des plans réciproquement
perpendiculaires, K(12) , K(23) et K(31) , est reliée à l ’excès de rayon défini plus haut.
Défi 258 pe Pouvez-vous trouver comment ?
Si une surface possède une courbure (intrinsèque) constante, c ’est-à-dire la même
courbure en tous ses points, des objets géométriques peuvent y être déplacés sans être
Défi 259 e déformés. Pouvez-vous illustrer cela ?
En résumé, la courbure n’est pas un concept si difficile à appréhender. Elle décrit la
Réf. 150 déformation de l ’espace-temps. Si nous imaginons l ’espace(-temps) comme une énorme
goutte de caoutchouc dans laquelle nous vivons, la courbure en un point décrit comment
cette goutte est comprimée en ce point. Puisque nous vivons à l ’ intérieur du caoutchouc,
nous avons besoin d ’utiliser des méthodes « in situ » telles que les excès de rayons et
les courbures sectionnelles pour décrire cette déformation. La relativité paraît souvent
difficile à assimiler parce que les gens n’aiment pas imaginer le vide de cette manière,
et encore moins l ’expliquer de cette façon. (Pendant une centaine d ’années, ce fut une
profession de foi pour chaque physicien que d ’affirmer que l ’espace vide était vide.) En
schématisant le vide comme une substance, nous pouvons améliorer de multiples façons
notre manière de comprendre la relativité générale.
C ourbure et mouvement en relativité générale

Comme nous l ’avons mentionné ci-dessus, une moitié de la relativité générale
concerne l ’ idée que n’ importe quel objet se déplace le long des trajectoires de temps
propres maximaux, c ’est-à-dire le long des géodésiques. L’ autre moitié est contenue dans
une expression élémentaire : pour chaque observateur, la somme des trois courbures sec-
tionnelles spatiales propres en un point est donnée par
K(12) + K(23) + K(31) =

8πG (0)
W (192)
c4
où W (0) est la densité propre d ’énergie en ce point. Les indices inférieurs indiquent la
courbure combinée définie par les trois directions orthogonales 1, 2 et 3. Ce paragraphe
à lui seul résume toute la relativité générale.
Défi 260 e On trouve facilement une expression équivalente en utilisant l ’excès de rayon défini
ci-dessus, en introduisant la masse M = V W (0) /c 2 . Pour l ’aire A enveloppant le volume
V contenant cette masse, nous obtenons
√
rexcès = r − A/4π =
G
M. (193)

3c 2
En bref, la relativité générale proclame que, pour chaque observateur, l ’excès de rayon
d’une minuscule sphère est donné par la masse contenue à l ’ intérieur de cette sphère*.
Remarquez que l ’expression précédente implique que la courbure spatiale moyenne
en un point situé dans l ’espace vide s’annule. Comme nous le verrons bientôt, cela signi-
fie que près d ’une masse sphérique la valeur négative de la courbure vers cette masse est
égale au double de la courbure autour de cette masse, et la somme totale est donc bien
nulle.
La courbure est également différente d ’un point à l ’autre. En particulier, l ’expression
précédente entraîne que, si l ’énergie se déplace, la courbure se déplacera avec elle. En
bref, la courbure de l ’espace et en même temps, comme nous allons le voir, la courbure
de l ’espace-temps varient en fonction de l ’espace et du temps.
Nous remarquons au passage que la courbure possède un effet ennuyeux : la vitesse
Défi 261 pe relative d ’observateurs éloignés n’est pas définie. Pouvez-vous appuyer cet argument ?
Dans l ’espace courbe, la vitesse relative est définie uniquement pour des objets proches
– en réalité uniquement pour des objets à une distance nulle. Ce n’est que dans l ’espace
plat que les vitesses relatives pour des objets éloignés sont bien définies.
Les grandeurs apparaissant dans l ’expression (192) sont indépendantes de l ’observa-
teur. Mais souvent les gens veulent utiliser des quantités qui dépendent de l ’observateur.
La relation devient alors plus complexe, la seule équation (192) doit être étendue à dix
équations, appelées équations du champ d’ Einstein. Elles seront introduites plus loin.
Mais, avant d ’aborder cela, nous allons vérifier que la relativité générale est bien cohé-
rente. Nous allons nous assurer qu ’elle contient bien la relativité restreinte comme un
cas limite, puis nous passerons directement au test principal.
Gravitation universelle
“
La seule raison qui fait que je reste ici, c ’est la
gravité.
Pour des valeurs de vitesses et de courbures faibles, les courbures temporelles K(0 j)
possèdent alors une propriété particulière. Dans ce cas, elles peuvent être définies comme
Anonyme
”
les dérivées spatiales secondes d ’une fonction φ d ’un seul scalaire. En d ’autres termes,
Défi 262 e nous pouvons écrire
Réf. 151 * Une autre formulation équivalente établit que pour des rayons minuscules l ’aire A est donnée par
A = 4πr 2 (1 + r 2 R)
1
(194)
9
où R est le scalaire de Ricci, qui sera introduit plus tard.
∂2 φ
K(0 j) = . (195)
∂(x j )2
Dans les situations courantes, il s’avère que la fonction φ est le potentiel gravitationnel.
En réalité, la gravitation universelle est le cas limite de la relativité générale pour les pe-

tites vitesses et les courbures spatiales faibles. Ces deux restrictions impliquent, en utili-
sant W (0) = ρc 2 et c → ∞, que
K(i j) = 0 et K(01) + K(02) + K(03) = 4πGρ . (196)
En d ’autres termes, pour des vitesses faibles, l ’espace est plat et le potentiel vérifie l ’équa-
tion de Poisson. La gravitation universelle est donc en fait la limite de la relativité générale
pour une vitesse faible et une courbure restreinte.
Pouvez-vous montrer que la relation (192) entre la courbure et la densité d ’énergie
signifie en réalité que le temps près d ’une masse dépend de la hauteur, comme nous
Défi 263 pe l ’avons stipulé au début de ce chapitre ?
L a métrique de S chwarzschild
Réf. 149 Quelle est la courbure de l ’espace-temps à proximité d ’une masse sphérique ?
Défi 264 pe La courbure de la métrique de Schwarzschild est donnée par
Kr φ = Kr θ = − et K θ φ = 2 2 3
GM GM
c r
2 3 c r
Ktφ = Ktθ = 2 3 et K tr = −2 2 3
GM GM
(197)
c r c r
Réf. 149 en chaque point. La dépendance en 1/r 3 découle de la dépendance générale à toutes
les forces de marée, nous les avons déjà calculées dans le chapitre sur la gravitation
Page 136 universelle. Les facteurs G/c 2 sont dus à la force maximale de la gravité ; seuls les pre-
miers facteurs numériques nécessitent d ’être évalués à partir de la relativité générale.
Défi 265 pe La courbure moyenne s’annule manifestement, de même que pour tout espace vide.
Comme attendu, les valeurs des courbures près de la surface de la Terre sont excessi-
vement dérisoires.
Curiosités et défis amusants sur la courbure

Une abeille s’est posée sur le côté extérieur d ’un verre cylindrique, 1 cm en dessous de
son bord. Une goutte de miel est située à mi-chemin d ’un tour complet du verre, toujours
sur le côté extérieur, 2 cm en dessous de son bord. Quelle est pour l ’abeille la distance la
Défi 266 e plus courte pour aller jusqu ’à la goutte ? Quelle est la distance la plus courte si la goutte
est située à l ’ intérieur du verre ?
∗∗
Où sont situés les points de la courbure gaussienne la plus élevée et la moins élevée sur
Défi 267 e un œuf ?
universalité des observateurs – mathématiques

plus profondes*
“
Jeder Straßenjunge in unserem mathematischen
Göttingen versteht mehr von vierdimensionaler
Geometrie als Einstein. Aber trotzdem hat

Einstein die Sache gemacht, und nicht die
großen Mathematiker.
Maintenant que nous avons une intuition de la courbure, nous voulons la décrire
David Hilbert**
d ’une manière telle que n’ importe quel observateur puisse communiquer avec n’ importe
”
quel autre observateur. Malheureusement, cela signifie qu ’ il faut utiliser des formules
avec des tenseurs. Ces formules semblent intimidantes. Le défi consiste à percevoir dans
chacune de ces expressions l ’ idée essentielle (par exemple en faisant abstraction de tous
les indices pendant un certain temps) et de ne pas se laisser distraire par toutes ces petites
lettres qui s’éparpillent tout autour d ’elles.
L a courbure de l ’ espace-temps
“
Il faut suivre sa pente, surtout si elle monte.
Nous avons mentionné ci-dessus qu ’un espace-temps quadridimensionnel est décrit

par la 2-coubure, la 3-courbure et la 4-courbure. De nombreux textes sur la relativité
André Gide
”
générale commencent avec la 3-courbure. Ces courbures révèlent la distinction qui existe
entre le 3-volume calculé à partir d ’un rayon et le 3-volume réel. Elles sont décrites par
le tenseur de Ricci***. À l ’aide d ’un argument que nous avons déjà rencontré pour le cas
de l ’écart géodésique, il apparaît que le tenseur de Ricci décrit comment la forme d ’un
nuage sphérique de particules chutant librement est modifiée durant sa course.
En bref, le tenseur de Ricci est la version en relativité générale de ∆φ ou, encore mieux,
de ◻φ.
La définition la plus générale, mais la moins détaillée, de la courbure est celle qui
décrit la distinction entre le 4-volume calculé à partir d ’un rayon mesuré et le véritable
4-volume. C ’est la courbure moyenne en un point de l ’espace-temps, qui est représentée
par ce que nous appelons le scalaire de Ricci R, défini comme suit :
R = −2K = −
2
2
. (198)
rcourbure
* Cette section pourra être sautée en première lecture. La section sur la cosmologie, à la page 196, constitue
alors le bon jalon permettant de poursuivre.
** « Chaque gamin dans les rues de notre Göttingen mathématique en sait plus qu ’ Einstein concernant la
géométrie quadridimensionnelle. Néanmoins, ce fut Einstein qui fit le travail, et non pas les grands mathé-
maticiens. »
*** Gregorio Ricci-Cubastro (n. Lugo 1853 , d. Bologne 1925) était un mathématicien italien. Il est le père
du calcul différentiel absolu (plus tard renommé calcul tensoriel [N.d.T.]), également dénommé « calcul
de Ricci » en ce temps-là. Tullio Levi-Civita était son assistant.
universalité des observateurs – mathématiques plus profondes 179
Il apparaît que le scalaire de Ricci peut être dérivé du tenseur de Ricci en utilisant ce que
l ’on appelle la contraction tensorielle, qui représente une procédure précise de moyen-
nage. Pour des tenseurs de rang deux, la contraction est équivalente à la prise en compte
de la trace :
R = R λ λ = дλ µ Rλ µ . (199)

Le scalaire de Ricci décrit la courbure moyennée sur l ’espace et le temps. Dans l ’ image
d ’un nuage sphérique qui chute, le scalaire de Ricci décrit la variation de volume de ce
nuage. Il s’annule toujours dans le vide. Ce résultat nous permet, à la surface de la Terre,
Défi 268 pe d ’associer la courbure spatiale à la variation du temps avec l ’altitude.
Une idée découverte par Einstein, après deux années de travail acharné, surgit main-
tenant. La quantité cruciale pour la description de la courbure dans la nature n’est pas le
tenseur de Ricci R ab , mais un tenseur construit à partir de celui-ci. Ce tenseur d’ Einstein
G ab est défini mathématiquement (pour une constante cosmologique nulle) comme
G ab = R ab − дab R .
1
(200)
2
Il n’est pas difficile de comprendre sa signification. La valeur G 00 représente la somme
des courbures sectionnelles dans les plans orthogonaux à la direction 0 et donc la somme
de toutes les courbures sectionnelles spatiales :
G 00 = K(12) + K(23) + K(31) . (201)
De façon similaire, pour chaque dimension i, l ’élément diagonal G i i est la somme (en
prenant en considération le signe moins de la métrique) des courbures sectionnelles dans
les plans orthogonaux à la direction i. Par exemple, nous avons
G 11 = K(02) + K(03) − K(23) . (202)
La distinction entre le tenseur de Ricci et le tenseur d ’ Einstein s’établit donc selon le

mode de combinaison des courbures sectionnelles : des disques contenant la coordonnée
en question dans un cas, des disques perpendiculaires à cette coordonnée dans l ’autre
cas. Les deux décrivent la courbure de l ’espace-temps aussi efficacement, et fixer l ’une
signifie que nous fixons l ’autre. (Que représentent la trace et le déterminant du tenseur
Défi 269 d d ’ Einstein ?)
Le tenseur d ’ Einstein est symétrique, ce qui signifie qu ’ il possède dix composantes
indépendantes. Plus important, sa divergence s’annule : il décrit par conséquent une
quantité conservée. Ce fut la propriété essentielle qui permit à Einstein de l ’associer à la
masse et à l ’énergie en langage mathématique.
L a description de la quantité de mouvement, de la masse et de

l ’ énergie
De toute évidence, pour obtenir une description complète de la gravitation, les dépla-
cements de quantité de mouvement et d ’énergie doivent également être quantifiés d ’une
manière telle qu ’un observateur quelconque puisse communiquer avec n’ importe quel
autre. Nous avons vu que la quantité de mouvement et l ’énergie apparaissent toujours

ensemble dans les descriptions relativistes ; l ’étape suivante consiste donc à découvrir
comment leurs déplacements peuvent être mesurés pour des observateurs généraux.
Avant toute chose, la quantité qui décrit l ’énergie, appelons-la T, doit être définie
en utilisant le vecteur énergie–impulsion p = mu = (γmc, γmv) de la relativité res-

treinte. Par ailleurs, T ne décrit pas une particule unique, mais la manière dont l ’énergie–
impulsion est distribuée dans l ’espace et le temps. Ainsi, il est plus commode d ’utiliser T
pour décrire une densité d ’énergie et de quantité de mouvement. T sera donc un champ,
et sera fonction du temps et de l ’espace, ce que l ’on indique généralement par la notation
T = T(t, x).
Puisque la densité d ’énergie–impulsion T décrit une densité qui est fonction de l ’es-
pace et du temps, elle définit, en chaque point de l ’espace-temps et pour chaque surface
infinitésimale dA au voisinage de ce point, le flux d ’énergie–impulsion dp qui traverse
cette surface. En d ’autres termes, T est défini par la relation
dp = T dA . (203)
La surface est supposée être caractérisée par son vecteur normal dA. Puisque la densité
d ’énergie–impulsion est un facteur de proportionnalité entre deux vecteurs, T est un ten-
seur. Bien sûr, nous sommes en train de parler ici de 4-flux et de 4-surfaces. Par consé-
quent, le tenseur densité d ’énergie–impulsion peut être divisé de la manière suivante :
⎛w S1 S2 S3 ⎞ ⎛ densité flux d ’énergie ou ⎞

⎜S t 13 ⎟ ⎜ densité d ’ impulsion⎟
T =⎜ 1 ⎟=⎜ ⎟
t 11 t 12 d ’énergie
⎜S 2 t 23 ⎟ ⎜ flux d ’énergie ou ⎟
(204)
t 21 t 22 densité du
⎝S3 t 31 t 32 t 33 ⎠ ⎝densité d ’ impulsion flux d ’ impulsion ⎠
où w = T00 est un 3-scalaire, S un 3-vecteur et t un 3-tenseur. La quantité totale T est

appelée le tenseur (densité d’ )énergie–impulsion. Il possède deux propriétés essentielles :
il est symétrique et sa divergence s’annule.
La divergence nulle du tenseur T, souvent notée comme suit :
∂ a T ab = 0 ou abrégée T ab , a = 0 , (205)
exprime le fait que le tenseur décrit une quantité conservée. Dans chaque volume, l ’éner-
gie peut varier uniquement via le flux qui traverse sa surface frontalière. Pouvez-vous
confirmer que la description de l ’énergie–impulsion avec ce tenseur satisfait la condi-
tion que deux observateurs quelconques, ayant des positions, des orientations, des vi-
tesses et des accélérations différentes, peuvent échanger l ’un l ’autre leurs résultats et se
Défi 270 pe comprendre ?
Le tenseur densité d ’énergie–impulsion fournit une description complète de la distri-
bution de l ’énergie, de la quantité de mouvement et de la masse dans l ’espace et le temps.
Pour prendre un exemple, déterminons la densité d ’énergie–impulsion pour un liquide
en mouvement. Pour un liquide de densité ρ, de pression p et de quadrivitesse u, nous
avons
T ab = (ρ 0 + p)u a u b − pд ab (206)
où ρ 0 identifie la densité mesurée dans le référentiel comobile, c ’est-à-dire la densité

propre*. Évidemment, ρ, ρ 0 et p dépendent de l ’espace et du temps.

Bien entendu, pour un fluide matériel en particulier, nous avons besoin de savoir com-
ment la pression p et la densité ρ sont reliées. Une caractérisation complète du matériau
nécessite donc la connaissance de la relation
p = p(ρ) . (208)
Cette relation étant une propriété matérielle, elle ne peut donc pas être déterminée à
partir de la relativité. Elle doit être dérivée à partir des constituants de la matière ou du
rayonnement et de leurs interactions. Le cas le plus simple possible est représenté par
la poussière, c ’est-à-dire la matière constituée de particules ponctuelles** n’ interagissant
pas. Son tenseur énergie–impulsion est donné par
T ab = ρ 0 u a u b . (209)
Défi 271 pe Pouvez-vous expliquer la différence avec le cas du liquide ?

La divergence du tenseur énergie–impulsion est nulle pour tous les instants et toutes
Défi 272 pe les positions, comme vous devez pouvoir le vérifier. Cette propriété est la même que
pour le tenseur d ’ Einstein présenté ci-dessus. Mais avant d ’approfondir ce problème,
faisons une brève remarque. Nous n’avons pas pris en compte l ’ énergie gravitationnelle.
Il apparaît que celle-ci ne peut pas être définie de manière générale. La gravitation n’est
pas une interaction et ne doit pas avoir une énergie associée***.
Action de Hilbert – C omment les choses tombent-elles ?

Lorsque Einstein avait discuté de son travail avec David Hilbert, ce dernier avait
trouvé une manière de faire en quelques semaines ce qui avait pris des années à Einstein.
Hilbert avait compris que la relativité générale dans un espace vide pouvait être décrite
par l ’ intégrale d ’une action, comme pour tous les autres systèmes physiques.
* Nous avons donc dans le référentiel comobile
⎛ρ0 c 0⎞
2
0 0
⎜ 0 0⎟
=⎜ ⎟ .
p 0
⎜ 0 0⎟
ab
T (207)
0 p
⎝ 0 0 0 p⎠
** Bien que la relativité générale interdise expressément l ’existence de particules ponctuelles, l ’approxima-
tion est utile dans les cas où les distances entre les particules sont énormes comparées à leur propre taille.
*** Dans certaines circonstances particulières, tels les champs faibles, le mouvement lent ou un espace-
temps asymptotiquement plat, nous pouvons définir l ’ intégrale de la composante G 00 du tenseur
d ’ Einstein comme une énergie gravitationnelle négative. L’énergie gravitationnelle n’est donc décrite
Page ?? qu ’ approximativement, et uniquement pour notre environnement quotidien. Néanmoins, cette approxima-
Défi 273 pe tion conduit à la célèbre conjecture que l ’énergie totale de l ’ Univers est nulle. Êtes-vous d ’accord ?
Ainsi Hilbert s’en est sorti en trouvant la mesure du changement, puisque c ’est ce
que décrit une action, pour le mouvement causé par la gravitation. Manifestement, cette
mesure doit être indépendante de l ’observateur, et en particulier elle doit être invariante
sous tous les changements possibles de points de vue.
Le mouvement engendré par la gravité est déterminé par la courbure. Une mesure

quelconque de la courbure, indépendante de l ’observateur, doit être une combinaison du
scalaire de Ricci R et de la constante cosmologique Λ. Il est donc logique de s’attendre à
ce que le changement de l ’espace-temps soit décrit par une action S donnée par
c4
S= ∫ (R + 2Λ) dV . (210)
16πG
L’élément de volume dV doit être spécifié pour pouvoir utiliser cette expression dans
des calculs. La constante cosmologique Λ (rajoutée quelques années après les travaux de
Hilbert) apparaît comme une possibilité mathématique de décrire l ’action la plus géné-
rale, qui soit invariante par difféomorphisme. Nous verrons plus loin que sa valeur dans
la nature, bien que petite, semble être différente de zéro.
L’action de Hilbert d ’une région significative de l ’espace-temps est donc l ’ intégrale
du scalaire de Ricci et du double de la constante cosmologique, sur cette région. Le prin-
cipe de moindre action établit que l ’espace-temps se déplace de telle manière que cette
intégrale varie le moins possible.
En résumé, à la question « comment les choses bougent-elles ? » la relativité générale
répond de la même manière que la relativité restreinte : les choses suivent les trajectoires
de vieillissement maximal.
Défi 274 pe Pouvez-vous montrer que l ’action de Hilbert découle de la force maximale ?
Les symétries de la relativité générale

La principale symétrie du lagrangien de la relativité générale est appelée invariance
par difféomorphisme.
Les équations du champ pour l ’espace-temps vide dénotent également une symétrie
d’échelle. Elle représente l ’ invariance de ces équations après multiplication de toutes les
coordonnées par un facteur numérique commun. En 1993, Torre et Anderson ont montré
que la symétrie difféomorphisme et la symétrie d ’échelle triviale sont les seules symétries
Réf. 152 des équations du champ du vide.
Mis à part la symétrie difféomorphisme, la relativité générale complète, incluant la
masse–énergie, possède une symétrie supplémentaire qui n’est pas encore totalement
élucidée. Cette symétrie relie les diverses conditions initiales possibles des équations du
champ ; cette symétrie est extrêmement complexe et constitue toujours un domaine actif
Réf. 153 de recherches. Ces enquêtes fascinantes devraient fournir de nouvelles perspectives dans
la description classique du Big Bang.
Équations du champ d ’ Einstein
“
[La théorie de la relativité générale d ’ Einstein]
dissimulait l ’effroyable émergence de
l ’ inexistence de Dieu.
Un chasseur de sorcières de Boston, vers 1935

Croyez-vous en Dieu ? Réponse prépayée de 50
mots.
Télégramme ultérieur d ’un inconnu à son
héros Albert Einstein
Je crois au Dieu de Spinoza, qui se révèle dans
l ’ordre harmonieux de ce qui existe, et non en
un dieu qui se préoccupe du sort et des actions
des êtres humains.
Réponse d ’Albert Einstein
Les célèbres équations du champ d ’ Einstein furent à l ’origine de nombreuses cri-

tiques religieuses. Elles contiennent la description complète de la relativité générale.
”
Page 98 Comme expliqué ci-dessus, elles découlent de la force maximale – ou, de manière équi-
valente, de l ’action de Hilbert – et sont données par
G ab = −κ Tab
ou
R ab − дab R − Λ дab = −κ T ab .
1
(211)
2
On a mesuré que la constante κ, appelée constante de couplage gravitationnel, vaut
κ= = 2,1 ⋅ 10−43 /N
8πG
(212)
c4
et sa minuscule valeur – 2π divisé par la force maximale c 4 /4G – reflète la faiblesse de

la gravité dans la vie quotidienne, ou mieux, la difficulté à courber l ’espace-temps. La
constante Λ, ou constante cosmologique, correspond à une masse volumique d ’énergie du
vide, ou Λ/κ à une pression. Sa très basse valeur fait qu ’elle est plutôt difficile à mesurer.
Page 221 La valeur courante qui recueille le plus de faveurs est
Λ ≈ 10−52 /m2 ou Λ/κ ≈ 0,5 nJ/m3 = 0,5 nPa . (213)
Réf. 154 Des mesures et des simulations récentes suggèrent que ce paramètre, bien qu ’ il soit
numériquement proche de l ’ inverse du carré du rayon actuel de l ’ Univers, est une
constante de la nature qui ne varie pas avec le temps.
En résumé, les équations du champ établissent que la courbure en un point est égale au
flux d ’énergie–impulsion qui traverse ce point, en prenant en compte la densité d ’éner-
gie du vide. Autrement dit, l ’énergie–impulsion dicte à l ’espace-temps comment il doit se
courber*.
* Einstein parvint à établir ses équations du champ en utilisant un grand nombre de directives abstraites qui
Les équations du champ de la relativité générale peuvent être simplifiées dans le cas où
les vitesses sont faibles. Dans cette situation, T00 = ρc 2 et toutes les autres composantes
de T s’annulent. En utilisant la définition de la constante κ et en posant φ = (c 2 /2)h 00
Défi 275 pe dans дab = η ab + h ab , nous trouvons

d2 x
∇2 φ = 4πρ et = −∇φ (214)
dt 2
que nous connaissons bien, puisque cela peut être réexprimé comme suit : un corps de
masse m situé à proximité d ’un autre corps de masse M est accéléré par
a=G
M
, (215)
r2
une valeur qui est indépendante de la masse m du corps qui chute. Et en fait, comme
l ’avait déjà remarqué Galilée, tous les corps chutent avec la même accélération, indé-
pendamment de leur taille, de leur masse, de leur couleur, etc. En relativité générale
aussi la gravitation est entièrement impartiale*. L’ indépendance entre la chute libre et
la masse du corps qui tombe découle de la description de l ’espace-temps comme un ma-
sont qualifiées de principes dans la littérature. Aujourd ’ hui, plusieurs d ’entre elles ne sont pas considérées
comme étant primordiales. Néanmoins, nous en donnons un court aperçu.
- Principe de relativité générale : tous les observateurs sont équivalents, ce principe, bien qu ’ il soit fré-
quemment exprimé, est probablement vide de tout contenu physique.
- Principe de covariance générale : les équations de la physique doivent être formulées sous forme ten-
sorielle, même si nous savons aujourd ’ hui que toutes les équations peuvent être écrites avec des tenseurs,
Réf. 155 y compris la gravitation universelle ; dans de nombreux cas elles requièrent des éléments « absolus » non
physiques, c ’est-à-dire des quantités qui influent sur les autres mais pas sur elles-mêmes. Cette idée non
Page 218 physique est en contradiction avec l ’ idée d ’ interaction, comme nous l ’avons déjà expliqué.
- Principe de couplage minimal : les équations du champ de la gravitation sont déduites de celles de la
relativité restreinte en considérant la généralisation la plus simple possible. Bien sûr, maintenant que ces
équations sont connues et testées expérimentalement, ce principe n’est que d ’un intérêt historique.
- Principe d ’équivalence : l ’accélération est localement indiscernable de la gravitation, nous l ’avons utilisé
pour démontrer que l ’espace-temps est semi-riemannien et que la gravitation est sa courbure.
- Principe de Mach : l ’ inertie est due à l ’ interaction avec le reste de l ’ Univers, ce principe est correct,
même si l ’on affirme souvent qu ’ il n’est pas vérifié dans la relativité générale. Dans tous les cas, il ne repré-
Page 237 sente pas l ’essence de la relativité générale.
- Identité entre masse gravitationnelle et inertielle : elle est incluse depuis le début dans la définition de la
masse, mais elle est ressassée à n’en plus finir dans les textes sur la relativité générale, et est implicitement
utilisée dans la définition du tenseur de Riemann.
- Principe de correspondance : une nouvelle théorie plus générale, telle que la relativité générale, doit
pouvoir se réduire aux théories précédentes, dans notre cas la gravitation universelle ou la relativité restreinte,
lorsqu ’elle est restreinte aux domaines dans lesquels celles-ci restent valides.
* Vous trouverez ici une autre manière de montrer que la relativité générale s’accorde avec la gravitation
universelle. À partir de la définition du tenseur de Riemann, nous savons que l ’accélération relative b a et la
vitesse de particules proches sont reliées par
∇e b a = Rc e d a v c v d . (216)
Par les symétries de R, nous savons qu ’ il existe un φ tel que b a = −∇a φ. Cela signifie que
∇e b a = ∇e ∇a φ = R cae d v c v d (217)
telas courbé. Les objets qui se déplacent sur un matelas le font tous de la même manière,
indépendamment de la valeur de la masse.
Pour pouvoir nous représenter les équations complètes du champ, nous allons nous
frayer un court chemin à travers leurs principales propriétés. Premièrement, tout mouve-
Défi 276 e ment dû à la courbure de l ’espace-temps est réversible, différentiable et donc déterministe.

Remarquez que seul le mouvement complet, c ’est-à-dire de l ’espace-temps et de la ma-
tière et de l ’énergie, possède ces propriétés. Pour le mouvement d ’une particule seule,
celui-ci est en fait irréversible, puisqu ’une certaine quantité de rayonnement gravitation-
nel est généralement diffusée.
En abrégeant les équations du champ nous trouvons, pour une constante cosmolo-
gique nulle, l ’expression suivante pour le scalaire de Ricci :
R = −κT . (220)
Ce résultat implique aussi la relation qui existe entre l ’excès de rayon et la masse contenue
Défi 277 pe à l ’ intérieur d ’une sphère.
Les équations du champ sont non linéaires dans la métrique д, ce qui signifie que
les sommes de solutions ne constituent généralement pas des solutions. Cela rend la re-
cherche de ces solutions particulièrement ardue. Pour une solution complète des équa-
tions du champ, les conditions initiales et limites doivent être précisées. Les méthodes
permettant de le faire forment une partie spécialisée de la physique mathématique, qui
Réf. 156 ne sont pas explorées ici.
Albert Einstein avait l ’ habitude de dire que la relativité générale fournit les clés de la
compréhension d ’un côté seulement des équations du champ (211), mais pas de l ’autre
Défi 278 pe côté. Pouvez-vous entrevoir de quel côté il voulait parler ?
Que pouvons-nous faire d ’ intéressant à l ’aide de ces équations ? En fait, pour être
honnête, rien de plus que ce que nous avons déjà fait jusqu ’à présent. Très peu de proces-
sus nécessitent l ’utilisation des équations complètes. Un grand nombre de manuels sur
la relativité s’arrêtent même après les avoir dévoilées ! Cependant, cela vaut la peine de
les étudier. Par exemple, nous pouvons montrer que la solution de Schwarzschild est la
seule solution à symétrie sphérique. De manière similaire, en 1923, Birkhoff montra que,
pour le vide, chaque solution symétrique par rotation est statique. C ’est le cas même si
les masses elles-mêmes se déplacent, comme pendant l ’effondrement d ’une étoile.
Les applications les plus admirables des équations du champ sont peut-être les divers
films réalisés sur les processus relativistes. La Toile mondiale héberge plusieurs d ’entre
eux : ils nous permettent de voir ce qui se passe lorsque deux trous noirs fusionnent,
ce qui se produit quand un observateur tombe dans un trou noir, etc. Pour produire ces
films, les équations du champ nécessitent généralement d ’être résolues directement, sans
ce qui implique que
∆φ = ∇a ∇ φ = R c ad v v = R c d v v = κ(Tc d v v − T/2)
a a c d c d c d
(218)
En introduisant Tab = ρv a v b , nous obtenons
∆φ = 4πGρ (219)
comme nous voulions le montrer.

l ’aide d ’approximations*.
Un autre domaine d ’application concerne les ondes gravitationnelles. Les équations
complètes du champ montrent que ces ondes ne sont pas harmoniques, et sont non li-
néaires. Les ondes sinusoïdales n’existent qu ’approximativement, pour des petites am-
plitudes. De manière encore plus intéressante, si deux ondes se heurtent, dans de nom-

breux cas on prédit que des singularités surgissent. Ce sujet à lui seul représente toujours
un domaine de recherches et pourrait apporter un nouvel éclairage sur le phénomène de
quantification de la relativité générale dans les années à venir.
Nous achevons cette section avec une petite remarque. En général, les équations du
champ sont lues seulement dans un sens, en stipulant que l ’énergie–impulsion engendre
la courbure. Nous pouvons également les lire dans l ’autre sens, en calculant l ’énergie–
impulsion nécessaire pour produire une courbure donnée. Lorsque nous faisons cela,
nous découvrons que les espaces-temps courbes ne sont pas tous possibles, puisque cer-
tains conduiraient à des densités d ’énergie (ou de masse) négatives. De telles solutions
contrediraient la limite déjà citée sur les ratios longueur sur masse pour les systèmes
physiques.
Supplément sur la force limite
Lorsque la constante cosmologique entre en ligne de compte, le principe de la force
maximale nécessite d ’être à nouveau examiné. Dans le cas d ’une constante cosmolo-
gique qui n’est pas nulle, la force limite reste cohérente uniquement si la constante Λ est
Réf. 157 positive ; c ’est le cas pour la valeur mesurée actuellement, qui se situe à Λ ≈ 10−52 /m2 .
Réf. 95, Réf. 96 En effet, la relation rayon–masse des trous noirs
2GM = Rc 2 (1 − R )
Λ 2
(221)
3
implique qu ’une force maximale indépendante du rayon est valide uniquement pour une
constante cosmologique positive ou nulle. Pour une constante cosmologique négative, la
force limite ne serait valide que pour des trous noirs infiniment petits. Du reste, nous
empruntons une approche pragmatique et remarquons qu ’une force limite maximale
peut être vue comme impliquant une constante cosmologique nulle ou positive. Bien
évidemment, la force limite ne précise pas la valeur de cette constante. Pour ce faire, un
deuxième principe doit être ajouté. Une formulation immédiate, en utilisant le principe
Page 120 supplémentaire d ’une force minimale dans la nature, a été proposée ci-dessus.
Nous devrions aussi nous demander si des trous noirs en rotation ou chargés modi-
fient l ’argument qui conduit de la force maximale à la dérivation de la relativité générale.
Cependant, la dérivation qui utilise l ’équation de Raychaudhuri ne change pas. En fait,
le seul changement dans l ’argument apparaît avec l ’ introduction de la torsion, qui mo-
difie l ’équation de Raychaudhuri elle-même. Tant que la torsion ne joue aucun rôle, la
dérivation donnée ci-dessus demeure valide. L’ introduction de la torsion est toujours
une question ouverte de la recherche.
Une autre question consiste à savoir comment la force maximale est reliée aux théories
scalaires–tensorielles de la gravitation, telle la proposition de Brans et Dicke ou ses gé-
* Voir par exemple le site Web www.photon.at/~werner/black-earth.

néralisations. Si une théorie scalaire–tensorielle particulière obéit à l ’équation générale

de l ’ horizon (111), alors elle doit également entraîner l ’existence d ’une force maximale.
L’équation générale de l ’ horizon doit être vérifiée à la fois pour des horizons statiques et
dynamiques. Si c ’était le cas, la théorie scalaire–tensorielle spécifique serait équivalente à
la relativité générale, puisqu ’elle nous permettrait, en utilisant le raisonnement de Jacob-

son, de déduire les équations du champ classiques. Ce cas peut survenir si le champ sca-
laire se comporte comme la matière, c ’est-à-dire s’ il possède une masse–énergie comme
la matière et s’ il courbe l ’espace-temps comme celle-ci. D’un autre côté, si dans la théo-
rie scalaire–tensorielle particulière l ’équation générale de l ’ horizon (111) n’est pas véri-
fiée pour tous les horizons en mouvement – ce qui est le cas en général, puisque les théo-
ries scalaires–tensorielles possèdent plus de constantes définies que la relativité générale
–, alors la force maximale disparaît et la théorie n’est pas équivalente à la relativité géné-
rale. Cette correspondance montre également qu ’un test expérimental de l ’équation de
l ’ horizon pour des horizons statiques uniquement n’est pas suffisant pour confirmer la
relativité générale. Un tel test éliminerait certaines théories scalaires–tensorielles seule-
ment, mais pas toutes.
R etrouver la gravitation universelle
Pour que la limite de la force maximale soit considérée comme un principe physique
fondamental, toutes les propriétés de la gravitation, y compris la théorie complète de la
relativité générale, doivent être déduites à partir de celle-ci. Pour rendre ce raisonnement
plus facile à suivre, nous allons le découper en plusieurs étapes. Premièrement, nous
montrons que la limite de la force implique que, dans la vie de tous les jours, la loi en
l ’ inverse du carré de la gravitation universelle est vérifiée. Ensuite, nous montrons qu ’elle
implique les principaux concepts de la relativité générale. Enfin, nous montrons que la
théorie complète de la relativité générale s’ensuit.
En d ’autres termes, à partir de maintenant nous supposons que la limite de la force est
valide. Nous explorons ses conséquences et les comparons aux propriétés connues de la
nature. La limite de la force maximale peut également être abordée d ’une autre manière.
Si l ’attraction gravitationnelle entre un corps central et un satellite était plus forte qu ’elle
ne l ’est, les trous noirs seraient plus petits qu ’ ils ne le sont : dans ce cas, la limite de la
force maximale et la vitesse maximale pourraient être dépassées. Si, par contre, la gravi-
tation était plus faible qu ’elle ne l ’est, un observateur rapide en accélération ne serait pas
capable de déterminer que les deux corps interagissent. En résumé, une force maximale
de c 4 /4G implique la gravitation universelle. Il n’existe aucune différence entre le fait
d ’affirmer que tous les corps s’attirent par le biais de la gravitation et le fait d ’affirmer
qu ’ il existe une force maximale ayant pour valeur c 4 /4G.
R etrouver la relativité générale linéarisée

L’étape logique suivante consiste à montrer qu ’une force maximale implique égale-
ment la relativité générale. La démarche triviale consiste à répéter, étape par étape, l ’ap-
proche standard de la relativité générale.
La courbure de l ’espace-temps est une conséquence du fait que la vitesse de la lumière
Réf. 95, Réf. 96 est la vitesse maximale pour tous les observateurs, même s’ ils sont situés dans un champ
gravitationnel. Le décalage vers le rouge gravitationnel indique que dans des champs gra-
vitationnels les horloges voient leur cadence se modifier avec l ’altitude. Ce changement,
associé à la constance de la vitesse de la lumière, implique la courbure de l ’espace-temps.
La gravitation implique donc la courbure de l ’espace-temps. La valeur de la courbure
dans le cas de champs gravitationnels faibles est entièrement déterminée par la loi en
l ’ inverse du carré de la gravité. Puisque l ’attraction universelle découle de la force maxi-

male, nous déduisons que cette dernière entraîne que l ’espace-temps est courbé.
Indépendamment de la courbure, nous devons aussi valider l ’autre idée fondamentale
de la relativité générale. Le principe de relativité générale stipule que tous les observateurs
sont équivalents. Puisque le principe de la force maximale s’applique à tous les observa-
teurs, le principe de relativité générale est intégré dans celui-ci. Le principe d’équivalence
établit que, localement, la gravitation peut être éliminée en considérant un observateur
convenablement choisi. C ’est également le cas pour le principe de la force maximale,
qui s’applique à tous les observateurs, donc aussi aux observateurs qui ne ressentent pas
localement la gravitation. Le principe de Mach, dont la formulation précise est variable,
affirme que seules les quantités relatives devraient intervenir dans la description de la
nature. Puisque la force maximale est une quantité relative – en particulier, la relation
entre la masse et la courbure l ’est – le principe de Mach est également satisfait.
Des corps libres situés dans un espace plat se déplacent à vitesse constante. Par le
principe d ’équivalence, cette affirmation se généralise en la déclaration que des corps
en chute libre avancent le long des géodésiques. Le principe de la force maximale laisse
intacte l ’allégation que l ’espace-temps dicte à la matière comment elle doit se déplacer.
La courbure de l ’espace-temps pour des champs gravitationnels faibles est fixée par
la loi en l ’ inverse du carré de la gravité. La courbure spatiale est donc omniprésente,
Réf. 158 avec la valeur juste, autour de chaque masse. Comme Richard Feynman l ’a expliqué, en
extrapolant ce résultat à tous les observateurs possibles, nous pouvons en déduire tous les
effets de la gravitation de faible courbure. En particulier, cela entraîne l ’existence d ’ondes
gravitationnelles linéaires (de faible amplitude) et l ’effet de Thirring–Lense. La relativité
générale linéarisée découle donc du principe de la force maximale.
C omment calculer la forme des géodésiques

L’autre moitié de la relativité générale établit que les corps chutent le long des géo-
désiques. Toutes les orbites sont des géodésiques, donc des courbes qui maximisent le
temps propre. Il est ainsi utile d ’être capable de calculer ces trajectoires*. Pour commen-
cer, nous avons besoin de connaître la forme de l ’espace-temps, la notion de « forme »
étant généralisée à partir de sa signification bidimensionnelle familière. Pour un être vi-
vant sur cette surface, elle est habituellement décrite par la métrique дab , qui définit les
distances entre des points voisins, par
ds 2 = dx a dx a = дab (x) dx a dx b . (222)
Un exercice classique de calcul consiste à montrer à partir de cette expression qu ’une

courbe x a (s) dépendant d ’un paramètre s (affine) bien caractérisé est une géodésique
(métrique) de genre espace, c ’est-à-dire la trajectoire la plus longue possible entre les
* C ’est une brève section qui peut intéresser les plus curieux, elle peut être sautée en première lecture.
Défi 279 pe deux événements*, si et seulement si
dx d 1 ∂ дbc dx b dx c
(дad )=
d
, (223)
ds ds 2 ∂x a ds ds
tant que ds est différent de zéro tout au long de la trajectoire**. Tous les corps en chute

libre suivent de telles géodésiques. Nous avons montré ci-dessus que la propriété de la
Page 136 géodésique implique qu ’une pierre jetée en l ’air retombe, à moins qu ’elle soit lancée
avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération. L’expression (223) remplace donc
à la fois l ’expression d2 x/dt 2 = −∇φ valable pour des corps en chute et l ’expression
d2 x/dt 2 = 0 valable pour des corps flottant librement en relativité restreinte.
La trajectoire ne dépend pas de la masse ou du matériau dont est constitué le corps.
Réf. 159 Par conséquent, l ’ antimatière tombe également le long des géodésiques. Autrement dit,
l ’antimatière et la matière ne se repoussent pas, mais s’attirent également l ’une vers
l ’autre. De manière intéressante, même les expériences réalisées avec la matière ordi-
naire peuvent le montrer, si elles sont soigneusement analysées. Pouvez-vous montrer
comment ?
Défi 280 pe
Pour être exhaustif, nous mentionnons que la lumière suit des géodésiques nulles ou
de genre lumière. En d ’autres termes, il existe un paramètre affine u tel que les géodé-
siques vérifient
d2 x a b c
+ Γ a dx dx
bc =0 (227)
du 2 du du
avec la condition distincte que
dx a dx b
дab =0. (228)
du du
Étant donné toutes ces définitions sur les divers types de géodésiques, que représentent
Défi 281 pe les lignes dessinées dans la Figure 53 de la page 131 ?
* Nous nous rappelons que dans l ’espace de la vie courante les géodésiques sont les chemins les plus courts
possibles, alors que dans l ’espace-temps de la relativité générale les géodésiques sont les chemins les plus
longs possibles. Dans les deux cas, ils représentent des trajets « extrémaux ».
** Cela est souvent noté comme suit
d2 x a b c
a dx dx
+ Γbc =0 (224)
ds 2 ds ds
où la condition
dx a dx b
дab =1 (225)
ds ds
doit être vérifiée, donc simplement en exigeant que tous les vecteurs tangents soient des vecteurs unitaires,
et que ds ≠ 0 tout au long de la trajectoire. Les symboles Γ apparaissant ci-dessus sont donnés par
Γ a bc = { } = д ad (∂ b дd c + ∂ c дdb − ∂ d дbc ) ,
a 1
(226)
bc 2
et sont appelés symboles de Christoffel de seconde espèce ou plus simplement connexion métrique.
L a masse en relativité générale

L’ invariance par difféomorphisme de la relativité générale rend la vie plutôt fasci-
nante. Nous verrons qu ’elle nous permet de dire que nous vivons à l ’ intérieur d ’une
sphère creuse, et qu ’elle ne nous permet pas de dire où l ’énergie est réellement située. Si
l ’énergie ne peut pas être localisée, qu ’en est-il de la masse ? Il devient immédiatement

clair que la masse, comme l ’énergie, peut être localisée uniquement si l ’espace-temps
lointain est identifié comme étant plat. Il est alors possible de définir une valeur pour la
masse localisée en précisant une idée intuitive : la masse est mesurée par le temps que
met une sonde pour graviter autour du corps inconnu*.
La définition intuitive de la masse exige un espace-temps plat à l ’ infini, elle ne peut
Défi 282 pe pas être étendue à d ’autres situations. En bref, la masse ne peut être localisée que si la
masse totale peut être définie. Et la masse totale n’est définie que pour un espace-temps
asymptotiquement plat. La seule autre notion de masse qui soit précise en relativité géné-
rale est la masse volumique locale en un point. À l ’opposé, nous ne comprenons pas très
bien comment définir la masse contenue dans une région plus grande qu ’un point mais
plus petite que l ’ intégralité de l ’espace-temps.
Maintenant que nous pouvons continuer à discuter de masse sans avoir (trop) mau-
vaise conscience, revenons aux équations du mouvement.
L a gravité est-elle une interaction ?

Nous avons eu tendance, jusqu ’à présent, à répondre à cette question par l ’affirmative,
puisque dans la physique galiléenne la gravité était perçue comme une influence sur le
mouvement des corps. En fait, nous l ’avons décrite par un potentiel, suggérant ainsi que
la gravité engendre le mouvement. Mais soyons prudents. Une force ou une interaction
est ce qui modifie l ’état de mouvement des objets. Toutefois, nous venons de voir que,
lorsque deux corps s’attirent l ’un vers l ’autre par le truchement de la gravitation, tous
deux restent toujours en chute libre. Par exemple, la Lune tourne autour de la Terre parce
qu ’elle chute perpétuellement vers elle. Puisque n’ importe quel observateur en chute
libre demeure constamment au repos, l ’affirmation que la gravité modifie le mouvement
des corps n’est pas correcte pour tous les observateurs. En réalité, nous découvrirons
bientôt que, dans un sens qui sera précisé sous peu, la Lune et la Terre suivent toutes les
deux des trajectoires « droites ».
Ce réajustement de notre idée de la gravité est-il simplement une question de mots ?
* Cette définition fut formalisée par Arnowitt, Deser et Misner, et depuis ce temps a souvent été dénommée
la masse ADM. L’ idée consiste à utiliser la métrique дi j et à prendre l ’ intégrale
m= (дi j, i ν j − дi i, j ν j )dA
1
16π ∫SR
(229)
où S R représente la sphère des coordonnées de rayon R, ν est le vecteur unitaire normal de cette sphère et
dA est l ’aire élémentaire sur la sphère. La limite existe si l ’espace-temps est asymptotiquement plat et si la
Réf. 160 distribution de masse est suffisamment concentrée. Les physiciens mathématiciens ont également montré
que pour une variété quelconque dont la métrique change à l ’ infini comme
дi j = (1 + f /r + O(1/r ))δ i j
2
(230)
la masse totale est donnée par M = 2 f .

Pas vraiment. Puisque la gravité n’est pas une interaction, elle n’est pas due à un champ
et elle ne dérive d ’ aucun potentiel.
Page 218 Vérifions cet étrange résultat d ’une autre manière encore. La définition la plus fonda-
mentale de l ’ « interaction » est celle de la différence entre le tout et la somme des parties.
Dans le cas de la gravité, un observateur en chute libre pourrait affirmer que rien de par-

ticulier ne se produit, indépendamment du fait que l ’autre corps soit présent ou non, et
pourrait prétendre que la gravité n’est pas une interaction.
Toutefois, c ’est aller trop loin. Une interaction transporte de l ’énergie entre des sys-
tèmes. Nous avons vu en réalité que la gravité peut être considérée comme transportant
de l ’énergie, uniquement de façon approximative. La gravitation est donc grosso modo
une interaction. Mais ce n’est pas une raison suffisante pour abandonner cette particu-
larité. Le concept d ’énergie n’est pas utile pour la gravité au-delà du domaine de la vie
quotidienne. Pour le cas général, à savoir pour un observateur en général, la gravité est
ainsi fondamentalement différente de l ’électricité ou du magnétisme.
Une autre manière d ’appréhender ce problème est la suivante. Prenez un satellite orbi-
tant autour de Jupiter avec une énergie–impulsion p = mu. Si nous calculons la variation
Défi 283 pe d ’énergie–impulsion le long de sa trajectoire s, nous obtenons
du a de a a du a
=m = m(e a u ) = me a ( + Γ a bd ub u c ) = 0
dp du
+ (231)
ds ds ds ds ds
où e représente le vecteur unitaire le long d ’un axe des coordonnées. La variation de
l ’énergie–impulsion s’annule le long d ’une quelconque géodésique, comme vous pou-
Défi 284 pe vez le vérifier. Par conséquent, l ’énergie–impulsion de ce mouvement est conservée. En
d ’autres termes, aucune force n’agit sur le satellite. Nous pourrions répondre que dans
Réf. 161 l ’équation (231) le deuxième terme représente à lui seul la force gravitationnelle. Mais ce
Défi 285 pe terme peut être rendu nul sur l ’ intégralité de n’ importe quelle ligne d ’univers donnée.
En bref, rien ne change entre deux corps en chute libre l ’un autour de l ’autre : nous
pouvons dire que la gravitation n’est pas une interaction. Les propriétés de l ’énergie
Défi 286 s confirment ce raisonnement.
Bien sûr, la conclusion que la gravitation n’est pas une interaction est quelque peu
abstraite, puisqu ’elle contredit notre expérience de la vie de tous les jours. Mais nous
aurons besoin d ’elle plus tard pour la compréhension complète du mouvement. Le com-
portement du rayonnement confirme cette déduction. Dans le vide, le rayonnement est
toujours en mouvement libre. Dans un sens, nous pouvons dire que celui-ci chute tou-
jours librement. Étrangement, puisque nous avons dit que la chute libre est la même
chose que le repos, nous devrions conclure que le rayonnement est toujours au repos.
Ce n’est pas faux ! Nous avons déjà vu que la lumière ne peut pas être accélérée*. Nous
avons même vu que la déviation due à la gravitation n’est pas une accélération, car la lu-
* La réfraction, le ralentissement de la lumière à l ’ intérieur de la matière, ne constitue pas un contre-exemple.

À proprement parler, la lumière à l ’ intérieur de la matière est continuellement en train d ’être absorbée puis
réémise. Entre ces processus, la lumière se propage toujours avec la vitesse de la lumière dans le vide. Le
processus dans sa globalité paraît seulement ressembler à un ralentissement dans la limite macroscopique. La
même chose s’applique pour la diffraction et pour la réflexion. Une liste de manières apparentes permettant
de courber la lumière peut être consultée à la page 86. Les détails des processus quantomécaniques qui les
fondent peuvent être trouvés à la page ??.
mière suit des trajectoires droites dans l ’espace-temps, même dans cette situation. Bien
que la lumière semble ralentir en se rapprochant des masses pour des observateurs éloi-
gnés, localement elle se déplace constamment à la vitesse de la lumière. En bref, même
la gravitation ne parvient pas à déplacer la lumière.
Il existe un autre procédé pour montrer que la lumière est en permanence au repos.

Pour un observateur essayant d ’atteindre la vitesse de la lumière, une horloge avance de
plus en plus lentement. Pour la lumière, en un certain sens, le temps s’arrête : ou, si vous
préférez, la lumière ne se déplace plus.
L’ essence de la relativité générale

Si une puissance ou une force maximale surgissant aux horizons constitue le fonde-
ment de la relativité générale, nous pouvons nous demander si des systèmes physiques
autres que l ’espace-temps peuvent aussi être décrits de cette manière.
Pour la relativité restreinte, nous avons découvert que l ’on rencontre également tous
ses principaux effets – comme une vitesse limite, une contraction de Lorentz ou une équi-
valence masse–énergie – dans les dislocations des solides. Des systèmes comparables à la
relativité générale existent-ils ? Des tentatives pour découvrir de tels systèmes y sont déjà
partiellement parvenus. Plusieurs équations et idées de la relativité générale sont appli-
cables à la déformation des solides, étant donné que celle-ci décrit la déformation du ma-
Réf. 162 telas de l ’espace-temps. Kröner a étudié cette analogie avec beaucoup de soin. D’autres
systèmes ayant des horizons, et ainsi dotés d ’observables analogues à la courbure, sont dé-
busqués dans certains liquides – où les tourbillons jouent le même rôle que les trous noirs
Réf. 163 – et dans certains fluides quantiques pour la propagation de la lumière. Explorer ces sys-
tèmes est devenu un thème de recherches à part entière. Une correspondance complète
de la relativité générale dans un système macroscopique fut découverte il y a quelques
années seulement. Cette analogie sera présentée dans la troisième partie de notre aven-
ture, mais nous aurons besoin d ’un ingrédient supplémentaire qui n’est pas perceptible
à ce point de notre ascension.
Gymnastique de R iemann
La plupart des ouvrages introduisent la courbure d ’une manière austère, à savoir de
manière historique*, en utilisant le tenseur de courbure de Riemann. Nous en faisons un
court résumé, de telle sorte que vous puissiez comprendre cet ancien procédé si jamais
vous le rencontrez.
Nous avons vu plus haut que la courbure est mieux décrite par un tenseur. En 4 di-
mensions, ce tenseur de courbure, généralement noté R, doit être une quantité qui nous
permette de calculer, entre autres, l ’aire d ’un 2-disque d ’orientation quelconque dans
l ’espace-temps. Maintenant, en 4 dimensions, les orientations d ’un disque sont définies
Défi 287 e par le biais de deux quadrivecteurs, appelons-les p et q. Et, au lieu d ’un disque, nous pren-
drons le parallélogramme engendré par p et q. Il existe plusieurs définitions possibles.
Le tenseur de courbure de Riemann–Christoffel R est alors défini comme une quantité
qui nous permet d ’évaluer la courbure K(p, q) pour la surface engendrée par p et q,
* C ’est une brève section qui peut intéresser les plus curieux, elle peut être sautée en première lecture.
d ’aire A, à travers
R abcd p a q b p c q d
K(p, q) = =
R pqpq
A2 (p, q) (дα δ дβγ − дαγ дβδ )p α q β pγ q δ
(232)

où, comme d ’ habitude, les lettres latines a, b, c, d, etc. prennent des valeurs allant de 0 à
3, de même que les indices grecs, et où une somme sur plusieurs indices est sous-entendue
lorsqu ’une notation indicielle apparaît deux fois. Évidemment, R est un tenseur de rang
4. Ce tenseur décrit donc uniquement la courbure intrinsèque d ’un espace-temps. Au
contraire, la métrique д décrit la forme complète de la surface, et pas seulement la cour-
bure. La courbure est donc la quantité physique localement pertinente, et des descrip-
tions physiques utilisent par conséquent uniquement le tenseur de Riemann* R ou des
quantités dérivées de celui-ci**.
Mais nous pouvons oublier la définition de la courbure que nous venons de donner.
Il existe une seconde manière, plus physique, de voir le tenseur de Riemann. Nous sa-
vons que la courbure sous-tend l ’existence de la gravité. Comme nous l ’avons dit avant,
la gravité signifie que, lorsque deux particules proches chutent librement avec la même
Défi 288 e vitesse et la même direction, la distance entre elles change. Autrement dit, l ’effet local de
la gravité est l ’ accélération relative des particules proches.
Il apparaît que le tenseur R décrit précisément cette accélération relative, c ’est-à-dire
ce que nous appelions plus tôt les forces de marée. Manifestement, l ’accélération relative
Défi 289 pe b s’accroît avec la distance de séparation d et le carré (pourquoi ?) de la vitesse u des
deux particules. Par conséquent, nous pouvons également définir R comme un facteur
de proportionnalité (généralisé) entre ces quantités :
b = R u u d ou, plus clairement, b a = R a bcd u b u c d d . (235)
Les composantes du tenseur de courbure de Riemann possèdent les dimensions de l ’ in-

verse d ’une longueur au carré. Puisqu ’elles contiennent toute l ’ information concernant
* Bernhard Riemann (n. Breselenz 1826 , d. Selasca 1866) fut un important mathématicien allemand.
** Nous avons montré ci-dessus que l ’espace-temps est courbé en remarquant les variations dans les rythmes
des horloges, dans les longueurs des mètres étalons et dans la propagation de la lumière. Ces expériences sont
les manières les plus aisées qui permettent de déterminer la métrique д. Nous savons que l ’espace-temps est
décrit par une variété quadridimensionnelle M dotée d ’une métrique дab qui, localement, en chaque point
de l ’espace-temps, est une métrique de Minkowski. Une telle variété est appelée une variété riemannienne.
Seule une telle métrique nous permet de définir un système inertiel local, c ’est-à-dire un espace-temps de
Minkowski local en chaque point de l ’espace-temps. En particulier, nous avons
дab = 1/д дa = д = δb .
ab b a a
et b (233)
Comment la courbure et la métrique sont-elles reliées ? La solution à cette interrogation remplit générale-
ment un grand nombre de pages dans les livres sur la relativité. Juste pour information, la relation est
∂Γ a bd ∂Γ a bc
=
a a e a f
R bc d − + Γ e c Γ bd − Γ f d Γ bc . (234)
∂x c ∂x d
Le tenseur de courbure est construit à partir des dérivées secondes de la métrique. D’autre part, nous pou-
vons également déterminer la métrique si la courbure est connue. Une relation approchée est donnée ci-
dessous.
la courbure intrinsèque, nous concluons que si R s’annule dans une région l ’espace-
Défi 290 pe temps dans cette région est plat. Nous déduisons facilement cette correspondance de
cette deuxième définition*.
Une dernière manière de définir le tenseur R est la suivante. Pour un observateur en
chute libre, la métrique дab est donnée par la métrique η ab issue de la relativité restreinte.

Dans son voisinage, nous avons
дab = η ab + R acbd x c x d + O(x 3 )

1
3
= (∂ c ∂ d дab )x c x d + O(x 3 ) .
1
(237)
2
Le terme de courbure décrit donc l ’écart entre la métrique de l ’espace-temps et celle
de l ’espace-temps plat. Le tenseur de courbure R est un énorme monstre : il possède
44 = 256 composantes en chaque point de l ’espace-temps. Cependant, ses propriétés
de symétrie les réduisent à 20 nombres indépendants**. Les véritables nombres qui
comptent dans les problèmes physiques sont encore moins nombreux, à savoir 10 uni-
quement. Ceux-ci sont les composantes du tenseur de Ricci, qui peut être défini à l ’aide
du tenseur de Riemann par contraction, c ’est-à-dire en posant
R bc = R a b ac . (240)
Ses composantes, comme celles du tenseur de Riemann, sont des inverses de longueurs
a
au carré. Les valeurs du tenseur R bc , ou celles de R bcd , sont indépendantes de la conven-
Défi 293 e tion de signe utilisée dans la métrique de Minkowski, par opposition à R abcd .
* Cette deuxième définition est également appelée définition fondée sur la déviation géodésique. Il n’est
bien entendu pas évident qu ’elle coïncide avec la première. Pour une démonstration explicite, consultez
Réf. 164 la littérature. Il y a aussi une troisième manière, plus mathématique, de schématiser le tenseur R, à savoir
la manière originale qu ’utilisa Riemann pour l ’ introduire. Si nous appliquons un transport parallèle à un
vecteur w autour d ’un parallélogramme formé par deux vecteurs u et v, chacun de longueur ε, le vecteur w
est transformé en w + δw. Nous avons alors
δw = −ε R u v w +
2
termes d ’ordres supérieurs . (236)
Vous pouvez en apprendre plus concernant la déviation géodésique en étudiant le comportement du fameux
Page 170 chariot qui indique le sud. Cet appareil, courant en Chine avant que le compas soit découvert, fonctionne
uniquement si le monde est plat. En réalité, sur une surface courbe, après avoir parcouru une grande tra-
jectoire fermée, il indiquera une direction différente de celle du début du voyage. Pouvez-vous expliquer
Défi 291 pe pourquoi ?
** La définition de la chute libre indique que le tenseur de Riemann est symétrique dans certains indices et
Défi 292 pe antisymétrique dans d ’autres :
R abc d = R c d ab , R abc d = −R bac d = −R abd c . (238)
Ces relations impliquent également que de nombreuses composantes s’annulent. La relation suivante est
également importante
R abc d + R adbc + R ac db = 0 . (239)
Remarquez que l ’ordre des indices n’est pas standardisé dans la documentation. La liste des invariants qui
peuvent être confectionnés à partir de R est longue. Nous citerons que 21 ε abc d R c d e f R abe f , à savoir le produit
∗
R R du tenseur de Riemann avec son dual, est l ’ invariant caractérisant l ’effet Thirring–Lense.

F I G U R E 71 Une photographie récente du ciel nocturne (© Axel Mellinger, de ?)
Pouvez-vous confirmer la relation R abcd R abcd = 48m 2 /r 6 pour la solution de Schwarz-
Défi 294 pe schild ?
Curiosités et défis amusants sur la relativité générale

Pendant longtemps, les gens ont spéculé pour savoir pourquoi les satellites artificiels Pio-
neer 10 et 11, qui sont maintenant situés à plus de 70 unités astronomiques du Soleil, su-
bissent une décélération constante de 8 ⋅ 10−10 m/s2 (en direction du Soleil) depuis qu ’ ils
ont dépassé l ’orbite de Saturne. Cet effet est appelé l ’ anomalie Pioneer. Son origine n’est
pas claire et constitue toujours un sujet de recherches. Mais plusieurs études ont montré
que la raison n’est pas une irrégularité par rapport à la dépendance en l ’ inverse du carré
Réf. 165 de la gravitation, comme il est parfois proposé. En d ’autres termes, cet effet doit être
d ’origine électromagnétique.
Il existe plusieurs indices qui pointent vers une asymétrie dans l ’émanation du rayon-
nement thermique. En réalité, une asymétrie d ’avant en arrière de seulement 80 W est
Réf. 166 suffisante pour expliquer cet effet. (Les moteurs embarqués en produisent 2,5 kW.) Mais
l ’origine de cette asymétrie n’est pas encore bien comprise. La révélation de cette asymé-
trie – ou de toute autre explication de cette décélération – constitue l ’un des défis de la
Défi 295 r physique spatiale moderne.
Page 94 Mettez-vous à l ’épreuve : l ’effet du moulin à lumière, à savoir que la lumière qui arrive
Défi 296 pe tire l ’objet vers la source, pourrait-il être la raison qui expliquerait cet effet ?
Chapitre 5
P OU RQU OI P OU VON S -NOU S

C ON T E M PL E R L E S ÉTOI L E S ? – L E
MOU V E M E N T DA N S L’ U N I V E R S
“
Zwei Dinge erfüllen das Gemüt mit immer
neuer und zunehmender Bewunderung und
Ehrfurcht, je öfter und anhaltender sich das
Nachdenken damit beschäftigt : der bestirnte
Himmel über mir und das moralische Gesetz in
mir*.
Emmanuel Kant (1724–1804)
”
Lors des nuits claires, entre deux mille et cinq mille étoiles sont visibles à l ’ œil nu.
Plusieurs centaines d ’entre elles ont un nom. En réalité, dans toutes les régions du monde,
les étoiles et les constellations qu ’elles forment sont considérées comme étant la mémoire
des événements passés, et on raconte de nombreux récits à leur sujet**. Mais le simple
fait que nous puissions voir les étoiles est le point de départ d ’une histoire fabuleuse, plus
extraordinaire encore que toutes ces légendes. Elle concerne presque tous les aspects de
la physique moderne.
Q uelles étoiles pouvons-nous admirer ?
“
Démocrite affirme [à propos de la Voie lactée]
qu ’elle est une région où la lumière émane
d ’une multitude de petites étoiles situées à
proximité les unes des autres, pour lesquelles le
rassemblement engendre la clarté de l ’ensemble.
Réf. 168
Les étoiles que nous observons par une nuit claire sont principalement les plus
brillantes parmi les plus proches voisines de notre région de la Voie lactée. Elles se
Aetius, Opinions.
”
trouvent à des distances allant de quatre à quelques milliers d ’années-lumière de nous.
Globalement, il y a dans notre environnement en moyenne une étoile pour 400 années-
lumière cubes.
Pratiquement toutes les étoiles visibles sont situées dans notre propre galaxie. Le seul
objet extragalactique constamment visible à l ’ œil nu depuis l ’ hémisphère Nord est la
* « Deux choses remplissent le cœur d ’une admiration et d ’une vénération toujours nouvelles et toujours
croissantes, à mesure que la réflexion s’y attache et s’y applique : le ciel étoilé au-dessus de moi et la loi
Réf. 167 morale en moi. »
** Sur les mythes concernant les étoiles et les constellations, lisez par exemple l ’ouvrage de G. Fasching,
Sternbilder und ihre Mythen, Springer Verlag, 1993. Sur Internet nous trouvons également les magnifiques
sites Web www.astro.wisc.edu/~dolan/constellations/ et www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/sow.html.
le mouvement dans l ’ univers 197

F I G U R E 72 La nébuleuse d’Andromède M31,
notre galaxie voisine (et 31e membre du
catalogue Messier des objets célestes). (NASA)
F I G U R E 73 Comment notre galaxie apparaît dans l’infrarouge. (NASA)
nébuleuse d ’Andromède, montrée agrandie sur la Figure 72. C ’est une galaxie à part en-
tière comme la nôtre, comme Emmanuel Kant l ’avait déjà conjecturé en 1755. Plusieurs
objets extragalactiques sont observables à l ’ œil nu depuis l ’ hémisphère Sud : la nébu-
leuse de la Tarentule, ainsi que le Grand et le Petit Nuage de Magellan. Les nuages de
Magellan sont des galaxies voisines de la nôtre. D’autres exceptions temporaires sont les
rares novae, des étoiles en explosion qui peuvent être vues si elles apparaissent dans des
galaxies proches, ou les encore plus rares supernovae, qui peuvent souvent être aperçues
même dans des galaxies lointaines.
En fait, les étoiles visibles sont également particulières par un autre aspect. Par
exemple, les télescopes indiquent qu ’environ la moitié d ’entre elles sont doubles : elles
sont constituées de deux étoiles tournant l ’une autour de l ’autre, comme dans le cas de
Sirius. Le fait de mesurer les orbites qu ’elles suivent dans leur folle course nous permet
Défi 297 pe de déterminer leur masse. Pouvez-vous expliquer comment ?
L’ Univers est-il différent de notre Voie lactée ? Oui, il l ’est, et plusieurs raisonnements
permettent de le démontrer. Tout d ’abord, notre galaxie – le mot galaxie est justement le
terme grec original qui désigne la « Voie lactée » – est aplatie, à cause de sa rotation. Si la
Galaxie tourne, il doit y avoir d ’autres masses qui constituent l ’arrière-plan par rapport
auquel cette rotation s’effectue. En fait, il existe un nombre colossal d ’autres galaxies –
environ 1011 – dans l ’ Univers, une découverte qui date seulement du vingtième siècle.
Pourquoi notre compréhension de la place qu ’occupe notre galaxie dans l ’ Univers
198 5 pourquoi pouvons-nous contempler les étoiles ?

F I G U R E 74 La galaxie elliptique NGC 205 (le 205e membre du New General Catalogue NGC). (NASA)
eut-elle lieu si tard ? Eh bien, les gens ont rencontré la même difficulté que lorsqu ’ ils
ont tenté de déterminer la forme de la Terre. Ils ont dû comprendre que la Galaxie n’est
pas seulement une traînée opaline que l ’on voit lors de nuits dégagées, mais un véritable
système physique, constitué d ’environ 1011 étoiles gravitant les unes autour des autres*.
Comme pour la Terre, on s’est aperçu que la galaxie possède une forme tridimensionnelle,
elle est indiquée sur la Figure 73. Notre galaxie est une structure plate et circulaire, d ’un
diamètre de 100 000 années-lumière. Au centre, elle possède un bulbe sphérique. Elle
effectue une rotation environ tous les 200 à 250 millions d ’années. (Pouvez-vous deviner
Défi 298 pe comment on la mesure ?) La rotation est plutôt lente : depuis que le Soleil s’est formé, il
a accompli à peu près 20 à 25 tours complets seulement autour du centre.
Il est même possible de mesurer la masse de notre galaxie. L’astuce consiste à utili-
ser un pulsar binaire situé dans sa périphérie. S ’ il est observé pendant de nombreuses
années, nous pouvons déduire son accélération autour du centre galactique, puisque le
pulsar réagit avec un décalage de fréquence qui peut être mesuré sur Terre. Plusieurs
décennies d ’observations sont nécessaires et un grand nombre d ’artefacts doivent être
Réf. 171 éliminés. Malgré tout, de telles mesures sont en cours. Des estimations actuelles posi-
tionnent la masse de notre galaxie à 1042 kg ou 5 ⋅ 1011 masses solaires.
* On imaginait naguère que la Voie lactée, ou galaxie en grec, avait été créée lorsque Zeus, le principal dieu
de la mythologie grecque, avait tenté de nourrir son fils Héraclès au sein d ’ Héra afin de le rendre immortel.
Le jeune Héraclès, dans un signe annonciateur de sa force future, téta si fort que le lait divin se répandit dans
le ciel en une traînée blanchâtre.

F I G U R E 75 Les galaxies M51 et M51B en collision (NASA), larges de 65 000 al, distantes de 31 Mal.
F I G U R E 76 Les rayons X dans le ciel nocturne, entre 1 et 30 MeV. (NASA)
Q ue voyons-nous la nuit ?
L’astrophysique nous conduit à une étrange conclusion concernant la matière,
quelque peu différente de la manière de réfléchir que nous avons eue en physique
classique : la matière observée dans le ciel se trouve dans des nuages. Les nuages sont des
systèmes dans lesquels la densité de matière diminue avec la distance au centre, n’ayant
ni frontière précise ni taille déterminée. La plupart des objets astrophysiques sont mieux
décrits comme étant des nuages.
La Terre aussi est un nuage si nous prenons en compte, comme partie intégrante, son
atmosphère, sa magnétosphère et l ’anneau de poussières qui l ’entourent. Le Soleil est
un nuage. Pour commencer, c ’est déjà une boule de gaz, mais il ressemble encore plus

F I G U R E 77 Des nuages en rotation émettant des jets le long de leurs axes. En haut : une image
composite (visible et infrarouge) de la galaxie 0313-192, la galaxie 3C296 et le pulsar de Vela. En bas :
l’étoile HH30 en formation, l’étoile DG Tauri B en formation, et un jet de trou noir issu de la galaxie M87.
(Tous NASA)
à un nuage si nous prenons en considération ses protubérances, son héliosphère, le vent

solaire qu ’ il provoque et sa magnétosphère. Le Système solaire est un nuage si nous consi-
dérons sa cohorte de comètes, sa ceinture d ’astéroïdes et son nuage de gaz interstellaire.
La Galaxie est un nuage si nous considérons sa distribution de matière et son halo de
rayonnements cosmiques qui l ’entourent. En fait, même les gens peuvent être considérés
comme des nuages, puisque chaque personne est entourée de gaz, de petites particules
de poussière près de la peau, de vapeur exhalée, etc.
Réf. 169 Dans l ’ Univers, presque tous les nuages sont des nuages de plasma. Un plasma est un
gaz ionisé, tel que le feu, l ’éclair, l ’ intérieur des tubes de néon, ou le Soleil. Au moins
99,9 % de toute la matière de l ’ Univers se trouve sous la forme de nuages de plasma. Seul
un très faible pourcentage existe à l ’état solide ou liquide, tels les grille-pains, les métros
ou leurs usagers.
Les nuages dans l ’ Univers possèdent certaines propriétés en commun. Premièrement,
les nuages observés dans l ’ Univers, lorsqu ’ ils ne sont pas perturbés par des collisions
ou d ’autres interactions provenant d ’objets voisins, sont en rotation. La majorité des
nuages sont par conséquent aplatis et prennent la forme de disques. Deuxièmement, dans
nombre de nuages en rotation, la matière est en train de chuter vers le centre : la plupart
des nuages sont des disques d’accrétion. Finalement, les disques d ’accrétion non pertur-
bés émettent généralement quelque chose le long de leur axe de rotation : ils accusent la
présence de jets. Cette structure fondamentale de nuage a été observée pour des étoiles
jeunes, pour des pulsars, pour des galaxies, pour des quasars et pour une foule d ’autres
systèmes. La Figure 77 en donne quelques exemples. (Le Soleil possède-t-il un jet ? La
Voie lactée en a-t-elle un ? Jusqu ’à présent, nous n’en avons détecté aucun – le champ
Défi 299 r est libre pour des découvertes futures.)
En résumé, la nuit nous observons principalement des nuages de plasma aplatis en
rotation émettant des jets suivant leurs axes. Une grande partie de l ’astronomie et de
Réf. 170 l ’astrophysique collecte des renseignements à leur sujet. Un tour d ’ horizon concernant
ces observations en est donné dans le Tableau 4.
TA B L E AU 4 Quelques observations sur l’Univers.
Aspect P ri n c i pa l e s Va l e u r

propriétés
Phénomènes
formation de galaxie observée par Hubble à maintes reprises
événement déclencheur inconnu
collisions galactiques quantité de mouvement 1045 à 1047 kg m/s
formation stellaire effondrement de nuage donne naissance à des étoiles de 0,04 à
200 masses solaires
fréquence entre 0 et 1 000 masses solaires par an
par galaxie, environ 1 masse solaire
dans la Voie lactée
L < 1031 W
novae nouvelles étoiles
brillantes,
bulle d ’éjection R ≈ t ⋅ c/100
supernovae nouvelles étoiles L < 1036 W
éclatantes,
taux 1 à 5 par galaxie pour 1 000 a
hypernovae sursauts optiques L > 1037 W
sursauts gamma luminosité L allant jusqu ’à 1045 W, environ 1 % de
la luminosité de tout l ’ Univers visible
énergie env. 1046 J
durée env. 0,015 à 1 000 s
quantité observée env. 2 par jour
sources radio émission d ’ondes radio 1033 à 1038 W
sources de rayons X émission de rayons X 1023 à 1034 W
rayons cosmiques énergie de 1 eV à 1022 eV
effet de lentille courbure de la lumière angles allant jusqu ’à 10−4 ′′
gravitationnelle
comètes réapparition, période typique 50 a, longévité typique
volatilisation de la visibilité 2 ka, durée de vie
typique 100 ka
météorites âge jusqu ’à 4,57 ⋅ 109 a
Composantes observées
espace intergalactique masse volumique env. 10−26 kg/m3
quasars décalage vers le rouge jusqu ’à z = 6
luminosité L = 1040 W, à peu près la même
qu ’une galaxie
superamas de galaxies nombre de galaxies env. 108 à l ’ intérieur de notre horizon
notre superamas local nombre de galaxies environ 4 000
propriétés
groupes et amas de galaxies taille 100 Zm
nombre de galaxies entre une douzaine et 100 (groupe)
entre 100 et 1 000 (amas)

notre groupe local nombre de galaxies 30
galaxies taille 0,5 à 2 Zm
nombre env. 1011 dans l ’ horizon
contenant 10 à 400 amas globulaires
contenant typiquement 1011 étoiles chacune
contenant typiquement un trou noir supermassif
et plusieurs de masses intermédiaires
notre galaxie diamètre 1,0(0,1) Zm
masse 1042 kg ou 5 ⋅ 1011 masses solaires Réf. 171
vitesse 600 km/s en direction de
l ’ Hydre-Centaure
contenant environ 30 000 pulsars Réf. 172
contenant 100 amas globulaires ayant chacun 1
million d ’étoiles
amas globulaires (ex. M15) contenant des milliers d ’étoiles, un trou noir de
masse intermédiaire
âge jusqu ’à 12 Ga (plus anciens objets
connus)
nébuleuses, nuages composition poussière, oxygène, hydrogène
notre nuage interstellaire taille 20 années-lumière
local
composition hydrogène atomique à 7 500 K
systèmes stellaires types étoiles binaires gravitantes, plus de 70
étoiles entourées par des naines brunes,
plusieurs systèmes planétaires
notre Système solaire taille 2 années-lumière (nuage d ’Oort)
vitesse 368 km/s du Verseau vers le Lion
étoiles masse jusqu ’à 130 masses solaires (sauf
lorsque des étoiles fusionnent) Réf. 173
géantes et supergéantes taille colossale jusqu ’à 1 Tm
étoiles de la séquence principale
naines brunes petite masse moins de 0,072 masse solaire
température faible moins de 2 800 K Réf. 174
naines L température faible 1 200 à 2 800 K
naines T température faible 900 à 1 100 K
naines blanches petit rayon r ≈ 5 000 km
température élevée refroidit de 100 000 jusqu ’à 5 000 K
étoiles à neutrons densité nucléaire ρ ≈ 1017 kg/m3
propriétés
taille « minuscule » r ≈ 10 km
sources de jet
objets compacts centraux

sursauteurs X émission de rayons X
pulsars émission radio
périodique
masse jusqu ’à environ 25 masses solaires
magnétars champs magnétiques jusqu ’à 1011 T et plus Réf. 175
hyper-puissants
(sursauteurs gamma mou, pulsars X irréguliers)
masse plus de 25 masses solaires Réf. 176
trous noirs rayon de l ’ horizon r = 2GM/c 2 , masse observée variant
de 1 à 100 millions de masses solaires
Propriétés générales
horizon cosmique distance env. 1026 m = 100 Ym
expansion cosmique constante de Hubble 71(4) km s−1 Mpc−1 ou 2,3(2) ⋅ 10−18 s−1
« âge » de l ’ Univers 13,7(2) Ga
vide densité d ’énergie 0,5 nJ/m3 ou Ω Λ = 0, 73 pour k = 0
aucune preuve de dépendance
temporelle
forme à grande échelle courbure de l ’espace k ≈ Ω K = 0 Page 215
topologie simple dans notre environnement
galactique, inconnue aux grandes
échelles
dimensions nombre 3 pour l ’espace, 1 pour le temps, aux
énergies faibles et modérées
matière densité 2 à 11 ⋅ 10−27 kg/m3 ou 1 à 6 atomes
d ’ hydrogène par mètre cube
Ω M = 0, 25
baryons densité Ω b = 0, 04, un sixième de la
précédente (incluse dans Ω M )
matière noire densité Ω MN = 0, 21 (incluse dans Ω M ),
inconnue
énergie sombre densité Ω ES = 0, 75, inconnue
photons quantité volumique 4 à 5 ⋅ 108 /m3 = 1,7 à 2,1 ⋅ 10−31 kg/m3
densité d ’énergie Ω R = 4, 6 ⋅ 10−5
neutrinos densité d ’énergie Ω ν inconnue
température moyenne photons 2,725(2) K
neutrinos non mesurée, valeur prédite de 2 K
fluctuations anisotropie des photons ∆T/T = 1 ⋅ 10−5
amplitude de densité A = 0, 8(1)

F I G U R E 78 L’Univers est rempli de galaxies – cette photographie montre l’amas de Persée. (NASA)
propriétés
indice spectral n = 0, 97(3)
rapport r < 0, 53 avec 95 % de certitude
tensoriel/scalaire
profondeur optique de l ’ ionisation τ = 0, 15(7)
découplage z = 1 100
Mais puisque nous sommes en train de parler de ce que nous voyons dans le ciel, nous
devons élucider un problème plus général.
Q u ’ est-ce que l ’ Univers ?
“
Je suis abasourdi par le nombre de personnes
qui veulent « connaître » l ’ Univers alors qu ’ il
est déjà suffisamment difficile de se repérer dans
Chinatown.
Le terme univers implique la rotation. L’ Univers est ce qui tourne autour de nous la
Woody Allen
nuit. Pour un physicien, il existe au moins trois définitions distinctes du mot « Univers » :
”
— L’ Univers (visible) représente la totalité de la masse et de l ’énergie observables. Cela
intègre tout ce qui est localisé à l ’ intérieur de l ’ horizon cosmologique. Puisque l ’ ho-
rizon est en train de s’éloigner de nous, la quantité de la masse et de l ’énergie obser-
vables est en constante augmentation. Le contenu de l ’expression « Univers visible »
n’est donc pas figé dans le temps. (Quelle est la source de cette augmentation ? Nous
reviendrons sur cette question plus tard.)
— L’ Univers (présumé) représente la totalité de la masse et de l ’énergie, incluant toutes
celles qui ne sont pas visibles. De nombreux ouvrages sur la relativité générale sti-
pulent qu ’ il existe certainement là de la matière ou de l ’énergie située au-delà des

frontières de l ’observation. Nous expliquerons l ’origine de cette conviction plus bas.
— L’ Univers (complet) constitue la somme de la matière et de l ’énergie ainsi que
l ’espace-temps lui-même.
On fait souvent l ’amalgame entre ces définitions dans les débats physiques et philoso-
phiques. Il n’existe aucun consensus unanimement accepté sur ces termes, ainsi nous
devons être prudents. Dans ce livre, lorsque nous emploierons le mot « Univers », nous
sous-entendrons uniquement la dernière définition. Nous découvrirons à plusieurs re-
prises que, sans une distinction claire et nette entre ces définitions, l ’achèvement de l ’as-
cension de la Montagne Mouvement deviendra impossible. (Par exemple, la quantité de
matière et d ’énergie contenue dans l ’ Univers complet est-elle la même que dans l ’ Uni-
Défi 300 pe vers visible ?)
Remarquez que la « taille » de l ’ Univers visible ou, mieux, la distance à son horizon
est une quantité qui peut être imaginée. La valeur de 1026 m ne surpasse pas toute ima-
gination. Si nous prenons tout le fer qui se trouve dans le noyau terrestre et que nous le
forgeons en un fil métallique qui s’étend jusqu ’au bout de l ’ Univers visible, quelle épais-
Défi 301 pe seur devrait-il avoir ? La réponse vous surprendra sans aucun doute. Aussi, le contenu
de l ’ Univers est-il manifestement fini. Il y a à peu près autant de galaxies visibles dans
l ’ Univers que de grains dans un mètre cube de sable. Pour prolonger cette comparai-
son, pouvez-vous déduire de quelle quantité d ’espace vous auriez besoin pour déposer
toute la farine que vous auriez si chaque petite particule de cette poudre représentait une
Défi 302 pe étoile ?
L a couleur et le mouvement des étoiles

᾽Η τοι µὲν πρώτιστα Ξάος γένετ΄ ...*
“ Hésiode, Théogonie.
Manifestement, l ’ Univers est rempli de mouvement. Pour s’en faire une petite expé-
”
rience, il est utile de mesurer la vitesse et la position du plus grand nombre possible d ’ob-
jets. Au cours du vingtième siècle, une foule considérable d ’observations fut obtenue sur
les étoiles et les galaxies. (Pouvez-vous imaginer comment la distance et la vitesse sont
Défi 303 s déterminées ?) Cette profusion de données expérimentales peut être synthétisée en deux
points.
Tout d ’abord, aux grandes échelles, c ’est-à-dire en moyenne sur environ cinq cents
millions d ’années-lumière, la densité de la matière dans l ’ Univers est homogène et iso-
trope. Évidemment, à des échelles plus petites, des inhomogénéités existent, telles que des
galaxies, ou grumeaux. Notre galaxie par exemple n’est ni isotrope ni homogène. Mais
* « Au commencement était le Chaos... ». La Théogonie,, œuvre probable du poète mythique Hésiode, fut
finalisée autour de 700 av. J.-C. Elle peut être lue en anglais et en grec sur le site www.perseus.tufts.edu, et
en français sur http://remacle.org/bloodwolf/poetes/falc/hesiode/theogonie.htm. Cette célèbre sentence est
tirée du vers 117.

F I G U R E 79 Un atlas de notre environnement cosmique : les illustrations ont une échelle de 12,5, 50,
250, 5 000, 50 000, 500 000, 5 millions, 100 millions, 1 milliard et 14 milliards d’années-lumière. (©
Richard Powell, www.atlasoftheuniverse.com)

F I G U R E 80 La
relation entre la
distance et la vitesse
stellaire.
Réf. 177 aux grandes échelles les différences s’estompent. Cette homogénéité à grande échelle de
la distribution de la matière est souvent dénommée le principe cosmologique.
Le deuxième point concernant l ’ Univers est encore plus important. Dans les années
1920, de manière indépendante, Carl Wirtz, Knut Lundmark et Gustaf Stromberg ont
Réf. 178 montré que, de façon générale, les galaxies s’éloignent de la Terre, et plus elles sont éloi-
gnées, plus elles s’éloignent vite. Il y a quelques exceptions pour des galaxies proches,
telle la nébuleuse d ’Andromède elle-même, mais globalement la vitesse de fuite v d ’un
objet augmente avec la distance d. En 1929, l ’astronome américain Edwin Hubble* pu-
blia la première mesure de la relation entre la vitesse et la distance. Bien qu ’ il fît usage
d ’échelles de longueur incorrectes, il trouva une relation
v=Hd, (241)
où la constante de proportionnalité H est aujourd ’ hui appelée la constante de Hubble. Un

graphique de cette relation en est donné sur la Figure 80. Il s’avère que la constante de
Hubble possède en ce moment une valeur d ’environ 71 km s−1 Mpc−1 . (La propre valeur
de Hubble était si éloignée de cette valeur qu ’elle n’est jamais citée.) Par exemple, une
étoile située à une distance de 2 Mpc** s’éloigne de la Terre avec une vitesse comprise
autour de 142 km/s, et cette valeur est proportionnellement plus élevée pour des étoiles
encore plus éloignées.
En fait, la découverte de Wirtz, Lundmark et Stromberg implique que chaque galaxie
Défi 304 pe s’éloigne de toutes les autres. (Pourquoi ?) En d ’autres termes, la matière dans l ’ Univers
est en expansion. L’échelle de cette expansion et les dimensions colossales concernées
* Edwin Powell Hubble (1889–1953) fut un important astronome américain. Après avoir été athlète puis avoir
obtenu ses diplômes universitaires en droit, il retourna à sa passion de jeunesse pour les astres. Il démontra
finalement la conjecture d ’ Emmanuel Kant de 1755 qui stipulait que la nébuleuse d ’Andromède est une
galaxie à part entière. Il montra ainsi que la Voie lactée n’est qu ’une minuscule portion de l ’ Univers.
Page 289 ** Un mégaparsec ou Mpc représente une distance de 30,8 Zm.
sont prodigieuses. Le mouvement des milliers de millions de groupes de galaxies dans

le ciel est décrit par l ’unique équation (241) ! Certains écarts sont observés pour des
galaxies proches, comme mentionné ci-dessus, et pour des galaxies lointaines, comme
nous allons le voir bientôt.
Le principe cosmologique et l ’expansion, pris ensemble, entraînent que l ’ Univers ne

peut pas avoir existé avant l ’ instant où il avait une taille évanescente : l ’ Univers pos-
sède donc un âge fini. Combinée avec les équations d ’évolution, comme il sera expliqué
plus en détail ci-après, la constante de Hubble indique que son âge serait situé autour de
13 700 millions d ’années. L’expansion signifie également que l ’ Univers possède un hori-
zon, c ’est-à-dire une distance maximale finie pour les sources dont les signaux peuvent
parvenir à la Terre. Les signaux provenant des sources situées au-delà de l ’ horizon ne
peuvent pas nous atteindre.
Puisque l ’ Univers est en expansion, il était beaucoup plus petit par le passé et donc
beaucoup plus dense qu ’ il ne l ’est actuellement. Il se révèle qu ’ il était également plus
Réf. 179 chaud. George Gamow* annonça en 1948 que, puisque des objets chauds rayonnent de la
lumière, le ciel ne peut pas être parfaitement noir la nuit, mais doit être empli d ’un rayon-
nement de corps noir émis lorsqu ’ il était « en chaleur ». Ce rayonnement, appelé rayonne-
ment de fond diffus cosmologique, doit s’être refroidi du fait de l ’expansion de l ’ Univers.
Défi 305 pe (Pouvez-vous entériner ce point ?) Malgré diverses prédictions similaires dues à d ’autres
initiateurs, dans un de ces exemples les plus célèbres de communication scientifique inef-
ficace, le rayonnement fut découvert bien plus tard, par deux chercheurs complètement
Réf. 180 ignorants dans ce domaine de recherche. Un célèbre article de 1964 de Doroshkevich et
Novikov avait même établi que l ’antenne utilisée par les découvreurs ultérieurs (novices)
était le meilleur dispositif pour débusquer ce rayonnement ! En tout cas, ce n’est qu ’en
1965 qu ’Arno Penzias et Robert Wilson découvrirent le signal. Ce fut lors d ’une des plus
admirables découvertes de la science, pour laquelle ils reçurent plus tard tous les deux le
Réf. 181 prix Nobel de physique. Il apparaît que ce rayonnement est décrit par le rayonnement de
corps noir d ’un corps ayant une température de 2,7 K. Cela découle de la loi du corps
noir, avec une précision d ’environ une partie pour 104 .
Mais, excepté l ’expansion et le refroidissement, les quatorze milliards d ’années qui se
sont écoulées ont également engendré quelques autres événements marquants.
Les étoiles brillent-elles tou tes les nuits ?
“
Les étoiles ne brillent-elles pas
merveilleusement ? Je suis l ’unique personne
dans le monde qui sait pourquoi il en est ainsi.
Friedrich (Fritz) Houtermans (1903–1966)
Les astres semblent avoir toujours existé. En réalité, de temps en temps, une nouvelle
étoile apparaît dans le ciel : c ’est une nova. La désignation est latine et signifie « nou-
”
veau ». Des novae particulièrement brillantes sont appelées supernovae. Les novae et les
* George Gamow (n. Odessa 1904 , d. Boulder 1968), physicien russo-américain, expliqua la radioactivité
alpha comme un effet tunnel et prédit l ’existence du fond diffus cosmologique micro-onde. Il rédigea les
premiers ouvrages scientifiques de vulgarisation à succès, tels que Un, deux, trois... l ’ infini et la série des Mr.
Thompkins, qui furent imités plus tard par de nombreux autres auteurs.

F I G U R E 81 Le
diagramme de
Hertzsprung–Russell.
(© Richard Powell)
phénomènes analogues nous rappellent que les astres vivent généralement beaucoup plus
longtemps que les êtres humains, mais comme nous ils naissent et meurent.
Il apparaît que nous pouvons placer toutes les étoiles sur ce que nous appelons le
diagramme de Hertzsprung–Russell. Ce diagramme, crucial dans chaque ouvrage d ’as-
tronomie, est représenté sur la Figure 81. C ’est un magnifique exemple d ’une méthode
courante utilisée par les astrophysiciens : amasser des statistiques sur de nombreux exem-
plaires d ’un type d ’objet en particulier, puis pouvoir en déduire le cycle de vie de cet
objet, bien que leur durée de vie soit considérablement plus importante que celle d ’un
homme. Par exemple, il est possible, par une utilisation intelligente de ce diagramme,
d ’estimer l ’âge des amas stellaires, et ainsi d ’aboutir à un âge minimum pour l ’ Univers.
Le résultat est estimé à treize milliards d ’années environ.
Une évidence saute aux yeux : puisque les étoiles brillent, elles meurent également.
Les étoiles ne peuvent être observées que si elles sont nées mais n’ont pas encore disparu
au moment de l ’émission de lumière*. Cela conduit à des restrictions sur leur visibilité,
particulièrement pour des décalages vers le rouge importants. En réalité, les télescopes
* En fait, l ’auteur a voulu dire que les étoiles que l ’on observe sont celles qui étaient encore vivantes quand
elles ont émis la lumière, qui parvient sur la Terre au moment où on les observe. Mais, bien sûr, une étoile
peut être déjà morte quand on la voit. [N.d.T.]
modernes peuvent scruter des lieux (et des instants) si éloignés de l ’ instant présent qu ’ ils
ne contiennent aucune étoile. À ces distances, nous ne pouvons observer que des quasars.
Ce ne sont pas des étoiles, mais des systèmes beaucoup plus massifs et lumineux. Leur
structure précise est encore étudiée par les astrophysiciens.
D’autre part, puisque les étoiles brillent, elles ont dû être façonnées d ’une certaine

manière. Les détails captivants de leur formation à partir de nuages de poussière repré-
sentent une partie majeure de l ’astrophysique, mais ne sera pas explorée ici.
Nous n’avons pas encore la réponse complète à notre question. Après tout, pourquoi
les étoiles brillent-elles ? Manifestement, elles brillent parce qu ’elles sont chaudes. Elles
sont chaudes à cause des réactions nucléaires qui se produisent dans leur cœur. Nous
Page ?? discuterons de ces processus plus en détail dans le chapitre sur les noyaux.
Une brève histoire de l ’ Univers
“
Anima scintilla stellaris essentiae*.
Réf. 182 Héraclite d ’ Éphèse (v. 540 à v. 480 av. J.-C. )
”
Les aventures que l ’ Univers a vécues ou, mieux, les péripéties que la matière et le
Réf. 183 rayonnement qui le composent ont expérimentées sont résumées dans le Tableau 5. Les
étapes qui ne sont pas encore précisées seront étudiées dans la théorie quantique. Ce
tableau chronologique possède des applications qu ’aucun physicien théoricien n’aurait
imaginées. La séquence est si élégante et si impressionnante que, de nos jours, elle est
utilisée dans certaines psychothérapies pour rappeler aux gens toute l ’ histoire qui a eu
lieu avant leur existence et pour leur faire apprécier l ’ importance de leur propre valeur.
Profitez-en vous aussi.
TA B L E AU 5 Une brève histoire de l’Univers.
Te mps Te mps Événement Te mpé -

depuis depuis le r at u r e
au jou r - B i g B a n gb
d ’ h u ia
≈ 14 ⋅ 109 a ≈ t Pl b Temps, espace, matière et conditions initiales 1032 K ≈ TPl
indéterminés
13 ⋅ 109 a v. 800 t Pl L’espace-temps se distingue de la matière et du 1030 K
≈ 10−42 s rayonnement, conditions initiales déterminées
10−35 s à Début de l ’ inflation & de l ’ époque GUT, les 5 ⋅ 1026 K
10−32 s interactions forte et électrofaible divergent
10−12 s Les antiquarks s’annihilent, les interactions faible et 1015 K
électromagnétique se séparent
2 ⋅ 10−6 s Les quarks sont confinés dans les hadrons, l ’ Univers 1013 K
est un plasma
Annihilation des positrons
0,3 s L’ Univers devient transparent pour les neutrinos 1010 K
quelques Nucléosynthèse : les noyaux D, 4 He, 3 He et 7 Li se 109 K
secondes forment, le rayonnement domine toujours
* « L’âme est un éclat de l ’essence des étoiles. »

d ’ h u ia
2 500 a La domination de la matière commence, les 75 000 K

fluctuations de densité s’ intensifient
z = 1 100 380 000 a Recombinaison : durant ces dernières étapes du Big 3 000 K
Bang, les atomes de H, He et Li se forment, et
l ’ Univers devient « transparent » pour la lumière, car
la matière et le rayonnement se découplent,
c ’est-à-dire qu ’ ils acquièrent des températures
différentes, le ciel « nocturne » commence à devenir
de plus en plus sombre
Le ciel est presque noir, sauf pour le rayonnement de Tγ =
corps noir To (1 + z)
z = 10 à 30 Formation des galaxies
z=6
Les plus vieux objets observés jusqu ’à présent
z=5 Formation des amas de galaxies
z=3 106 a La première génération d ’ étoiles (population II) est
formée, démarrage de la fusion de l ’ hydrogène, la
fusion de l ’ hélium produit le carbone, le silicium et
l ’oxygène
2 ⋅ 109 a Les premières étoiles explosent en supernovaec , le fer
est produit
z=1 3 ⋅ 109 a La deuxième génération d ’étoiles (population I)
apparaît et les explosions ultérieures de supernovae
issues des étoiles en fin de vie forment le reste des
éléments (Fe, Se, etc.) dont nous sommes constitués
et les dispersent dans la galaxie
4,7 ⋅ 109 a Nuages primitifs, nés des vestiges de ces explosions,
effondrements, formation du Soleil
4,6 ⋅ 109 a Formation de la Terre et des autres planètes : début
de l ’Azoïque
4,3 ⋅ 109 a Les cratères se forment sur les planètes
4,0 ⋅ 109 a La Lune se forme à partir de la matière éjectée au
cours de la collision d ’un gros astéroïde avec la Terre,
encore liquide
4,0 ⋅ 109 a Début de l ’éon archéen (Archaeozoicum) : le
bombardement spatial cesse, la croûte terrestre se
solidifie, les plus anciens minerais se forment, l ’eau
se condense
3,5 ⋅ 109 a La vie (microscopique) unicellulaire apparaît, les
stromatolithes se forment
2,5 ⋅ 109 a Début de l ’éon protérozoïque (« âge de la première
vie ») : l ’atmosphère devient riche en oxygène grâce à
l ’activité des micro-organismes Réf. 184

d ’ h u ia
1 ⋅ 109 a La vie multicellulaire, macroscopique apparaît

800 ⋅ 106 a La Terre est entièrement recouverte de glace pour la
première fois (pour une raison toujours inconnue)
Réf. 185
600 à La Terre est entièrement recouverte de glace pour la
540 ⋅ 106 a dernière fois
540(5) ⋅ 106 a L’ère paléozoïque (Palaeozoicum, « âge de la vie
ancienne ») commence, après une gigantesque
période glaciaire : les animaux apparaissent, les plus
anciens fossiles (avec 540(5) début des périodes
Cambrien, 495(5) Ordovicien, 440(5) Silurien, 417(5)
Dévonien, 354(5) Carbonifère et 292(5) Permien)
450 ⋅ 106 a Les plantes terrestres apparaissent
370 ⋅ 106 a Les arbres à bois apparaissent
250(5) ⋅ 106 a L’ère mésozoïque (Mesozoicum, « âge de la vie
moyenne », anciennement appelé ère secondaire)
commence : la majorité des insectes et des autres
formes de vie sont exterminés, les mammifères
apparaissent (avec 250(5) début des périodes Trias,
205(4) Jurassique et 142(3) Crétacé)
150 ⋅ 106 a Le continent de la Pangée se disloque en Laurasie et
Gondwana
L’amas d ’étoiles des Pléiades se forme
150 ⋅ 106 a Les oiseaux apparaissent
142(3) ⋅ 106 a La période glorieuse des dinosaures (Crétacé) débute
100 ⋅ 106 a Début de la formation des Alpes, des Andes et des
montagnes Rocheuses
65,5 ⋅ 106 a L’ère cénozoïque (Caenozoicum, « âge de la nouvelle
vie ») commence : les dinosaures disparaissent après
qu ’un astéroïde a frappé la Terre au Yucatán, les
primates apparaissent (avec 65,5 début du Tertiaire,
constitué de la période du Paléogène avec les époques
Paléocène, 55,0 Éocène et 33,7 Oligocène, et de la
période du Néogène avec les époques 23,8 Miocène et
5,32 Pliocène, puis 1,81 la période du Quaternaire
avec les époques du Pléistocène (ou Diluvium) et 0,01
Holocène (ou Alluvium))
50 ⋅ 106 a Les grands mammifères apparaissent
7(1) ⋅ 106 a Les hominidés apparaissent

d ’ h u ia
3 ⋅ 106 a Explosions des supernovae, avec les conséquences

que l ’on sait : rayonnement cosmique plus intense,
taux de formation des nuages plus élevé, la Terre se
refroidit vigoureusement, forte pression
évolutionnaire sur les hominidés et, comme
conséquence, le genre Homo apparaît Réf. 186
500 000 a Formation des étoiles les plus jeunes dans la Galaxie
500 000 a Homo sapiens apparaît
100 000 a Début de la dernière période glaciaire
90 000 a Homo sapiens sapiens apparaît
11 800 a Fin de la dernière période glaciaire, début de
l ’ Holocène
6 000 a Premiers textes écrits
2 500 a La physique naît
500 a Consommation du café, usage du crayon et naissance
de la physique moderne
200 a Début de l ’usage de l ’ électricité
100 a Einstein publie
10 à 120 a Vous êtes un être unicellulaire
présent v. 14 ⋅ 109 a Vous êtes en train de lire ce livre Tγ = 2,73 K,
Tν ≈ 1,6 K,
Tb ≈ 0 K
futur Vous aimez la vie ; pour savoir précisément pourquoi, lisez la page 154
a. La coordonnée temporelle utilisée ici est celle donnée par le système de coordonnées défini par le rayon-
nement de fond diffus micro-onde, comme expliqué à la page 217. Une année est abrégée « a » (du latin
« annus »). Les marges d ’erreur dans la précision des derniers chiffres sont données entre parenthèses.
b. Cette quantité n’est pas exactement définie puisque le Big Bang ne constitue pas un événement de l ’espace-
temps. Nous en dirons plus à ce sujet à la page ??.
c. L’ histoire des atomes sur la Terre montre que nous sommes constitués des résidus d ’une supernova. Nous
sommes vraiment faits de poussières d ’étoiles.
L’échelle des temps géologiques est celle donnée par la Commission internationale de stratigraphie, les
temps sont mesurés par le truchement de méthodes de datation radiométriques (dites « par radiochronolo-
gie », c ’est-à-dire en utilisant la radioactivité [N.d.T.]).
Malgré sa longueur et son intérêt, ce tableau possède ses limites. Par exemple, que s’est-il
passé partout ailleurs dans le dernier milliard d ’années ? Il reste encore plein de choses
à écrire pour lesquelles nous ne savons presque rien. Pour des raisons évidentes, les in-
vestigations ont été plutôt centrées sur la Terre.
La recherche en astrophysique s’est focalisée sur la découverte et la compréhension de
tous les phénomènes observés dans les cieux. Nous abandonnons ici un large pan de ce
domaine palpitant puisque, du reste, nous voulons nous concentrer sur le mouvement.
De manière intéressante, la relativité générale nous permet de trouver une explication

pour un grand nombre d ’observations globales sur le mouvement dans l ’ Univers.
L’ histoire de l ’ espace-temps
“
Un grand nombre de lapins s’enfuient d ’une

position centrale, dans diverses directions, tous
avec la même vitesse. Durant la course, un seul
lapin tourne la tête, et fait une observation
Défi 306 s renversante. Que voit-il ?
Les données indiquant que l ’ Univers est de toutes parts saupoudré d ’étoiles
”
conduisent à une conclusion élémentaire : l ’ Univers ne peut pas être statique. La
gravitation modifie constamment les distances entre les corps, la seule exception étant
les orbites circulaires. La gravitation modifie également les distances moyennes entre les
corps : elle tente toujours de faire effondrer les nuages. Le plus grand nuage parmi tous,
celui formé par toute la matière dans l ’ Univers, doit par conséquent ou être en train de
s’effondrer, ou être encore en expansion.
Réf. 187 Le premier qui osa esquisser cette conclusion fut Aleksander Friedmann*. En 1922 il
déduisit l ’évolution détaillée de l ’ Univers dans le cas d ’une distribution de masse ho-
mogène et isotrope. Son calcul est un exemple classique de raisonnement simple mais
puissant. Pour un Univers qui est homogène et isotrope en chaque point, l ’élément li-
Défi 307 pe néaire est donné par
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (t)(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (242)
et la matière est décrite par une masse volumique ρ M et une pression pM . En insérant
tout cela dans les équations du champ, nous obtenons deux équations
ȧ 2 k
( ) + 2 =
8πG Λ
ρM + et (243)
a a 3 3
ä = − (ρ M + 3pM ) a + a
4πG Λ
(244)
3 3
qui impliquent
ρ̇ M = −3 (ρ M + pM ) .
ȧ
(245)
a
À l ’ instant présent t 0 , la pression de la matière est négligeable. (Dans la suite, l ’ indice 0

se réfère à l ’ instant présent.) Dans ce cas, l ’expression ρ M a 3 est constante au cours du
* Aleksander Aleksandrowitsch Friedmann (1888–1925) était un physicien russe qui avait prédit l ’expansion
de l ’ Univers. Suite à son décès prématuré du typhus, son travail demeura principalement inconnu jusqu ’à ce
que Georges A. Lemaître (n. Charleroi 1894 , d. Louvain 1966), prêtre belge et cosmologiste, l ’ait compris et
ait développé son travail en 1927, se concentrant, comme l ’exigeait sa tâche, sur des solutions dotées d ’une
singularité initiale. Lemaître est l ’un de ceux qui ont promulgué l ’ idée (fausse !) que le Big Bang est un
Page 225, page 226 « événement » de la « création » et il a réussi à en convaincre toute la profession. Les solutions de Friedmann–
Lemaître sont souvent incorrectement baptisées d ’après deux autres physiciens, qui les étudièrent une nou-
velle fois bien plus tard, en 1935 et 1936, à savoir H.P. Robertson et A.G. Walker.
temps.
Les équations (243) et (244) ne dépendent que de deux constantes de la nature : la
constante gravitationnelle G, associée à la force ou puissance maximale dans la nature, et
la constante cosmologique Λ, qui décrit la densité d ’énergie du vide ou, si nous préférons,
la force minimale dans la nature.

Avant que nous discutions de ces équations, précisons d ’abord certains points concer-
nant le vocabulaire utilisé. On a coutume d ’exprimer toutes les masses volumiques en
Défi 308 pe fonction de ce que nous appelons la densité critique ρ c , donnée par
3H 02
ρc = ≈ (8 ± 2) ⋅ 10−27 kg/m3 (246)
8πG
correspondant à environ 8, plus ou moins 2, atomes d ’ hydrogène par mètre cube. Sur
Terre, nous appellerions cette valeur un vide extrêmement poussé. Voilà à quoi res-
semblent globalement les différences qui existent entre la vie quotidienne et l ’ Univers
tout entier. Dans tous les cas, la densité critique caractérise une distribution de matière
conduisant à une évolution de l ’ Univers située juste à la frontière entre l ’expansion per-
pétuelle et l ’effondrement. En fait, cette densité est critique uniquement dans le cas d ’une
constante cosmologique nulle, et conduit à une évolution que nous qualifions de limite.
Malgré cette restriction, le terme est maintenant employé dans cette expression égale-
ment pour toutes les autres situations. Nous parlons donc de masses volumiques sans
dimensions Ω M définies comme
Ω M = ρ 0 /ρ c . (247)
La constante cosmologique peut également être reliée à cette densité critique en posant
Λc 2 Λc 2
ΩΛ = = =
ρΛ
. (248)
ρ c 8πGρ c 3H 02
Un troisième paramètre sans dimension Ω K décrit la courbure de l ’espace. Il est défini

en fonction du rayon actuel de l ’ Univers R 0 et de la constante de courbure k = {1, −1, 0}
comme
ΩK = 2 2
−k
(249)
R0 H0
et son signe est opposé à celui de la courbure k, Ω K s’annulant pour une courbure nulle.
Remarquez qu ’un Univers positivement courbé, s’ il est homogène et isotrope, est né-
cessairement fermé et de volume fini. Un Univers plat ou négativement courbé ayant la
même distribution de matière peut être ouvert, c ’est-à-dire de volume infini, mais pas
nécessairement. Il peut être simplement ou multiplement connexe. Dans ces situations,
la topologie n’est pas entièrement fixée par la courbure.
Le paramètre de Hubble de l ’ instant présent est défini par H 0 = ȧ 0 /a 0 . À partir de
Défi 309 pe l ’équation (243), nous obtenons alors la relation majeure
ΩM + Ω Λ + ΩK = 1 . (250)
pas de
Big Bang
2 valeurs
expérimentales
e
léré

a ccé ée
ion r
1 élé
ans déc
exp sion
ΩΛ an
exp
éternelle
0 expansion
eff drement
on
un at rt
pl ve
ive
ou
rs
fe
-1
rm
trop
é
jeune
0 1 2 3 F I G U R E 82 L’étendue des valeurs possibles pour les

ΩΜ paramètres Ω et leurs conséquences.
Par le passé, alors que les données manquaient, les physiciens étaient partagés en deux
camps : les claustrophobes, qui pensaient que Ω K > 0, et les agoraphobes, qui étaient
persuadés que Ω K < 0. Nous allons bientôt donner plus de détails concernant les valeurs
mesurées de ces paramètres. Le diagramme de la Figure 82 indique les intervalles les plus
intéressants pour ces paramètres et les comportements correspondants de l ’ Univers.
Pour le paramètre de Hubble, les mesures les plus récentes donnent une valeur de
H 0 = 71 ± 4 km/sMpc = 2,3 ± 2 ⋅ 10−18 /s (251)
ce qui correspond à un Univers âgé de 13,7 ± 2 milliards d ’années. En d ’autres termes,

cet âge déduit de l ’ histoire de l ’espace-temps s’accorde avec l ’âge, donné plus haut, re-
trouvé à partir de l ’ histoire des astres.
Pour avoir une idée de la manière dont l ’ Univers évolue, on a coutume de faire appel
à ce que nous appelons le paramètre de décélération q 0 . Il est défini par
q0 = − = ΩM − Ω Λ .
ä 0 1
2
(252)
a0 H0 2
Le paramètre q 0 est positif si l ’expansion est en cours de ralentissement, négatif si l ’ex-

pansion s’accélère. Ces possibilités sont aussi indiquées sur le diagramme.
Une manière encore plus claire de schématiser l ’expansion de l ’ Univers pour une pres-
sion nulle consiste à réécrire l ’équation (243) en utilisant τ = t H 0 et x(τ) = a(t)/a(t 0),
facteur facteur
d'échelle d'échelle
a a

ct
a(t) présent
l Pl
incertitudes
effets expérimentales
quantiques
t Pl temps t
présent temps t
F I G U R E 83 Évolution de l’échelle a de l’Univers pour différentes valeurs de densités.
conduisant à
( ) + U(x) = Ω K
dx 2
dτ
avec U(x) = −Ω Λ x − Ω Λ x 2 (253)
Cela ressemble à l ’équation de l ’évolution du mouvement d ’une particule de masse 1,

ayant une énergie totale Ω K , dans un potentiel U(x). Les évolutions résultantes sont
facilement déduites.
Pour Ω Λ nul, soit l ’ Univers se dilate pour toujours, soit il s’effondre, en fonction de
la valeur de la densité de masse–énergie.
Pour Ω Λ non nul (positif), le potentiel possède exactement un maximum ; si la parti-
cule a suffisamment d ’énergie pour grimper jusqu ’à ce maximum, elle accélérera conti-
nuellement. C ’est la situation que l ’ Univers semble avoir aujourd ’ hui.
Pour un intervalle de temps prédéfini, le résultat est indiqué sur la Figure 83. Il faut
souligner deux points : d ’abord, l ’ensemble des courbes possibles est décrit par deux
paramètres, et non pas un. De plus, les lignes ne peuvent pas être tracées à partir d ’une
taille nulle. Il existe deux raisons principales à cela : nous ne comprenons pas encore très
bien le comportement de la matière aux très hautes énergies, et nous ne maîtrisons pas
le comportement de l ’espace-temps aux énergies très élevées. Nous reviendrons sur ce
problème important plus loin.
La principale conclusion que nous pouvons tirer du travail de Friedmann est qu ’un
Univers homogène et isotrope n’est pas statique : soit il se dilate, soit il se contracte. Dans
les deux cas, il possède un âge fini. Il fallut de nombreuses années avant que cette idée
profonde soit largement acceptée dans la communauté des cosmologistes. Même Einstein
mit beaucoup de temps avant de s’y accoutumer.
Remarquez qu ’en raison de son expansion isotrope l ’ Univers possède un référentiel
Λ>0 Λ=0 Λ<0
facteur d'échelle facteur d'échelle facteur d'échelle
k = –1

temps t temps t temps t
facteur d'échelle facteur d'échelle facteur d'échelle
k=0
temps t temps t temps t

Λ < Λc Λ = Λc Λ > Λc
facteur d'échelle facteur d'échelle facteur d'échelle facteur d'échelle facteur d'échelle
k = +1
temps t temps t temps t temps t temps t

F I G U R E 84 L’évolution à long terme du facteur d’échelle a de l’Univers pour divers paramètres.
de prédilection : le référentiel défini par la répartition moyenne de matière. Le temps

mesuré dans ce référentiel est le temps listé dans le Tableau 5, qui est celui que nous
utilisons implicitement lorsque nous parlons de l ’ âge de l ’ Univers.
Un tour d ’ horizon des éventualités concernant l ’évolution à long terme est donné par
la Figure 84. L’évolution peut avoir diverses issues. Au début du vingtième siècle, les gens
choisissaient parmi elles selon leurs préférences personnelles. Albert Einstein donnait la
primeur à la solution k = 1 et Λ = a −2 = 4πGρ M . C ’est la solution instable rencontrée
lorsque x(τ) culmine au maximum du potentiel U(x).
En 1917, le physicien hollandais Willem de Sitter avait trouvé, à la grande stupeur
d ’ Einstein, qu ’un Univers vide avec ρ M = pM = 0 et k = 1 est également possible. Ce
Défi 310 pe type d ’ Univers se dilate pendant des durées très longues. L’ Univers de de Sitter indique
que, dans des cas particuliers, la matière n’est pas nécessaire pour que l ’espace-temps
puisse exister.
Lemaître avait trouvé des Univers en expansion pour une masse positive, et ses ré-
sultats furent également contestés, à commencer par Einstein. Lorsque plus tard les pre-
mières mesures confirmèrent ces calculs, l ’ idée d ’un Univers massif et en expansion se
généralisa peu à peu. Il devint le modèle standard de la cosmologie dans les manuels.
Cependant, dans une sorte d ’aveuglement collectif qui a perduré de 1950 à 1990 environ,
presque tout le monde croyait que Λ = 0*. Ce n’est que vers la fin du vingtième siècle que
Défi 311 pe * Dans ce cas, pour Ω M ⩾ 1, l ’âge de l ’ Univers vérifie t0 ⩽ 2/(3H 0 ), où les limites sont compatibles. Pour

F I G U R E 85 Les fluctuations du rayonnement de fond cosmologique. (WMAP/NASA)
les progrès expérimentaux nous permirent de faire des déductions fondées sur l ’évidence
rationnelle plutôt que sur des croyances ou des préférences personnelles, comme nous
allons bientôt le découvrir. Mais avant toutes choses nous devons faire toute la lumière
sur une vieille controverse.
Pourquoi le ciel est-il noir la nuit ?
“
In der Nacht hat ein Mensch nur ein Nachthemd
an, und darunter kommt gleich der Charakter*.
Robert Musil
En premier lieu, le ciel nocturne n’est pas noir. Il possède la même couleur intrinsèque
que durant le jour, comme n’ importe quelle photographie à longue pose le démontre.
”
(Regardez, par exemple, la Figure 67.) Mais cette couleur, comme la couleur du ciel au
cours de la journée, n’est pas due à la température de la voûte céleste, mais à la lumière
diffuse provenant des étoiles. Si nous voulons rechercher la véritable couleur du ciel, nous
avons besoin d ’ inspecter son rayonnement thermique. En réalité, les mesures indiquent
que même le ciel vidé de sa substance n’est pas complètement froid ou noir la nuit. Il est
rempli d ’un rayonnement d ’environ 200 GHz. Des relevés plus précis montrent que ce
rayonnement correspond à l ’émission thermique d ’un corps noir à 2,73 K. Ce rayonne-
ment de fond cosmologique représente le rayonnement thermique résiduel provenant du
Big Bang.
Réf. 188 L’ Univers est en réalité plus froid que les étoiles. Mais pourquoi en est-il ainsi ? Si
l ’ Univers était homogène à grande échelle et infiniment grand, il aurait un nombre infini
d ’étoiles. En regardant dans n’ importe quelle direction, nous verrions la surface d ’une
étoile. Le ciel nocturne serait alors aussi lumineux que la surface du Soleil ! Pouvez-vous
Défi 312 s convaincre votre grand-mère avec ce raisonnement ?
une densité nulle, nous avons t0 = 1/H o .

* « La nuit, un homme ne porte qu ’une chemise de nuit, et directement sous celle-ci se cache sa véritable
nature. » Robert Musil (n. Klagenfurt 1880 , d. Genève 1942) fut un écrivain allemand.
Dans une forêt profonde, nous remarquons qu ’ il y a un arbre dans toutes les direc-
tions. De manière analogue, dans un Univers « profond », nous devrions voir une étoile
dans chaque direction. À présent, l ’étoile moyenne possède une température de surface
d ’environ 6 000 K. Si nous vivions dans un Univers vieux et profond, nous vivrions ef-
fectivement à l ’ intérieur d ’un four ayant une température avoisinant les 6 000 K, ce qui

nous empêcherait de profiter d ’une bonne glace à la crème.
Ce paradoxe fut formulé de manière plus précise en 1823 par l ’astronome Wilhelm
Olbers*. Comme ce dernier avait considérablement débattu de cette question, il est éga-
lement dénommé paradoxe d’ Olbers. Aujourd ’ hui nous savons que, même si toute la
matière contenue dans l ’ Univers était convertie en rayonnement, l ’ Univers ne serait tou-
jours pas aussi brûlant que nous venons de l ’estimer. Autrement dit, la puissance et la
longévité des étoiles sont beaucoup trop faibles pour engendrer la fournaise lumineuse
Réf. 189 que nous venons de citer. Donc quelque chose ne colle pas.
En fait, deux effets principaux peuvent être invoqués pour contourner cette contradic-
tion. Premièrement, puisque l ’ Univers possède un âge limité, les étoiles éloignées brillent
depuis peu. Nous les voyons à une époque où elles étaient plus jeunes ou même pendant
leur formation, lorsqu ’elles étaient plus sombres. Par conséquent, la part de la lumino-
sité des étoiles distantes est plus petite que celle des étoiles proches, de telle façon que
la température moyenne du ciel s’en trouve diminuée d ’autant**. Deuxièmement, nous
pourrions imaginer que le rayonnement des étoiles distantes est décalé vers le rouge et
que le volume que le rayonnement devrait remplir est en constante augmentation, de
telle sorte que la température moyenne du ciel est également réduite.
Des calculs sont nécessaires pour déterminer quel effet est plus important que l ’autre.
Réf. 190 Ce problème a été étudié avec beaucoup de soin par Paul Wesson, qui expliqua que le
premier effet est plus important que le second d ’un facteur trois environ. Nous pouvons
donc affirmer convenablement que le ciel nocturne est noir principalement parce que
l ’ Univers possède un âge fini. Nous pouvons ajouter que le ciel serait légèrement plus
lumineux si l ’ Univers n’était pas en expansion.
Réf. 188 De plus, l ’obscurité du ciel est possible uniquement parce que la vitesse de la lumière
Défi 314 pe est finie. Pouvez-vous confirmer cette idée ?
Finalement, l ’obscurité du ciel nous rappelle également que l ’ Univers possède un âge
important (mais fini). En réalité, le rayonnement de fond de 2,7 K est si froid, bien qu ’ il
ait été émis à 3 000 K, parce qu ’ il est décalé vers le rouge suite à l ’effet Doppler. En faisant
Réf. 191 des hypothèses raisonnables, on trouve que la température T de ce rayonnement varie
avec le facteur d ’échelle R(t) de l ’ Univers comme
T∼
1
. (254)
R(t)
* Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers (n. Arbergen 1758 , d. Brême 1840) était astronome. Il découvrit deux
planétoïdes, Pallas et Vesta, et cinq comètes. Il développa la méthode de calcul des orbites paraboliques pour
les comètes qui est toujours utilisée aujourd ’ hui. Olbers encouragea également activement le mathématicien
Page 102 et astronome Friedrich Wilhelm Bessel dans le choix de sa profession. Le paradoxe est baptisé d ’après Olbers,
bien que d ’autres aient fait des remarques similaires auparavant, tels l ’astronome suisse Jean Philippe Loÿs
de Cheseaux en 1744 et Johannes Kepler en 1610.
** Pouvez-vous expliquer que le ciel n’est pas noir simplement parce qu ’ il est peint en noir ou composé
de chocolat noir ? Ou, plus généralement, que le ciel n’est pas constitué de et ne contient aucune substance
Défi 313 pe noire et froide, comme Olbers le suggérait lui-même, et comme John Herschel le réfuta en 1848 ?
Dans un Univers jeune, nous ne serions donc pas capables d ’admirer les étoiles, même
si elles existaient.
À partir de la luminosité du ciel nocturne, mesurée comme valant à peu près 3 ⋅ 10−13
fois celle d ’une étoile moyenne comme le Soleil, nous pouvons déduire quelque chose
d ’ intéressant : la densité d ’étoiles dans l ’ Univers doit être beaucoup plus petite que

dans notre galaxie. La densité des étoiles dans la Galaxie peut être déduite en comptant
les étoiles que nous voyons la nuit. Mais la densité moyenne d ’étoiles dans la Galaxie
conduirait à des valeurs de luminosités nocturnes beaucoup plus élevées si celle-ci était
Réf. 189 constante partout dans l ’ Univers. Nous pouvons donc en conclure que la Galaxie est
beaucoup plus petite que l ’ Univers simplement en mesurant la luminosité du ciel noc-
turne et en comptant les étoiles présentes dans le ciel ! Pouvez-vous développer explicite-
Défi 315 pe ment les calculs ?
En résumé, le ciel est noir la nuit parce que l ’espace-temps et la matière ont un âge
important, mais fini. Comme problème annexe, nous pouvons formuler une énigme : y
Défi 316 pe a-t-il également un paradoxe d ’Olbers pour la gravitation ?
L’ Univers est-il ouvert, fermé ou situé entre les deux ?
“
- L’ immensité de l ’ Univers ne te donne-t-elle
pas l ’ impression d ’être tout petit ?
- Je peux me sentir petit sans l ’aide de l ’ Univers.
Anonyme
Parfois, l ’ histoire de l ’ Univers est résumée en deux mots : boum ! ...crac. Mais l ’ Uni-
vers s’effondrera-t-il réellement, ou se dilatera-t-il à jamais ? Ou encore, se trouve-t-il
”
dans une situation limite intermédiaire ? Les paramètres qui décident de son destin sont
la densité et la constante cosmologique.
Les principales nouvelles de la dernière décennie de l ’astrophysique du vingtième
siècle sont les résultats expérimentaux nous permettant de déterminer ces paramètres.
Plusieurs méthodes sont utilisées. La première est évidente : déterminer la vitesse et la
distance des astres lointains. Pour de grandes distances, c ’est difficile, puisque ces étoiles
sont très indistinctes. Mais il est devenu possible aujourd ’ hui de scruter le ciel à la re-
cherche de supernovae, des étoiles brillantes en explosion, et de déterminer leur distance
à partir de leur luminosité. Nous y parvenons actuellement grâce à des moyens informa-
Réf. 192 tiques d ’examen du ciel, en utilisant les plus grands télescopes disponibles.
Une deuxième méthode consiste à mesurer l ’anisotropie du fond cosmologique
micro-onde. À partir du spectre de puissance observé comme une fonction de l ’angle,
la courbure de l ’espace-temps peut être retrouvée.
Une troisième méthode est la détermination de la masse volumique de l ’ Univers, en
utilisant l ’effet de lentille gravitationnelle pour la lumière issue des quasars lointains, qui
Page 230 est déviée par les galaxies ou les amas de galaxies.
Une quatrième méthode est la détermination de la densité en utilisant les amas de
galaxies. Nous nous attendons à ce que toutes ces mesures soient grandement améliorées
dans les années à venir.
Actuellement, ces quatre ensembles complètement indépendants de mesures four-
Réf. 193 nissent les valeurs
(Ω M ; Ω Λ ; Ω K ) ≈ (0, 3 ; 0, 7 ; 0, 0) (255)
où les erreurs sont de l ’ordre de 0,1 ou moins. Les valeurs impliquent que l ’ Univers est
spatialement plat, que son expansion s’accélère et, par conséquent, qu ’ il n’y aura pas de Big
Crunch*. Toutefois, aucune déclaration définitive concernant la topologie n’est encore
Page 232 possible. Nous reviendrons sur cette dernière question bientôt.
En particulier, les données indiquent que la densité de matière, incluant toute la ma-

tière noire, ne représente environ qu ’un tiers de la valeur critique**. Les deux autres
tiers sont fournis par le terme cosmologique. Pour la constante cosmologique Λ nous
obtenons la valeur
3H 2
Λ = Ω Λ 2 0 ≈ 10−52 /m2 . (256)
c
Cette valeur possède des implications majeures pour la théorie quantique, puisqu ’elle
correspond à une densité d ’énergie du vide
Λc 4 10−46 (GeV)4
ρΛ c2 = ≈ 0,5 nJ/m3 ≈
(ħc)3
. (257)
8πG
Mais ce terme cosmologique implique également une pression négative du vide p Λ =
−ρ Λ c 2 . En introduisant ce résultat dans la relation du potentiel de la gravitation univer-
Page 183 selle déduite de la relativité
∆φ = 4πG(ρ + 3p/c 2 ) (258)
Réf. 194 nous obtenons

∆φ = 4πG(ρ M − 2ρ Λ ) . (259)
Défi 317 pe Donc l ’accélération gravitationnelle est
a= − c r = 2 − Ω Λ H 02 r ,
GM Λ 2 GM
(260)
r 2 3 r
ce qui indique qu ’une énergie du vide positive entraîne en réalité l ’existence d ’un effet
gravitationnel répulsif. En insérant la valeur mentionnée (256) pour la constante cosmo-
logique Λ, nous trouvons que l ’effet répulsif est minuscule même sur des distances telles
que celle qui sépare la Terre du Soleil. En fait, l ’ordre de grandeur de l ’effet répulsif est
tellement petit par rapport à celui de l ’attraction que nous ne pouvons pas du tout es-
pérer obtenir une confirmation expérimentale directe de cet écart par rapport à la gra-
Défi 318 pe vitation universelle. Les déterminations astrophysiques demeureront probablement les
seules possibles. Une constante gravitationnelle positive se manifeste par le biais d ’une
composante positive dans le taux d ’expansion, comme nous le verrons bientôt.
* Le Big Crunch, c ’est-à-dire l ’effondrement de l ’ Univers, serait équivalent à un « Big Bang à l ’envers ».
[N.d.T.]
** La différence entre la densité totale de matière et la densité de matière baryonique mesurable séparément,
environ un sixième seulement de la valeur précédente, n’est également toujours pas expliquée. Il se pourrait
même que l ’ Univers contienne de la matière d ’un type inconnu jusqu ’à présent. Cette énigme est appe-
lée le problème de la matière noire, elle constitue une des questions les plus importantes non résolues en
cosmologie.
Mais cette situation est déconcertante. L’origine de cette constante cosmologique n’est
pas expliquée par la relativité générale. Ce mystère sera résolu uniquement à l ’aide de la
théorie quantique. Dans tous les cas, la constante cosmologique est le premier aspect
local et quantique de la nature détecté par des moyens astrophysiques.

Pourquoi l ’ Univers est-il transparent ?
L’ Univers pourrait-il être rempli d ’eau, qui est transparente, comme certains ou-
Réf. 195 vrages populaires le soutiennent afin d ’expliquer la pluie ? Non. Même s’ il était empli
d ’air, la masse totale n’aurait jamais permis à l ’ Univers d ’atteindre la taille qu ’ il a au-
Défi 319 pe jourd ’ hui, il se serait effondré beaucoup plus tôt et nous n’existerions pas.
L’ Univers est donc transparent parce qu ’ il est principalement vide. Mais pourquoi
est-il si vide ? Tout d ’abord, à l ’époque où la taille de l ’ Univers était minuscule, toute
l ’antimatière s’est annihilée avec la quantité équivalente de matière. Seule une infime
fraction de matière, qui était initialement légèrement plus abondante que l ’antimatière,
Page ?? est restée. Cette fraction de 10−9 est la matière que nous voyons aujourd ’ hui. Par consé-
quent, il y a 109 fois plus de photons dans l ’ Univers que d ’électrons ou de quarks.
De plus, 380 000 ans après l ’ annihilation de l ’ antimatière, tous les noyaux et les élec-
trons présents se sont associés, pour former des atomes et leurs agrégats, tels que les
étoiles et les hommes. Il ne restait alors plus aucune charge libre interagissant avec des
photons dans l ’espace, de telle façon que depuis cette période la lumière peut voyager
dans l ’espace comme elle le fait aujourd ’ hui, n’étant affectée que lorsqu ’elle rencontre
une étoile ou des particules de poussière.
Si nous nous rappelons que la densité moyenne de l ’ Univers est de 10−26 kg/m3 et que
la majeure partie de la matière est agrégée par la gravité en galaxies, nous pouvons imagi-
ner qu ’un excellent vide se maintient dans les espaces intergalactiques. Par conséquent,
la lumière peut voyager sur de longues distances sans obstacles significatifs.
Mais pourquoi le vide est-il transparent ? C ’est une question plus profonde. Le vide
est transparent parce qu ’ il ne contient aucune charge électrique et aucun horizon : les
charges ou les horizons sont indispensables pour absorber la lumière. En réalité, la théo-
Page ?? rie quantique montre que le vide contient ce que nous appelons des charges virtuelles.
Cependant, les charges virtuelles n’ont aucun effet sur la propagation de la lumière.
Le Big Bang et ses répercussions
“
Μελέτη θανάτου. S ’entraîner à la mort.
Platon, Phédon, 81a.
Par-dessus tout, le modèle du Big Bang, qui est énoncé en observant la couleur des
astres et des galaxies, établit qu ’ il y a environ quatorze milliards d ’années l ’ Univers tout
”
entier était extrêmement petit. C ’est cette situation qui a donné au Big Bang son nom.
Page 234 Ce terme fut forgé (avec une certaine connotation sarcastique) en 1950 par Fred Hoyle,
Réf. 196 qui, par ailleurs, n’avait jamais pensé qu ’ il puisse s’appliquer à la nature. Néanmoins, ce
terme fut adopté. Puisque nous ne pouvons pas vérifier directement que l ’ Univers était
si petit par le passé, nous avons besoin de rechercher d ’autres conséquences vérifiables.
Les plus importantes sont les suivantes :
— toute matière s’éloigne du reste de la matière ;

— la masse de l ’ Univers est constituée d ’environ 75 % d ’ hydrogène et 23 % d ’ hélium ;
— il existe un rayonnement thermique de fond cosmologique d ’environ 2,7 K ;
— l ’âge maximal pour n’ importe quel système dans l ’ Univers est d ’environ quatorze
milliards d ’années ;

— il y a un fond cosmologique de neutrinos d ’une température d ’environ 2 K* ;
— pour une constante cosmologique non nulle, la gravité newtonienne est légèrement
plus faible.
Toutes ces prédictions, excepté les deux dernières, ont été confirmées par les observations.
La technologie ne nous permettra probablement pas de vérifier celles-ci dans un proche
avenir. Toutefois, il n’existe aucune pièce à conviction à leur encontre.
Des descriptions concurrentes de l ’ Univers ne sont pas parvenues avec autant de
Réf. 196 succès à cette concordance avec les observations. De plus, des arguments théoriques sti-
pulent qu ’avec les distributions de matière que nous observons, et quelques hypothèses
un peu plus générales, il n’existe aucune manière de contourner l ’existence d ’une pé-
Réf. 197 riode dans le passé fini au cours de laquelle l ’ Univers était extrêmement petit. Il est donc
important de porter un regard attentif sur cette situation.
Le Big Bang fu t-il un Big Bang ?

Fut-il une sorte d ’ explosion ? Cette description implique que de la matière transforme
en quelque sorte de l ’énergie interne en un mouvement de ses parties. Il n’y a jamais eu
un tel processus dans l ’ histoire du début de l ’ Univers. En fait, une meilleure description
consiste à dire que l ’espace-temps est en expansion, plutôt que de dire que la matière
se déplace. Le mécanisme et l ’origine de l ’expansion sont inconnus à ce niveau de notre
ascension montagneuse. À cause de l ’ importance de l ’expansion spatiale, le phénomène
global ne peut aucunement être qualifié d ’explosion. Et manifestement il n’y a jamais
eu, et il n’y a pas, de milieu pouvant transporter le son dans l ’espace interstellaire ; ainsi
nous ne pouvons pas parler d ’un « bang », quel que soit le sens de ce terme.
Était-il gros (« big ») ? L’ Univers visible était plutôt ridiculement petit il y a environ
quatorze milliards d ’années, beaucoup plus petit qu ’un atome. En résumé, le Big Bang
n’était ni gros ni un bang, mais le reste est correct.
Le Big Bang fu t-il un événement ?

La théorie du Big Bang est une description de ce qui est survenu dans l ’espace-temps
tout entier. Contrairement à ce qu ’on lit fréquemment dans les articles de journaux im-
prudents, à chaque instant de son expansion l ’espace avait une taille non nulle : l ’espace
n’a jamais été un simple point. Les individus qui prétendent qu ’ il le fut font des décla-
rations plausibles en apparence, mais fausses en réalité. La théorie du Big Bang est une
description de l ’ expansion de l ’espace-temps, et non de son origine. En suivant le mouve-
ment de la matière en remontant le temps, la relativité générale ne peut pas déduire l ’exis-
tence d ’une singularité initiale. Le problème des erreurs de mesure n’est probablement
pas un obstacle. Cependant, l ’effet induit par les non-linéarités de la relativité générale
dans les situations de densités d ’énergie énormes n’est pas encore très clair.
* La théorie établit que Tν /Tγ ≈ (4/11)1/3 . Ces neutrinos sont apparus à peu près 0,3 s après le Big Bang.
De façon plus importante, la théorie quantique montre que le Big Bang n’était pas
une véritable singularité, puisque aucune observable physique, que ce soit la densité ou
la température, n’a jamais atteint une valeur infiniment grande (ou infiniment petite).
Page ?? De telles grandeurs ne peuvent pas exister dans la nature*. Dans tous les cas, il existe
un consensus général pour dire que les raisonnements fondés uniquement sur la relati-

vité générale pure ne peuvent pas faire des déductions correctes concernant le Big Bang.
Pourtant, la plupart des déclarations que l ’on trouve dans les articles de journaux sont
de cet acabit.
Le Big Bang fu t-il un commencement ?

Se demander ce qu ’ il y avait avant le Big Bang revient à se demander où se trouve
le nord au pôle Nord. De même que rien n’ indique le nord au pôle Nord, il n’y « avait »
rien avant le Big Bang. Cette analogie pourrait être mal interprétée, au point d ’ impliquer
que le Big Bang a débuté en un point unique précis du temps, ce qui est bien sûr inexact,
comme nous venons de l ’expliquer. Mais cette analogie est meilleure qu ’elle ne paraît :
en fait, il n’y a pas de pôle Nord précis, puisque la théorie quantique montre qu ’ il existe
une incertitude fondamentale quant à sa position. Il existe de même une incertitude cor-
respondante pour le Big Bang.
En réalité, un raisonnement très simple permet de montrer qu ’avec la théorie quan-
tique le temps et l ’espace ne sont pas définis au moment ou à proximité du Big Bang.
Nous fournirons ce raisonnement élémentaire dans le premier chapitre de la dernière
Page ?? partie de notre promenade. Par conséquent, le Big Bang ne peut pas être qualifié de « com-
mencement » de l ’ Univers. Il n’y a jamais eu de temps lorsque le facteur d ’échelle a(t)
de l ’ Univers était égal à zéro.
Cette erreur conceptuelle est fréquemment rencontrée. En fait, la théorie quantique
indique que près du Big Bang les événements ne peuvent ni être ordonnés ni même être
définis. Plus franchement, il n’y a pas de commencement, il n’y a jamais eu d ’événement
ou de singularité initiale.
Certes, le concept de temps n’est pas défini « en dehors » ou « avant » l ’existence de
Réf. 198 l ’ Univers, ce fait étant déjà évident pour les penseurs il y a plus de mille ans. Il est alors
tentant de conclure que le temps doit avoir commencé. Mais comme nous l ’avons vu,
c ’est également une erreur logique : en premier lieu, il n’y a pas d ’événement de départ,
et, deuxièmement, le temps ne s’écoule pas, comme nous l ’avions déjà révélé au début
Page 38 de notre promenade.
Une confusion similaire se cache derrière l ’ idée que l ’ Univers possède certaines
Page 163 « conditions initiales ». Des conditions initiales par définition ont un sens uniquement
pour des objets ou des champs, c ’est-à-dire pour des entités qui peuvent être observées
de l ’extérieur, ou encore pour des entités qui possèdent un environnement. L’ Univers
ne se conformant pas à cette nécessité, il ne peut donc avoir d ’états initiaux. Malgré tout,
de nombreuses personnes s’évertuent toujours à réfléchir sur ce problème. De manière
Réf. 199 intéressante, Stephen Hawking a vendu des millions d ’exemplaires d ’un livre expliquant
* De nombreux physiciens sont toujours prudents avant de faire des déclarations aussi profondes sur ce point.
Page ?? Les premières sections de la troisième partie de notre ascension montagneuse fournissent les arguments
précis qui conduisent à celles-ci.
qu ’une description dépourvue d ’états initiaux est la plus séduisante, l ’emportant large-
ment sur le fait qu ’ il n’existe de toute façon aucune autre possibilité*.
En résumé, le Big Bang n’est pas un commencement, pas plus qu ’ il n’en implique un.
Nous lèverons le voile sur la manière correcte de méditer sur ce sujet dans la dernière
partie de notre progression sur la montagne.

Le Big Bang implique-t-il une création ?
“
[La théorie générale de la relativité procure] un
doute universel concernant l ’existence de Dieu
et de sa création.
Page 226
Un chasseur de sorcières.
La création, c ’est-à-dire l ’apparition de quelque chose à partir de rien, nécessite un

concept prédéfini de l ’espace et du temps pour avoir une signification. Sinon, ce concept
”
d ’ « apparition » est vide de sens. Mais, quelle que soit la description du Big Bang, qu ’elle
soit classique, comme dans ce chapitre, ou quantomécanique, comme dans les prochains,
cette condition n’est jamais remplie. Même dans la description classique actuelle du Big
Bang, qui fut à l ’origine de sa dénomination, il n’y a pas d ’apparition de matière, ni
d ’énergie, ni de quoi que ce soit d ’autre. Et cette situation ne changera pas, quelle que soit
la description ultérieure améliorée, puisque le temps ou l ’espace ne sont jamais définis
avant l ’apparition de la matière.
En fait, toutes les propriétés d ’une création sont absentes : il n’existe aucun « instant »
de création, aucune apparition à partir de rien, aucun choix possible de quelconques
conditions « initiales » piochées dans un certain ensemble de possibilités et, comme nous
le verrons plus en détail plus loin, pas même un quelconque choix de « lois » physiques
particulières à partir d ’un quelconque ensemble d ’éventualités.
En résumé, le Big Bang n’ implique ni ne nourrit aucun processus de création. Il n’était
pas un événement, pas un commencement et pas non plus une situation de création. Il est
impossible de poursuivre l ’ascension de la Montagne Mouvement si nous ne pouvons
Défi 320 pe pas accepter chacune de ces trois conclusions. Les renier revient à persévérer dans le
domaine des croyances et des préjugés, donc à renoncer définitivement à progresser dans
notre aventure.
Remarquez que cette exigence n’est pas nouvelle. En fait, elle était déjà contenue impli-
Page 41 citement dans l ’équation (1) au tout début de notre excursion, de même que dans toutes
les suivantes. Elle apparaît de manière encore plus flagrante à ce niveau. Mais finalement
qu ’est-ce que le Big Bang ? Nous le découvrirons dans l ’ultime partie de notre ascension.
Nous revenons maintenant sur la discussion concernant ce que les étoiles peuvent nous
enseigner sur la nature.
Pourquoi pouvons-nous voir le S oleil ?

En premier lieu, le Soleil peut être observé parce que l ’ air est transparent. Il n’est pas
évident en soi que l ’air soit transparent ; en fait, il ne l ’est que pour la lumière visible
et pour quelques autres fréquences données. Les rayonnements infrarouge et ultravio-
* Cette phrase suscitera toujours des réactions fortes de la part des physiciens, elle sera analysée plus en
détail dans la section sur la théorie quantique.

F I G U R E 86 Transmittance de l’atmosphère. (NASA)
let sont majoritairement absorbés. Les explications résident dans le comportement des
molécules qui composent l ’air, à savoir principalement l ’azote, l ’oxygène et quelques
autres gaz transparents. Plusieurs satellites et planètes du Système solaire possèdent des
atmosphères opaques : nous avons en fait beaucoup de chance de pouvoir contempler les
étoiles.
En réalité, l ’air lui-même n’est pas parfaitement transparent, ses molécules diffusent
très légèrement la lumière. Cela explique pourquoi le ciel et les montagnes lointaines pa-
raissent bleus et le coucher du soleil paraît rouge*, et pourquoi les étoiles sont invisibles
en cours de journée. L’atmosphère est même opaque à de nombreuses longueurs d ’onde
éloignées du spectre visible, comme l ’ indique la Figure 86. (Elle est également opaque
pour toutes les longueurs d ’onde inférieures à 200 nm, jusqu ’aux rayons gamma. Sur
la grande étendue du spectre électromagnétique, elle reste transparente jusqu ’à une lon-
gueur d ’onde d ’environ 10 à 20 m, en fonction de l ’activité solaire, où l ’opacification due
à l ’ ionosphère se met en place.)
En second lieu, nous pouvons voir le Soleil parce que celui-ci, comme tous les corps
chauds, émet de la lumière. Nous allons par la suite décrire en détail l ’ incandescence,
Page 145 puisque c ’est comme cela que cet effet est dénommé.
Troisièmement, nous pouvons voir la lumière du jour parce que nous sommes,
comme notre environnement et le voisinage du Soleil, plus froids que le Soleil lui-même.
En réalité, les corps incandescents peuvent être discernés de leur arrière-plan unique-
ment si celui-ci est plus froid. C ’est une conséquence des propriétés de l ’émission incan-
descente de lumière, généralement appelée rayonnement de corps noir. Ce rayonnement
est indépendant de la matière, de telle sorte que, pour un milieu ayant la même tempéra-
ture que le corps, nous ne pouvons absolument rien discerner de particulier. Pour preuve,
jetez simplement un œil sur la photographie de la page 121.
Enfin, nous pouvons voir le Soleil parce qu ’ il n’est pas un trou noir. S ’ il l ’était, il
n’émettrait (pratiquement) pas de lumière.
* La diffusion de l ’air fait que le ciel est également bleu la nuit, comme nous pouvons le démontrer par des
photos à longue pose. (Consultez, par exemple, la Figure 67.) Néanmoins, nos yeux ne sont pas capables de
le percevoir, et les faibles intensités de lumière font qu ’ il nous apparaît comme noir.
Manifestement, chacune de ces conditions s’applique également aux étoiles en géné-

ral. Par exemple, nous pouvons les contempler uniquement parce que le ciel nocturne
est noir. Mais alors, comment expliquer la présence dans le ciel de multiples couleurs ?
Pourquoi les couleurs des étoiles sont-elles différentes ?

Les étoiles sont visibles parce qu ’elles émettent de la lumière visible. Nous avons ren-
contré plusieurs effets importants qui déterminent les couleurs : les températures variées
des étoiles, le décalage Doppler dû à une vitesse relative par rapport à l ’observateur et le
décalage vers le rouge gravitationnel.
Toutes les étoiles ne constituent pas de bonnes approximations de corps noirs, de telle
Page 119 manière que la loi du rayonnement du corps noir ne décrit pas toujours fidèlement leur
couleur. Toutefois, la plupart des étoiles sont des approximations raisonnables de corps
noirs. La température d ’une étoile dépend principalement de sa taille, de sa masse, de
Réf. 200 sa composition et de son âge, comme les astrophysiciens aiment l ’expliquer. Orion re-
présente un excellent exemple de constellation colorée : toutes ses étoiles possèdent une
Page 65 couleur différente. Les photos à longue pose le montrent de façon merveilleuse.
La couleur fondamentale déterminée par la température est modifiée par deux effets.
Le premier, le décalage Doppler vers le rouge z, dépend de la vitesse v relative entre la
Défi 321 pe source et l ’observateur, comme suit
√
z= = −1=
∆λ f S c+v
−1 . (261)
λ fO c−v
De tels décalages jouent un rôle significatif uniquement pour des étoiles visibles éloi-
gnées, et donc pâles, observées au moyen de télescopes. À l ’ œil nu, les décalages Dop-
pler ne peuvent être perçus. Mais ceux-ci peuvent faire en sorte que des astres lointains
brillent dans l ’ infrarouge au lieu du domaine spectral visible. En fait, les plus forts déca-
lages Doppler observés pour des objets lumineux sont supérieurs à 5,0, correspondant à
Défi 322 pe une vitesse de récession de plus de 94 % de la vitesse de la lumière. Remarquez que dans
l ’ Univers le décalage vers le rouge est également relié au facteur d ’échelle R(t) par
R(t 0 )
z=
R(t émission )
−1 . (262)
La lumière émise avec un décalage spectral de 5,0 l ’a donc été lorsque l ’ Univers avait un
sixième de son âge actuel.
L’autre effet qui modifie la couleur, le décalage vers le rouge gravitationnel z g , dépend
de la densité de matière de la source et est donné par
zg = = −1= √
∆λ f S 1
−1 . (263)
λ f0 1 − 2G M
2
c R
Il est généralement beaucoup plus petit que le décalage Doppler. Pouvez-vous le confir-
Défi 323 pe mer ?
Nous ne connaissons aucun autre processus de décalage vers le rouge. De surcroît, de
TA B L E AU 6 La couleur des étoiles.
C l as s e Te mpé r a- E xe mpl e Localisa- Couleur

ture tion
O 30 kK Mintaka δ Orionis bleu-violet
O 31(10) kK Alnitak ζ Orionis bleu-violet

B 22(6) kK Bellatrix γ Orionis bleu
B 26 kK Saiph κ Orionis bleu-blanc
B 12 kK Rigel β Orionis bleu-blanc
B 25 kK Alnilam ε Orionis bleu-blanc
B 17(5) kK Régulus α Leonis bleu-blanc
A 9,9 kK Sirius α Canis Majoris bleu-blanc
A 8,6 kK Megrez δ Ursae Majoris blanc
A 7,6(2) kK Altaïr α Aquilae jaune-blanc
F 7,4(7) kK Canopus α Carinae jaune-blanc
F 6,6 kK Procyon α Canis Minoris jaune-blanc
G 5,8 kK Soleil écliptique jaune
K 3,5(4) kK Aldébaran α Tauri orange
M 2,8(5) kK Bételgeuse α Orionis rouge
D < 80 kK – – quelconque
Remarques : les naines blanches, ou étoiles de classe D, sont des résidus d ’étoiles ayant explosé, avec une
taille de seulement quelques dizaines de kilomètres. Elles ne sont pas toutes blanches, elles peuvent être
jaunes ou rouges. Elles représentent 5 % de toutes les étoiles. Aucune n’est visible à l ’ œil nu. Les
incertitudes dans les derniers chiffres de la température sont indiquées entre parenthèses.
La taille de toutes les autres étoiles est une variable indépendante et est parfois accolée en chiffres romains
à la fin du type spectral. (Sirius est une étoile A1V, Arcturus une étoile K2III.) Des géantes et supergéantes
existent dans toutes les classes allant de O à M.
Pour accueillir les naines brunes, deux nouvelles classes stellaires, L et T, ont été proposées.
Page 240 tels processus contrediraient toutes les propriétés connues de la nature. Mais le problème
de la couleur nous conduit à la question qui suit.
Existe-t-il des étoiles sombres ?

Il se pourrait que certaines étoiles ne soient pas aperçues parce qu ’elles sont sombres.
On pourrait ainsi expliquer la présence de l ’énorme quantité de matière noire relevée
dans les mesures récentes du rayonnement de fond diffus. Cette énigme est d ’un intérêt
majeur et est actuellement âprement débattue. Nous savons que des objets plus massifs
que Jupiter mais moins massifs que le Soleil peuvent exister à des stades pour lesquels
ils émettent une quantité à peine perceptible de lumière. Nous les appelons des naines
brunes. Nous ne savons pas encore très bien actuellement combien d ’objets de cette caté-
gorie peuvent exister. Un grand nombre de « planètes » extrasolaires sont probablement
des naines brunes. Ce problème n’a pas encore trouvé de solution.
Une autre éventualité pour l ’existence d ’astres ténébreux est représentée par les trous
première image EFFET DE LENTILLE première image EFFET TOPOLOGIQUE

GRAVITATIONNELLE
étoile étoile
Terre

galaxie
Terre
deuxième image
deuxième image
F I G U R E 87 Comment une étoile peut conduire à la formation de plusieurs images.
Page 241 noirs. Ceux-ci sont analysés plus en détail ci-dessous.
Tou tes les étoiles sont-elles différentes ? – Lentilles
gravitationnelles
“
Per aspera ad astra*.
”
Sommes-nous certains que la nuit deux étoiles sont réellement distinctes ? La réponse
est non. On a montré récemment que deux « étoiles » étaient en réalité deux images du
même objet. Cela fut relevé en comparant le vacillement lumineux des deux images. On a
découvert que l ’oscillation d ’une des images était exactement identique à l ’autre, décalée
simplement de 423 jours. Ce résultat fut découvert par l ’astrophysicien estonien Jaan
Pelt et son groupe de recherche, pendant l ’observation de deux images de quasars dans
Réf. 201 le système Q0957+561.
Ces deux images sont la conséquence de l ’ effet de lentille gravitationnelle, comme in-
diqué sur la Figure 87. En réalité, une énorme galaxie, beaucoup plus proche de la Terre,
peut être aperçue entre les deux images. Cet effet avait déjà attiré l ’attention d ’ Einstein,
mais il ne pensait pas qu ’ il était observable. Le père légitime de l ’effet de lentille gravita-
Réf. 202 tionnelle est Fritz Zwicky, qui prédit en 1937 que cet effet serait plutôt répandu et facile
à observer si l ’on s’ intéressait à des galaxies situées sur la ligne de visée plutôt qu ’à des
d ’étoiles. Et effectivement, cela s’est révélé être le cas.
De façon intéressante, lorsque le temps de propagation est connu, les astronomes sont
capables de déterminer la taille de l ’ Univers à partir de cette observation. Pouvez-vous
Défi 324 pe imaginer comment ?
En fait, si les deux objets observés sont alignés exactement l ’un derrière l ’autre, celui
qui est le plus éloigné est vu sous la forme d ’un anneau entourant le plus proche. De tels
anneaux ont effectivement été observés, et l ’ image de la galaxie autour d ’une galaxie
centrale située en avant-plan à l ’emplacement de B1938+666, indiquée sur la Figure 88,
en représente l ’un des exemples les plus magnifiques. En 2005, plusieurs cas de lentilles
gravitationnelles engendrées par des étoiles ont également été signalés. Trois exemples
* « Des sentiers ardus jusqu ’aux étoiles. » Une célèbre locution latine. Fréquemment citée de manière incor-
recte par « per ardua at astra ».

F I G U R E 88 L’anneau de Zwicky–Einstein
B1938+666, vu dans le spectre radio (à gauche)
et dans le domaine optique (à droite). (NASA)
F I G U R E 89 Images bleues multiples d’une
galaxie formées par l’amas en jaune
CL0024+1654. (NASA)
encore plus intéressants, où l ’une des deux étoiles possède une planète de masse compa-
rable à la Terre, ont également été observés. Les années à venir conduiront certainement à
de nombreuses observations complémentaires, à l ’aide notamment du programme d ’ob-
servation céleste de l ’ hémisphère Sud qui analyse la luminosité d ’environ 100 millions
d ’étoiles chaque nuit.
En règle générale, les images d ’étoiles proches de nous sont véritablement uniques,
mais pour les étoiles distantes, ce problème est plus épineux. Globalement, pour des
étoiles seules, cette répercussion n’est pas très conséquente. De manière rassurante,
seules quelque 80 images multiples d ’étoiles ont été identifiées jusqu ’à présent. Mais
lorsque des galaxies entières sont observées en même temps sous forme de plusieurs
images distinctes (et pour le moment on en a décelé plusieurs douzaines), nous pour-
rions commencer à nous sentir déconcertés. Dans la situation de l ’amas de galaxies
CL0024+1654, indiqué sur la Figure 89, on aperçoit sept images bleues, minces et allon-
gées de la même galaxie lointaine, autour des galaxies elliptiques jaunes plus proches de
nous.
Si des images multiples peuvent être engendrées par des lentilles gravitationnelles, la
forme de l ’ Univers pourrait également y ajouter son petit grain de sel.
Q uelle est la forme de l ’ Univers ?

Il existe une analogie répandue qui permet d ’échapper à certains des problèmes que

nous venons de soulever. L’ Univers dans son évolution est similaire à la surface d ’une
sphère en expansion permanente : la surface est finie, mais elle ne possède pas de fron-
tières. L’ Univers est tout simplement doté d ’une dimension supplémentaire ; par consé-
quent, son volume est également en accroissement perpétuel et fini, mais sans frontières.
Cette affirmation présume que l ’ Univers possède la même topologie, la même « forme »
que celle d ’une sphère ayant une dimension supplémentaire.
Mais quelle preuve expérimentale permet-elle d ’appuyer cette affirmation ? Il n’y en
Réf. 203 a aucune. Nous ne savons encore rien sur la morphologie de l ’univers. Elle est extrême-
ment ardue à déterminer, simplement à cause de sa taille vertigineuse.
Qu ’est-ce que les expériences nous enseignent ? Dans l ’ Univers local, disons à l ’ inté-
rieur d ’une région de quelques millions d ’années-lumière qui nous entoure, la topologie
est simplement connexe. Mais pour des distances plus grandes, nous ne pouvons prati-
quement rien affirmer. Les recherches sur les sursauts gamma nous informeront peut-
être sur la topologie, puisque ces sursauts se sont produits pour la plupart à l ’aube des
temps*. Peut-être même l ’étude des fluctuations du rayonnement de fond diffus cosmolo-
gique nous en dira-t-elle plus. Toutes ces recherches en sont encore à leurs balbutiements.
Puisque nous en savons peu, nous pouvons nous interroger sur l ’ensemble des ré-
ponses possibles. Comme mentionné ci-dessus, dans le modèle standard de la cosmolo-
gie avec k = 1, l ’espace-temps est généralement considéré comme étant un produit entre
un temps linéaire, ayant la topologie R de la droite réelle, et une sphère S 3 pour l ’espace.
Cela constitue la forme la plus élémentaire possible, correspondant à un Univers sim-
plement connexe. Pour k = 0, la topologie la plus simple pour l ’espace est l ’espace réel
tridimensionnel R3 , et pour k = −1 c ’est une variété hyperbolique H3 .
Page 216 De surcroît, la Figure 82 avait montré que, en fonction de la valeur de la constante cos-
mologique, l ’espace pouvait être fini et délimité, ou infini et sans bords. Selon les calculs
de Friedmann–Lemaître, la simple connexité est ordinairement implicitement présumée,
bien qu ’elle ne soit pas du tout requise.
Il se pourrait bien que l ’espace-temps soit multiplement connexe, comme une version
d ’un tore de dimension supérieure. Il pourrait également y avoir des topologies encore
plus complexes**. Dans ces circonstances, il se pourrait même que le véritable nombre
de galaxies soit beaucoup plus petit que celui que l ’on observe. Cette situation correspon-
drait à un kaléidoscope, où quelques perles produisent un grand nombre d ’ images par
réflexion. De plus, des surprises topologiques pourraient aussi être camouflées derrière
l ’ horizon.
En réalité, l ’étendue des possibilités n’est pas limitée aux cas de connexité simple et
* Cette histoire est contée du point de vue mathématique par B ob Osserman, Poetry of the Universe, 1996.
** La métrique de Friedmann–Lemaître est également valable pour n’ importe quel quotient des topologies
simples mentionnées ci-dessus par un groupe d ’ isométries, engendrant des espaces diédraux et des espaces
lenticulaires dans le cas où k = 1, des tores dans le cas où k = 0, et n’ importe quelle variété hyperbolique
Réf. 204 dans le cas où k = −1.
multiple suggérés par la physique classique. Un écueil supplémentaire et complètement

inattendu surgira dans la dernière partie de notre promenade, quand la théorie quantique
Page ?? sera intégrée à nos investigations.
Q u ’ y a-t-il derrière l ’ horizon ?

“
L’ Univers est un lieu gigantesque, peut-être le
plus grand.
Réf. 205
Kilgore Trout, Venus on the Half Shell.
L’ horizon est une entité compliquée. En fait, tous les modèles cosmologiques
montrent qu ’ il s’éloigne hâtivement de nous. Un examen minutieux révèle que pour un
”
Défi 325 pe Univers dominé par la matière l ’ horizon s’éloigne de nous à une vitesse
v horizon = 3c . (264)
C ’est un merveilleux résultat, n’est-ce pas ? Évidemment, puisque l ’ horizon ne trans-

porte aucun signal, ce n’est pas en contradiction avec la relativité. Mais qu ’y a-t-il der-
rière l ’ horizon ?
Si l ’ Univers est ouvert ou marginal (juste à la limite), la matière que nous voyons la
nuit est identifiée par la relativité générale, appliquée de manière directe, comme repré-
sentant une portion – littéralement – infiniment petite de toute la matière qui existe. En
fait, un Univers ouvert ou marginal implique qu ’ il y a une quantité infinie de matière
Défi 326 pe derrière l ’ horizon. Une telle affirmation est-elle réfutable ?
Dans un Univers fermé, on conjecture toujours que de la matière se trouve derrière
l ’ horizon, mais dans ce cas cela n’en concerne qu ’une quantité finie.
En bref, le modèle standard de la cosmologie établit qu ’ il y a une grande quantité de
matière située derrière l ’ horizon. Comme la majorité des cosmologistes, nous mettons
ce problème de côté pour l ’ instant et nous le ressortirons plus tard au cours de notre pro-
menade. Une description précise de ce sujet est apportée par l ’ hypothèse de l ’ inflation.
Pourquoi y a-t-il des étoiles dans tous les recoins du ciel ? –

L’ inflation
Que furent les conditions initiales de la matière ? La matière était distribuée selon
une densité constante dans l ’espace se dilatant à grande vitesse. Comment cela a-t-il pu
se produire ? La personne qui a exploré cette question de la manière la plus approfondie
est Alan Guth. Jusque-là, nous avons fondé nos études du ciel nocturne, de la cosmologie,
sur deux principes observationnels : l ’ isotropie et l ’ homogénéité de l ’ Univers. De plus,
l ’ Univers est (presque) plat. L’ inflation représente une percée pour tenter de comprendre
l ’origine de ces observations. L’uniformité observée en ce moment est étrange : l ’aspect
plat est une solution instable des équations de Friedmann. Puisque l ’ Univers est toujours
plat après quatorze milliards d ’années, il devait être encore plus plat près du Big Bang.
Réf. 206 Guth argumenta que cette homogénéité, cette isotropie et cette platitude pouvaient
précisément apparaître si, au cours de la première seconde de son histoire, l ’ Univers avait
traversé une brève phase d ’accroissement exponentiel de sa taille, qu ’ il appela inflation.
Cette augmentation exponentielle de taille, d ’un facteur d ’environ 1026 , aurait homo-
généisé l ’ Univers. Cette évolution extrêmement courte aurait été pilotée par un champ
encore inconnu, le champ de l ’ inflation. L’ inflation semble également décrire correcte-

ment la croissance des inhomogénéités présentes dans le rayonnement de fond diffus
cosmologique.
Mais voilà, jusqu ’à présent, l ’ inflation pose autant de questions qu ’elle n’en résout.
Vingt ans après sa soumission initiale, Guth reste lui-même sceptique sur le fait de savoir

si elle constitue une véritable avancée conceptuelle. Le dernier mot de l ’ histoire n’a pas
encore été prononcé.
Pourquoi y a-t-il si peu d ’ étoiles ? – Le contenu en énergie et en

entropie de l ’ Univers
“
Die Energie der Welt ist constant. Die Entropie
der Welt strebt einem Maximum zu*.
Rudolph Clausius
La densité de matière–énergie de l ’ Univers est proche de la valeur critique. L’ inflation,

décrite dans la section précédente, constitue l ’explication privilégiée pour comprendre
”
cette correspondance. Cela entraîne que le nombre réel d ’étoiles est déterminé par le
comportement de la matière aux températures extrêmement élevées, et par la densité
d ’énergie émise à plus basse température. Le rapport précis est toujours un sujet de re-
cherches intenses. Mais ce problème soulève également une question en rapport avec
la citation ci-dessus. L’ initiateur du mot « entropie », Rudolph Clausius, avait-il raison
lorsqu ’ il formula cette célèbre déclaration ? Portons notre regard sur ce que la relativité
générale dit concernant tout cela.
En relativité générale, une énergie totale peut effectivement être définie, contrairement
à l ’énergie localisée, qui ne le peut pas. L’énergie totale de toute la matière et du rayon-
nement est en réalité une constante du mouvement. Elle est donnée par la somme des
contributions baryonique, lumineuse et celle relative aux neutrinos :
c 2 M0 c2
E = Eb + E γ + E ν ≈ + ... + ... ≈ + ... . (265)
T0 G
Cette valeur est constante uniquement lorsqu ’elle est intégrée sur l ’ Univers tout entier,
et non quand on prend seulement en considération l ’ intérieur de l ’ horizon**.
De nombreuses personnes y ajoutent aussi un terme d ’énergie gravitationnelle. Si
nous essayons d ’en faire autant, nous sommes obligés de le définir de telle manière qu ’ il
soit exactement égal à la valeur négative du terme précédent. Cette valeur pour l ’énergie
gravitationnelle conduit à la conjecture populaire qui stipule que l ’énergie totale de l ’ Uni-
vers doit être nulle. Autrement dit, le nombre d ’étoiles pourrait également être limité par
cette relation.
Cependant, la discussion sur l ’ entropie laisse entrevoir une question subtile derrière
toutes ces formulations apparemment évidentes. Beaucoup de gens ont tenté d ’attribuer
Réf. 207 des valeurs à l ’ entropie de l ’ Univers. Certains ont vérifié si la relation
* « L’ énergie de l ’ Univers est constante. Son entropie tend vers un maximum. »

** Excepté pour le cas où la pression peut être négligée.
kc 3 A kG
S= = 4πM 2 , (266)
Għ 4 ħc
Défi 327 pe qui est correcte pour les trous noirs, s’applique également à l ’ Univers. Cela présuppose
que toute la matière et tout le rayonnement de l ’ Univers peuvent être décrits par une
certaine température moyenne. Ils avancent l ’ idée que l ’entropie de l ’ Univers est éton-

namment faible, de telle façon qu ’ il doit y avoir un certain principe d ’arrangement, dissi-
mulé derrière elle. D’autres spéculent même sur le fait de savoir d ’où provient l ’entropie
de l ’ Univers, et si l ’ horizon est la source de celle-ci.
Mais soyons prudents. Clausius postule, sans l ’ombre d ’un doute, que l ’ Univers est
un système fermé, et en déduit donc l ’affirmation citée ci-dessus. Vérifions cette supposi-
tion. L’entropie décrit l ’énergie maximale qui peut être extraite d ’un objet chaud. Suite
à la découverte de la structure particulaire de la matière, il devint clair que l ’entropie est
également déterminée par le nombre d ’états microscopiques qui peuvent composer un
état macroscopique particulier. Mais ni l ’une ni l ’autre de ces définitions n’est logique
si elle est appliquée à l ’ Univers dans son ensemble. Il n’existe aucune manière d ’extraire
de l ’énergie de celui-ci, et aucune manière de dire combien d ’états microscopiques de
l ’ Univers ressembleraient à son état macroscopique.
L’explication fondamentale est l ’ impossibilité d ’appliquer le concept d ’ état à l ’ Uni-
Page 25 vers. Nous avons tout d ’abord défini l ’état comme étant toutes ces propriétés d ’un sys-
tème qui nous permettent de le distinguer des autres systèmes ayant les mêmes propriétés
intrinsèques, ou qui diffèrent d ’un observateur à un autre. Vous devriez pouvoir vérifier,
pour votre culture personnelle, que pour l ’ Univers de telles propriétés qui déterminent
Défi 328 s un état n’existent nullement.
Nous pouvons parler de l ’état de l ’espace-temps, et nous pouvons définir l ’état de
la matière et de l ’énergie. Mais nous ne pouvons pas évoquer l ’état de l ’ Univers, parce
que ce concept ne possède aucun sens. S ’ il n’y a pas d ’état pour l ’ Univers, il n’y a pas
d ’entropie qui lui soit associée. Et il n’y a pas non plus de valeur pour l ’énergie. C ’est en
fait l ’unique conclusion correcte que nous puissions tirer concernant cette question.
Pourquoi la matière est-elle amassée en grumeaux ?

Nous pouvons contempler les étoiles parce que l ’ Univers est constitué principalement
d ’espace vide, autrement dit, parce que les étoiles sont petites et distantes. Mais pourquoi
est-ce ainsi ? L’expansion cosmique fut déduite et évaluée en utilisant une distribution
homogène de la masse. Alors pourquoi la matière s’est-elle agglomérée ?
Il se révèle que des distributions homogènes de masse sont instables. Si la densité fluc-
tue pour une raison quelconque, des régions de densité plus élevée attireront plus de ma-
tière que les régions de densité moindre. La gravitation entraîne donc que les régions de
plus forte densité voient leur densité augmenter, et que les régions de plus faible densité
se vident petit à petit de leur contenu. Pouvez-vous confirmer cette instabilité, simple-
Défi 329 pe ment en considérant un espace empli de poussière et la formule a = GM/r 2 ? En résumé,
même une minuscule fluctuation quantique de la densité engendrera, après un certain
laps de temps, des grumeaux de matière.
Mais comment les premières inhomogénéités se sont-elles formées ? C ’est l ’un des
grands problèmes de la physique moderne et de l ’astrophysique, pour lequel il n’y a
pas encore de réponse unanimement acceptée. Plusieurs expériences avancées sont en

train de mesurer les variations du spectre de rayonnement du fond diffus cosmologique
par rapport à la position angulaire et à la polarisation. Ces résultats, qui seront dispo-
nibles dans les années à venir, pourraient fournir des renseignements sur la manière de
Réf. 208 résoudre ce problème.

Pourquoi les étoiles sont-elles si petites par rapport à
l ’ Univers ?
Étant donné que la densité de matière est proche de la valeur critique, la taille des
étoiles, qui contiennent la plus grande partie de la matière, est une conséquence de l ’ in-
Page 260 teraction entre les particules élémentaires qui les constituent. Nous montrerons plus loin
que la relativité générale (seule) ne peut pas expliquer une taille quelconque observée
dans la nature. La discussion de ce problème constitue un thème de la théorie quantique.
Les étoiles et les galaxies sont-elles en train de s ’ éloigner les

unes des au tres ou est-ce l ’ Univers qui se dilate ?
Pouvons-nous faire une distinction entre l ’expansion de l ’espace et l ’éloignement des
galaxies ? Oui, nous le pouvons. Pouvez-vous découvrir un argument ou imaginer une
Défi 330 pe expérience permettant de faire cette distinction ?
L’expansion de l ’ Univers ne s’applique pas à l ’espace situé sur Terre. Cette expansion
est calculée pour une distribution homogène et isotrope de la masse. La matière n’est ni
homogène ni isotrope au sein des galaxies, l ’approximation du principe cosmologique
n’est donc pas valable ici-bas. On a même vérifié expérimentalement, par l ’étude des
Réf. 209 spectres atomiques provenant de divers endroits du Système solaire, qu ’ il n’y a pas de
récession de Hubble dans notre voisinage immédiat.
Y a-t-il plus d ’ un Univers ?

L’existence de « plusieurs » Univers pourrait constituer une alternative lorsque nous
étudions la question de savoir si nous observons toutes les étoiles. Mais vous pouvez
vérifier qu ’aucune définition de l ’ « Univers » donnée ci-dessus, qu ’elle soit « toute la
matière–énergie » ou « toute la matière–énergie et tout l ’espace-temps », ne nous permet
Défi 331 pe de répondre positivement à cette question.
Il n’existe aucun procédé pour définir une pluralité concernant l ’ Univers : soit l ’ Uni-
vers est le tout, et il est alors unique, soit il n’est pas le tout, et alors il n’est pas l ’ Univers.
Page ?? Nous découvrirons que la théorie quantique ne fera pas varier cette conclusion, malgré
les rumeurs incessantes qui affirment le contraire.
Quiconque épilogue sur des Univers multiples tient un discours inintelligible.
Pourquoi les étoiles sont-elles figées ? – Bras, étoiles et principe

de Mach
“
Si les astres étaient immobiles, le temps et
l ’espace n’existeraient plus.
* Maurice Maeterlinck (1862–1949) est un célèbre dramaturge belge.

Maurice Maeterlinck*
”
Les deux bras que possèdent les hommes ont joué un rôle crucial dans les discussions
sur le mouvement, et particulièrement dans le développement de la relativité. En obser-
vant le firmament la nuit, nous pouvons formuler une observation élémentaire, si nous
relâchons nos bras. Lorsque nous sommes immobiles, nos bras restent le long du corps.

Ensuite, nous tournons rapidement sur nous-mêmes. Nos bras se soulèvent. En fait, ils
le font à chaque fois que nous voyons les étoiles tourner. Certaines personnes ont passé
une grande partie de leur vie à étudier ce phénomène. Pourquoi ?
Réf. 210 Les étoiles et les bras démontrent que le mouvement est relatif, et non pas absolu*.
Cette remarque inspire deux formulations possibles de ce qu ’ Einstein dénommait le prin-
cipe de Mach.
— Les référentiels inertiels sont déterminés par le reste de la matière contenue dans l ’ Uni-
vers.
Cette idée est en vérité comprise dans la relativité générale. Il n’y a aucune interrogation
à ce sujet.
— L’ inertie est due à l ’ interaction avec le reste de l ’ Univers.
Cette variante est plus controversée. Nombreux sont ceux qui l ’ interprètent comme vou-
lant indiquer que la masse d ’un objet dépend de la distribution de masse présente dans
le reste de l ’ Univers. Cela signifierait que nous avons besoin d ’examiner si la masse est
anisotrope lorsqu ’un énorme corps est situé à proximité. Bien évidemment, cette ques-
tion a été étudiée expérimentalement : nous avons simplement besoin d ’évaluer si une
particule possède la même valeur de masse lorsqu ’elle est accélérée dans différentes direc-
tions. Il n’est pas surprenant qu ’aucune anisotropie de ce type n’ait été décelée jusqu ’à
Réf. 211 un très haut niveau de précision. Par conséquent, beaucoup en ont conclu que le principe
de Mach est faux, alors que d ’autres en ont conclu, non sans difficulté, que ce sujet n’est
Réf. 212 pas encore définitivement tranché.
Mais en réalité, il est aisé de voir que Mach ne pouvait pas sous-entendre une variation
de masse : nous devrions alors également conclure que la masse est dépendante de la
distance, même en physique galiléenne. Mais nous savons que ce n’est pas vrai, personne
Défi 332 pe en son for intérieur n’a eu un quelconque doute là-dessus.
Toute cette discussion est due à un malentendu sur ce que nous entendons par « iner-
tie » : nous pouvons l ’ interpréter comme étant une masse inertielle ou comme étant un
mouvement inertiel (comme les bras en mouvement sous les étoiles). Il n’existe aucune
preuve flagrante indiquant que Mach croyait soit à la masse anisotrope, soit à la masse
dépendante de la distance. Toute cette discussion constitue un exemple d ’ individus an-
nonçant fièrement ne pas faire une erreur, qui est abusivement attribuée à une autre per-
sonne présumée plus sotte**.
* Le raisonnement original de Newton, et de nombreuses autres personnalités, faisait appel à un seau et à la

surface de l ’eau à l ’ intérieur, mais les arguments sont les mêmes.
** Pour citer un autre exemple, nous avons généralement appris à l ’école que Christophe Colomb fut tourné
en dérision parce qu ’ il pensait que la Terre était ronde. Mais il ne fut pas du tout moqué pour cette raison. Il
y avait simplement des désaccords sur la taille de la Terre, et en fait il s’avéra que ses critiques avaient raison,
et qu ’ il s’était trompé dans son estimation, beaucoup trop petite, du rayon terrestre.
Manifestement, les effets de l ’ inertie doivent dépendre de la distribution de masse

présente dans le reste de l ’ Univers. Le principe de Mach est correct. Si Mach a commis
certaines bévues dans sa vie (notamment son opposition à l ’ idée des atomes qu ’ il soutint,
malgré l ’évidence expérimentale, jusqu ’à sa mort), son principe n’en est pas une. Mal-
heureusement, il faut s’attendre à ce que ce mythe concernant l ’ inexactitude du principe

Réf. 212 de Mach persiste, tout comme celui de la dérision concernant Christophe Colomb.
En fait, le principe de Mach possède une importance inestimable. Par exemple, consi-
dérez notre galaxie. Les expériences montrent qu ’elle est aplatie et en rotation. Le Soleil
tourne autour de son centre en 250 millions d ’années environ. En réalité, si le Soleil ne
tournait pas autour du centre galactique, ce dernier nous engloutirait en à peine 20 mil-
lions d ’années. Comme le fit remarquer le physicien Dennis Sciama, à partir de la forme
de notre galaxie nous pouvons esquisser une conclusion profonde : il doit y avoir une
quantité considérable de matière autre que celle que nous voyons, c ’est-à-dire un nombre
gigantesque d ’autres étoiles et galaxies dans l ’ Univers. Pouvez-vous appuyer son raison-
Défi 333 s nement ?
Au repos dans l ’ Univers
Il n’existe aucun référentiel de prédilection en relativité restreinte, aucun espace ab-
solu. En est-il de même dans l ’ Univers réel ? Non, il existe un référentiel privilégié. En
fait, dans la cosmologie standard du Big Bang, la galaxie moyenne est au repos. Bien que
nous parlions du Big Bang, n’ importe quelle galaxie moyenne peut proclamer à juste titre
qu ’elle est au repos. Chacune d ’entre elles est en chute libre. La meilleure concrétisation
de ce référentiel privilégié est fournie par le rayonnement du fond diffus.
Autrement dit, le ciel nocturne est noir parce que nous nous déplaçons avec une vi-
tesse pratiquement nulle à travers le rayonnement de fond diffus. Si la Terre avait une
vitesse relative conséquente par rapport à ce milieu, le ciel paraîtrait brillant même la
nuit grâce à l ’effet Doppler agissant sur ce fond diffus. En d ’autres termes, le fait que le
ciel nocturne soit sombre dans toutes les directions est une conséquence de notre lente
progression par rapport au rayonnement de fond diffus.
Ce mouvement « lent » possède une vitesse de 368 km/s. (C ’est la valeur attribuée au
mouvement du Soleil, mais il y a des variantes dues à l ’ajout du mouvement de la Terre.)
Cette valeur est énorme par rapport à celles de notre vie quotidienne, mais ridicule com-
parée à la vitesse de la lumière. Des études plus approfondies ne contredisent pas cette
conclusion. Même le mouvement de la Voie lactée et celui du Groupe local par rapport
au rayonnement de fond diffus cosmologique sont de l ’ordre de 600 km/s, ce qui est tou-
jours bien en deçà de la vitesse de la lumière. Les raisons pour lesquelles la Galaxie et
le Système solaire se déplacent à ces vitesses « faibles » à travers l ’ Univers ont déjà été
Défi 334 pe étudiées dans notre excursion. Pouvez-vous en faire une synthèse ?
Par ailleurs, le terme « Univers » est-il approprié ? Est-ce que l ’ Univers tourne, comme
l ’ indique son étymologie ? Si par Univers nous entendons l ’ intégralité du milieu qui
baigne le cosmos, la question n’a pas de sens, parce que la rotation n’est définie que
pour des corps, c ’est-à-dire pour des parties de l ’ Univers. En revanche, si par Univers
nous entendons seulement « toute la matière », la réponse peut être déterminée par des
Réf. 213 expériences. Il apparaît que cette rotation, si elle existe, est extrêmement petite : des rele-
vés du rayonnement de fond diffus cosmologique montrent qu ’au cours de sa durée de
vie l ’ Univers ne peut pas avoir tourné de plus d ’un centième de millionième de tour !
En bref, « Univers » est un terme inapproprié.
L a lumière at tire-t-elle la lumière ?

Une autre raison pour laquelle nous pouvons admirer les étoiles est que leur lumière

nous parvient. Mais pourquoi des rayons lumineux qui voyagent ne sont-ils pas pertur-
bés par l ’action gravitationnelle de tous les autres rayons ? Nous savons que la lumière
est de l ’énergie et que toute énergie en attire d ’autres par le truchement de la gravita-
tion. En particulier, la lumière est de l ’énergie électromagnétique, et des expériences ont
montré que toute énergie électromagnétique est soumise à la gravitation. Deux faisceaux
lumineux qui avancent en formant un angle minuscule entre eux peuvent-ils converger
à cause de leur attraction gravitationnelle mutuelle ? Cela pourrait avoir des effets mesu-
rables et peut-être intéressants sur la lumière observée, provenant des astres lointains.
La manière la plus simple d ’aborder ce problème consiste à étudier la question sui-
vante : des faisceaux lumineux parallèles restent-ils parallèles ? De manière captivante,
un calcul précis indique que cette gravitation réciproque n’altère pas la trajectoire de
Réf. 214 deux rayons lumineux parallèles, même si elle altère vraiment la trajectoire de rayons lu-
mineux antiparallèles*. La raison est que, pour des rayons parallèles se déplaçant à la vi-
tesse de la lumière, la composante gravitomagnétique annule exactement la composante
Défi 335 pe gravitoélectrique.
Puisque la lumière n’attire pas la lumière qui se déplace avec elle, elle n’est pas déran-
gée par sa gravité durant les millions d ’années qu ’elle met pour parvenir jusqu ’à nous
depuis les astres lointains. La lumière n’attire ni ne perturbe la lumière se propageant à
côté d ’elle. Jusqu ’à présent, tous les effets connus de la mécanique quantique ont égale-
ment confirmé cette conclusion.
L a lumière se désintègre-t-elle ?
Dans la section sur la théorie quantique, nous rencontrerons des expériences démon-
trant que la lumière est constituée de particules. Il est plausible que ces photons puissent
se désintégrer en d ’autres particules, encore non découvertes, ou en photons de plus basse
fréquence. Si cela se produisait réellement, nous ne pourrions pas observer les étoiles
lointaines.
Mais toute désintégration signifierait aussi que la lumière change de direction (pour-
Défi 336 pe quoi ?) et donc qu ’elle engendre des images voilées des objets distants. Toutefois, nous
n’observons aucun flou. En outre, le physicien soviétique Matvey Bronstein mit en évi-
dence dans les années 1930 le fait que tout processus de désintégration de la lumière
Réf. 215 engendrerait une décroissance plus importante pour les basses fréquences. Lorsque le
décalage des ondes radio a été vérifié, en particulier celui de la fameuse raie de 21 cm, et
qu ’ il a été comparé au décalage de la lumière issue de la même source, aucune différence
n’a été décelée pour chacune des galaxies examinées.
Certains ont même vérifié que la constante de structure fine de Sommerfeld, qui dé-
Réf. 216 termine la couleur des objets, ne varie pas au cours du temps. Hormis une prétention
erronée datant de ces dernières années, aucun changement n’a pu être détecté sur des
* Des rayons antiparallèles sont des rayons parallèles voyageant dans des directions opposées.
milliards d ’années.
Bien entendu, au lieu de se désintégrer, la lumière pourrait également être frappée par
une certaine entité encore inconnue. Mais cette éventualité est exclue pour les mêmes
Défi 337 pe raisons. Ces investigations montrent également qu ’ il n’existe aucun mécanisme de dé-
calage vers le rouge supplémentaire dans la nature, mis à part les décalages Doppler et

Page 228 gravitationnel.
L’observation des étoiles la nuit a permis en réalité de lever le voile sur de nombreuses
propriétés de la nature. Nous continuons dorénavant notre ascension montagneuse avec
un sujet plus général, plus proche de notre quête des principes fondamentaux qui ré-
gissent le mouvement.
Chapitre 6
T ROU S NOI R S – L’ ÉT E R N E L L E

CHUTE
“
Qui iacet in terra non habet unde cadat*.
Pourquoi étudier les trous noirs ?

Alanus de Insulis
”
Les trous noirs sont les phénomènes gravitationnels les plus extrêmes. Ils atteignent
la limite de la nature concernant la longueur divisée par la masse. Ils produisent la valeur
de la force la plus élevée possible dans la nature ; par conséquent, ils engendrent de fortes
courbures de l ’espace-temps. Ainsi, les trous noirs ne peuvent pas être étudiés sans l ’aide
de la relativité générale. De surcroît, leur étude constitue un cheminement essentiel vers
l ’unification et la description définitive du mouvement.
« Trou noir » est un raccourci pour dire « objet dont l ’effondrement gravitationnel est
Réf. 109 achevé ». Pendant de nombreuses années, nous n’avons pas vraiment su s’ ils existaient
ou non. Mais les données expérimentales disponibles ont maintenant conduit la plupart
des spécialistes à conclure qu ’un trou noir est logé au centre de la majorité des galaxies, y
Réf. 217 compris la nôtre. L’existence des trous noirs est également suspectée au cœur des quasars
et des sursauts gamma. Il semble que l ’évolution des galaxies et celle des trous noirs
soient fortement corrélées. De plus, une demi-douzaine de trous noirs plus petits ont été
identifiés un peu partout dans notre galaxie. Pour ces raisons et beaucoup d ’autres, les
trous noirs, les systèmes les plus impressionnants, les plus puissants et les plus relativistes
Réf. 218 de la nature, représentent un sujet d ’étude fascinant.
Horizons
La vitesse de libération est la vitesse nécessaire pour propulser un projectile de telle
manière qu ’ il ne retombe jamais. Elle dépend de la masse et de la taille de la planète
depuis laquelle ce lancer se produit. Que se passe-t-il lorsqu ’une planète ou une étoile
possède une vitesse de libération supérieure à la vitesse c de la lumière ? Ce type d ’objet
fut tout d ’abord imaginé par le géologue britannique John Michell en 1784, et de manière
Réf. 219 indépendante par le mathématicien français Pierre Laplace en 1795, bien longtemps avant
que la relativité générale ne fût développée. Michell et Laplace se rendirent compte de
quelque chose de fondamental : même si cet objet ayant une vitesse de libération si élevée
était une étoile chaude, il nous apparaîtrait comme étant parfaitement noir. Cet objet
empêcherait toute lumière de le quitter. De plus, il engloutirait toute la lumière provenant
* « Celui qui est debout sur le sol ne peut tomber plus bas. » Le nom original de l ’auteur est Alain de Lille
(v. 1128–1203).
242 6 trous noirs – l ’ éternelle chute
Réf. 109 de derrière. En 1967, John Wheeler* inventa l ’expression, dorénavant consacrée, de trou
noir.
Un court calcul suffit pour démontrer que la lumière ne peut pas s’échapper d ’un
corps de masse M, à chaque fois que le rayon est plus petit qu ’une valeur critique donnée
Défi 338 pe par
RS = 2
2GM

(267)
c
appelée le rayon de Schwarzschild. Cette formule est valide à la fois pour la gravitation
universelle et pour la relativité générale, à condition qu ’en relativité générale nous consi-
dérions que le rayon est équivalent à la circonférence divisée par 2π. Un tel corps atteint
la valeur limite concernant le rapport de la longueur par la masse dans la nature. Pour
cette raison et pour d ’autres qui seront données sous peu, nous appellerons également
R S la taille du trou noir de masse M. (Mais remarquez qu ’ il ne représente que la moitié
du diamètre. De plus, le mot « taille » doit être pris avec des pincettes.) En principe, il
est possible d ’ imaginer un objet ayant un rapport longueur sur masse plus petit, mais
personne n’en a encore observé un. En fait, nous découvrirons qu ’ il n’existe aucune fa-
çon d ’observer un objet plus petit que le rayon de Schwarzschild, de la même manière
qu ’un objet se déplaçant plus vite que la lumière ne peut être observé. Cependant, nous
pouvons observer des trous noirs (indirectement, bien sûr [N.d.T.]) – le cas limite – de
la même manière que nous pouvons apercevoir les entités se déplaçant à la vitesse de la
lumière.
Lorsqu ’une masse s’approche du rayon critique R S , deux choses se produisent. Pre-
mièrement, l ’accélération propre locale pour des masses ponctuelles (imaginaires) aug-
mente à l ’ infini. Pour des objets réalistes de taille finie, le trou noir exerce la force la plus
forte possible qui soit dans la nature. Quelque chose qui tombe dans un trou noir ne peut
plus en être retiré. Un trou noir engloutit donc toute la matière qui chute dedans. Il agit
comme un aspirateur cosmique.
À la surface d ’un trou noir, le facteur de décalage vers le rouge pour un observateur
éloigné augmente également à l ’ infini. Le rapport entre ces deux quantités est appelé la
Défi 339 pe gravité de surface d ’un trou noir. Il est donné par
c4 c2
дsurf = = =
GM
. (268)
R S2 4GM 2R S
Un trou noir ne permet donc pas à la lumière de s’échapper.

Une surface qui atteint la force limite et un décalage vers le rouge infini rend impos-
sible l ’envoi de lumière, de matière, d ’énergie ou de signaux de n’ importe quel type vers
le monde extérieur. Un trou noir est donc entouré par un horizon. Nous savons qu ’un
horizon est une surface limite. En réalité, un horizon est une frontière, pour deux raisons.
Premièrement, un horizon est une limite pour les communications : personne ne peut
échanger des informations à travers celui-ci. Deuxièmement, un horizon est une surface
* John Archibald Wheeler (1911–) est un physicien américain, un spécialiste renommé de la relativité géné-
rale et l ’auteur de plusieurs ouvrages extraordinaires, dont le ravissant John A. Wheeler, A Journey into
Gravity and Spacetime, Scientific American Library & Freeman, 1990, dans lequel il expose avec passion la
relativité générale en détail, sans faire appel aux mathématiques.
trous noirs – l ’ éternelle chute 243
horizon des
événements

F I G U R E 90 Les cônes de lumière situés dans le plan
équatorial autour d’un trou noir statique, vus du dessus.
de force et de puissance maximales. Ces propriétés sont suffisantes pour satisfaire toutes
les questions concernant les effets dus aux horizons. Par exemple : que se passe-t-il lors-
Défi 340 pe qu ’un faisceau lumineux est envoyé vers le haut depuis l ’ horizon ? Et d ’une position
située légèrement au-dessus de l ’ horizon ?
Les trous noirs, considérés comme étant des objets astronomiques, sont donc diffé-
rents des planètes. Pendant la formation des planètes, la matière s’amoncelle en gru-
meaux, et tant qu ’elle ne peut pas être comprimée davantage un équilibre est trouvé,
lequel détermine le rayon de la planète. C ’est le même mécanisme qui se produit lors-
qu ’une pierre est jetée vers la Terre : elle cesse de chuter lorsqu ’elle frappe le sol. Un
« sol » est formé à chaque fois que de la matière heurte une autre matière. Dans le cas
d ’un trou noir, il n’y a pas de sol, toutes les choses continuent de chuter. C ’est pourquoi,
en langue russe, les trous noirs sont communément appelés des collapsars*.
Cette chute perpétuelle se produit lorsque la concentration de matière est si impor-
tante qu ’elle surpasse toutes les interactions qui font que la matière est impénétrable dans
Réf. 220 la vie courante. En 1939, Robert Oppenheimer** et Hartland Snyder ont montré qu ’en
théorie un trou noir se forme à chaque fois qu ’une étoile de masse suffisante cesse de
brûler. Lorsqu ’une étoile suffisamment massive s’éteint, les interactions qui façonnent
son « sol » disparaissent, et toutes les choses continuent de chuter ad vitam aeternam.
Un trou noir est de la matière en chute libre permanente. Néanmoins, son rayon pour
un observateur extérieur demeure constant ! Mais ce n’est pas tout. À cause de cette chute
libre perpétuelle, les trous noirs représentent le seul état de la matière qui soit en équilibre
thermodynamique ! En un certain sens, les sols et tous les autres états quotidiens de la
matière sont métastables*** : ces structures ne sont pas aussi stables que les trous noirs.
La propriété caractéristique d ’un trou noir est donc son horizon. La première fois
* C ’est une abréviation de l ’expression anglaise « collapsed star » ou « étoile effondrée ». [N.d.T.]
** Robert Oppenheimer (1904–1967) est un important physicien américain. Il peut être désigné comme le
père de la physique théorique aux États-Unis. Il travailla sur la théorie quantique et la physique atomique. Il
prit alors la tête du groupe qui développa la bombe nucléaire durant la Seconde Guerre mondiale. Il fut égale-
ment la plus éminente victime (innocente) de l ’une des plus grandes « chasses aux sorcières » jamais organi-
sées dans son propre pays. Consultez aussi le site books.nap.edu/openbook.php?record_id=5737&page=175.
*** C ’est-à-dire qu ’ ils sont cinétiquement stables mais pas thermodynamiquement. [N.d.T.]
que nous avons rencontré les horizons, ce fut en relativité restreinte, dans la section sur
Page 84 les observateurs accélérés. Les horizons dus à la gravitation sont analogues au regard de
toutes leurs propriétés ; la section sur la force et la puissance maximales en a fourni une
première impression. L’unique différence que nous avons relevée est due à l ’omission
de la gravitation en relativité restreinte. Par conséquent, les horizons dans la nature ne

peuvent pas être plats, contrairement à ce qui est suggéré par les remarques des observa-
teurs ponctuels imaginaires supposés exister en relativité restreinte.
Le principe de la force maximale et les équations du champ impliquent tous les deux
que l ’espace-temps situé autour d ’une masse symétrique par rotation (donc qui n’est pas
Page 132 en rotation) et électriquement neutre est décrit par
dr 2
di 2 = (1 − )dt − r 2 dφ2 /c 2 .
2GM 2
− (269)
rc 2 2G M
1 − rc 2
C ’est la métrique de Schwarzschild. Comme mentionné ci-dessus, r est la circonférence

divisée par 2π, t est le temps mesuré à l ’ infini. Jamais un observateur extérieur ne recevra
un signal quelconque émis depuis un rayon de valeur r = 2GM/c 2 ou inférieure. En fait,
puisque le temps propre i d ’un observateur situé au rayon r est relié au temps t d ’un
observateur situé à l ’ infini via
√
di = 1 −
2GM
dt , (270)
rc 2
nous en déduisons qu ’un observateur situé sur l ’ horizon devrait avoir un temps propre
évanescent. Autrement dit, à l ’ horizon le décalage vers le rouge est infini. (En fait, la
surface de décalage vers le rouge infini et l ’ horizon coïncident uniquement pour des
trous noirs statiques. Pour des trous noirs en rotation, les deux surfaces sont distinctes.)
Tout ce qui se passe sur l ’ horizon progresse avec une lenteur infinie, comme le remarque
un observateur éloigné. En d ’autres termes, pour un observateur distant qui examine ce
qui se passe sur l ’ horizon lui-même, absolument rien ne se produit jamais.
De la même façon que des observateurs ne peuvent pas atteindre la vitesse de la lu-
mière, ceux-ci ne peuvent pas parvenir à un horizon. Pour un deuxième observateur, la
seule chose qui puisse se produire est que le premier se déplace presque aussi vite que la
lumière. De la même manière, pour un deuxième observateur, la seule chose qui puisse
se produire est que le premier ait presque atteint l ’ horizon. De surcroît, un voyageur ne
peut pas savoir de combien il se rapproche de la vitesse de la lumière pour un autre, et
ressent la vitesse de la lumière comme étant inaccessible. De la même manière, un voya-
geur (dans un vaste trou noir) ne peut pas avoir une idée de combien il est proche d ’un
horizon et imagine que ce dernier est inaccessible.
En relativité générale, on prédit que les horizons, quels que soient leurs types, sont
noirs. Puisque la lumière ne peut s’en échapper, les horizons classiques sont des sur-
faces parfaitement sombres. En fait, les horizons sont les entités les plus ténébreuses qui
puissent être imaginées : rien dans la nature n’est plus sombre. Néanmoins, nous décou-
vrirons plus tard que les horizons physiques ne sont pas complètement noirs.

paramètre
d'impact
F I G U R E 91 Mouvements d’objets non chargés tournant autour d’un trou noir statique – pour différents
paramètres d’impact et vitesses initiales.
Orbites
Puisque les trous noirs courbent vigoureusement l ’espace-temps, un corps se dépla-
Réf. 215 çant au voisinage d ’un trou noir se comporte de manière beaucoup plus complexe que
prévu par la gravitation universelle. Dans celle-ci, les trajectoires sont des ellipses, des
paraboles ou des hyperboles, qui sont toutes des courbes planes. Il apparaît que les tra-
jectoires se situent dans un plan, uniquement près des trous noirs qui ne sont pas en
rotation*.
Autour des trous noirs statiques, également appelés trous noirs de Schwarzschild, les
trajectoires circulaires sont impossibles pour des rayons inférieurs à 3R S /2 (pouvez-vous
Défi 342 pe montrer pourquoi ?) et sont instables si elles sont soumises à des perturbations allant de
cette valeur jusqu ’à un rayon de 3R S . Les orbites circulaires ne sont stables qu ’à des
rayons plus importants. Autour des trous noirs, il n’existe pas de trajectoire elliptique, le
trajet correspondant en forme de rosace est indiqué sur la Figure 91. Une telle trajectoire
révèle la célèbre avancée du périastre dans toute sa splendeur.
Remarquez que le potentiel situé autour d ’un trou noir n’est pas significativement
Défi 343 pe différent de 1/r pour des distances supérieures à environ quinze rayons de Schwarzschild.
Pour un trou noir de la masse du Soleil, cela se situerait à 42 km de son centre : par
conséquent, nous ne serions pas en situation de déceler une différence quelconque dans
* Pour de telles trajectoires, la loi de Kepler reliant la distance moyenne à la période de l ’orbite
GMt 3
= r3
(2π)2
(271)
Défi 341 pe reste valable, à condition que l ’on considère que le temps propre et le rayon soient mesurés par un observa-
teur lointain.
orbite limite
orbite limite

sphère des photons sphère des photons
F I G U R E 92 Mouvements de la lumière s’approchant d’un trou noir statique.
la course de la Terre autour du Soleil.

Nous avons mentionné à plusieurs reprises au cours de notre aventure que la gravi-
tation est caractérisée par ses effets de marée. À cet égard, les trous noirs exhibent des
propriétés extrêmes. Si un nuage de poussière tombe dans un trou noir, la taille de ce
nuage augmente au cours de sa chute, jusqu ’à ce que celui-ci enveloppe l ’ horizon tout
entier. En fait, ce résultat est valable pour n’ importe quel corps étendu. Cette propriété
des trous noirs sera d ’une importance cruciale plus tard, lorsque nous discuterons de la
taille des particules élémentaires.
Pour des corps qui chutent depuis un lieu infiniment éloigné, la situation à proximité
des trous noirs est encore plus remarquable. Naturellement, il n’y a pas de trajectoire hy-
perbolique, seuls des trajets analogues aux hyperboles se présentent dans le cas de corps
s’approchant de manière suffisamment distante. Pour des paramètres d ’ impacts réduits,
mais pas trop petits, un corps effectuera un certain nombre de révolutions autour du
trou noir, avant de le quitter à nouveau. Ce nombre de révolutions augmente indéfini-
ment avec la réduction du paramètre d ’ impact, jusqu ’à ce qu ’une valeur soit atteinte
pour laquelle le corps est capturé à l ’ intérieur d ’une orbite d ’un rayon 2R, comme indi-
qué sur la Figure 91. Autrement dit, cette orbite capture des corps qui s’approchent s’ ils
la frôlent en deçà d ’un certain angle critique. À ce propos, souvenez-vous que dans la
gravitation universelle la capture n’est jamais possible. Pour des paramètres d ’ impacts
encore plus petits, le trou noir engloutit l ’objet qui se frotte à lui. Dans les deux cas – la
capture et la déviation –, un corps peut faire plusieurs tours autour du trou noir, tandis
que dans la gravitation universelle il est impossible de faire plus d ’un demi-tour autour
d ’un corps.
Cependant, les orbites qui paraissent les plus insensées sont celles qui correspondent
Défi 344 pe au cas parabolique de la gravitation universelle. (Celles-ci sont d ’ intérêt purement aca-
démique, puisqu ’elles se produisent avec une probabilité nulle.) En résumé, la relativité
altère radicalement les mouvements dus à la gravité.
Autour d ’un trou noir en rotation, les orbites de masses ponctuelles sont encore plus
complexes que celles indiquées dans la Figure 91. Pour des mouvements adéquats, par
exemple, les ellipses ne se tiennent plus dans un seul plan – à cause de l ’ effet Thirring–
Lense –, engendrant ainsi des orbites particulièrement enchevêtrées dans les trois dimen-
sions qui emplissent l ’espace autour du trou noir.
Pour la lumière passant à proximité d ’un trou noir, les trajectoires formées sont éga-
lement intéressantes, comme indiqué sur la Figure 92. Il n’existe pas de distinction qua-
litative avec le cas des particules rapides. Pour un trou noir statique, le trajet se déroule
évidemment dans un seul plan. Naturellement, si la lumière passe assez près, elle peut
être fortement courbée, ou même capturée. À nouveau, la lumière peut aussi faire un ou
plusieurs tours autour du trou noir avant de repartir ou d ’être capturée. La limite entre

les deux situations est représentée par la trajectoire dans laquelle la lumière décrit un
cercle autour d ’un trou noir, à 3R/2. Si nous étions situés sur cette orbite, nous verrions
Défi 345 pe l ’arrière de notre tête en regardant vers l ’avant ! Toutefois, cette orbite est instable. La sur-
face contenant toutes les orbites situées à l ’ intérieur de celle qui est circulaire est appelée
la sphère des photons. Celle-ci départage donc les trajectoires conduisant à la capture de
celles conduisant à une position toujours éloignée. Remarquez qu ’ il n’existe aucune or-
bite stable pour la lumière autour d ’un trou noir. Existe-t-il des trajectoires en forme de
Défi 346 pe rosace pour la lumière tournant autour d ’un trou noir ?
Pour la lumière orbitant autour d ’un trou noir en rotation, les courbes sont beaucoup
plus complexes. Rien que dans le plan équatorial, il existe deux trajectoires circulaires
possibles pour la lumière : la plus petite est dans le sens de rotation et la plus grande
Défi 347 pe tourne dans le sens opposé.
Pour des trous noirs chargés, les orbites décrites par des particules chargées en chute
sont encore plus alambiquées. Les lignes du champ électrique doivent être prises en
considération. Plusieurs effets fascinants surgissent, lesquels n’ont aucun équivalent avec
l ’électromagnétisme classique, comme des effets similaires à des versions électriques de
l ’effet Meissner. Le comportement de ces orbites constitue toujours un domaine de re-
cherches en pleine effervescence de la relativité générale.
Entropie et cheveux
Comment un trou noir est-il caractérisé ? Il apparaît que toutes les propriétés des trous
noirs découlent d ’un petit nombre de quantités élémentaires qui les déterminent, à savoir
la masse M, le moment cinétique J et la charge électrique Q*. Toutes les autres proprié-
tés – telles que la taille, la forme, la couleur, le champ magnétique – sont déterminées
de manière unique par celles-ci**. C ’est comme si, pour employer l ’analogie imagée de
Wheeler, nous pouvions déduire chaque trait particulier d ’une femme à partir de ses
dimensions, de sa taille et de sa hauteur. Les physiciens disent aussi que les trous noirs
« n’ont pas de cheveux », sous-entendant par là que les trous noirs (classiques) ne pos-
sèdent aucun autre degré de liberté. Cette expression fut également introduite par Whee-
* L’existence de trois caractéristiques fondamentales n’est pas sans rappeler le monde des particules. Nous
en découvrirons plus concernant le rapport qui existe entre les trous noirs et les particules dans la dernière
partie de notre ascension montagneuse.
** Principalement pour des raisons de reconnaissance vis-à-vis de leurs découvreurs, les trous noirs statiques
et électriquement neutres sont souvent appelés trous noirs de Schwarzschild, ceux en rotation et non chargés
Réf. 221 sont fréquemment appelés trous noirs de Kerr, d ’après Roy Kerr, qui découvrit les solutions correspondantes
des équations du champ d ’ Einstein en 1963. Des trous noirs électriquement chargés mais statiques sont
couramment appelés trous noirs de Reissner–Nordström, d ’après le physicien allemand Hans Reissner et le
physicien finlandais Gunnar Nordström. Le cas général, chargé et en rotation, est parfois baptisé des noms
Réf. 222 de Kerr et Newman.
Réf. 223 ler*. Cette idée a été démontrée par Israel, Carter, Robinson et Mazur : ils ont montré que,
pour une masse, un moment cinétique et une charge donnés, il existe un seul trou noir
Réf. 224 possible. (Cependant, ce théorème d ’unicité n’est plus valable si le trou noir comporte
des nombres quantiques nucléaires, telles des charges faibles ou fortes.)
En d ’autres termes, un trou noir est indépendant de la manière dont il s’est formé et

du type de matière utilisé lors de sa formation. Les trous noirs ont tous la même compo-
sition ou, mieux, ils n’ont pas de composition du tout (du moins classiquement).
La masse M d ’un trou noir n’est pas limitée par la relativité générale. Elle peut être
aussi petite que celle d ’une particule microscopique et aussi vaste que plusieurs millions
de masses solaires. Mais pour le moment cinétique J et la charge électrique Q, la situation
est différente. Un trou noir en rotation possède un moment cinétique maximal possible
et une charge électrique (et magnétique) maximale possible**. La limitation du moment
cinétique apparaît parce que son périmètre ne peut pas bouger plus vite que la lumière. La
Défi 348 pe charge électrique est également restreinte. Ces deux limites ne sont pas indépendantes :
elles sont reliées par
J 2 GQ 2 GM 2
( ) + ⩽ ( ) . (272)
cM 4πε 0 c 4 c2
Cela découle de la limite des rapports entre longueur et masse à la base de la relativité
Défi 349 pe générale. Les trous noirs en rotation parvenant à la limite (272) sont baptisés trous noirs
extrémaux. Cette limite (272) implique que le rayon de l ’ horizon d ’un trou noir en gé-
néral est donné par
√
GM ⎛ J2 c2 Q2 ⎞
rh = 2 1 + 1− (273)
c ⎝ 4πε 0 GM ⎠
−
M G
4 2 2
Par exemple, pour un trou noir doté de la masse du Soleil et de la moitié de son mo-
ment cinétique, à savoir 2 ⋅ 1030 kg et 0,45 ⋅ 1042 kg m2 /s, la charge limite est d ’environ
1,4 ⋅ 1020 C.
Comment distinguons-nous les trous noirs en rotation de ceux qui sont statiques ? En
tout premier lieu par leur forme. Des trous noirs statiques doivent être sphériques (toute
Réf. 225 non-sphéricité est diffusée dans l ’espace sous forme d ’ondes gravitationnelles) et des
trous noirs en rotation possèdent une forme légèrement aplatie, uniquement déterminée
par le moment cinétique. À cause de leur rotation, leur surface de gravité infinie ou de
décalage vers le rouge infini, appelée la limite statique, est différente de leur horizon (ex-
terne). La région située entre les deux est baptisée l ’ ergosphère, un terme mal approprié
puisque ce n’est pas une sphère. (Elle est appelée ainsi parce que, comme nous le verrons
bientôt, elle peut être utilisée pour extraire de l ’énergie du trou noir.) Le mouvement
des corps situés dans l ’ergosphère peut être assez compliqué. Il suffit de mentionner que
Réf. 109 * Wheeler prétendit qu ’ il fut inspiré par la difficulté à faire des distinctions entre des hommes chauves ;
cependant, Feynman, Ruffini et d ’autres avaient une image anatomique claire dans leur esprit lorsqu ’ ils
affirmaient que « les trous noirs, contrairement à leur voisinage, n’ont pas de cheveux ».
Page 41 ** Nous en dirons plus à propos de la charge magnétique toujours hypothétique. Dans les trous noirs, elle
est introduite comme un type supplémentaire de charge dans toutes les expressions où la charge électrique
apparaît.
axe de rotation
horizon des
événements
ergosphère

limite statique
F I G U R E 93 L’ergosphère d’un trou noir en rotation.
des trous noirs en rotation entraînent tout corps qui chute dedans vers une orbite qui les
encercle, ce qui est en contradiction avec les trous noirs statiques, qui avalent les corps
chutant vers eux. Autrement dit, des trous noirs en rotation ne sont pas vraiment des
« trous », mais plutôt des tourbillons.
La distinction entre des trous noirs rotatifs et statiques se manifeste également par
l ’aire de l ’ horizon. L’aire A (de l ’ horizon) d ’un trou noir statique et non chargé est
Défi 350 e trivialement reliée à sa masse M par
16πG 2 2
A= M . (274)
c4
La relation entre l ’aire et la masse pour un trou noir rotatif et chargé est plus complexe :
elle est donnée par
√
8πG 2 ⎛ J2 c2 Q2 ⎞
A = 4 M2 1 + 1− (275)
⎝ M 4 G 2 4πε 0 GM 2 ⎠
−
c
où J représente le moment cinétique et Q la charge. En fait, la relation
A=
8πG
Mrh (276)
c2
est valide pour tous les trous noirs. Manifestement, dans le cas d ’un trou noir électrique-
ment chargé, la rotation engendre également un champ magnétique autour de celui-ci.
Cela contraste avec les trous noirs statiques, qui ne peuvent pas avoir de champ magné-
tique.
Les trous noirs comme sources d ’ énergie

Pouvons-nous extraire de l ’énergie d ’un trou noir ? Roger Penrose a découvert que
Réf. 226 c ’est possible pour des trous noirs en rotation. Une fusée gravitant autour d ’un tel trou
noir, dans son ergosphère, pourrait allumer ses moteurs et serait alors propulsée dans
l ’espace extérieur au trou noir à une vitesse gigantesque, beaucoup plus importante que
celle que les moteurs pourraient eux-mêmes produire. En réalité, les fusées sur la Terre
tirent profit du même effet, et c ’est la raison pour laquelle tous les satellites en orbite au-
tour de la Terre gravitent dans la même direction. Il faudrait beaucoup plus de carburant
pour les faire tourner dans l ’autre sens*.
L’énergie gagnée par la fusée serait perdue par le trou noir, qui serait alors ralenti et
perdrait un peu de sa masse. D’un autre côté, il y aurait une augmentation de masse
due aux gaz d ’échappement tombant dans le trou noir. Cette augmentation est toujours

supérieure, ou au mieux égale, à la perte due au ralentissement de la rotation. Le mieux
que nous puissions faire consiste à mettre les moteurs en marche exactement à l ’ hori-
zon, car alors l ’aire de l ’ horizon du trou noir demeure constante, et seule sa rotation est
ralentie**.
√ noir neutre en rotation ayant un moment cinétique égal au maxi-
Ainsi, pour un trou
mum possible, 1−1/ 2 = 29,3 % de son énergie totale peut être extraite par le truchement
Défi 352 pe de la procédure de Penrose. Pour des trous noirs tournant plus lentement, ce pourcentage
est évidemment plus petit.
En ce qui concerne les trous noirs chargés, de tels procédés d ’extraction irréversibles
Défi 353 pe de l ’énergie sont également possibles. Pouvez-vous en imaginer un exemple ? En utili-
sant l ’expression (272), nous trouvons que jusqu ’à 50 % de la masse d ’un trou noir sta-
Défi 354 pe tique peut être due à sa charge. En fait, dans la partie quantique de notre aventure, nous
rencontrerons un procédé d ’extraction de l ’énergie que la nature semble employer très
Page ?? fréquemment.
La procédure de Penrose nous permet de déterminer comment le moment cinétique
Réf. 227 et la charge accroissent la masse d ’un trou noir. Le résultat est la célèbre relation masse–
énergie
E2 Q2 J2 c2 Q2 J2 1
M2 = = (m irr + ) 2
+ = (m irr + ) 2
+ (277)
c4 16πε 0 Gm irr 4m 2irr G 2 8πε 0 ρ irr 2 c2
ρ irr
qui montre comment l ’énergie électrostatique et l ’énergie rotationnelle se joignent à la

masse d ’un trou noir. Dans cette expression, m irr est la masse irréductible définie comme
A(M, Q = 0, J = 0) c 4
2
c2
m 2irr = = (ρ irr ) (278)
16π G2 2G
et ρ irr est le rayon irréductible.

Des examens minutieux révèlent qu ’ il n’existe pas de procédé qui permette de di-
minuer l ’aire de l ’ horizon, et donc la masse ou le rayon irréductible, du trou noir. Nous
l ’avons vérifié de toutes les manières possibles et imaginables. Par exemple, lors de la coa-
lescence de deux trous noirs, la surface totale augmente. Nous qualifions les processus qui
conservent l ’aire et l ’énergie du trou noir à une valeur constante de réversibles, et tous les
autres d ’ irréversibles. En fait, l ’aire des trous noirs se comporte comme l ’ entropie d ’un
* Et cela serait beaucoup plus dangereux, puisque n’ importe quel objet minuscule heurterait un tel satellite
Défi 351 pe avançant à contre-courant à environ 15,8 km/s, transformant ainsi cet objet en un redoutable projectile. En
réalité, toute puissance désirant anéantir les satellites de l ’ennemi aurait simplement besoin de charger un sa-
tellite d ’écrous ou de boulons, de l ’expédier dans l ’espace à contresens et de disperser les boulons sous forme
de nuage. Cela empêcherait les satellites de parvenir sur cette orbite pendant de nombreuses décennies.
** Il est également possible d ’extraire de l ’énergie des trous noirs en rotation grâce au rayonnement gravita-
tionnel.
système isolé : elle ne décroît jamais. Jakob Bekenstein a, le premier, formulé en 1970 que
Réf. 228 cette aire représente en fait une entropie. Il en a déduit que ce n’est que lorsqu ’une entro-
pie est attribuée à un trou noir qu ’ il est possible de comprendre où se retrouve l ’entropie
de toute la matière chutant dedans.
L’entropie du trou noir est une fonction uniquement de la masse, du moment ciné-

tique et de la charge de celui-ci. Vous devriez pouvoir confirmer la déduction de Beken-
Défi 355 pe stein que l ’entropie S est proportionnelle à l ’aire de l ’ horizon. Plus tard on a découvert,
en utilisant la théorie quantique, que
A kc 3 A k
S= = 2 . (279)
4 ħG 4 l Pl
Cette célèbre relation ne peut pas être retrouvée sans l ’aide de la théorie quantique,
puisque la valeur absolue de l ’entropie, comme toute autre observable, n’est jamais déter-
minée uniquement par la physique classique. Nous discuterons de cette expression plus
Page ?? tard dans notre ascension montagneuse.
Si les trous noirs possèdent une entropie, alors ils doivent aussi avoir une tempéra-
ture. S ’ ils ont une température, ils doivent briller. Les trous noirs ne peuvent donc pas
être noirs ! Cela fut démontré par Stephen Hawking en 1974 à l ’aide de calculs extrême-
ment compliqués. Néanmoins, cela pourrait avoir été imaginé dans les années 1930, à
Page ?? l ’aide d ’une simple expérience de pensée que nous présenterons plus loin. Vous devriez
pouvoir réfléchir à ce problème, en vous demandant et en recherchant quelles consé-
quences étranges surgiraient si les trous noirs n’avaient pas d ’entropie. Le rayonnement
des trous noirs est un mécanisme (quantique) supplémentaire, bien que minuscule, d ’ex-
traction de l ’énergie, qui est même applicable à ceux qui sont statiques et non chargés.
Page ?? Les connexions intéressantes qui existent entre les trous noirs, la thermodynamique et la
théorie quantique seront exposées dans les prochaines parties de notre excursion monta-
Défi 356 pe gneuse. Pouvez-vous imaginer d ’autres mécanismes qui font que les trous noirs brillent ?
Curiosités et défis amusants concernant les trous noirs

Tiens, les trous noirs. C ’est troublant.
“
Les trous noirs possèdent un grand nombre de propriétés contre-intuitives. Nous jette-
Anonyme
”
rons tout d ’abord un coup d ’ œil aux effets classiques, gardant les effets quantiques pour
Page ?? plus tard.
∗∗
D’après la gravitation universelle, la lumière pourrait, depuis la surface d ’un trou noir,
grimper vers le haut puis retomber en arrière. En relativité générale, un trou noir ne
permet nullement à la lumière de grimper vers le haut, elle ne peut que tomber. Pouvez-
Défi 357 pe vous démontrer cette assertion ?
∗∗
Qu ’est-ce qui arrive à un individu chutant dans un trou noir ? Un observateur extérieur
observateur astre
F I G U R E 94 Trajectoire de quelques rayons
dense
lumineux provenant d’un corps massif et se
dirigeant vers un observateur.

en donne une réponse claire : la personne qui tombe n’y parvient jamais puisqu ’elle a
besoin d ’une durée infiniment longue pour atteindre l ’ horizon. Pouvez-vous confirmer
Défi 358 pe ce résultat ? Celui qui chute, cependant, parvient à l ’ horizon au bout d ’une quantité finie
Défi 359 pe de son temps. Pouvez-vous la calculer ?
Ce résultat est surprenant, car il signifie que, pour un observateur extérieur situé dans
un Univers ayant un âge fini, les trous noirs ne peuvent pas encore s’être formés ! Au
mieux, nous ne pouvons observer que des systèmes qui sont en train de donner nais-
sance aux trous noirs. Dans un sens, il pourrait être correct d ’affirmer que les trous
noirs n’existent pas. Ceux-ci pourraient bien avoir existé dès le début de la création de
l ’espace-temps. D’un autre côté, nous découvrirons plus tard pourquoi cela est impos-
sible. En bref, il est primordial de bien garder à l ’esprit que l ’ idée de trou noir repré-
sente un concept théorique idéal mais que, généralement, ces concepts limites (comme
les bains thermiques ou la température) constituent des descriptions pertinentes de la
nature. Indépendamment de ce dernier problème, nous pouvons confirmer que, dans la
nature, le rapport de la longueur par la masse vérifie toujours
⩾ 2 .
L 4G
(280)
M c
∗∗
Il est intéressant de noter que la taille d ’un individu dégringolant dans un trou noir est
évaluée de manière radicalement différente par celui qui chute et par une personne qui
demeure à l ’extérieur. Si le trou noir est vaste, l ’observateur chutant dedans ne ressent
presque rien, tellement les forces de marée sont faibles. L’observateur extérieur fait une
remarque effrayante : il observe que la personne qui chute s’étale sur toute la surface de
l ’ horizon du trou noir. Des corps étendus qui tombent recouvrent l ’ horizon tout entier.
Pouvez-vous expliciter cette situation, par exemple en utilisant la limite des rapports de
Défi 360 pe la longueur sur la masse ?
Ce résultat bizarre, qui sera essentiel plus loin dans notre exploration, conduira à des
résultats importants concernant la taille des particules ponctuelles.
∗∗
Un observateur situé près d ’un trou noir (statique), ou en fait à proximité de n’ importe
quel objet de taille inférieure à 7/4 de son rayon gravitationnel, peut même apercevoir la
face cachée entière de l ’objet, comme indiqué sur la Figure 94. Pouvez-vous imaginer à
Défi 361 pe quoi ressemblerait cette image ? Remarquez qu ’en plus des trajectoires représentées sur
la Figure 94 la lumière peut également tourner plusieurs fois autour du trou noir avant
de parvenir à l ’observateur ! Par conséquent, un tel observateur voit un nombre infini
d ’ images du trou noir. La formule résultante concernant la taille angulaire de l ’ image la
Page 145 plus proche de l ’ horizon a été donnée plus haut.

En réalité, l ’effet de la gravité signifie qu ’ il est possible de voir davantage que la moitié
de la surface d ’un objet sphérique quelconque. Dans la vie de tous les jours, cependant,
cet effet est imperceptible : par exemple, la courbure de la lumière nous permet d ’obser-
ver à peu près 50,0002 % de la surface du Soleil.

∗∗
Une masse ponctuelle située à l ’ intérieur de la plus petite trajectoire circulaire de la lu-
mière autour d ’un trou noir, à 3R/2, ne peut pas demeurer sur une orbite circulaire parce
que, dans cette région, il se produit quelque chose de déconcertant. Un corps qui encercle
un autre corps dans la vie courante ressent constamment une tendance à être poussé vers
l ’extérieur, cette force centrifuge étant due à l ’ inertie du corps en question. Mais pour
des valeurs inférieures à 3R/2, un corps qui décrit un cercle est poussé vers l ’ intérieur
Réf. 229 par son inertie. Il existe plusieurs méthodes pour expliquer cet effet contradictoire. La
plus simple consiste à remarquer que, près d ’un trou noir, le poids augmente plus vite
Défi 362 pe que la force centrifuge, comme vous devriez pouvoir le vérifier. Seule une fusée ayant ses
moteurs allumés et fonçant dans la direction du ciel peut graviter autour d ’un trou noir
à 3R/2.
∗∗
D’autre part, comment la gravité ou un champ électrique peuvent-ils s’échapper d ’un
Défi 363 s trou noir si aucun signal et aucune énergie ne peuvent en sortir ?
∗∗
Les trous blancs, c ’est-à-dire des trous noirs inversés par rapport au temps, dans les-
quels tout s’écoule vers l ’extérieur, au lieu de l ’ intérieur, d ’une certaine région délimitée,
Défi 364 pe existent-ils ?
∗∗
Montrez qu ’une constante cosmologique Λ conduit à la métrique suivante pour un trou
Défi 365 pe noir :
ds 2 dr 2 r2 2
dτ 2 = 2 = (1 − )
2GM Λ 2 2
− r dt − 2 − dφ . (281)
c rc 2 3 c 2 − 2Gr M − Λc3 r 2 c 2
Remarquez que cette métrique ne se transforme pas en métrique de Minkowski pour des
valeurs importantes de r. Toutefois, dans √ le cas où Λ est petit, la métrique est presque
plate pour des valeurs de r qui vérifient 1/ Λ ≫ r ≫ 2Gm/c 2 .
Ainsi, la loi en l ’ inverse du carré est également modifiée :
Gm c 2 Λ
F=− + r. (282)
r2 6
Avec les valeurs connues de la constante cosmologique, le deuxième terme est négligeable
à l ’ intérieur du Système solaire.
∗∗
Dans la théorie quantique, le rapport gyromagnétique représente une quantité cruciale

pour tout système chargé en rotation. Quel est le rapport gyromagnétique pour des trous
Défi 366 pe noirs rotatifs ?
∗∗

Un vaste trou noir est, comme son nom l ’ indique, noir. Pourtant, il peut être vu. Si nous
sommes en train de voyager dans sa direction à bord d ’un vaisseau spatial, nous remar-
quons que le trou noir est entouré d ’un cercle lumineux, telle une mince auréole. L’an-
neau, situé à la distance radiale de la sphère des photons, est dû aux photons qui pro-
viennent des autres objets lumineux qui encerclent le trou, et qui achèvent finalement,
après un ou plusieurs tours, leur course dans notre œil. Pouvez-vous confirmer ce résul-
Défi 367 s tat ?
∗∗
Défi 368 pe Les trous noirs en mouvement subissent-ils une contraction de Lorentz ? Ils doivent
briller un tout petit peu. Il est vrai que les images qu ’ ils engendrent sont complexes,
puisque la lumière peut effectuer plusieurs révolutions autour d ’eux avant d ’atteindre
l ’observateur. De surcroît, l ’observateur doit être très éloigné, de telle sorte que les effets
de la courbure soient petits. Tous ces effets peuvent être pris en compte, mais cette ques-
tion reste épineuse. La raison en est que le concept de contraction de Lorentz n’a aucun
sens en relativité générale, puisque la comparaison avec la situation non contractée est
difficile à définir précisément.
∗∗
Défi 369 pe Pouvez-vous confirmer que les trous noirs impliquent une limite à la puissance ? La puis-
sance représente la variation d ’énergie par unité de temps. La relativité générale restreint
la puissance à P ⩽ c 5 /4G. Autrement dit, aucune machine dans la nature ne peut fournir
plus de 0,92 ⋅ 1052 W ou 1, 2 ⋅ 1049 chevaux-vapeur.
L a genèse et la quête des trous noirs

Comment les trous noirs pourraient-ils se former ? Aujourd ’ hui, au moins trois méca-
nismes sont plausibles, et cette question constitue toujours un ardent sujet de recherches.
En premier lieu, les trous noirs pourraient s’être formés au cours des premières étapes
Réf. 230 de l ’ Univers. Ces trous noirs primordiaux auraient grossi par le biais de l ’ accrétion, c ’est-
à-dire par le biais de l ’engloutissement de la matière et du rayonnement environnants,
Page ?? ou auraient disparu à travers l ’un des mécanismes qui seront étudiés plus tard.
Parmi les trous noirs observés, ceux que nous appelons trous noirs supermassifs sont
localisés au centre de toutes les galaxies étudiées jusqu ’ ici. Ils ont une masse allant de 106
à 109 masses solaires et renferment environ 0,5 % de la masse de la galaxie. On conjecture
qu ’ il y en a un au centre de toutes les galaxies, et ils semblent être associés à la forma-
tion des galaxies elles-mêmes. Les trous noirs supermassifs sont supposés s’être formés
après l ’effondrement de vastes nuages de poussière, et avoir grossi grâce à l ’accrétion ulté-
rieure de matière. Les idées les plus récentes impliquent que ces trous noirs accumulent
une énorme quantité de matière dès leur plus jeune âge. La matière qui chute dedans
émet de grandes quantités de rayonnement, ce qui pourrait expliquer l ’ intense lumino-
sité des quasars. Ensuite, le régime d ’accrétion diminue et les galaxies de Seyfert moins
spectaculaires se forment. Il se pourrait même que le trou noir supermassif logé au cœur
de la galaxie déclenche la formation d ’étoiles. Par la suite, ces trous noirs supermassifs
deviennent pratiquement inactifs, comme celui situé au centre de la Voie lactée.
D’autre part, les trous noirs peuvent se former lorsque de vieilles étoiles massives

Réf. 231 s’effondrent. On estime que, lorsque des étoiles d ’au moins trois masses solaires brûlent
tout leur carburant, une partie de la matière restante s’effondre pour donner naissance à
un trou noir. Un tel trou noir stellaire possède une masse comprise entre une et une cen-
taine de masses solaires. Il peut également continuer à grossir par la suite par accrétion.
Ce scénario a accouché de la découverte du tout premier candidat plausible de trou noir,
Cygnus X-1, en 1971.
Des relevés récents suggèrent également l ’existence de trous noirs intermédiaires,
ayant des masses d ’environ un millier de masses solaires ou plus, les mécanismes et les
conditions de leur formation étant encore inconnus.
L’ identification des trous noirs constitue un sport populaire chez les astrophysiciens.
Conceptuellement, la manière la plus simple pour les détecter consiste à rechercher des
champs gravitationnels puissants. Mais seules les étoiles binaires nous permettent de me-
surer directement des champs gravitationnels, et le plus fort jamais mesuré est à 30 % de
Réf. 232 la valeur théorique maximale. Une autre manière consiste à rechercher des lentilles gra-
vitationnelles puissantes, et de tenter d ’obtenir un rapport masse/taille indiquant l ’exis-
tence d ’un trou noir. Une autre manière encore consiste à observer la dynamique des
étoiles proches du centre des galaxies. En mesurant leur mouvement, nous pouvons en
déduire la masse du corps autour duquel elles gravitent. La méthode favorite pour déce-
ler des trous noirs repose sur l ’émission de rayons X extrêmement intenses provenant de
sources ponctuelles, en utilisant des satellites spatiaux ou des détecteurs situés dans des
ballons atmosphériques. Si la distance à l ’objet est connue, sa magnitude absolue* peut
être retrouvée. Si celle-ci est supérieure à une certaine limite, l ’objet doit être un trou
noir puisque la matière ordinaire ne peut pas produire une quantité illimitée de lumière.
Cette méthode est en cours de perfectionnement afin de pouvoir observer directement la
Réf. 233 disparition d ’énergie dans un horizon. En fait, il se pourrait que cela ait déjà été observé.
Pour résumer la situation expérimentale, les mesures indiquent qu ’un trou noir su-
permassif semble être localisé au centre de toutes les galaxies étudiées jusqu ’à présent,
soit plus d ’une douzaine. Les masses varient : le trou noir au centre de notre galaxie fait
Réf. 217 environ 2,6 millions de masses solaires, alors que le trou noir central de la galaxie M87
fait 3 milliards de masses solaires.
Nous connaissons à peu près une douzaine de trous noirs stellaires compris entre 4 et
20 masses solaires dans l ’étendue de notre chère galaxie. Ils ont tous été découverts de-
Réf. 217 puis 1971, date à laquelle Cygnus X-1 a été détecté. En l ’an 2000, des trous noirs de masse
intermédiaire furent détectés. Les astronomes étudient également quel est le nombre de
trous noirs qui se trouvent dans les amas stellaires, à quelle fréquence ils se heurtent, et
quelle sorte d ’ondes gravitationnelles détectables ces collisions engendrent. On s’attend
à ce que la liste des découvertes s’allonge considérablement dans les années à venir.
* La magnitude absolue est une mesure de la luminosité intrinsèque d ’un objet céleste. [N.d.T.]
Singularités
En résolvant les équations de la relativité générale pour diverses conditions initiales,
nous remarquons qu ’un nuage de poussière s’effondre généralement en une singularité,
c ’est-à-dire en un point de densité infinie. La même conclusion se manifeste lorsque nous
suivons l ’évolution de l ’ Univers, en remontant en arrière dans le temps. En fait, Roger

Penrose et Stephen Hawking ont démontré plusieurs théorèmes mathématiques concer-
nant la nécessaire existence de singularités pour de nombreuses distributions classiques
de matière. Ces théorèmes se fondent uniquement sur la continuité de l ’espace-temps
Réf. 234 et sur quelques conditions plutôt faibles concernant la matière située à l ’ intérieur. Ces
théorèmes établissent que dans des systèmes en expansion tels que l ’ Univers lui-même,
ou dans des systèmes en effondrement tels que les trous noirs en formation, des phéno-
mènes de densité matérielle infinie auraient existé quelque part dans le passé, ou, respec-
tivement, existeront dans le futur. Ce résultat est ordinairement résumé en disant qu ’ il
existe une preuve mathématique qui établit que l ’ Univers naquit sous la forme d ’une
singularité.
En réalité, la dérivation des singularités initiales crée une hypothèse forte, mais ca-
chée, concernant la matière : ces particules de poussière n’ont pas de taille. En d ’autres
termes, on suppose que les particules de poussière sont des singularités. Ce n’est qu ’à
l ’aide de cette hypothèse que nous déduisons l ’existence de singularités initiales. Toute-
fois, nous avons vu que le principe de la force maximale peut être reformulé comme un
principe de taille minimale pour la matière. L’argument qu ’ il a dû y avoir une singularité
initiale dans l ’ Univers est donc corrompu. La situation expérimentale est claire : il y a
une évidence accablante pour qu ’au cours de son plus jeune âge l ’ Univers ait été prodi-
gieusement chaud et dense, mais il n’y a aucune évidence pour une température ou une
densité infinies.
Les chercheurs ayant une inclination pour les mathématiques distinguent deux types
de singularités : celles avec et celles sans horizon. Les dernières, les singularités nues,
sont particulièrement étranges : par exemple, une brosse à dents peut tomber dans une
singularité nue et disparaître sans laisser de traces. Puisque les équations du champ sont
invariantes par renversement du temps, nous pourrions nous attendre à ce que, de temps
en temps, des singularités nues recrachent des brosses à dents. (Pouvez-vous expliquer
Défi 370 pe pourquoi des singularités « habillées » sont moins dangereuses ?)
Pour esquiver l ’ irruption spontanée des brosses à dents, au fil des ans de nombreuses
personnes ont tenté de découvrir certains principes théoriques interdisant l ’existence de
singularités nues. Il apparaît qu ’ il existe deux principes de cette forme. Le premier est
le principe de la force maximale ou de la puissance maximale que nous avons rencon-
tré auparavant. La force maximale implique qu ’aucune valeur infinie de force n’apparaît
dans la nature ou, autrement dit, qu ’ il n’existe pas de singularités nues dans la nature.
Réf. 235 Cette déclaration est souvent dénommée la censure cosmique. Évidemment, si la relativité
générale n’était pas la description correcte de la nature, des singularités nues pourraient
toujours surgir. La censure cosmique est ainsi toujours discutée dans les articles scienti-
fiques. La quête expérimentale des singularités nues n’a produit aucun résultat ; en fait,
il n’y a même pas de candidat observationnel pour les singularités habillées, moins abs-
conses. Mais le cas théorique de l ’existence des singularités « habillées » est également
faible. Puisqu ’ il n’existe aucun procédé pour interagir avec quoi que ce soit situé der-
rière un horizon, il est inutile de discuter de ce qui se passe à cet endroit. Il n’y a pas
de voie pour démontrer que derrière un horizon se tient une singularité. Les singularités
habillées sont des représentations idéologiques, mais ne concernent pas la physique.
En fait, il existe un autre principe qui empêche l ’apparition des singularités, à savoir
la théorie quantique. À chaque fois que nous rencontrons une prédiction concernant une

valeur infinie, nous étendons notre description de la nature à un domaine pour lequel
elle n’était pas conçue. Pour parler de singularités, nous devons supposer que la relativité
générale pure s’applique aux distances très petites et aux énergies très élevées. Comme
Page ?? cela deviendra clair dans les deux prochaines parties de ce livre, la nature ne le permet
pas : l ’association de la relativité générale et de la théorie quantique indique qu ’ il n’y
a aucun sens à parler de « singularités », pas plus que de ce qui se passe « à l ’ intérieur »
d ’un horizon de trou noir. La raison en est que le temps et l ’espace ne sont pas continus
Page ?? aux très petites échelles*.
Un petit quiz : l ’ Univers est-il un trou noir ?

Se pourrait-il que nous vivions à l ’ intérieur d ’un trou noir ? L’ Univers et les trous
noirs ont tous les deux des horizons. De manière intéressante, la distance de l ’ horizon
r0 de l ’ Univers est d ’environ
r0 ≈ 3ct 0 ≈ 4 ⋅ 1026 m (283)
et son contenu en matière est à peu près de
m0 ≈ = 72πGρ 0 ct 03 = 6 ⋅ 1026 m
4π 2Gm 0
ρ o r03 d ’où (284)
3 c2
pour une densité de 3 ⋅ 10−27 kg/m3 . Nous avons donc
r0 ≈
2Gm 0
, (285)
c2
Défi 371 pe ce qui est équivalent à la relation du trou noir rS = 2Gm/c 2 . Est-ce une coïncidence ?
Non, ce n’en est pas une : tous les systèmes ayant une forte courbure obéissent plus ou
moins à cette relation. Mais sommes-nous néanmoins en train de chuter dans un énorme
Défi 372 pe trou noir ? Vous pouvez répondre à cette question par vous-même.
* De nombreux physiciens sont toujours prudents avant de faire de tels postulats fondamentaux à ce niveau,
et il y en a toujours un certain nombre qui proclament que l ’espace et le temps sont continus même jusqu ’aux
distances les plus petites. Notre discussion sur la théorie quantique, et les premières sections de la dernière
Page ?? partie de notre ascension de la montagne, nous donneront les arguments décisifs conduisant à la conclusion
opposée.
Chapitre 7
L’ E SPAC E DI F F È R E -T- I L DU T E M P S ?

“
Tempori parce*.
Les gens disent, sur un ton résigné, que le temps est notre souverain. Personne ne
dit une telle chose pour l ’espace. Le temps et l ’espace sont manifestement distincts dans
Sénèque
”
la vie quotidienne. Mais quelle est précisément cette différence en relativité générale ?
Et après tout, avons-nous besoin d ’eux ? En relativité générale, il est supposé que nous
vivons dans un espace-temps (pseudo-riemannien) de courbure variable. La courbure
est une observable, qui est reliée à la distribution et au mouvement de la matière et de
l ’énergie de la manière décrite par les équations du champ.
Toutefois, il y a un problème fondamental. Les équations de la relativité générale sont
invariantes sous un grand nombre de transformations qui mélangent les coordonnées x 0 ,
x 1 , x 2 et x 3 . Par exemple, la transformation du point d ’observation
x 0′ = x 0 + x 1
x 1′ = −x 0 + x 1
x 2′ = x 2
x 3′ = x 3 (286)
est permise en relativité générale, et laisse les équations du champ invariantes. Vous de-
Défi 373 pe vriez pouvoir rechercher d ’autres exemples.
Cela entraîne une conséquence qui est, clairement, en contradiction flagrante avec la
vie courante : l ’ invariance par difféomorphisme fait qu ’ il est impossible de distinguer
l ’espace du temps dans le cadre de la relativité générale. Plus explicitement, la coordon-
née x 0 ne peut pas être uniquement identifiée au temps physique t, comme nous l ’avons
fait implicitement jusqu ’à présent. Cette identification n’est possible qu ’en relativité res-
treinte. Dans celle-ci, l ’ invariance sous la transformation de Lorentz (ou de Poincaré)
de l ’espace et du temps différencie l ’énergie, la quantité de mouvement et le moment
cinétique comme étant les observables fondamentales. En relativité générale, il n’y a pas
de groupe d ’ isométrie pour une métrique (non triviale). Par conséquent, il n’y a pas
d ’observables physiques élémentaires, distinguées par leur particularité d ’être conser-
vées. Mais des quantités invariantes sont nécessaires pour les échanges d ’ informations !
* « Épargnez le temps. » Lucius Annaeus Seneca (v. 4 av. J.-C.–65), Lettres à Lucilius (Epistulae morales ad
Lucilium) 88, 39.
l ’ espace diffère-t-il du temps ? 259
En fait, nous pouvons nous comprendre les uns les autres uniquement parce que nous
vivons dans un espace-temps approximativement plat : si la somme des angles d ’un tri-
angle n’était pas égale à π (deux angles droits), il n’y aurait aucune quantité invariante
et nous n’aurions pas la propension naturelle à communiquer entre nous.
Comment avons-nous réussi à éluder habilement ce problème jusqu ’à présent ? Nous

l ’avons fait de plusieurs manières. Le plus simple était d ’exiger constamment que, dans
une certaine région de la situation considérée, l ’espace-temps fût notre espace-temps plat
de Minkowski, où x 0 peut être assimilé à t. Nous pouvons remplir cette exigence soit à
l ’ infini, comme nous l ’avons fait autour des masses sphériques, soit par une approxi-
mation d ’ordre zéro, comme nous l ’avons fait pour les calculs du rayonnement gravita-
tionnel et de toutes les autres perturbations. De cette manière, nous éliminons l ’enche-
vêtrement délibéré des coordonnées, et les quantités invariantes autrement manquantes
apparaissent comme prévu. Cette approche pragmatique constitue l ’ issue ordinaire de
ce problème. En fait, elle est employée dans quelques textes, par ailleurs excellents, sur la
Réf. 191 relativité générale, qui évitent toute interrogation plus profonde concernant ce problème.
Une variante commune de ce tour de passe-passe consiste à laisser cette distinction
« poindre subrepticement » dans les calculs par l ’ introduction de la matière et de ses
propriétés, ou par l ’ introduction du rayonnement. Les propriétés matérielles de la ma-
tière, par exemple ses équations d ’état thermodynamiques, font toujours la distinction
entre l ’espace et le temps. Le rayonnement en fait de même, par sa propagation. Évidem-
ment cela reste vrai uniquement pour les combinaisons particulières de la matière et du
rayonnement que l ’on nomme horloges et mètres étalons. En fait, cette méthode d ’ in-
troduction de la matière est identique à la méthode d ’ introduction de l ’espace-temps de
Minkowski, si nous l ’analysons minutieusement : les propriétés de la matière sont tou-
jours définies en utilisant des descriptions de l ’espace-temps de la relativité restreinte*.
Une autre variante de cette approche pragmatique consiste à utiliser la coordonnée
de temps cosmologique. Un Univers isotrope et homogène doit avoir une coordonnée
temporelle privilégiée, à savoir celle employée dans toutes les chronologies sur le passé
Page 210, page 154 et le futur de l ’ Univers. Cette méthode est en fait une combinaison des deux précédentes.
Mais ici nous sommes dans une situation particulière. Nous voulons comprendre le
mouvement dans ses principes, et pas seulement le calculer en pratique. Nous voulons
une réponse fondamentale, non une pragmatique. Et pour cela nous avons besoin de sa-
voir comment les positions x i et le temps t sont reliés, et comment nous pouvons définir
des quantités invariantes. Cette question nous prépare également à la lourde tâche d ’al-
lier la gravité et la théorie quantique, ce qui sera l ’objectif de la dernière partie de notre
ascension de la Montagne Mouvement.
Une solution fondamentale nécessite une description des horloges associées au sys-
tème considéré, et une déduction sur la manière dont la lecture du temps t d ’une hor-
loge est reliée au comportement de ce système dans l ’espace-temps. Mais nous savons
que toute description d ’un système requiert des mesures, par exemple afin de détermi-
ner les états initiaux. Et des états initiaux réclament l ’espace et le temps. Nous entrons
donc dans un cercle vicieux : c ’est précisément ce que nous voulions éviter au premier
* Nous remarquons quelque chose de stupéfiant ici : l ’ introduction d ’une certaine condition aux petites
Défi 374 pe distances (la matière) possède le même effet que l ’ introduction d ’une certaine condition à l ’ infini. Est-ce
Page ?? juste une coïncidence ? Nous reviendrons sur ce problème dans la dernière partie de notre aventure.
260 7 l ’ espace diffère-t-il du temps ?
abord.
Nos soupçons s’éveillent. Y a-t-il en réalité une distinction essentielle entre l ’espace
et le temps ? Faisons une petite excursion sur les diverses manières d ’aborder cette ques-
tion.

L’ espace et le temps peuvent-ils être mesurés ?
Afin d ’établir une distinction entre l ’espace et le temps en relativité générale, nous
devons être capables de les quantifier. Mais déjà dans la section sur la gravitation univer-
Page 287 selle, nous avons mentionné l ’ impossibilité de mesurer des longueurs, des durées et des
masses seulement à l ’aide des effets gravitationnels. Cette situation change-t-elle avec
la relativité générale ? Les longueurs et durées sont liées par la vitesse de la lumière, et
de surcroît les longueurs et les masses sont liées par la constante gravitationnelle. Malgré
cette corrélation supplémentaire, il faut peu de temps pour se convaincre que le problème
demeure.
En fait, nous avons besoin de l ’ électrodynamique pour le résoudre. C ’est seulement
en utilisant la charge élémentaire e que nous pouvons former des échelles de longueur,
Réf. 236 dont la plus simple est
√
=√ ≈ 1,4 ⋅ 10−36 m .
e G
l échelle−em (287)
4πε 0 c2
Page 23 Ici, ε 0 représente la permittivité du vide. Alternativement, nous pouvons argumenter que
la mécanique quantique fournit une échelle de longueur, puisque nous pouvons utiliser
le quantum d ’action ħ pour définir l ’échelle de longueur
√
l échelle−qt = ≈ 1,6 ⋅ 10−35 m ,
ħG
(288)
c3
qui est appelée longueur de Planck ou unité de longueur naturelle de Planck. Toutefois,
cela ne change pas l ’argumentation, car nous avons besoin de l ’électrodynamique pour
mesurer la valeur de ħ. L’équivalence entre ces deux arguments est mise en évidence en
réécrivant la charge élémentaire e comme une combinaison de constantes fondamentales
de la nature : √
e = 4πε 0 cħα . (289)
Ici, α ≈ 1/137, 06 est la constante de structure fine qui caractérise la force d ’ interaction
de l ’électromagnétisme. En fonction de α, l ’expression (287) devient
√
αħG √
l échelle = = α l Pl . (290)
c3
En résumé, chaque mesure de longueur est fondée sur la constante de couplage électro-
magnétique α et sur la longueur de Planck. Bien entendu, la même chose est vraie pour
Défi 375 e les mesures de durées et de masses. Il n’existe donc aucune manière de définir ou de me-
surer des longueurs, des durées et des masses en utilisant uniquement la gravitation ou
la relativité générale*.
Étant donné ce résultat qui nous ramène à la raison, nous pouvons nous demander si
l ’espace et le temps sont véritablement nécessaires dans la relativité générale.

L’ espace et le temps sont-ils indispensables ?
Réf. 238 Robert Geroch répondit à cette question dans un magnifique article de cinq pages. Il
explique comment formuler la théorie de la relativité générale sans faire usage de l ’espace
et du temps, en prenant comme point de départ uniquement les observables physiques.
Il commence avec l ’ensemble de toutes les observables. Parmi elles, il y en a une, notée
v, qui se distingue. C ’est la seule observable qui nous permette de dire que pour deux
observables a 1 , a 2 quelconques il en existe une troisième a 3 , telle que
(a 3 − v) = (a 1 − v) + (a 2 − v) . (291)
Une telle observable est appelée le vide. Geroch montre comment tirer profit de celle-ci
pour construire les dérivées des observables. Ce que nous appelons l ’ algèbre d ’ Einstein
peut alors être construire, laquelle inclut la relativité générale tout entière.
Généralement, nous décrivons le mouvement en déduisant l ’espace-temps des obser-
vables matérielles, en calculant l ’évolution de l ’espace-temps, et ensuite en inférant le
mouvement de la matière qui découle de celui-ci. La description de Geroch montre que
l ’étape intermédiaire, c ’est-à-dire l ’utilisation de l ’espace et du temps, n’est pas néces-
saire.
De manière indirecte, le principe de la force maximale sous-tend la même idée. La
relativité générale peut être dérivée de l ’existence de valeurs limites pour la force ou la
puissance. L’espace et le temps sont les seuls outils nécessaires pour traduire ce principe
en conséquences tangibles pour des observateurs de la vie réelle.
Ainsi, il est possible de formuler la relativité générale sans faire usage de l ’espace et
du temps. Puisqu ’ ils ne sont pas indispensables, il semble improbable qu ’ il doive y avoir
une différence fondamentale entre eux. Pourtant, une telle différence est notoire.
Les courbes fermées de genre temps existent-elles ?

Est-il possible que la coordonnée temporelle se comporte, du moins dans certaines
régions, comme un tore ? Lorsque nous marchons, nous pouvons retourner au point de
départ. Est-il possible de revenir dans le temps à l ’endroit d ’où nous sommes partis ?
Cette question a été étudiée avec beaucoup de soin. Le texte de référence sur le sujet est
Réf. 197 celui de Hawking et Ellis, qui ont énuméré les propriétés requises de l ’espace-temps, ex-
pliquant lesquelles sont mutuellement compatibles ou non. Ils ont trouvé, par exemple,
que les espaces-temps qui sont uniformes, globalement hyperboliques, orientés, et dont
le temps est orienté ne contiennent aucune courbe de cette espèce. Nous supposons géné-
ralement que l ’ Univers observé possède ces propriétés ; ainsi l ’observation de courbes
Réf. 237 * Par le passé, John Wheeler avait l ’ habitude d ’affirmer que son horloge géométrodynamique, un dispositif
qui mesure le temps en faisant rebondir sans cesse une impulsion lumineuse entre deux miroirs parallèles,
Défi 376 s était un contre-exemple. Cependant ce n’est pas exact. Pouvez-vous le confirmer ?

y
x
F I G U R E 95 Un « trou » dans l’espace.
fermées de genre temps est improbable. En réalité, aucun indice n’a été relevé jusqu ’à
présent. Plus tard, nous montrerons que la recherche de telles courbes à l ’échelle micro-
Page ?? scopique n’est pas parvenue, elle non plus, à en découvrir une.
L’ impossible existence des courbes fermées de genre temps semble souligner une dé-
marcation possible entre l ’espace et le temps. Mais en fait, cette différence n’est qu ’appa-
rente. Tous ces examens sont fondés sur le comportement de la matière. Et ces arguments
tablent sans ambages sur une distinction explicite entre l ’espace et le temps dès le départ.
En bref, cette discussion ne peut pas nous permettre de savoir si l ’espace et le temps
diffèrent. Analysons ce problème d ’une autre manière.
L a relativité générale est-elle lo cale ? – L’ argument du trou

Lorsqu ’Albert Einstein développa la relativité générale, il eut du fil à retordre avec
l ’ invariance par difféomorphisme. Sa préoccupation la plus retentissante fut son fameux
argument du trou, que nous pourrions dénommer de façon plus adéquate le paradoxe
du trou. Prenez la situation indiquée sur la Figure 95, dans laquelle une masse déforme
l ’espace-temps autour d ’elle. Einstein imagina une petite région du vide, le trou, qui est
schématisée par une petite ellipse. Qu ’est-ce qui se passe si nous modifions d ’une ma-
nière ou d ’une autre la courbure à l ’ intérieur du trou tout en laissant la situation exté-
Réf. 239 rieure à celui-ci intacte, comme indiqué dans le croquis annexé à la figure ?
D’une part, la nouvelle situation est, manifestement, physiquement distincte de la
première, puisque la courbure à l ’ intérieur du trou est différente. Cette différence im-
plique donc que la courbure à l ’extérieur d ’une région ne détermine pas la courbure
à l ’ intérieur de celle-ci. Cela est profondément frustrant. Pis, si nous généralisons cette
opération au domaine du temps, nous obtenons apparemment le pire cauchemar qui soit
en physique : la disparition du déterminisme.
D’autre part, la relativité générale est invariante par difféomorphisme. La déforma-
tion indiquée sur la figure est un difféomorphisme, donc la nouvelle situation doit être
physiquement équivalente à la situation d ’origine.
Lequel de ces arguments est-il correct ? Einstein privilégia d ’abord la première thèse,
et par conséquent abandonna entièrement l ’ idée de l ’ invariance par difféomorphisme
durant environ un an. Ce n’est qu ’après qu ’ il réalisa que la deuxième hypothèse est cor-
recte et que la première affirmation commet une erreur fondamentale : elle présume que
les axes de coordonnées x et y existent indépendamment l ’un de l ’autre, comme indi-

qué sur la figure. Mais, au cours de cette déformation, les coordonnées x et y changent
mécaniquement aussi, de telle sorte qu ’ il n’existe aucune différence physique entre ces
deux situations.
La morale de cette histoire est qu ’ il n’y a aucune différence entre l ’espace-temps et

le champ gravitationnel. L’espace-temps est un apanage du champ, comme le faisait re-
marquer Einstein, et non une entité dotée d ’une réalité séparée, comme le suggère le
graphique. Les coordonnées n’ont aucune signification physique, seules les distances (in-
tervalles) dans l ’espace et le temps en ont une. En particulier, l ’ invariance par difféomor-
phisme démontre que le temps ne s’écoule pas. Le temps, comme l ’espace, est seulement
une entité relationnelle : le temps et l ’espace sont relatifs, ils ne sont pas absolus.
La relativité de l ’espace et du temps possède des conséquences pratiques. Par exemple,
il apparaît que de nombreux problèmes en relativité générale sont équivalents à la situa-
tion de Schwarzschild, bien qu ’ ils en paraissent totalement différents à première vue. Par
conséquent, des chercheurs ont « redécouvert » la solution de Schwarzschild (bien en-
tendu avec des systèmes de coordonnées différents) plus de vingt fois, pensant toujours
qu ’ ils avaient découvert une nouvelle solution encore inconnue. Nous allons maintenant
discuter d ’une conséquence bouleversante de cette nouvelle perspective.
L a Terre est-elle creuse ?

L’ hypothèse de la Terre creuse, c ’est-à-dire la conjecture qui stipule que nous vivons
à l ’ intérieur d ’une sphère, était populaire dans les cercles paranormaux autour de l ’an
1900, et le demeure aujourd ’ hui chez certaines personnalités excentriques, surtout en
Page 48 Grande-Bretagne, en Allemagne et aux États-Unis. Ils soutiennent, comme illustré sur la
Figure 96, que la Terre solide enveloppe le ciel, y compris la Lune, le Soleil et les étoiles. La
plupart d ’entre nous sommes bernés par l ’enseignement, qui donne une autre descrip-
tion, parce que nous sommes élevés pour croire que la lumière voyage en ligne droite.
Débarrassez-vous de cette croyance erronée, disent-ils, et la Terre creuse apparaît dans
toute sa splendeur.
Il est intéressant de noter que ce raisonnement est correct. Il n’existe aucune manière
de réfuter cette classe de descriptions de l ’ Univers. En fait, comme le grand physicien
Réf. 240 autrichien Roman Sexl avait l ’ habitude de le dire, l ’ invariance par difféomorphisme de
la relativité générale déclare même que ces deux points de vue sont équivalents entre
eux. Le côté comique de cette histoire commence lorsque l ’un des deux camps veut faire
comprendre à l ’autre que seule sa propre description peut être correcte. Vous pourriez
vérifier que n’ importe quelle argumentation de ce type est fausse, et il est amusant de se
glisser dans la peau d ’une telle personnalité fantasque et de défendre l ’ hypothèse de la
Défi 377 e Terre creuse contre vos amis. On explique facilement ainsi l ’apparition du jour et de la
nuit, l ’ horizon, et les images satellite de la Terre. Il est facile d ’expliquer ce qui s’est passé
au cours du voyage des premiers hommes vers la Lune. Ce faisant, vous pouvez rendre
un grand nombre de physiciens novices complètement fous. La description usuelle et la
description de la Terre creuse sont totalement équivalentes. Pouvez-vous confirmer que
même la théorie quantique, avec son introduction d ’échelles de longueur dans la nature,
Défi 378 s laisse cette situation invariablement identique ?
De telles investigations montrent que l ’ invariance par difféomorphisme n’est pas une

F I G U R E 96 Une modélisation de la théorie de la Terre creuse. (© Helmut Diehl)
symétrie facile à digérer. Mais il est dorénavant préférable de s’y habituer, car le reste de
notre aventure nous dévoilera encore plus de surprises. En réalité, dans la dernière partie
de notre excursion, nous découvrirons qu ’ il existe une symétrie de la nature encore plus
générale, qui est analogue au changement de point de vue entre l ’ idée de la Terre creuse et
la vision standard. Cette symétrie, la dualité de l ’espace-temps, est valable non seulement
pour des distances mesurées depuis le centre de la Terre, mais aussi pour des distances
Page ?? mesurées depuis un point quelconque dans la nature.
L’ espace, le temps et la masse sont-ils indépendants ?

Nous pouvons conclure de cette brève discussion qu ’ il n’existe aucune distinction
essentielle entre l ’espace et le temps en relativité générale. Des distinctions pragmatiques,
faisant usage de la matière, du rayonnement ou de l ’espace-temps situé à l ’ infini, sont
les seules possibles.
Dans la dernière partie de notre aventure, nous découvrirons que même l ’ introduc-
tion de la théorie quantique est cohérente avec cette vision. Nous montrerons explicite-
ment qu ’aucune distinction n’est possible en principe. Nous comprendrons que la masse
et l ’espace-temps sont sur un pied d ’égalité, et que, dans un certain sens, les particules et
Page ?? le vide sont constitués de la même substance. Des distinctions entre l ’espace et le temps
se révèlent possibles uniquement aux basses énergies de la vie courante.
Page 168 Au commencement de notre ascension montagneuse, nous avons découvert que nous
avions besoin de la matière pour définir l ’espace et le temps. Maintenant, nous avons
trouvé que nous avons même besoin de la matière pour discerner l ’espace du temps. De
manière analogue, au départ nous avions établi que l ’espace et le temps sont nécessaires
Page 190 pour définir la matière ; maintenant nous avons deviné que même l ’espace-temps plat
est nécessaire pour la définir.
En résumé, la relativité générale ne fournit pas une issue au raisonnement récursif

que nous avions dévoilé en physique galiléenne. En réalité, elle rend ce problème encore
moins limpide qu ’avant. Il est vraiment digne d ’ intérêt de poursuivre notre escalade
montagneuse.

Chapitre 8
L A R E L AT I V I T É G É N É R A L E E N DI X

P OI N T S – U N R É SUM É P OU R L E
PROFA N E
“
Sapientia felicitas*.
”
La relativité générale est l ’ultime description des trajectoires du mouvement ou, si
nous préférons, du mouvement macroscopique. Elle décrit comment les observations du
mouvement faites par deux observateurs quelconques sont reliées l ’une à l ’autre. Elle dé-
crit également le mouvement causé par la gravitation. En fait, la relativité générale est
fondée sur les observations suivantes :
— Tous les observateurs s’accordent sur le fait qu ’ il existe une vitesse « parfaite » dans
la nature, à savoir une vitesse énergétique maximale commune pour la matière. Cette
vitesse est atteinte par le rayonnement sans masse, tels la lumière et les signaux radio.
— Tous les observateurs s’accordent sur le fait qu ’ il existe une force « parfaite » dans
la nature, une force maximale commune qui peut être réalisée ou mesurée par des
observateurs réalistes. Cette force se manifeste sur des horizons des événements.
Ces deux propositions contiennent toute la théorie de la relativité. À partir d ’elles nous
en déduisons que :
— L’espace-temps est composé d ’événements situés dans 3 + 1 dimensions continues,
ayant une courbure variable. La courbure peut être retrouvée à partir des mesures
de distance entre les événements ou à partir des forces de marée. Nous vivons donc
dans un espace-temps pseudo-riemannien. Les durées, les longueurs et les courbures
mesurées varient d ’un observateur à l ’autre.
— L’espace-temps et l ’espace sont courbés à proximité de la masse et de l ’énergie. La
courbure en un point est déterminée par la densité d ’énergie–impulsion en ce point,
et est décrite par les équations du champ. Lorsque la matière et l ’énergie se déplacent,
la courbure spatiale se déplace dans la même direction. Un retard inhérent dans ce
mouvement rend impossible le transport d ’énergie plus rapide que la lumière. La
constante de proportionnalité entre l ’énergie et la courbure est si petite que cette cour-
bure n’est pas observée dans la vie quotidienne ; seule sa manifestation indirecte, à
savoir la gravitation, est observée.
— L’espace est également flexible : il tend à être plat. Étant élastique, il peut osciller
indépendamment de la matière, nous parlons alors de rayonnement gravitationnel
ou d ’ondes gravitationnelles.
* « La raison est le comble du bonheur. » Une célèbre inscription de l ’université d ’ Oxford.

un résumé pour le profane 267
— La matière en chute libre se déplace le long de géodésiques, c ’est-à-dire le long de

trajectoires de longueur maximale dans l ’espace-temps courbe. Dans l ’espace, cela
signifie que la lumière est déviée, lorsqu ’elle passe près des grosses masses, du double
de la grandeur prévue par la gravitation universelle.
— Pour décrire la gravitation, nous avons besoin de l ’espace-temps courbe, c ’est-à-dire

de la relativité générale, pour le moins en dernier recours à chaque fois que les dis-
tances sont de l ’ordre du rayon de Schwarzschild rS = 2Gm/c 2 . Lorsque les distances
sont beaucoup plus importantes que cette grandeur, la description relativiste de la
gravité et du gravitomagnétisme (entraînement de référentiel) est suffisante. Lorsque
les distances sont encore plus grandes, la description par la gravitation universelle, à
savoir a = Gm/r 2 , associée à l ’espace-temps plat de Minkowski, est convenable en
première approximation.
— L’espace et le temps ne sont pas discernables de façon globale, mais seulement de
façon locale. La matière est requise pour faire cette distinction.
De surcroît, toute la matière et l ’énergie que nous observons dans le ciel nous conduisent
aux conclusions qui suivent :
— À l ’échelle cosmologique, tout objet s’éloigne des autres : l ’ Univers est en expansion.
Cette expansion de l ’espace-temps est décrite par les équations du champ.
— L’ Univers possède un âge fini, c ’est l ’explication de l ’obscurité du ciel nocturne. Un
horizon restreint les intervalles d ’espace-temps mesurables à environ quatorze mil-
liards d ’années.
L a précision de cet te description

La relativité générale est-elle à la hauteur des efforts consentis ? Il est plus commode
Réf. 241 de partager la discussion concernant son exactitude en deux ensembles d ’expériences. Le
premier ensemble est constitué des mesures sur la manière dont la matière se déplace. Les
objets suivent-ils réellement des géodésiques ? Comme résumé dans le Tableau 7, toutes
les expériences s’accordent avec la théorie aux erreurs de mesures près, c ’est-à-dire à
Réf. 242 moins d ’une partie pour 1012 . En bref, la façon dont la matière chute est effectivement
bien décrite par la relativité générale.
Le second ensemble de mesures concerne la dynamique de l ’espace-temps lui-même.
L’ espace-temps s’agite-t-il en respectant les équations du champ de la relativité générale ?
Autrement dit, l ’espace-temps est-il réellement courbé par la matière de la façon prédite
par la théorie ? Un grand nombre d ’expériences ont été réalisées, près et loin de la Terre, à
la fois dans des champs faibles et forts. Toutes s’accordent avec les prédictions aux erreurs
Réf. 241, Réf. 242 de mesure près. Cependant, les meilleurs relevés réalisés jusqu ’à présent ne possèdent
environ que 3 chiffres significatifs. Remarquez que, bien que de nombreuses expériences
aient été exécutées, il n’existe que quelques types de tests, comme le Tableau 7 l ’ indique.
La découverte d ’un nouveau type d ’expériences garantit pratiquement d ’avance noto-
Défi 379 pe riété et prospérité à son inventeur. Ce qui est le plus recherché, bien entendu, c ’est la
détection directe des ondes gravitationnelles.
Un autre commentaire sur le Tableau 7 concerne l ’ordre de grandeur. Après plu-
sieurs décennies au cours desquelles tous les effets mesurés étaient seulement de l ’ordre
de v 2 /c 2 , plusieurs effets en champs forts dans des pulsars nous ont permis d ’atteindre
268 8 la relativité générale en dix points
TA B L E AU 7 Types de tests de la relativité générale.
Effet mesuré C onfir - Type Réfé -

m at i o n rence
Principe d ’équivalence 10−12 mouvement de la Réf. 123,

matière

Réf. 241,
Réf. 243
2 −10
Dépendance en 1/r (nombre de dimensions de 10 mouvement de la Réf. 244
l ’espace-temps) matière
Indépendance de G par rapport au temps 10−19 /s mouvement de la Réf. 241
matière
Décalage vers le rouge (lumière et micro-ondes 10−4 courbure Réf. 101,
sur le Soleil, la Terre, Sirius) spatio-temporelle Réf. 100,
Réf. 241
Avancée du périhélie (quatre planètes, Icare, 10−3 courbure Réf. 241
pulsars) spatio-temporelle
Déviation de la lumière (lumière, ondes radio 10−3 courbure
Réf. 241
frôlant le Soleil, les étoiles, les galaxies) spatio-temporelle
Décalage temporel (signaux radio près du Soleil, 10−3 courbure Réf. 241,
près des pulsars) spatio-temporelle Réf. 130
−1
Gravitomagnétisme (Terre, pulsar) 10 courbure Réf. 125
spatio-temporelle
Effet géodésique (Lune, pulsars) 10−1 courbure Réf. 146,
spatio-temporelle Réf. 241
−3
Émission décalée d ’ondes gravitationnelles 10 courbure Réf. 241
(pulsars) spatio-temporelle
Réf. 241 l ’ordre v 4 /c 4 . Quelques effets de cet ordre de grandeur devraient bientôt être également
découverts à l ’ intérieur même du Système solaire, en utilisant des expériences satelli-
taires de haute précision. Actuellement, le trophée de toutes les mesures revient au dé-
lai de l ’émission des ondes gravitationnelles, c ’est le seul effet en v 5 /c 5 mesuré jusqu ’à
Page 160 présent.
La difficulté de parvenir à une haute précision dans les mesures de la courbure de
l ’espace-temps représente la raison pour laquelle la masse est évaluée à l ’aide de ba-
lances, en utilisant toujours (de manière indirecte) le prototype du kilogramme situé à
Paris, au lieu de définir une certaine courbure étalon et de fixer la valeur de G. En réalité,
aucune expérience utile sur la courbure engendrée par la Terre n’a été réalisée jusqu ’à
maintenant. Une percée dans ce domaine ferait sensation. Les méthodes de courbure ter-
restre actuellement disponibles ne pourraient même pas nous permettre de définir un
kilogramme d ’or ou d ’oranges avec une précision d ’un kilogramme seulement !
Un autre procédé pour tester la relativité générale consiste à rechercher des descrip-
tions alternatives de la gravitation. Il existe un nombre assez important d ’autres théories
Réf. 242, Réf. 245 de la gravitation qui ont été formulées et étudiées, mais jusqu ’à présent seule la relativité
générale est en accord avec toutes les expériences.
En résumé, comme Thibault Damour aime l ’expliquer, la relativité générale est exacte
à au moins 99,999 999 999 9 % à propos de la description du mouvement de la matière et

de l ’énergie, et exacte à au moins 99,9 % concernant la façon dont la matière et l ’énergie
Réf. 241 courbent et déplacent l ’espace-temps. Nous ne connaissons aucune exception, aucune
anti-gravité et aucune donnée expérimentale inexpliquée. Tout mouvement se produi-
sant sur Terre et dans les cieux est décrit par la relativité générale. La réussite d ’Albert

Einstein ne peut être mise en défaut.
Nous remarquons que la relativité générale n’a pas été testée pour le mouvement mi-
croscopique. Dans ce contexte, le mouvement microscopique concerne tout mouvement
pour lequel l ’action se rapproche du quantum d ’action, à savoir 10−34 Js. Ce problème
constitue la partie centrale de la dernière étape de notre aventure.
R echerches en relativité générale et en cosmolo gie

Réf. 246 La recherche en relativité générale n’a jamais été aussi intense*.
∗∗
Les études expérimentales les plus intéressantes en ce moment sont celles qui sont consa-
crées aux pulsars binaires, à la quête des ondes gravitationnelles et aux divers satellites
dédiés à cette observation. Entre autres, un satellite spécifique détectera tous les pulsars
possibles de la Galaxie. Toutes ces expériences permettront de réaliser des tests expéri-
mentaux dans des domaines qui sont demeurés inaccessibles jusqu ’à présent.
∗∗
La description des collisions et des problèmes à plusieurs corps, impliquant des étoiles,
des étoiles à neutrons et des trous noirs, aide les astrophysiciens à améliorer leur compré-
Réf. 247 hension de la profusion des phénomènes qu ’ ils observent dans leurs télescopes.
∗∗
L’étude de l ’ Univers primordial et des propriétés des particules élémentaires, ainsi que
des phénomènes tels que l ’ inflation, une courte période d ’expansion accélérée qui eut
lieu au cours des toutes premières secondes, représente toujours un important sujet de
Réf. 248 recherches.
∗∗
L’approfondissement du chaos présent dans les équations du champ est d ’un intérêt fon-
damental dans l ’étude de l ’ Univers primordial, et peut être rattaché au problème de la
Réf. 249 formation des premières galaxies, une des plus grandes questions ouvertes en physique.
∗∗
Le recueil de données concernant la formation des galaxies représente le principal objec-
tif de plusieurs systèmes de satellites et de télescopes construits dans ce but. Ceux-ci se
focalisent principalement sur la quête d ’anisotropies localisées du fond diffus cosmolo-
Réf. 250 gique micro-onde dues aux galaxies primordiales.
* Il existe même une excellente revue gratuite de la recherche disponible sur Internet, appelée Living Reviews
in Relativity, qui peut être compulsée sur le site www.livingreviews.org.
∗∗
La détermination des paramètres cosmologiques tels que la densité de matière, la cour-
Réf. 193 bure et la densité du vide constitue un effort primordial de l ’astrophysique moderne.
∗∗

Des astrophysiciens découvrent régulièrement de nouveaux phénomènes dans les cieux.
Par exemple, les divers types de sursauts gamma, de bouffées de rayons X et de sursauts
Réf. 251 optiques ne sont pas encore parfaitement compris. Des sursauts gamma, par exemple,
peuvent être aussi brillants que 1017 étoiles du gabarit du Soleil réunies. Cependant, ils
ne durent que quelques secondes. Nous fournirons plus loin plus de détails sur cette
Page ?? recherche.
∗∗
Une base de données informatisée de toutes les solutions des équations du champ est en
train d ’être alimentée. Les chercheurs vérifient entre autres si elles sont toutes vraiment
Réf. 252 différentes les unes des autres.
∗∗
Des solutions dotées de topologies non triviales, tels les trous de ver et les solutions de
type particule, constituent un domaine captivant de recherche, associé à la théorie des
Réf. 254 cordes.
∗∗
D’autres formulations de la relativité générale, qui décrivent l ’espace-temps avec des
quantités différentes de la métrique, sont continuellement en cours de développement,
dans l ’espoir d ’éclaircir ses relations avec le monde quantique. Un exemple moderne
Réf. 255 d ’une telle description se trouve dans ce que nous appelons les variables d ’Ashtekar.
∗∗
L’unification de la physique quantique et de la relativité générale, qui est le thème de
la dernière partie de cette ascension montagneuse, absorbera les chercheurs pendant un
Réf. 256 grand nombre d ’années encore.
∗∗
Finalement, l ’enseignement de la relativité générale, qui est restée cloîtrée pendant plu-
sieurs décennies derrière des indices grecs, des formes différentielles et d ’autres mé-
thodes antipédagogiques, bénéficiera grandement des améliorations futures qui se foca-
Réf. 257 lisent plus sur la physique sous-jacente et moins sur le formalisme utilisé.
En bref, la relativité générale forme toujours un domaine de recherche extrêmement

intéressant, et des découvertes importantes sont toujours attendues.
Se pourrait-il que la relativité générale soit différente ?

La constante de la gravitation fournit une limite pour la densité et l ’accélération des
objets, ainsi que pour la puissance dégagée par les machines. Nous avons fondé toutes nos
déductions sur son invariance. Est-il possible que la constante gravitationnelle G varie
d ’un endroit à l ’autre ou au cours du temps ? Cette question est subtile. À première vue,
la réponse est un franc : « Oui, bien sûr ! Regardez simplement ce qui se passe lorsque
la valeur de G est modifiée dans les formules. » Cependant, cette réponse est fausse, de
Page 90 même qu ’elle était fausse pour la vitesse de la lumière c.

Puisque la constante de la gravitation entre dans notre définition de la gravité et de
l ’accélération, et donc, même si nous ne le remarquons pas, dans la construction de
tous les étalons de référence, de tous les standards de mesure et de tous les dispositifs
de mesure, il n’existe aucun procédé permettant de détecter si sa valeur varie réellement.
Défi 380 pe Aucune expérience imaginable ne pourrait détecter une quelconque variation. Chaque
évaluation de la force est, que nous le voulions ou non, basée sur une comparaison avec
la force limite. Il n’y a aucun procédé permettant, en principe, de contrôler l ’ invariance
d ’un étalon. Cela est encore plus surprenant parce que des mesures de cette espèce sont
Page 268 régulièrement rapportées, comme dans le Tableau 7. Mais le résultat de n’ importe quelle
expérience de ce type se prévoit facilement : aucun changement ne sera jamais détecté.
Le nombre de dimensions spatiales pourrait-il être différent de 3 ? Cette question est
plutôt compliquée. Par exemple, trois est le plus petit nombre de dimensions pour lequel
un tenseur de Ricci nul est compatible avec une courbure non nulle. D’un autre côté,
des dimensions supérieures à trois entraînent des déviations par rapport à la « loi » en
l ’ inverse du carré de la gravitation. Jusqu ’à présent, il n’existe aucun indice allant dans
ce sens.
Les équations de la relativité générale pourraient-elles être différentes ? Les théori-
ciens ont exploré plusieurs théories alternatives, telles que les théories tenseur–scalaire,
les théories avec torsion, ou les théories qui brisent l ’ invariance de Lorentz. Cependant,
aucune des théories alternatives proposées jusqu ’à maintenant ne semble s’ajuster avec
les données expérimentales. Toutefois, deux candidats pourraient subsister.
L’ incorporation de la torsion dans les équations du champ, qui constitue une éven-
tuelle extension de la théorie, représente une des tentatives les plus prometteuses per-
Réf. 253 mettant d ’ introduire le spin des particules dans la relativité générale. L’ inclusion de la
torsion dans la relativité générale ne requiert aucune nouvelle constante fondamentale.
En réalité, l ’absence de la torsion constituait une hypothèse de départ dans l ’équation de
Réf. 258 Raychaudhuri. L’utilisation de l ’équation de Raychaudhuri étendue, qui inclut la torsion,
devrait nous permettre de déduire la théorie d ’ Einstein–Cartan tout entière à partir du
principe de la force maximale. Ce sujet représente un terrain de recherches pour l ’avenir.
Finalement, il y a un résultat expérimental qui demeure toujours inexpliqué. La vi-
tesse de rotation de la matière située très loin du centre des galaxies ne semble pas être
cohérente avec la dépendance en l ’ inverse du carré de la distance. Il pourrait y avoir plu-
sieurs raisons qui expliquent cet effet. Les modèles les plus populaires sont, d ’un côté,
l ’existence de la matière noire et, de l ’autre côté, une modification dans les équations
Réf. 259 du champ pour les très grandes distances astronomiques. Le modèle de la matière noire
suppose que nous rencontrons des difficultés pour observer quelque chose ; le modèle de
la dynamique corrigée suppose que nous avons omis quelque chose dans les équations.
Cette question est toujours ouverte.
Les limites de la relativité générale

En dépit de ses nombreux succès, la description du mouvement présentée jusqu ’à
maintenant n’est pas satisfaisante. Peut-être avez-vous déjà eu quelques intuitions concer-
Défi 381 e nant certains problèmes non résolus.
En premier lieu, bien que la vitesse de la lumière soit le point de départ de toute la

théorie, nous ne savons pas encore ce qu ’est réellement la lumière. Ce sera notre prochain
sujet de discussion.
Deuxièmement, nous avons vu que toutes les choses chutent en suivant des géodé-
siques. Mais une montagne ne chute pas. Dans un sens, la matière située en dessous
l ’empêche de tomber. Comment ? Et après tout, d ’où vient la masse ? Qu ’est-ce que la
masse ? Qu ’est-ce que la matière ? La relativité générale ne fournit aucune réponse ; en
fait, elle ne décrit pas du tout la matière elle-même. Einstein avait l ’ habitude de dire que
le membre de gauche des équations du champ, qui décrit la courbure de l ’espace-temps,
est le granite, alors que le membre de droite, qui décrit la matière, est le sable. En réalité,
à ce niveau, nous ne savons toujours pas ce que sont la matière et la masse. Comme nous
l ’avons déjà souligné, pour transformer le sable en roche nous avons d ’abord besoin
de la théorie quantique, et ensuite, dans une étape ultérieure, de son unification avec la
relativité. C ’est le programme qui nous attend pour le reste de notre aventure.
Nous avons aussi vu que la matière est nécessaire pour distinguer clairement l ’espace
du temps, et surtout pour comprendre le fonctionnement des horloges, des mètres éta-
lons et des balances. En particulier, une question demeure : après tout pourquoi y a-t-il
des unités de masse, de longueur et de temps dans la nature ? Cette question profonde
sera également abordée dans le chapitre suivant.
Pour finir, nous en savons peu au sujet du vide. Nous avons besoin de comprendre
l ’origine de la grandeur constatée de la constante cosmologique et du nombre de dimen-
sions d ’espace-temps. Ce n’est qu ’après cela que nous pourrons répondre à la question
élémentaire : pourquoi le ciel est-il si éloigné ? La relativité générale ne nous est d ’au-
cun secours ici. Pire, la petitesse de la constante cosmologique contredit la version la
plus simple de la théorie quantique. C ’est l ’une des raisons pour lesquelles nous avons
encore beaucoup de chemin à parcourir avant d ’atteindre le sommet de la Montagne
Page ?? Mouvement.
En résumé, pour décrire correctement le mouvement, nous avons besoin d ’une des-
cription plus précise de la lumière, de la matière et du vide. Autrement dit, nous avons
besoin d ’en savoir plus sur tout ce que nous savons déjà. Sinon, nous ne pouvons espérer
Page ?? trouver de réponse aux questions qui nous taraudent sur les montagnes, les horloges et les
astres. Dans un sens, il semblerait que nous n’ayons pas accumulé beaucoup de connais-
sances. Par chance, ce n’est pas vrai. Nous en avons tant appris que, dans la prochaine
étape, nous serons obligés de revenir en arrière, aux situations sans la gravité, c ’est-à-dire
de revenir au cadre de la relativité restreinte. C ’est la prochaine section, intermédiaire,
de notre ascension montagneuse. Malgré ce retour simplificateur à l ’espace-temps plat,
attendons-nous à y trouver beaucoup d ’émerveillement.
“
C ’est une bonne chose que nous ayons la
gravité, sinon les oiseaux morts resteraient tout
simplement en l ’air. Les chasseurs seraient bien
embarrassés.
Steven Wright, acteur.
”

Annexe A
U N I T É S , M E SU R E S ET C ON STA N T E S

M esurer consiste à comparer avec un étalon. Un étalon est basé sur une unité. Une
ultitude de systèmes d ’unités différents ont été utilisés à travers le monde. La plu-
part des étalons confèrent du pouvoir à l ’organisme qui en a la charge. Une telle autorité
peut être utilisée abusivement : c ’est le cas aujourd ’ hui, par exemple dans l ’ industrie
informatique, et il en était de même jadis. La solution est identique dans les deux situa-
tions : mettre sur pied un étalon indépendant et général. Au sujet des unités, cela eut
lieu au dix-huitième siècle : pour éviter des abus de la part d ’ institutions autoritaires,
pour évincer les problèmes dus aux unités de référence différentes, variables et non re-
productibles, et – ce n’est pas une blague – pour simplifier le recouvrement des impôts,
un groupe de scientifiques, d ’ hommes politiques et d ’économistes se sont mis d ’accord
sur un ensemble d ’unités. On l ’appelle le Système International d’ Unités, SI en abrégé, et
il est défini par un traité international, la « Convention du Mètre ». Les unités sont régies
par un organisme international, la « Conférence Générale des Poids et Mesures », et ses
organisations filles, la « Commission Internationale des Poids et Mesures » et le « Bureau
International des Poids et Mesures » (BIPM), qui ont toutes vu le jour au même moment,
Réf. 260 juste avant la Révolution française.
Toutes les unités du SI sont construites à partir de sept unités de base, dont les défini-
tions officielles sont données ci-dessous, avec les dates de leurs formulations :
« La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la
transition entre les deux niveaux hyperfins de l ’état fondamental de l ’atome de césium
133 à une température de 0 kelvin. » (1967)*
« Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une
durée de 1/299 792 458 seconde. » (1983)
« Le kilogramme est l ’unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international
du kilogramme. » (1901)*
« L’ ampère est l ’ intensité d ’un courant constant qui, maintenu dans deux conduc-
teurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés
à une distance de un mètre l ’un de l ’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs
une force égale à 2 ⋅ 10−7 newton par mètre de longueur. » (1948)
« Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
température thermodynamique du point triple de l ’eau. » (1967)*
« La mole est la quantité de matière d ’un système contenant autant d ’entités élémen-
taires qu ’ il y a d ’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12. » (1971)*
« La candela est l ’ intensité lumineuse, dans une direction donnée, d ’une source qui
émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540⋅1012 hertz et dont l ’ intensité
unités, mesures et constantes 275
énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian. » (1979)*
Notez que les unités de temps et de longueur sont toutes les deux définies à partir de
certaines propriétés d ’un modèle de référence du mouvement, à savoir la lumière. C ’est
une illustration supplémentaire qui souligne le fait que l ’observation du mouvement, qui
est le type fondamental de changement, est une condition préalable à la définition et à la

construction du temps et de l ’espace. Par ailleurs, l ’emploi de la lumière dans les défini-
tions avait déjà été proposé en 1827 par Jacques Babinet*.
À partir de ces unités de base, toutes les autres unités sont définies par multiplication
et division. Ainsi, toutes les unités du SI possèdent les propriétés suivantes :
Les unités du SI forment un système ayant la précision de l ’état de l ’art : toutes les
unités sont définies avec une précision qui est supérieure à la précision des mesures cou-
ramment effectuées. De plus, la précision de ces définitions est régulièrement améliorée.
L’ incertitude relative actuelle dans la définition de la seconde se situe autour de 10−14 ,
10−10 environ pour le mètre, 10−9 environ pour le kilogramme, 10−7 pour l ’ampère, moins
de 10−6 pour la mole, 10−6 pour le kelvin et 10−3 pour la candela.
Les unités du SI forment un système absolu : toutes les unités sont définies de telle
manière qu ’elles puissent être reproduites dans tout laboratoire convenablement équipé,
de manière indépendante, et avec une précision élevée. Cela permet d ’éviter autant que
possible tout abus de la part de l ’organisation qui détermine les étalons. (Le kilogramme,
toujours défini à l ’aide d ’un artéfact, est la dernière exception à cette exigence, une re-
cherche intensive est en cours pour éliminer cet objet de la définition – une compétition
internationale qui prendra encore quelques années. Il existe deux approches : dénombrer
des particules ou fixer ħ. La première peut être accomplie dans des cristaux, la dernière
en utilisant n’ importe quelle formule où ħ apparaît, comme la formule de la longueur
d ’onde de de Broglie ou celle de l ’ effet Josephson.)
Les unités du SI forment un système pratique : les unités de base sont des quantités
dont la grandeur est familière. Les unités couramment employées possèdent des dénomi-
nations et des abréviations standard. La liste complète inclut les sept unités de base, les
unités supplémentaires, les unités dérivées et les unités admises.
Les unités supplémentaires du SI sont les deux suivantes : l ’unité de l ’angle (plan),
défini comme étant le rapport de la longueur de l ’arc au rayon, est le radian (rad). Pour
l ’angle solide, défini comme étant le rapport de la surface sous-tendue au carré du rayon,
l ’unité est le stéradian (sr).
Les unités dérivées ayant un nom spécial, dans leur désignation officielle en français,
c ’est-à-dire sans lettre capitale et sans accent, sont :
* Les symboles respectifs sont s, m, kg, A, K, mol et cd. Le prototype international du kilogramme est un
cylindre en platine–iridium conservé au BIPM à Sèvres, en France. Pour obtenir plus de précisions sur les
Réf. 261 niveaux de l ’atome de césium, consultez un livre sur la physique atomique. L’échelle Celsius d ’une tempé-
rature θ est définie ainsi : θ/°C = T/K − 273, 15, remarquez le minuscule écart avec le nombre apparaissant
dans la définition du kelvin. Le SI stipule également : « Lorsqu ’on emploie la mole, les entités élémentaires
doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d ’autres particules
ou des groupements spécifiés de telles particules ». Dans la définition de la mole, nous sous-entendons que
les atomes du carbone 12 sont non liés, au repos et dans leur état fondamental. Dans la définition de la can-
dela, la fréquence de la lumière correspond à 555,5 nm, c ’est-à-dire la couleur verte, qui est à peu près égale
à la longueur d ’onde où l ’ œil est le plus sensible.
* Jacques Babinet (1794–1874) fut un physicien français qui publia des travaux importants en optique.
276 a unités, mesures et constantes
Nom Symbole Nom Symbole
hertz Hz = 1/s newton N = kg m/s2

pascal Pa = N/m2 = kg/m s2 joule J = Nm = kg m2 /s2
watt W = kg m2 /s3 coulomb C = As
V = kg m2 /As3 F = As/V = A2 s4 /kg m2

volt farad
ohm Ω = V/A = kg m2 /A2 s3 siemens S = 1/Ω
weber Wb = Vs = kg m2 /As2 tesla T = Wb/m2 = kg/As2 = kg/Cs
henry H = Vs/A = kg m2 /A2 s2 degré Celsius °C (cf. définition du kelvin)
lumen lm = cd sr lux lx = lm/m2 = cd sr/m2
becquerel Bq = 1/s gray Gy = J/kg = m2 /s2
sievert Sv = J/kg = m2 /s2 katal kat = mol/s
Nous remarquons que dans toutes les définitions de ces unités, le kilogramme n’ap-
paraît qu ’aux puissances 1, 0 et -1. L’explication finale de cette réalité n’est apparue que
Défi 382 pe récemment. Pouvez-vous tenter d ’en formuler la raison ?
Les unités admises non SI sont la minute, l ’ heure, le jour (pour le temps), le degré 1○ =
π/180 rad, la minute 1′ = π/10 800 rad, la seconde 1′′ = π/648 000 rad (pour les angles), le
litre et la tonne. On doit éviter toutes les autres unités.
On rend plus pratiques toutes les unités du SI grâce à l ’ introduction de désignations
et d ’abréviations standard pour les puissances de dix, que nous appelons les préfixes* :
10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b .

101 déca da 10−1 déci d 1018 exa E 10−18 atto a
102 hecto h 10−2 centi c 1021 zetta Z 10−21 zepto z
103 kilo k 10−3 milli m 1024 yotta Y 10−24 yocto y
106 méga M 10−6 micro µ non officiel : Réf. 262
109 giga G 10−9 nano n 10 27
xenta X 10−27 xenno x
1012 téra T 10−12 pico p 1030 wekta W 10−30 weko w
1015 péta P 10−15 femto f 1033 vendekta V 10−33 vendeko v
1036 udekta U 10−36 udeko u
* Certains de ces noms sont inventés (yocto qui se prononce de manière presque identique au latin octo
« huit », zepto qui se prononce presque comme le mot latin septem, yotta et zetta qui leur ressemblent, exa
et péta qui se prononcent comme les mots grecs ἑξάκις et πεντάκις pour « six fois » et « cinq fois », ceux qui
ne sont pas officiels se prononcent comme les mots grecs désignant neuf, dix, onze et douze). Certains sont
issus du danois/norvégien (atto pour atten « dix-huit », femto pour femten « quinze »), certains proviennent
du latin (de mille, de centum « cent », de decem « dix », de nanus « nain »), certains sont tirés de l ’ italien
(de piccolo « petit »), certains sont grecs (micro provient de µικρός « petit », déca/déka de δέκα « dix », hecto
de ἑκατόν « cent », kilo de χίλιοι « mille », méga de µέγας « grand », giga de γίγας « géant », téra de τέρας
« monstre »).
Interprétez : J ’étais bloqué dans un tel embouteillage que j’ai mis un microsiècle pour faire un picoparsec
Défi 383 e et que ma consommation de carburant fut de deux dixièmes d ’un millimètre carré.
Les unités du SI forment un système exhaustif : elles recouvrent de manière systé-

matique l ’ensemble complet des observables de la physique. Qui plus est, elles fixent
également les unités de mesure de toutes les autres sciences.
Les unités du SI forment un système universel : elles peuvent être utilisées dans le
monde des affaires, dans l ’ industrie, dans le commerce, à la maison, dans l ’enseigne-

ment et dans la recherche. Elles pourraient même être employées par des civilisations
extraterrestres, si celles-ci existaient.
Les unités du SI forment un système cohérent : le produit ou le quotient de deux
unités du SI est aussi une unité du SI. Cela signifie qu ’en principe, la même abréviation,
« SI » par exemple, pourrait être utilisée pour chaque unité.
Les unités du SI ne constituent pas l ’unique ensemble possible qui puisse vérifier
toutes ces conditions, mais elles sont le seul système existant qui le fait*.
Rappelez-vous que puisque chaque mesure est une comparaison avec un étalon de
référence, toute mesure exige de la matière pour réaliser l ’étalon (oui, même pour la
vitesse standard), et du rayonnement pour accomplir cette comparaison. Le concept de
mesure suppose donc que la matière et le rayonnement existent et qu ’ ils peuvent être
Page ?? clairement dissociés l ’un de l ’autre.
Unités naturelles de Planck

Puisque la forme exacte de nombreuses équations dépend du système d ’unités uti-
lisé, les physiciens théoriciens emploient souvent des systèmes d ’unités optimisés pour
produire des équations sous une forme simple. Les unités choisies et les valeurs des
constantes de la nature sont reliées. En physique microscopique, le système des unités
naturelles de Planck est souvent utilisé. Il est défini en posant c = 1, ħ = 1, G = 1, k = 1,
ε 0 = 1/4π et µ 0 = 4π. Les unités de Planck sont donc définies à partir de combinaisons
de constantes fondamentales, celles qui correspondent aux unités de base du SI sont don-
nées dans le Tableau 39**. Ce tableau est également utile pour convertir des équations
Défi 384 e notées en unités naturelles aux unités du SI : substituez simplement chaque quantité X
par X/X Pl .
* La plupart des unités non SI qui sont toujours d ’usage dans le monde sont d ’origine romaine. Le mile pro-
vient de milia passum, qui était équivalent à mille (doubles) enjambées d ’environ 1 480 mm chacune. Aujour-
d ’ hui un mile nautique, autrefois défini comme une minute d ’arc à la surface de la Terre, vaut exactement
1 852 m. Le pouce vient de uncia/onzia (un douzième – d ’un pied actuel). La livre (de l ’anglais « pound » qui
vient de pondere « peser ») est employée comme une traduction de libra – balance – qui est à l ’origine de son
abréviation lb. Même la coutume de compter en douzaines au lieu de dizaines est d ’origine romaine. Celles-
ci et les autres unités toutes aussi cocasses – comme le système dans lequel toutes les unités commencent
avec un « f », et qui utilise le furlong/quinze jours comme unité de vitesse – sont dorénavant officiellement
définies comme des multiples des unités du SI.
** Les unités naturelles xPl données ici sont celles qui sont couramment utilisées aujourd ’ hui, c ’est-à-dire
celles définies en utilisant la constante ħ, et non, comme le fit à l ’origine Planck, en utilisant la constante
h = 2πħ. Les unités électromagnétiques peuvent aussi être définies à l ’aide d ’autres facteurs que 4πε0 dans
les expressions : par exemple, en utilisant 4πε0 α, avec la constante de structure fine α, on obtient q Pl = e.
Pour des explications sur les nombres situés entre parenthèses, les écarts types, lisez la page 286.
TA B L E AU 9 Les unités naturelles (non corrigées) de Planck.
Nom Définition Va l e u r
√
Unités de base
= = 1,616 0(12) ⋅ 10−35 m
√
Longueur de Planck l Pl ħG/c 3

= = 5,390 6(40) ⋅ 10−44 s
√
Durée de Planck t Pl ħG/c 5
= =
√
Masse de Planck m Pl ħc/G 21,767(16) µg
= 4πε 0 c 6 /G =
√
Courant de Planck I Pl 3,479 3(22) ⋅ 1025 A
Température de Planck TPl = ħc 5 /Gk 2 = 1,417 1(91) ⋅ 1032 K
Unités triviales
Vitesse de Planck v Pl = c = 0,3 Gm/s
Moment cinétique de Planck L Pl = ħ = 1,1 ⋅ 10−34 Js
Quantum d ’action de Planck S aPl = ħ = 1,1 ⋅ 10−34 Js
= =
Entropie de Planck S ePl k 13,8 yJ/K
Unités dérivées
Densité de Planck ρ Pl = c 5 /G 2 ħ
√ = 5,2 ⋅ 1096 kg/m3
= ħc 5 /G = 2,0 GJ = 1,2 ⋅ 1028 eV
√
Énergie de Planck E Pl
Quantité de mouvement de Planck p Pl = ħc 3 /G = 6,5 Ns
Puissance de Planck PPl = c /G
5
= 3,6 ⋅ 1052 W
Force de Planck FPl = c 4 /G = 1,2 ⋅ 1044 N
Pression de Planck p Pl = c 7 /Għ
√ = 4,6 ⋅ 10113 Pa
= c 7 /ħG =
√
Accélération de Planck a Pl 5,6 ⋅ 1051 m/s2
= c 5 /ħG =
√
Fréquence de Planck f Pl 1,9 ⋅ 1043 Hz
= = 1,9 aC = 11,7 e
√
Charge électrique de Planck q Pl 4πε 0 cħ
Tension de Planck U Pl = c 4 /4πε 0 G = 1,0 ⋅ 1027 V
Résistance de Planck R Pl = 1/4πε√ 0c = 30,0 Ω
= 4πε 0 ħG/c 3 = 1,8 ⋅ 10−45 F
√
Capacité électrique de Planck C Pl
= (1/4πε 0 ) ħG/c 7 = 1,6 ⋅ 10−42 H
√
Inductance de Planck L Pl
= c 7 /4πε 0 ħG 2 =
√
Champ électrique de Planck E Pl 6,5 ⋅ 1061 V/m
Densité du flux magnétique de Planck B Pl = c 5 /4πε 0 ħG 2 = 2,2 ⋅ 1053 T
Les unités naturelles sont importantes à un autre égard : à chaque fois qu ’une quantité
est imprudemment qualifiée d ’ « infiniment petite (ou grande) », l ’expression correcte
à considérer est « aussi petite (ou aussi grande) que l ’unité de Planck corrigée corres-
pondante ». Comme on l ’explique tout au long de ce texte, et particulièrement dans la
Page ?? partie finale, cette substitution est possible parce que presque toutes les unités de Planck
fournissent, dans la limite d ’un facteur de correction de l ’ordre de 1, la valeur extré-
male pour l ’observable correspondante – certaines une borne supérieure et d ’autres une
limite inférieure. Malheureusement, ces facteurs de correction ne sont pas encore large-
ment déterminés. La valeur extrémale exacte pour chaque observable dans la nature est
obtenue lorsque G est remplacé par 4G, ħ par ħ/2, k par k/2 et 4πε 0 par 8πε 0 α dans
toutes les quantités de Planck. Ces valeurs extrémales, ou unités de Planck corrigées, sont
les véritables unités naturelles. Il est possible de dépasser les valeurs extrémales, mais uni-

Défi 385 s quement pour certaines quantités étendues. (Pouvez-vous deviner lesquelles ?)
Au tres systèmes d ’ unités

Un objectif central de la recherche en physique des hautes énergies est l ’évaluation
des intensités de toutes les interactions. Par conséquent il n’est pas pratique de fixer la
constante de la gravitation G à un, comme dans le système des unités de Planck. Pour
cette raison, les physiciens des hautes énergies fixent souvent c = ħ = k = 1 et µ 0 = 1/ε 0 =
4π*, laissant seulement la constante gravitationnelle G dans les équations.
Dans ce système, il n’y a qu ’une seule unité fondamentale, mais son choix reste libre.
Souvent, une longueur standard est choisie comme unité de base, longueur qui est l ’ar-
chétype d ’une quantité mesurée. Les observables physiques les plus importantes sont
alors reliées par
1/[l 2 ] = [E]2 = [F] = [B] = [E électrique ] ,

1/[l] = [E] = [m] = [p] = [a] = [ f ] = [I] = [U] = [T] ,
1 = [v] = [q] = [e] = [R] = [S action ] = [S entropie ] = ħ = c = k = [α] ,
[l] = 1/[E] = [t] = [C] = [L] et
[l]2 =1/[E]2 = [G] = [P]
(292)
où nous avons noté [x] l ’unité de la quantité x. Cependant, l ’utilisation de la même
unité pour le temps, la capacité électrique et l ’ inductance n’est pas du goût de tout le
monde, et par conséquent les électriciens n’utilisent pas ce système**.
Souvent, afin d ’avoir un aperçu des énergies nécessaires pour observer un effet en
cours d ’étude, on choisit une énergie de référence comme unité fondamentale. En phy-
sique des particules l ’unité d ’énergie la plus courante est l ’ électronvolt (eV), défini
comme étant l ’énergie cinétique acquise par un électron lorsqu ’ il est accéléré par une
* Des définitions différentes pour les constantes de proportionnalité en électrodynamique conduisent, entres
autres, au système d ’unités gaussiennes souvent utilisé dans les calculs théoriques, au système d ’unités de
Réf. 263 Heaviside–Lorentz, au système d ’unités électrostatiques et au système d ’unités électromagnétiques.
** Dans cette liste, l est la longueur, E l ’énergie, F la force, Eélectrique le champ électrique et B le champ ma-
gnétique, m la masse, p la quantité de mouvement, a l ’accélération, f la fréquence, I l ’ intensité du courant
électrique, U la tension, T la température, v la vitesse, q la charge électrique, R la résistance, P la puissance,
G la constante de la gravitation.
La page Web www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/units_en.html fournit un outil pour convertir
diverses unités l ’une vers l ’autre.
Les chercheurs en relativité générale emploient fréquemment un autre système, dans lequel le rayon de
Schwarzschild rs = 2Gm/c 2 est utilisé pour mesurer des masses, en posant c = G = 1. Dans ce cas, la masse
et la longueur possèdent la même dimension, et ħ possède la dimension d ’une surface.
√ √
Réf. 264 Déjà au dix-neuvième siècle, George Stoney avait suggéré d ’utiliser comme unités de longueur, de temps
et de √masse les quantités lS = Ge 2 /(c 4 4πε0 ) = 1,4 ⋅ 10−36 m, tS = Ge 2 /(c 6 4πε0 ) = 4,6 ⋅ 10−45 s et
Défi 386 s mS = e 2 /(G4πε0 ) = 1,9 µg. Comment ces unités sont-elles reliées aux unités de Planck ?
différence de potentiel électrique de 1 volt (« protonvolt » serait une désignation plus ap-
propriée). Ainsi nous avons 1 eV = 1,6 ⋅ 10−19 J, ou approximativement
1 eV ≈ 1
6
aJ (293)
ce qui est facile à mémoriser. La simplification c = ħ = 1 donne G = 6,9 ⋅ 10−57 eV−2 et

nous permet aussi d ’utiliser l ’unité eV pour la masse, la quantité de mouvement, la tem-
pérature, la fréquence, le temps et la distance, à l ’aide des correspondances respectives
Défi 387 e 1 eV ≡ 1,8 ⋅ 10−36 kg ≡ 5,4 ⋅ 10−28 Ns ≡ 242 THz ≡ 11,6 kK et 1 eV−1 ≡ 4,1 fs ≡ 1,2 µm.
Pour pouvoir se représenter l ’unité eV, les relations qui suivent sont utiles. La tempé-
rature ambiante, généralement considérée comme étant de 20°C ou 293 K, correspond à
une énergie cinétique par particule de 0,025 eV ou 4,0 zJ. L’énergie la plus élevée d ’une
particule, mesurée jusqu ’à présent, appartient à un rayon cosmique d ’une énergie de
Réf. 265 3 ⋅ 1020 eV ou 48 J. Ici bas, sur la Terre, nous avons construit un accélérateur capable de
produire une énergie d ’environ 105 GeV ou 17 nJ pour des électrons et des anti-électrons,
et un autre capable de produire une énergie de 10 TeV ou 1,6 µJ pour des protons sera
bientôt achevé. Ils appartiennent tous les deux au CERN à Genève et possèdent une cir-
conférence de 27 km.
La température la plus basse mesurée jusqu ’à présent est de 280 pK, dans un système
Réf. 266 de noyaux de rhodium maintenus par un procédé de refroidissement particulier. L’ inté-
rieur de ce cryostat serait même le point le plus froid de tout l ’univers. L’énergie ciné-
tique par particule correspondant à cette température est également la plus petite jamais
mesurée : elle correspond à 24 feV ou 3,8 vJ = 3,8 ⋅ 10−33 J. Pour des particules isolées, le
record semble être celui de neutrons : des énergies cinétiques aussi faibles que 10−7 eV
ont été obtenues, ce qui correspond à des longueurs d ’onde de de Broglie de 60 nm.
Curiosités et défis amusants sur les unités

Le fait de ne pas utiliser les unités du SI peut coûter cher. En 1999, la NASA a perdu un
satellite sur Mars parce que certains programmeurs de logiciels avaient utilisé des unités
impériales* à la place des unités du SI dans des lignes de code. En conséquence, Mars
Climate Orbiter s’écrasa sur la planète, au lieu de graviter autour de celle-ci. La perte fut
évaluée à 100 millions d ’euros environ**.
∗∗
Le gray est la quantité de radioactivité qui dépose 1 J sur 1 kg de matière. Le sievert est
l ’unité de radioactivité adaptée aux êtres humains en pondérant chaque type de tissu
humain à l ’aide d ’un facteur représentatif de l ’ impact que le rayonnement dépose sur
celui-ci. Quatre à cinq sieverts constituent une dose létale pour les êtres humains. En
comparaison, la radioactivité naturelle présente à l ’ intérieur du corps humain conduit
à une dose de 0,2 mSv par an. Une radiographie moyenne aux rayons X engendre une
Réf. 267 radiation de 1 mSv, un scanner, 8 mSv.
* Des unités de mesure anglo-saxonnes. [N.d.T.]

** Ce récit ranima une vieille (et fausse) rumeur qui affirme que seuls trois pays dans le monde n’utilisent
pas les unités du SI : le Libéria, les États-Unis et la Birmanie.
TA B L E AU 10 Quelques valeurs mesurées de puissances visibles (intensités lumineuses).
O b s e r va t i o n Intensité
lumineuse
Flamme de bougie 1 cd

Lampe de poche 2 cd
Feux de position d ’une voiture 10 cd
Plein phare d ’une voiture (avec réflecteur, centre du faisceau) 60 cd
Lampe de cinéma 1,5 kcd
Flash photographique 1 Mcd
Phare 2 Mcd
Les plus gros projecteurs 80 Mcd
∗∗
Vous êtes décontenancés par la candela ? La définition dit simplement que 683 cd =
683 lm/sr correspond à 1 W/sr. La candela est donc une unité de la puissance lumineuse
par angle (solide), ou d ’ intensité lumineuse, mis à part qu ’elle est corrigée pour s’ajus-
ter à la sensibilité de l ’ œil : la candela mesure simplement la puissance visible par unité
d ’angle.
De manière similaire, 683 lm = 683 cd sr correspond à 1 W. Donc le lumen et le watt
mesurent tous les deux de la puissance, ou du flux d ’énergie, mais le lumen mesure uni-
quement la partie visible de la puissance ou flux énergétique. Cette différence est expri-
mée en insérant les qualificatifs « radiant » ou « lumineux » : ainsi, le watt mesure le flux
radiant, tandis que le lumen mesure le flux lumineux.
Le facteur 683 est d ’origine historique. Une chandelle ordinaire émet une intensité
lumineuse d ’environ une candela. Par conséquent, la nuit, une chandelle peut être vue
Défi 388 e jusqu ’à une distance de 10 ou 20 kilomètres. Une ampoule à incandescence de 100 W
produit 1 700 lm, et les diodes émettrices de lumière les plus brillantes environ 5 lm. Les
projecteurs de cinéma produisent environ 2 Mlm, et les flashs les plus intenses, comme
l ’ éclair, 100 Mlm.
L’ éclairement énergétique de la lumière du soleil est d ’environ 1 300 W/m2 lors d ’une
journée ensoleillée. Par ailleurs, l ’ éclairement lumineux n’est que de 120 klm/m2 =
120 klux ou 170 W/m2 . (Une journée d ’été recouverte de nuages ou une journée d ’ hiver
dégagée produit environ 10 klux. L’éclairement lumineux est principalement ce que nous
appelons la « luminosité » dans la vie courante.) Ces nombres indiquent que la plupart
de l ’énergie du Soleil qui parvient à la Terre se situe en dehors du spectre visible.
Sur un glacier, près de la côte, sur le sommet d ’une montagne, ou lors de conditions
météorologiques particulières, la luminosité peut atteindre 150 klux. Les lampes les plus
brillantes, celles utilisées pendant les opérations chirurgicales, produisent 120 klux. Les
hommes ont besoin d ’environ 30 lux pour une lecture confortable. Les musées sont sou-
vent maintenus dans l ’obscurité parce que les peintures à l ’eau sont dégradées par la
lumière au-delà de 100 lux, et les peintures à l ’ huile au dessus de 200 lux. La pleine lune
Réf. 268 produit 0,1 lux, et le ciel lors d ’une nuit sombre sans lune, environ 1 mlux. Les yeux
conservent leur aptitude à distinguer les couleurs quelque part entre 0,1 lux et 0,01 lux,
TA B L E AU 11 Quelques valeurs mesurées d’éclairements lumineux.
O b s e r va t i o n Éclairement
lumineux
Pâle étoile 0,1 nlx

Sirius 10 µlx
Le phot (ancienne unité d ’éclairement lumineux) 10 µlx
Jupiter 20 µlx
Pleine Lune 0,01 à 0,24 lx
La rue la nuit, faible trafic, faible éclairage 0,1 à 3 lx
La rue la nuit, fort trafic 10 à 30 lx
Pour la lecture 50 à 100 lx
Écran de cinéma 100 lx
Lieu de travail 0,2 à 5 klx
Journée nuageuse 1 klx
Journée ensoleillée 120 klx
Film dans un projecteur de cinéma 5 Mlx
Douloureux pour l ’ œil 100 Mlx
l ’ œil cesse de remplir sa fonction en deçà de 1 nlux. Les dispositifs techniques qui pro-
duisent des images dans l ’obscurité, telles que les lunettes de vision nocturne, com-
mencent à fonctionner à partir de 1 µlux. Par ailleurs, le corps humain lui-même brille à
environ 1 plux, une valeur trop faible pour pouvoir être décelée par l ’ œil, mais facilement
mesurable à l ’aide d ’appareils spécialisés. La source de cette émission reste toujours du
domaine de la recherche.
∗∗
Les plus fortes intensités lumineuses atteignent plus de 1018 W/m2 , soit plus de 15 ordres
de grandeur au dessus de l ’ intensité de la lumière du soleil. Elles sont produites par des
focalisations très étroites de lasers pulsés. Le champ électrique de ces impulsions lumi-
neuses est du même ordre que le champ situé à l ’ intérieur des atomes, un tel faisceau
Réf. 269 ionise par conséquent toute la matière qu ’ il rencontre.
∗∗
La densité lumineuse est une quantité qui est souvent utilisée par les spécialistes de la
lumière. Son unité est 1 cd/m2 , que l ’on désigne officieusement 1 Nit et abrégé 1 nt. Les
yeux voient, uniquement avec les bâtonnets, de 0,1 µcd/m2 à 1 mcd/m2 , ils voient avec
les cônes simplement au-dessus de 5 cd/m2 , la perception est meilleure entre 100 et
50 000 cd/m2 , et ils deviennent complètement éblouis au-delà de 10 Mcd/m2 : soit une
étendue totale de 15 ordres de grandeur.
∗∗
La longueur de Planck est approximativement égale à la longueur d ’onde de de Broglie
Réf. 270 λB = h/mv d ’un homme marchant à son aise (m = 80 kg, v = 0,5 m/s), ce mouvement
est par conséquent appelé à juste titre la « promenade de Planck ».

∗∗
La masse de Planck est égale à la masse d ’environ 1019 protons. C ’est approximativement
la masse d ’un embryon humain, à l ’âge de dix jours environ.

∗∗
La seconde ne correspond plus à 1/86 400ème du jour, bien que ce fût le cas en l ’an
1900. La Terre met maintenant environ 86 400,002 s pour effectuer une rotation, de telle
sorte que le Service international de la rotation terrestre doit régulièrement introduire une
seconde intercalaire pour s’assurer que le Soleil est à son plus haut niveau dans le ciel à
midi tapante*. Le temps défini de cette manière est appelé Temps Universel Coordonné. La
vitesse de rotation de la Terre varie également de manière irrégulière d ’un jour à l ’autre
à cause des conditions météorologiques, la vitesse de rotation moyenne fluctue même
entre l ’ hiver et l ’été à cause des changements qui surviennent dans les calottes glaciaires
polaires, et de surcroît cette moyenne diminue au cours du temps à cause du frottement
engendré par les marées. La fréquence d ’ insertion de ces secondes intercalaires est par
conséquent supérieure à une fois tous les 500 jours, et n’est pas constante dans le temps.
∗∗
Les quantités mesurées de la manière la plus précise dans la nature sont les fréquences de
certains pulsars millisecondes**, la fréquence de certaines transitions atomiques étroites,
et la constante de Rydberg de l ’ hydrogène atomique, qui peuvent toutes être mesurées
aussi précisément qu ’est définie la seconde. La transition du césium qui définit la seconde
possède une largeur finie de sa raie spectrale, ce qui restreint la précision accessible : cette
limite est d ’environ 14 chiffres.
∗∗
L’ horloge la plus précise jamais réalisée, en utilisant des micro-ondes, possède une stabi-
Réf. 271 lité de 10−16 pendant une durée de fonctionnement de 500 s. Pour des durées plus longues,
le record en 1997 fut d ’environ 10−15 , mais des valeurs tournant autour de 10−17 semblent
Réf. 272 rester du domaine du technologiquement possible. La précision des horloges est limitée
par le bruit pour des brèves durées de mesure, et pour des longues durées de mesure par
des biais, c ’est-à-dire par des effets systématiques. La région de la plus forte stabilité dé-
pend du type d ’ horloge utilisée, elle se situe généralement entre 1 ms pour des horloges
optiques et 5 000 s pour des masers. Les pulsars sont le seul type d ’ horloge pour lequel
cette région n’est pas encore déterminée, elle se situe vraisemblablement à plus de 20
années, c ’est-à-dire le temps qui s’est écoulé entre leur découverte et l ’ instant où nous
écrivons ces lignes.
∗∗
* Leur site Web sur hpiers.obspm.fr donne plus de précisions sur les particularités de ces insertions, comme
sur maia.usno.navy.mil, l ’un des quelques sites Web militaires utiles. Consultez aussi www.bipm.fr, le site
du BIPM.
** Un tour d ’ horizon de ce travail fascinant en est donné par J. H. Taylor, Pulsar timing and relativistic
gravity, Philosophical Transactions of the Royal Society, London A 341, pp. 117–134, 1992.
Les durées les plus brèves qui ont été mesurées sont les durées de vie de certaines parti-
cules « élémentaires ». En particulier, la durée de vie de certains mésons D a été évaluée à
Réf. 273 moins de 10−23 s. De telles périodes sont mesurées en utilisant une chambre à bulles, dans
laquelle la trace est photographiée. Pouvez-vous estimer quelle est la longueur de cette
Défi 389 s trajectoire ? (C ’est une question trompeuse – si votre longueur ne peut pas être observée

à l ’aide d ’un microscope optique, c ’est que vous avez fait une erreur dans vos calculs.)
∗∗
Les durées les plus longues que l ’on rencontre dans la nature sont les durées de vie de
certains isotopes radioactifs, plus de 1015 années, et la limite inférieure de certaines dés-
intégrations de protons, soit 1032 années. Ces périodes sont donc beaucoup plus grandes
Réf. 274 que l ’âge de l ’univers, estimé à quatorze milliards d ’années.
∗∗
Les constantes fondamentales de la physique mesurées avec le moins de précision sont la
constante de la gravitation G et la constante de couplage de l ’ interaction forte α s . L’âge
de l ’univers et sa densité sont déterminés avec encore moins de précision (regardez le
Page 289 Tableau 44).
∗∗
La précision des mesures de masse des solides est limitée par des effets simples tels que
l ’adsorption de l ’eau. Pouvez-vous estimer la masse d ’une monocouche d ’eau – une
Défi 390 s couche ayant l ’épaisseur d ’une seule molécule – sur un métal pesant 1 kg ?
∗∗
Les variations des quantités sont souvent beaucoup plus faciles à mesurer que leurs va-
leurs. Par exemple, dans les détecteurs d ’ondes gravitationnelles, la sensibilité atteinte
Réf. 275 en 1992 était ∆l/l = 3 ⋅ 10−19 pour des longueurs de l ’ordre de 1 m. Autrement dit, pour
un bloc de métal d ’environ un mètre cube il est possible de mesurer des variations de
longueur à peu près 3 000 fois plus petites que le rayon d ’un proton. Ces dispositifs sont
dorénavant en train d ’être surpassés par les interféromètres en anneau. Des interféro-
mètres en anneau mesurant des différences de fréquence de 10−21 ont déjà été construits,
Réf. 276 et ils sont toujours en cours de perfectionnement.
∗∗
L’astronome suédois Anders Celsius (1701–1744) fixa initialement le point de congélation
de l ’eau à 100 degrés et le point d ’ébullition à 0 degré. Cette échelle fut inversée par la
Réf. 277 suite. Cependant, l ’ histoire ne se termine pas là. Avec la définition officielle du kelvin
et du degré Celsius, à la pression standard de 1 013,25 Pa, l ’eau bout à 99,974°C. Pouvez-
Défi 391 s vous expliquer pourquoi ce n’est plus 100°C ?
∗∗
Au cours du millénaire précédent, on avait coutume de mesurer l ’énergie thermique en
utilisant la calorie comme unité, notée cal. 1 cal est l ’énergie nécessaire pour réchauffer 1 g
d ’eau de 1 K. Pour compliquer les choses, 1 kcal était souvent noté 1 Cal. (Nous parlions
également de grande et de petite calorie.) 1 kcal vaut 4,1868 kJ.
∗∗
Les unités du SI sont adaptées aux êtres humains : les valeurs du battement de cœur, de la
taille humaine, du poids, de la température et de la quantité de substance d ’un homme
se rapprochent de la valeur unitaire à guère plus d ’un couple d ’ordres de grandeurs.
Les unités du SI confirment donc (approximativement) ce que disait Protagoras il y a 25

siècles : « L’ homme est la mesure de toutes choses ».
∗∗
Certains systèmes d ’unités sont particulièrement mal adaptés aux hommes. Le plus in-
fâme d ’entre eux est la taille S des chaussures. C ’est un nombre pur calculé ainsi :
S France = 1,5 cm−1 (l + 1 ± 1 cm)

S Europe centrale = 1,5748 cm−1 (l + 1 ± 1 cm)
S Homme anglo−saxon = 1,181 cm−1 (l + 1 ± 1 cm) − 22 (294)
où l représente la longueur d ’un pied et la correction de longueur dépend de l ’entreprise
de confection. De surcroît, la formule anglo-saxonne n’est pas valable pour les femmes
et les enfants, où le premier facteur dépend, pour des raisons marketing, à la fois du fa-
bricant et de la taille elle-même. Le standard ISO exige, de façon non surprenante, d ’ex-
primer la longueur du pied en millimètres.
∗∗
Le tableau des préfixes du SI recouvre 72 ordres de grandeurs. Combien de préfixes sup-
plémentaires seraient nécessaires ? Même une liste très longue n’ incorporera qu ’une par-
tie infime de l ’étendue infinie des possibilités. La Conférence Générale des Poids et Me-
sures devra-t-elle se poursuive éternellement, pour définir un nombre infini de préfixes
Défi 392 s du SI ? Pourquoi ?
∗∗
Le philosophe français Voltaire, après avoir rencontré Newton, publia l ’ histoire mainte-
nant célèbre qui raconte que la correspondance entre la chute des objets et le mouvement
de la Lune fut découverte par Newton lorsqu ’ il vit une pomme tomber d ’un arbre. Plus
d ’un siècle plus tard, juste avant la Révolution Française, un jury de scientifiques dé-
cida de prendre comme unité de la force précisément celle exercée par la gravité sur une
pomme étalon, et de la baptiser du nom de ce scientifique anglais. Après une étude ap-
profondie, on trouva que la masse de la pomme étalon était de 101,9716 g, son poids fut
donc appelé 1 newton. Depuis lors, les visiteurs du musée à Sèvres près de Paris ont eu la
possibilité d ’admirer le mètre étalon, le kilogramme étalon et la pomme étalon*.
* Pour être franc, c ’est une blague : il n’existe aucune pomme étalon. Par contre, ce qui suit n’est pas une
plaisanterie : des propriétaires de plusieurs pommiers en Grande-Bretagne et aux États-Unis prétendirent
descendre, suite à un déracinement, de l ’arbre original sous lequel Newton eut sont trait de génie. Des tests
Réf. 278 ADN ont même été réalisés pour décider s’ ils dérivaient tous du même arbre. De façon non surprenante, le
résultat a établi que l ’arbre situé au MIT, contrairement à ceux de Grande-Bretagne, est un faux.
N
nombre de mesures
écart type

largeur totale à la moitié du maximum
(LTMM)
courbe limite pour un grand nombre

de mesures
x x
valeur moyenne valeurs mesurées
F I G U R E 97 Une expérience de précision et sa distribution des mesures.
Précision et exactitude des mesures
Comme nous l ’avons expliqué à la page 286, la précision exprime dans quelle mesure
un résultat est bien reproduit lorsque l ’évaluation est réitérée, l ’ exactitude est le degré de
correspondance d ’une mesure à la véritable valeur. Le manque de précision est dû à des
erreurs aléatoires ou accidentelles, la meilleure façon de les quantifier consiste à évaluer
l ’ écart-type, généralement noté σ, qui est défini par :
1 n
σ2 = ∑(x i − x̄) ,
2
(295)
n − 1 i=1
où x̄ représente la moyenne des mesures x i . (Pouvez-vous imaginer pourquoi on utilise

Défi 393 s n − 1 dans la formule au lieu de n ?)
Pour la plupart des expériences, la distribution des valeurs des mesures tend vers une
loi normale, également appelée loi de Laplace–Gauss, à partir du moment où nous ac-
croissons le nombre de mesures. La distribution, indiquée dans la Figure 97, est décrite
par l ’expression
N(x) ≈ e−
(x− x̄)2
2σ 2 . (296)
Le carré de l ’écart type, σ 2 , est également appelé la variance. Pour une loi gaussienne des
Défi 394 e valeurs de mesure, 2, 35σ est la largeur totale de la courbe à la moitié du maximum.
Le manque d ’exactitude est dû à des erreurs systématiques, on ne peut généralement
que les estimer, seulement. Cette estimation est souvent ajoutée aux erreurs aléatoires
pour produire une erreur expérimentale totale, également parfois dénommée incertitude
Réf. 279 totale.
Les tableaux qui suivent fournissent les valeurs des constantes physiques et des pro-
priétés des particules les plus importantes, en unités du SI et dans quelques autres uni-
Réf. 280 tés courantes, comme on les trouve dans les sources de référence. Ces valeurs sont les
moyennes mondiales des meilleures mesures effectuées jusqu ’à présent. Comme d ’ ha-
bitude, les biais expérimentaux, incluant à la fois les erreurs aléatoires et les erreurs sys-
tématiques estimées, sont exprimées en donnant l ’écart type dans les derniers chiffres,
par exemple 0,31(6) signifie – grosso modo – 0, 31 ± 0, 06. En réalité, derrière chacun des
nombres qui apparaissent dans les tableaux suivants se cache une longue histoire qu ’ il

serait digne de conter, mais pour lesquelles nous n’avons pas suffisamment de place ici*.
Quelles sont les limites à l ’exactitude et à la précision ? Il n’existe aucun procédé,
même en principe, permettant de mesurer une longueur x jusqu ’à une précision supé-
rieure à environ 61 chiffres, parce que ∆x/x > l Pl /dhorizon = 10−61 . (Cela est-il également
Défi 395 pe vrai pour la force ou pour le volume ?) Dans la dernière partie de notre texte, l ’examen
Page ?? des horloges et des mètres étalons renforcera cette limite théorique.
Mais il n’est pas difficile de déduire des limites pratiques plus strictes. Aucune ma-
chine imaginable ne peut mesurer des quantités avec une précision plus élevée que la
mesure du diamètre de la Terre à une incertitude près égale à la longueur la plus petite
jamais mesurée, soit 10−19 m environ, c ’est-à-dire environ 26 chiffres de précision. En
utilisant une limite plus réaliste d ’une machine d ’une taille de 1 000 m, on obtient une
limite de 22 chiffres. Si, comme nous l ’avons prédit plus haut, les mesures du temps at-
teignent vraiment 17 chiffres de précision, alors elles seront proches de la limite pratique,
parce que mis à part la taille, il existe une contrainte pratique supplémentaire : le coût. En
réalité, un chiffre supplémentaire dans la précision d ’une mesure signifie souvent qu ’ il
faille un chiffre supplémentaire dans le coût de l ’équipement.
C onstantes physiques fondamentales

Réf. 280 En principe, toutes les propriétés quantitatives de la matière peuvent être calculées
avec la théorie quantique. Par exemple, la couleur, la densité et les propriétés élastiques
peuvent être prédites en faisant appel aux valeurs des constantes qui suivent, en utilisant
les équations du modèle standard de la physique des hautes énergies.
TA B L E AU 12 Constantes physiques fondamentales.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t. a
nombre de dimensions d ’espace-temps 3+1 0b

vitesse de la lumière dans le videc c 299 792 458 m/s 0
perméabilité magnétique du videc µ 0 4π ⋅ 10−7 H/m 0
= 1,256 637 061 435 ... µH/m0
permittivité diélectrique du videc ε 0 = 1/µ 0 c 2 8,854 187 817 620 ... pF/m 0
constante de Planck originale h 6,626 068 76(52) ⋅ 10 Js 7, 8 ⋅ 10−8
−34
constante de Planck réduite ħ 1,054 571 596(82) ⋅ 10−34 Js 7, 8 ⋅ 10−8

charge du positron e 0,160 217 646 2(63) aC 3, 9 ⋅ 10−8
* Certains de ces récits peuvent être retrouvés dans l ’ouvrage de N. W. Wise, The Values of Precision, Prince-
ton University Press, 1994. Le domaine des mesures de haute précision, à partir duquel sont tirés les résultats
de ces pages, est un monde à lui seul. Une magnifique introduction en est donnée par J. D. Fairbanks,
B. S. Deaver, C. W. Everitt & P. F. Michaelson, eds., Near Zero : Frontiers of Physics, Freeman,
1988.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t. a
constante de Boltzmann k 1,380 650 3(24) ⋅ 10−23 J/K 1, 7 ⋅ 10−6

constante gravitationnelle G 6,673(10) ⋅ 10−11 Nm2 /kg2 1, 5 ⋅ 10−3
constante de couplage gravit. κ = 8πG/c 4 2,076(3) ⋅ 10−43 s2 /kg m 1, 5 ⋅ 10−3
α = 4πεe 0 ħc
2

constante de structure fined , 1/137,035 999 76(50) 3, 7 ⋅ 10−9
constante de couplage e.m. = дem (m 2e c 2 ) = 0, 007 297 352 533(27) 3, 7 ⋅ 10−9
constante de couplage de Fermi , G F /(ħc)3
d
1,166 39(1) ⋅ 10−5 GeV−2 8, 6 ⋅ 10−6
constante de couplage faible α w (M Z ) = дw2 /4π 1/30,1(3) 1 ⋅ 10−2
angle de mélange électrofaible sin2 θ W (MS) 0,231 24(24) 1, 0 ⋅ 10−3
angle de mélange électrofaible 2
sin θ W (enveloppe)0,2224(19) 8, 7 ⋅ 10−3
= 1 − (m W /m Z )2
constante de couplage fortd α s (M Z ) = дs2 /4π 0,118(3) 25 ⋅ 10−3
a. Incertitude : écart-type des erreurs de mesure.

b. De 10−19 m et jusqu ’à 1026 m, uniquement.
c. Définition numérique de la constante. (La permittivité diélectrique du vide est aussi appelée constante
électrique et la perméabilité du vide, constante magnétique [N.d.T.].)
d. Toutes les constantes de couplage dépendent du transfert du quadrivecteur impulsion, comme expliqué
Page ?? dans la section sur la renormalisation. La constante de structure fine est le nom traditionnel de la constante de
couplage électromagnétique дem dans le cas d ’un transfert de quadrivecteur impulsion de Q 2 = m2e c 2 , ce qui
est la valeur la plus petite possible. Pour des transferts d ’ impulsion plus élevés elle possède des valeurs plus
grandes, par exemple дem (Q 2 = M W c ) ≈ 1/128. La constante de couplage de l ’ interaction forte possède des
2 2
valeurs supérieures pour des transferts d ’ impulsion moins importants, par exemple αs (34 GeV) = 0, 14(2).
Pourquoi toutes ces constantes possèdent-elles les valeurs qu ’elles ont ? La réponse
est différente dans chacune des situations. Pour toute constante possédant une dimen-
sion, tel que le quantum d ’action ħ, la valeur numérique a seulement une signification
historique. Elle est de 1,054 ⋅ 10−34 Js à cause de la définition du SI du joule et de la se-
conde. La question de savoir pourquoi la valeur d ’une constante dimensionnelle n’est
pas plus grande ni plus petite nous oblige toujours à comprendre l ’origine de certains
nombres sans dimension qui donnent le rapport entre la constante et l ’unité naturelle
correspondante. La compréhension des tailles des atomes, des gens, des arbres et des
étoiles, de la durée des processus moléculaires et atomiques, ou de la masse des noyaux
et des montagnes, implique de comprendre les ratios entre ces valeurs et les unités natu-
relles correspondantes. La clé de la compréhension de la nature se trouve donc dans la
compréhension de tous les ratios, et ainsi de toutes les constantes sans dimension. L’ his-
toire des rapports les plus importants est contée dans la partie qui conclut cette aventure.
Les constantes fondamentales engendrent les observations utiles suivantes, de haute
précision.
TA B L E AU 13 Constantes physiques dérivées.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t.
√
impédance caractéristique du vide Z 0 = µ 0 /ε 0 376,730 313 461 77... Ω 0
nombre d ’Avogadro NA 6,022 141 99(47) ⋅ 1023 7, 9 ⋅ 10−8
constante de Rydberg a R∞ = m e cα 2 /2h 10 973 731,568 549(83) m−1 7, 6 ⋅ 10−12
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t.
quantum de conductance G 0 = 2e 2 /h 77,480 916 96(28) µS 3, 7 ⋅ 10−9

quantum du flux magnétique φ 0 = h/2e 2,067 833 636(81) pWb 3, 9 ⋅ 10−8
rapport de fréquence de Josephson 2e/h 483,597 898(19) THz/V 3, 9 ⋅ 10−8
h/e 2 = µ 0 c/2α

constante de von Klitzing 25 812,807 572(95) Ω 3, 7 ⋅ 10−9
magnéton de Bohr µ B = eħ/2m e 9,274 008 99(37) yJ/T 4, 0 ⋅ 10−8
fréquence cyclotron f c /B = e/2πm e 27,992 4925(11) GHz/T 4, 0 ⋅ 10−8
de l ’électron
rayon classique de l ’électron r e = e 2 /4πε 0 m e c 2 2,817 940 285(31) fm 1, 1 ⋅ 10−8
longueur d ’onde de Compton λ c = h/m e c 2,426 310 215(18) pm 7, 3 ⋅ 10−9
de l ’électron λ c = ħ/m e c = r e /α 0,386 159 264 2(28) pm 7, 3 ⋅ 10−9
rayon de Bohr a a∞ = r e /α 2 52,917 720 83(19) pm 3, 7 ⋅ 10−9
magnéton nucléaire µ N = eħ/2m p 5,050 783 17(20) ⋅ 10−27 J/T 4, 0 ⋅ 10−8
rapport de masse proton–électron m p /m e 1 836,152 667 5(39) 2, 1 ⋅ 10−9
constante de Stefan–Boltzmann σ = π 2 k 4 /60ħ 3 c 2 56,704 00(40) nW/m2 K4 7, 0 ⋅ 10−6
constante de la loi du déplacement b = λ max T 2,897 768 6(51) mmK 1, 7 ⋅ 10−6
de Wien
constante de conversion de bits en entropie 1023 bit = 0,956 994 5(17) J/K 1, 7 ⋅ 10−6
contenu énergétique du TNT de 3,7 à 4,0 MJ/kg 4 ⋅ 10−2
a. Pour une masse infinie du noyau.
Certaines propriétés générales de la nature sont énumérées dans le tableau qui suit. (Si
vous voulez un défi, pouvez-vous déterminer si une quelconque propriété de l ’ Univers
Défi 396 s lui-même est listée ?)
TA B L E AU 14 Constantes astrophysiques.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r
constante gravitationnelle G 6,672 59(85) ⋅ 10−11 m3 /kg s2

constante cosmologique Λ env. 1 ⋅ 10−52 m−2
a
année tropicale en 1900 a 31 556 925,974 7 s
année tropicale en 1994 a 31 556 925,2 s
jour sidéral moyen d 23 h 56′ 4, 090 53′′
année-lumière al 9,460 528 173 ... Pm
unité astronomiqueb ua 149 597 870,691(30) km
parsec pc 30,856 775 806 Pm = 3,261 634 al
âge de l ’ Universc t0 4,333(53) ⋅ 1017 s = 13,73(0,17) ⋅ 109 a
(déterminé par l ’espace-temps, via l ’expansion, d ’après la relativité générale)
âge de l ’ Universc t0 3,5(4) ⋅ 1017 s = 11,5(1,5) ⋅ 109 a, au plus
(déterminé par la matière, via les galaxies et les étoiles, d ’après la mécanique quantique)
constante de Hubblec H0 2,3(2) ⋅ 10−18 s−1 = 0,73(4) ⋅ 10−10 a−1
H 0 = h 0 ⋅ 100 km/sMpc = h 0 ⋅ 1,0227 ⋅ 10−10 a−1
constante de Hubble réduitec h0 0,71(4)

paramètre de décélération q 0 = −( ä/a)0 /H 02−0, 66(10)
distance de l ’ horizon de l ’ Universc d 0 = 3ct 0 40,0(6) ⋅ 1026 m = 13,0(2) Gpc

topologie de l ’ Univers inconnue
nombre de dimensions spatiales 3, jusqu ’à 1026 m de distance
densité critique ρ c = 3H 0 /8πG
2
h 02 ⋅ 1,878 82(24) ⋅ 10−26 kg/m3
de l ’ Univers = 0,95(12) ⋅ 10−26 kg/m3
paramètre de densité (totale)c Ω 0 = ρ 0 /ρ c 1,02(2)
paramètre de densité baryoniquec Ω B0 = ρ B0 /ρ c 0,044(4)
paramètre de densité Ω CDM0 = ρ CDM0 /ρ c 0,23(4)
de matière noire froidec
paramètre de densité des neutrinosc Ω ν0 = ρ ν0 /ρ c 0,001 à 0,05
paramètre de densité Ω X0 = ρ X0 /ρ c 0,73(4)
de l ’énergie sombrec
paramètre de l ’équation d ’état w = p X /ρ X −1, 0(2)
de l ’énergie sombre
masse baryonique mb 1,67 ⋅ 10−27 kg
densité baryonique 0,25(1) /m3
densité de matière lumineuse 3,8(2) ⋅ 10−28 kg/m3
étoiles dans l ’ Univers ne 1022±1
baryons dans l ’ Univers nb 1081±1
température du fond diffus T0 2,725(1) K
micro-onded
photons dans l ’ Univers nγ 1089
densité d ’énergie des photons ρ γ = π 2 k 4 /15T04 4,6 ⋅ 10−31 kg/m3
410,89 /cm3 ou 400 /cm3 (T0 /2, 7 K)3
√
densité de photons
amplitude des perturbations S 5, 6(1, 5) ⋅ 10−6
√ √
de densité
amplitude des ondes T < 0, 71 S
gravitationnelles
fluctuations de masse sur 8 Mpc σ8 0,84(4)
indice spectral scalaire n 0,93(3)
variation de l ’ indice spectral dn/d√
ln k -0,03(2)
l Pl = 1,62 ⋅ 10−35 m
√
longueur de Planck ħG/c 3
t Pl = ħG/c 5 5,39 ⋅ 10−44 s
√
temps de Planck
masse de Planck m Pl = ħc/G 21,8 µg
nombre d ’ instants dans l ’ histoirec t 0 /t Pl 8,7(2,8) ⋅ 1060
points de l ’espace-temps N 0 = (R 0 /l Pl )3 ⋅ 10244±1
dans l ’ horizonc (t 0 /t Pl )
masse dans l ’ horizon M 1054±1 kg
a. Définition de la constante, d ’un équinoxe vernal à l ’autre équinoxe vernal. Elle était autrefois utilisée pour
définir la seconde. (Rappelez-vous : π secondes représentent à peu près un nanosiècle.) La valeur de 1990
compte environ 0,7 s de moins, correspondant à un ralentissement d ’approximativement 0,2 ms/a. (Faites
Défi 397 s attention : pourquoi ?) Il existe même une formule empirique pour évaluer la variation de la durée de l ’année
Réf. 281 au cours du temps.
b. Distance moyenne Terre–Soleil. Cette précision vraiment stupéfiante de 30 m résulte des durées moyennes

de propagation des signaux envoyés par les navettes spatiales Viking en orbite et les atterrisseurs martiens,
récoltées durant une période de plus de vingt ans.
c. L’ indice 0 représente les valeurs d ’aujourd ’ hui.
d. Ce rayonnement fut produit lorsque l ’ Univers était âgé de 380 000 ans et avait une température d ’envi-
ron 3 000 K. Les fluctuations ∆T0 qui déclenchèrent la formation des galaxies sont aujourd ’ hui d ’environ
Page 210 16 ± 4 µK = 6(2) ⋅ 10−6 T0 .
Soyez vigilants : dans l ’ultime partie de cet ouvrage on montre qu ’un grand nombre
des constantes du Tableau 14 ne sont pas des quantités physiquement raisonnables. Elles
doivent être considérées avec beaucoup de circonspection. Les constantes plus spéci-
fiques données dans le tableau qui suit sont toutes raisonnables, cependant.
TA B L E AU 15 Constantes astronomiques.
masse de la Terre M♁ 5,972 23(8) ⋅ 1024 kg

longueur gravitationnelle l♁ = 2GM/c 2 8,870(1) mm
de la Terre
rayon de la Terre, à l ’équateur a R♁eq 6 378,1367(1) km
rayon de la Terre, aux pôles a R ♁p 6 356,7517(1) km
distance Équateur–pôle a 10 001,966 km (moyenne)
aplatissement de la Terre a e♁ 1/298, 25231(1)
densité moyenne de la Terre ρ♁ 5,5 Mg/m3
âge de la Terre T♁ 4,55 Ga = 143 Ps
rayon de la Lune R $v 1 738 km dans la direction de la Terre
rayon de la Lune R $h 1 737,4 km dans les deux autres directions
masse de la Lune M$ 7,35 ⋅ 1022 kg
distance moyenne de la Luneb d$ 384 401 km
distance de la Lune au périgéeb typiquement 363 Mm, minimum historique
359 861 km
distance de la Lune à l ’ apogéeb typiquement 404 Mm, maximum historique
406 720 km
taille angulaire de la Lunec en moyenne 0, 5181○ = 31, 08′ , minimum
0, 49○ , maximum - ligne la plus courte 0, 55○
densité moyenne de la Lune ρ$ 3,3 Mg/m3
masse du Soleil M⊙ 1,988 43(3) ⋅ 1030 kg
longueur gravitationnelle l⊙ = 2GM⊙ /c 2 2,953 250 08 km
du Soleil
luminosité du Soleil L⊙ 384,6 YW
rayon solaire équatorial R⊙ 695,98(7) Mm
taille angulaire du Soleil 0, 53○ en moyenne ; minimum le quatre

juillet (aphélie) 1888′′ , maximum le quatre
janvier (périhélie) 1952′′
densité moyenne du Soleil ρ⊙ 1,4 Mg/m3

distance moyenne du Soleil UA 149 597 870,691(30) km
âge du Soleil T⊙ 4,6 Ga
vitesse solaire v⊙g 220(20) km/s
autour du centre de la galaxie
vitesse solaire v⊙b 370,6(5) km/s
par rapport au fond diffus cosmologique
distance au centre galactique 8,0(5) kpc = 26,1(1,6) kal
âge de la Voie lactée 13,6 Ga
taille de la Voie lactée env. 1021 m ou 100 kal
masse de la Voie lactée 1012 masses solaires, env. 2 ⋅ 1042 kg
masse de Jupiter MX 1,90 ⋅ 1027 kg
rayon jovien équatorial RX 71,398 Mm
rayon jovien polaire RX 67,1(1) Mm
distance moyenne de Jupiter DX 778 412 020 km
au Soleil
galaxie connue la plus éloignée 1835 IR1916 13,2 ⋅ 109 al = 1,25 ⋅ 1026 m, redshift 10
a. La forme de la Terre est décrite de la manière la plus précise par le Système géodésique mondial. La der-
nière édition date de 1984. Pour une présentation largement développée de ses contextes et de ses détails,
consultez le site Web www.wgs84.com. L’ Union Géodésique et Géophysique Internationale révisa les don-
nées en l ’an 2000. Les rayons et l ’aplatissement donnés ici sont ceux du système de marée « mean tide sys-
tem ». Ils diffèrent de 0,7 m environ de ceux du système de marée « zero tide system » et de d ’autres systèmes.
Les particularités de ce domaine représentent une science à part.
b. Mesurée de centre à centre. Pour trouver la position précise de la Lune à une date donnée, consultez la
page www.fourmilab.ch/earthview/moon_ap_per.html. Pour les planètes, consultez la page www.fourmilab.
ch/solar/solar.html et les autres pages du même site.
c. Les angles sont définis comme suit : 1 degré = 1○ = π/180 rad, 1 (première) minute d ’arc = 1′ = 1○ /60, 1
seconde (minute) d ’arc = 1′′ = 1′ /60. Les anciennes unités « tierce minute d ’arc » et « quarte minute d ’arc »,
valant chacune 1/60e de la précédente, ne sont plus utilisées. (« Minute » signifiait à l ’origine « très petit »,
comme c ’est toujours le cas dans l ’anglais moderne.)
Nombres u tiles
π 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 375105
e 2, 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 699959
γ 0, 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 939923
Réf. 282
ln 2 0, 69314 71805 59945 30941 72321 21458 17656 80755 00134 360255
√ 10
ln 2, 30258 50929 94045 68401 79914 54684 36420 76011 01488 628772
10 3, 16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195 55139 325216
Si le nombre π est normal, c ’est-à-dire si les chiffres et les combinaisons de chiffres

dans ses développements décimaux apparaissent tous avec la même fréquence limite,
alors tous les textes qui ont été écrits ou qui vont l ’être, de même que tous les mots
qui ont été prononcés ou qui vont l ’être, peuvent être retrouvés de manière codée
dans ses suites. La propriété de normalité n’a pas encore été démontrée, bien qu ’on
suspecte qu ’elle soit valide. Cela signifie-t-il que toute la science soit encodée dans le

simple cercle ? Non. Cette propriété n’a rien de particulier : elle s’applique également au
nombre 0, 123456789101112131415161718192021.... et de nombreux autres. Pouvez-vous en
Défi 398 s citer quelques exemples ?
Par ailleurs, dans le graphe de la fonction exponentielle e x , le point (0, 1) est le seul
point ayant deux coordonnées rationnelles. Si vous vous imaginez colorier en bleu tous
les points situés sur le plan et ayant deux coordonnées rationnelles, ce plan paraîtrait
quasiment bleu. Néanmoins, le graphe passe par un de ces points seulement et parvient
à éviter tous les autres.
BI BL IO G R A PH I E

“
Un homme retournera la moitié d ’une
bibliothèque pour ne produire qu ’un seul livre.
1
Samuel Johnson*
Aristote, De la sensation et des sensibles, section 1, partie 1, 350 av. J.-C. Cité dans
Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Folio Essais, Gallimard, p. 157, 1991. Cité
”
en page 16.
2 Le récit historique de la mesure de la vitesse de la lumière peut être compulsé dans le chapitre
19 de l ’ouvrage de Francis A. Jenkins & Harvey E. White, Fundamentals of Optics,
McGraw-Hill, New York, 1957. Cité en page 17.
3 Sur la manière de réaliser de telles mesures, lisez Sydney G. Brewer, Do-it-yourself As-
tronomy, Edinburgh University Press, 1988. Kepler lui-même n’a jamais mesuré les distances
des planètes au Soleil, mais uniquement les rapports des distances planétaires. La parallaxe
du Soleil mesurée à partir de deux points distincts sur Terre est tout au plus de 8,79 ′′ . Elle
fut mesurée pour la première fois au dix-huitième siècle. Cité en page 18.
4 Aristarque, On the sizes and the distances of the Sun and the Moon, v. 280 av. J.-
C., dans Michael J. Crowe, Theories of the World From Antiquity to the Copernican
Revolution, Dover, 1990. Cité en page 18.
5 J. Frercks, Creativity and technology in experimentation : Fizeau ’s terrestrial determi-
nation of the speed of light, Centaurus 42, pp. 249–287, 2000. Voyez également le magni-
fique site Web sur les reconstitutions d ’expériences scientifiques historiques : http://www.
uni-oldenburg.de/histodid/forschung/nachbauten. Cité en page 19.
6 La manière de produire des images de signaux lumineux à l ’aide d ’un appareil photogra-
phique ordinaire, sans électronique, est décrite par M. A. Duguay & A. T. Mattick,
Ultrahigh speed photography of picosecond light pulses and echoes, Applied Optics 10,
pp. 2162–2170, 1971. La photographie de la page 19 est tirée de celui-ci. Cité en page 20.
7 Vous pouvez apprendre les bases de la relativité restreinte en surfant sur le Web, sans l ’as-
sistance d ’aucun manuel, en prenant pour point de départ le site http://physics.syr.edu/
research/relativity/RELATIVITY.html. Cette page fait référence à la majorité des ressources
disponibles sur le Web sur la relativité, bien qu ’en langue anglaise. Des liens vers d ’autres
langues peuvent être trouvés à l ’aide des moteurs de recherche. Cité en page 20.
8 Des observations sur les sursauts de rayons gamma montrent que la vitesse de la lumière ne
dépend pas de la vitesse de la source à moins d ’une partie pour 1020 près, comme indiqué
par K. Brecher, Bulletin of the American Physical Society 45, 2000. Il émit l ’ hypothèse
que les deux côtés de l ’astre en explosion émettent de la lumière. La grande différence de
vitesse et l ’acuité de la pulsation conduisent alors à ce résultat. Lisez également son ancien
* Samuel Johnson (1709–1784) fut un célèbre poète et intellectuel anglais.

bibliographie 295
article K. Brecher, Is the speed of light independent of the source ?, Physics Letters 39,
pp. 1051–1054, Errata 1236, 1977. Une autre piste consiste à mesurer la vitesse de la lumière
à partir d ’étoiles en mouvement rapide. Certaines de ces expériences ne sont toutefois pas
complètement irréfutables. Il existe une théorie alternative de l ’électrodynamique, due à
Ritz, qui soutient que la vitesse de la lumière est c uniquement lorsqu ’elle est mesurée par
rapport à la source. La lumière issue des étoiles, cependant, traverse l ’atmosphère, et sa

vitesse peut donc être réduite à c.
L’expérience célèbre utilisant la lumière émise par des mésons pi rapides au CERN
n’est pas sujette à cette critique. Elle est décrite dans T. Alväger, J. M. Bailey,
F. J. M. Farley, J. Kjellman & I. Wallin, Test of the second postulate of relati-
vity in the GeV region, Physics Letters 12, pp. 260–262, 1964. Lisez également T. Alväger
& al., Velocity of high-energy gamma rays, Arkiv för Fysik 31, pp. 145–157, 1965.
Une autre expérience précise dans le domaine des vitesses extrêmes est décrite par
G. R. Kalbfleisch, N. Baggett, E. C. Fowler & J. Alspector, Experimental
comparison of neutrino, anti-neutrino, and muon velocities, Physical Review Letters 43,
pp. 1361–1364, 1979. Cité en page 21.
9 Lisez par exemple C. Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics, Revised edi-
tion, Cambridge University Press, 1993. Cité aux pages 21 et 23.
10 B. E. Schaefer, Severe limits on variations of the speed of light with frequency, Physical
Review Letters 82, pp. 4964–4966, 21 juin 1999. Cité en page 22.
11 La théorie moderne de la relativité a vu le jour dans le célèbre article d ’ Albert Einstein,
Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17, pp. 891–921, 1905. Il est tou-
jours d ’une très grande importance, et chaque physicien devrait l ’avoir consulté. La même
chose peut être dite à propos du célèbre article, probablement rédigé après qu ’ il eut entendu
parler de l ’ idée d ’Olinto De Pretto, que l ’on peut trouver dans Albert Einstein, Ist die
Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ?, Annalen der Physik 18, pp. 639–
641, 1905. Lisez également ses réflexions : Albert Einstein, Über das Relativitätsprinzip
und die aus demselben gezogenen Folgerungen, Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik
4, pp. 411–462, 1907. Ces articles sont maintenant disponibles dans plusieurs langues. La co-
pie d ’une revue de détail ultérieure, non publiée, est disponible en traduction anglaise dans
Albert Einstein, Hanoch Gutfreund, ed., Einstein’s 1912 Manuscript on the Theory of
Relativity, George Braziller, 2004. Cité aux pages 22, 24 et 65.
12 Albert Einstein, Mein Weltbild, édité par Carl Selig, Ullstein Verlag, 1998. Cité en
page 22.
13 Jean van Bladel, Relativity and Engineering, Springer, 1984. Cité en page 22.
14 Albrecht Fölsing, Albert Einstein – eine Biographie, Suhrkamp p. 237, 1993. Cité aux
pages 23 et 33.
15 R. J. Kennedy & E. M. Thorndike, Experimental establishment of the relativity of
time, Physical Review 42, pp. 400–418, 1932. Lisez aussi H. E. Ives & G. R. Stilwell,
An experimental study of the rate of a moving atomic clock, Journal of the Optical So-
ciety of America 28, pp. 215–226, 1938, et 31, pp. 369–374, 1941. Pour une adaptation
moderne très précise, consultez C. Braxmeier, H. Müller, O. Pradl, J. Mlynek,
A. Peters & S. Schiller, New tests of relativity using a cryogenic optical resonator, Phy-
sical Review Letters 88, p. 010401, 2002. Les dernières nouvelles sont dans P. Antonini,
M. Okhapkin, E. Göklü & S. Schiller, Testing the constancy of the speed of light
with rotating cryogenic optical resonators, Physical Review A 71, p. 050101, 2005, ou http://
arxiv.org/abs/gr-qc/0504109. Cité en page 23.
296 bibliographie
16 Edwin F. Taylor & John A. Wheeler, Spacetime Physics – Introduction to Special Re-
lativity, second edition, Freeman, 1992. Voyez également Nick M. J. Woodhouse, Spe-
cial Relativity, Springer, 2003. Cité aux pages 25 et 74.
17 Wolf gang Rindler, Relativity – Special, General and Cosmological, Oxford University
Press, 2001. Un ouvrage admirable rédigé par un des spécialistes de ce domaine. Cité aux

pages 25 et 79.
18 La lenteur de la vitesse de la lumière à l ’ intérieur des étoiles est due à la diffusion incessante
des photons par la matière de l ’astre. L’estimation la plus courante pour la durée d ’échappe-
ment dans le Soleil est de 40 000 ans à 1 million d ’années, mais des estimations situées entre
17 000 ans et 50 millions d ’années peuvent être rencontrées dans la littérature. Cité en page
24.
19 L. Vestergaard Hau, S. E. Harris, Z. Dutton & C. H. Behroozi, Light speed
reduction to 17 meters per second in an ultracold atomic gas, Nature 397, pp. 594–598, 1999.
Lisez aussi ?. Cité en page 24.
20 La manière d ’exposer la relativité restreinte en dessinant quelques lignes sur une feuille est
due à Hermann B ondi, Relativity and Common Sense : A New Approach to Einstein, Do-
ver, New York, 1980. Voyez également Dierck-Ekkehard Liebscher, Relativitätstheo-
rie mit Zirkel und Lineal, Akademie-Verlag Berlin, 1991. Cité en page 24.
21 Rod S. Lakes, Experimental limits on the photon mass and cosmic vector potential, Phy-
sical Review Letters 80, pp. 1826–1829, 1998. La vitesse de la lumière est indépendante de la
fréquence à moins d ’un facteur 6 ⋅ 10−21 près, comme les études sur les rayons gamma de
B. E. Schaefer, Severe limits on variations of the speed of light with frequency, Physical
Review Letters 82, pp. 4964–4966, 1999, l ’ont montré. Cité en page 27.
22 Un tour d ’ horizon des résultats expérimentaux est fourni par Yuan Zhong Zhang, Spe-
cial Relativity and its Experimental Foundations, World Scientific, 1998. Cité aux pages 27,
32, 44, 59, 88 et 297.
23 R. W. McGowan & D. M. Giltner, New measurement of the relativistic Doppler shift
in neon, Physical Review Letters 70, pp. 251–254, 1993. Cité en page 28.
24 Le record actuel de synchronisation d ’ horloges semble être de 1 ps pour deux horloges dis-
tantes de 3 km l ’une de l ’autre. Lisez A. Valencia, G. Scarcelli & Y. Shih, Distant
clock synchronization using entangled photon pairs, Applied Physics Letters 85, pp. 2655–
2657, 2004, ou http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407204. Cité en page 29.
25 J. Frenkel & T. Kontorowa, Über die Theorie der plastischen Verformung, Physikali-
sche Zeitschrift der Sowietunion 13, p. 1, 1938. F. C. Frank, On the equations of motion of
crystal dislocations, Proceedings of the Physical Society A 62, pp. 131–134, 1949. J. Eshelby,
Uniformly moving dislocations, Proceedings of the Physical Society A 62, pp. 307–314, 1949.
Voyez aussi G. Leibfried & H. Dietze, Zeitschrift für Physik 126, p. 790, 1949. Une intro-
duction générale peut être trouvée dans A. Seeger & P. Schiller, Kinks in dislocation
lines and their effects in internal friction in crystals, Physical Acoustics 3A, W. P. Mason,
ed., Academic Press, 1966. Lisez également les manuels de Frank R. N. Nabarro,
Theory of Crystal Dislocations, Oxford University Press, 1967, ou J. P. Hirth & J. Lothe,
Theory of Dislocations, McGraw Hill, 1968. Cité en page 30.
26 Ce merveilleux graphique est tiré de Z. G. T. Guiragossian, G. B. Rothbart,
M. R. Yearian, R. Gearhart & J. J. Murray, Relative velocity measurements of
electrons and gamma rays at 15 GeV, Physical Review Letters 34, pp. 335–338, 1975. Cité en
page 30.
27 Pour en savoir plus sur ces cinglés très connus et sur leurs idées, envoyez un courriel à
bibliographie 297
majordomo@zikzak.net avec cette seule ligne comme message « subscribe psychoceramics ».

Cité en page 31.
28 La vitesse des neutrinos est identique à celle de la lumière à 9 décimales près. Cela est expli-
qué par Leo Stodolsky, The speed of light and the speed of neutrinos, Physics Letters B
201, p. 353, 1988. Une observation de la masse minuscule du neutrino a été publiée par la

collaboration japonaise du Super-Kamiokande, dans Y. Fukuda & al., Evidence for oscilla-
tion of atmospheric neutrinos, Physical Review Letters 81, pp. 1562–1567, 1998. Les nouveaux
résultats publiés par l ’Observatoire canadien du neutrino à Sudbury, comme Q.R. Ahmad
& al., Direct evidence for neutrino flavor transformation from neutral-current interactions
in the Sudbury Neutrino Observatory, Physical Review Letters 89, p. 011301, 2002, confirment
également que les neutrinos ont une masse dans la région de 1 eV. Cité aux pages 31 et 321.
29 B. Rothenstein & G. Eckstein, Lorentz transformations directly from the speed of
light, American Journal of Physics 63, p. 1150, 1995. Lisez aussi le commentaire de E. Ka-
puścik, Comment on « Lorentz transformations directly from the speed of light », by B.
Rothenstein and G. Eckstein, American Journal of Physics 65, p. 1210, 1997. Cité en page 33.
30 Lisez par exemple les conférences de 1922 données par Lorentz à Caltech, publiées dans
H. A. Lorentz, Problems of Modern Physics, édité par H. Bateman, Ginn and Company,
page 99, 1927. Cité en page 33.
31 A. A. Michelson & E. W. Morley, On the relative motion of the Earth and the lumi-
niferous ether, American Journal of Science (3rd series) 34, pp. 333–345, 1887. Michelson a
publié de nombreux autres articles sur ce sujet après celui-ci. Cité en page 33.
32 S. Schiller, P. Antonini & M. Okhapkin, A precision test of the isotropy of the
speed of light using rotating cryogenic optical cavities, http://arxiv.org/abs/physics/0510169.
Cité en page 33.
33 H. A. Lorentz, De relative beweging van de aarde en dem aether, Amst. Versl. 1, p. 74,
1892, et aussi H. A. Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any
velocity smaller than that of light, Amst. Proc. 6, p. 809, 1904, ou Amst. Versl. 12, p. 986, 1904.
Cité en page 37.
34 Une réfutation globale de ces propositions est discutée par S. R. Mainwaring &
G. E. Stedman, Accelerated clock principles, Physical Review A 47, pp. 3611–3619, 1993.
Des expériences sur les muons au CERN en 1968 montrèrent que des accélérations allant jus-
qu ’à 1020 m/s2 n’ont aucune incidence, comme l ’expliquent D. H. Perkins, Introduction
to High Energy Physics, Addison-Wesley, 1972, et J. Bailey & al., Il Nuovo Cimento 9A,
p. 369, 1972. Cité en page 37.
35 W. Rindler, General relativity before special relativity : an unconventional overview of
relativity theory, American Journal of Physics 62, pp. 887–893, 1994. Cité en page 38.
36 Steven K. Blau, Would a topology change allow Ms. Bright to travel backward in time ?,
American Journal of Physics 66, pp. 179–185, 1998. Cité en page 40.
37 Sur la formulation de la relativité en termes de quantités « propres », lisez par exemple
D. Hestenes, Proper particle mechanics, Journal of Mathematical Physics 15, pp. 1768–
1777, 1974. Cité en page 41.
38 L’expérience élémentaire qui consiste à emporter une horloge précise dans un avion, à voler
avec tout autour du globe et à la comparer alors à une autre identique que nous avons pris
soin de laisser au sol fut réalisée pour la première fois par J. C. Hafele & R. E. Keating,
Around-the-world atomic clocks : predicted relativistic time gains, Science 177, pp. 166–167,
et Around-the-world atomic clocks : observed relativistic time gains, pp. 168–170, 14 juillet
1972. Voyez également Réf. 22. Cité en page 41.
298 bibliographie
39 Une introduction compréhensible à la dilatation du temps pour des observateurs, et à la rela-

tivité générale : Roman U. Sexl & Herbert Kurt Schmidt, Raum-Zeit-Relativität,
2. Auflage, Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1991. Cité en page 41.
40 La plus célèbre d ’entre elles est la découverte que des muons qui se déplacent restent plus
jeunes, comme l ’ indiquent par exemple D. H. Frisch & J. B. Smith, Measurement of the

relativistic time dilation using µ-mesons, American Journal of Physics 31, pp. 342–355, 1963.
Pour un exposé complet et pédagogique sur le paradoxe des jumeaux, lisez E. Sheldon,
Relativistic twins or sextuplets ?, European Journal of Physics 24, pp. 91–99, 2003. Cité en
page 42.
41 Paul J. Nahin, Time Machines – Time Travel in Physics, Metaphysics and Science Fiction,
Springer Verlag et AIP Press, second edition, 1999. Cité en page 43.
42 La première expérience sur le muon fut : B. Rossi & D. B. Hall, Variation of the rate of
decay of mesotrons with momentum, Physical Review 59, pp. 223–228, 1941. Le « mésotron »
est l ’ancienne dénomination du muon. Cité en page 43.
43 A. Harvey & E. Schucking, A small puzzle from 1905, Physics Today, pp. 34–36, Mars
2005. Cité en page 44.
44 W. Rindler, Length contraction paradox, American Journal of Physics 29, pp. 365–366,
1961. Pour une version sans la gravitation, lisez R. Shaw, Length contraction paradox, Ame-
rican Journal of Physics 30, p. 72, 1962. Cité en page 46.
45 H. van Lintel & C. Gruber, The rod and hole paradox re-examined, European Journal
of Physics 26, pp. 19–23, 2005. Cité en page 46.
46 Cette situation est analysée par G. P. Sastry, Is length contraction paradoxical ?, American
Journal of Physics 55, 1987, pp. 943–946. Cet article contient également une vaste bibliogra-
phie recouvrant des variantes des paradoxes sur la contraction des longueurs. Cité en page
46.
47 S. P. B oughn, The case of the identically accelerated twins, American Journal of Physics
57, pp. 791–793, 1989. Cité aux pages 46 et 50.
48 J. M. Supplee, Relativistic buoyancy, American Journal of Physics 57 1, pp. 75–77, janvier
1989. Lisez aussi G. E. A. Matsas, Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies
and the general-relativistic resolution of the “submarine paradox”, Physical Review D 68,
p. 027701, 2003, ou http://arxiv.org/abs/gr-qc/0305106. Cité en page 47.
49 Cette distinction fut établie pour la première fois par J. Terrell, Invisibility of Lorentz
contraction, Physical Review 116, pp. 1041–1045, 1959, et R. Penrose, The apparent shape
of a relativistically moving sphere, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 55,
pp. 137–139, 1959. Cité en page 49.
50 G. R. Rybicki, Speed limit on walking, American Journal of Physics 59, pp. 368–369, 1991.
Cité en page 51.
51 Les premiers exemples de telles observations astronomiques furent donnés par A.R.
Whitney & al., Quasars revisited : rapid time variations observed via very-long-
baseline interferometry, Science 173, pp. 225–230, 1971, et par M.H. Cohen & al.,
The small-scale structure of radio galaxies and quasi-stellar sources at 3.8 centimetres,
Astrophysical Journal 170, pp. 207–217, 1971. Lisez aussi T. J. Pearson, S. C. Unwin,
M. H. Cohen, R. P. Linfield, A. C. S. Readhead, G. A. Seielstad, R. S. Simon
& R. C. Walker, Superluminal expansion of quasar 3C 273, Nature 290, pp. 365–368,
1981. Un aperçu en est donné dans J. A. Zensus & T. J. Pearson, editors, Superluminal
radio sources, Cambridge University Press, 1987. Une autre mesure, utilisant l ’ interféromé-
trie à très longue base avec des ondes radio, a été représentée sur la couverture de Nature :
bibliographie 299
I. F. Mirabel & L. F. Rodriguez, A superluminal source in the galaxy, Nature 371,

pp. 46–48, 1994. Un exemple plus récent a été signalé dans Science News 152, p. 357, 6
décembre 1997.
Des explications pédagogiques sont fournies par D. C. Gabuzda, The use of quasars
in teaching introductory special relativity, American Journal of Physics 55, pp. 214–215, 1987,
et par Edwin F. Taylor & John A. Wheeler, Spacetime Physics – Introduction to

Special Relativity, second edition, Freeman, 1992, pages 89-92. Cet excellent ouvrage a déjà
été cité dans ce texte. Cité en page 53.
52 O. M. Bilaniuk & E. C. Sudarshan, Particles beyond the light barrier, Physics Today
22, pp. 43–51, 1969, et O. M. P. Bilaniuk, V. K. Deshpande & E. C. G. Sudarshan,
“Meta” relativity, American Journal of Physics 30, pp. 718–723, 1962. Voyez aussi E. Recami,
editor, Tachyons, Monopoles and Related Topics, North-Holland, Amsterdam, 1978. Cité en
page 54.
53 J. P. Costella, B. H. J. McKellar, A. A. Rawlinson & G. J. Stephenson, The
Thomas rotation, American Journal of Physics 69, pp. 837–847, 2001. Cité en page 55.
54 Lisez par exemple S. S. Costa & G. E. A. Matsas, Temperature and relativity, preprint
disponible sur http://arxiv.org/abs/gr-qc/9505045. Cité en page 55.
55 R. C. Tolman & G. N. Lewis, The principle of relativity and non-Newtonian mechanics,
Philosophical Magazine 18, pp. 510–523, 1909, et R. C. Tolman, Non-Newtonian mecha-
nics : the mass of a moving body, Philosophical Magazine 23, pp. 375–380, 1912. Cité en
page 56.
56 S. Rainville, J. K. Thompson, E. G. Myers, J. M. Brown, M. S. Dewey,
E. G. Kessler, R. D. Deslattes, H. G. B örner, M. Jentschel, P. Mutti &
D. E. Pritchard, World year of physics : a direct test of E = mc 2 , Nature 438, pp. 1096–
1097, 2005. Cité en page 61.
57 Cette information est issue d ’une communication confidentielle de Frank DiFilippo. Une
partie de cette histoire est contée dans F. DiFilippo, V. Natarajan, K. R. B oyce &
D. E. Pritchard, Accurate atomic masses for fundamental metrology, Physical Review
Letters 73, pp. 1481–1484, 1994. Ces mesures furent réalisées à l ’aide de pièges de Penning,
un tour d ’ horizon des possibilités qu ’ ils offrent en est donné par R. C. Thompson, Pre-
cision measurement aspects of ion traps, Measurement Science and Technology 1, pp. 93–
105, 1990. Les expérimentateurs les plus importants dans le domaine de la lévitation d ’une
unique particule reçurent le prix Nobel en 1989. Une des conférences du Prix Nobel peut être
consultée dans W. Paul, Electromagnetic traps for neutral and charged particles, Reviews
of Modern Physics 62, pp. 531–540, 1990. Cité en page 61.
58 J. L. Synge, Relativity : The Special Theory, North-Holland, 1956, pp. 208–213. Vous trou-
verez plus d ’ informations sur les antiparticules dans le cadre de la relativité restreinte dans
J. P. Costella, B. H. J. McKellar & A. A. Rawlinson, Classical antiparticles, Ame-
rican Journal of Physics 65, pp. 835–841, 1997. Voyez aussi Réf. 73. Cité en page 62.
59 A. Papapetrou, Drehimpuls- und Schwerpunktsatz in der relativistischen Mechanik,
Praktika Acad. Athenes 14, p. 540, 1939, et A. Papapetrou, Drehimpuls- und Schwer-
punktsatz in der Diracschen Theorie, Praktika Acad. Athenes 15, p. 404, 1940. Lisez éga-
lement M. H. L. Pryce, The mass-centre in the restricted theory of relativity and its
connexion with the quantum theory of elementary particles, Proceedings of the Royal So-
ciety in London, A 195, pp. 62–81, 1948. Cité en page 64.
60 Les références qui ont précédé la formule d ’ Einstein E = mc 2 sont : Tolver Preston,
Physics of the Ether, E. & F.N. Spon, 1875, J. H. Poincaré, La théorie de Lorentz et le prin-
cipe de réaction, Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 5, pp. 252–278, 1900,
300 bibliographie
O. De Pretto, Ipotesi dell ’etere nella vita dell ’universo, Reale Istituto Veneto di Scienze,
Lettere ed Arti tomo LXIII, parte 2, pp. 439–500, Febbraio 1904, F. Hasenöhrl, Berichte
der Wiener Akademie 113, p. 1039, 1904, F. Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in be-
wegten Körpern, Annalen der Physik 15, pp. 344–370, 1904, F. Hasenöhrl, Zur Theorie
der Strahlung in bewegten Körpern – Berichtigung, Annalen der Physik 16, pp. 589–592,
1905. Hasenöhrl décéda en 1915, De Pretto en 1921. Tous ces articles furent publiés avant le

célèbre article d ’ Albert Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiein-
halt abhängig ?, Annalen der Physik 18, pp. 639–641, 1905. Cité en page 66.
61 La brochure suivante constitue un véritable bijou parmi tous les manuels de relativité res-
treinte : Ulrich E. Schröder, Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, Thun,
1981. Cité aux pages 69 et 71.
62 Un article facile à lire montrant une photocopie d ’une lettre d ’ Einstein éclaircissant ce point
est le suivant : Lev B. Okun, The concept of mass, Physics Today, pp. 31–36, juin 1989. Ce
sujet ne reste pas sans polémique, comme l ’attestent les lettres des lecteurs accompagnant
cet article. Vous pouvez les lire dans Physics Today, pp. 13–14 et pp. 115–117, mai 1990. Ce
sujet demeure une source de débats. Cité en page 71.
63 Christian Møller, The Theory of Relativity, Clarendon Press, 1952, 1972. Cet ouvrage
de référence a été traduit en plusieurs langues. Cité en page 71.
64 P. Ehrenfest, Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie, Physika-
lische Zeitschrift 10, pp. 918–928, 1909. Ehrenfest suggéra (de manière incorrecte) que cela
signifiait que la relativité ne pouvait pas être correcte. Une synthèse récente de ce problème
peut être trouvée dans M. L. Ruggiero, The relative space : space measurements on a ro-
tating platform, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0309020. Cité en page 72.
65 R. J. Low, When moving clocks run fast, European Journal of Physics 16, pp. 228–229, 1995.
Cité aux pages 77 et 78.
66 G. Stephenson & C. W. Kilmister, Special Relativity for Physicists, Longmans, Lon-
don, 1965. Voyez également W. N. Matthews, Relativistic velocity and acceleration trans-
formations from thought experiments, American Journal of Physics 73, pp. 45–51, 2005. Cité
en page 79.
67 L’ impossibilité de définir des référentiels de coordonnées rigides pour des observateurs
non uniformément accélérés est discutée par Charles Misner, Kip Thorne &
John A. Wheeler, Gravitation, Freeman, p. 168, 1973. Cité en page 81.
68 E. A. Desloge & R. J. Philpott, Uniformly accelerated reference frames in special re-
lativity, American Journal of Physics 55, pp. 252–261, 1987. Cité en page 81.
69 R. H. Good, Uniformly accelerated reference frame and twin paradox, American Journal
of Physics 50, pp. 232–238, 1982. Cité aux pages 81, 82 et 86.
70 J. Dwayne Hamilton, The uniformly accelerated reference frame, American Journal of
Physics 46, pp. 83–89, 1978. Cité en page 82.
71 Le meilleur formulaire de mathématiques (également le moins cher) reste celui de
K. Rottmann, Mathematische Formelsammlung, BI Hochschultaschenbücher, 1960.
Cité en page 82.
72 C. G. Adler & R. W. Brehme, Relativistic solutions to a falling body in a uniform gravi-
tation field, American Journal of Physics 59, pp. 209–213, 1991. Cité en page 83.
73 Consultez par exemple les excellentes notes de cours de D. J. Raymond, A radically mo-
dern approach to freshman physics, sur le site http://www.physics.nmt.edu/~raymond/
teaching.html. Cité aux pages 83 et 299.
bibliographie 301
74 L. Mishra, The relativistic acceleration addition theorem, Classical and Quantum Gravity
11, pp. L97–L102, 1994. Cité en page 83.
75 Edward A. Desloge, The gravitational red-shift in a uniform field, American Journal of
Physics 58, pp. 856–858, 1990. Cité en page 86.
76 Une de ces dernières expériences discutables se trouve dans T. P. Krisher, L. Maleki,

G. F. Lutes, L. E. Primas, R. T. Logan, J. D. Anderson & C. M. Will, Test of the
isotropy of the one-way speed of light using hydrogen-maser frequency standards, Physical
Review D 42, pp. 731–734, 1990. Cité en page 88.
77 Edwin F. Taylor & A. P. French, Limitation on proper length in special relativity,
American Journal of Physics 51, pp. 889–893, 1983. Cité en page 89.
78 Cette citation est tirée d ’une lettre de Gibbs adressée à l ’Académie américaine des arts et
des sciences, dans laquelle il remercie l ’Académie pour sa distinction. Cette lettre fut lue lors
d ’une session de l ’Académie et fut donc intégrée dans ses comptes rendus : J. W. Gibbs,
Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 16, p. 420, 1881. Cité en page
93.
79 Il semble que la première formulation de ce principe ait été publiée dans l ’édition de l ’an
2000 de ce texte, dans le chapitre sur la gravitation et la relativité. Le présent auteur découvrit
le principe de la force maximale en 1998, alors qu ’ il recherchait une manière de dériver les
résultats du chapitre ?? qui aurait été si élémentaire qu ’elle aurait même convaincu un étu-
diant du second cycle. La référence est Christoph Schiller, Motion Mountain – The
Adventure of Physics, situé sur www.motionmountain.eu. L’ idée d ’une force maximale a
également été proposée par Gary Gibbons en 2002 (voir la référence ci-dessous). De nos
jours, Gary Gibbons est plus réticent que l ’auteur sur le fait de savoir si la force maximale
peut être considérée comme un véritable principe physique (en dépit du titre de son article).
L’approche d ’une force maximale a été discutée dans différents groupes de discussion Use-
net au début du vingt et unième siècle. Ce débat a montré que l ’ idée d ’une force maximale
(et d ’une puissance maximale) était déjà familière à certains individus, mais que personne
avant Gibbons et l ’auteur ne l ’avait couchée par écrit. Cette découverte aussi a été faite beau-
coup trop tard. En résumé, seule l ’ idée d ’ériger la force ou la puissance maximale au rang
de principe semble être originale. Elle fut publiée pour la première fois dans la référence qui
suit celle-ci puis dans C. Schiller, General relativity and cosmology derived from prin-
ciple of maximum power or force, International Journal of Theoretical Physics 44, pp. 1629–
1647, 2005, preprint sur arxiv.org/abs/physics/0607090. Cité en page 93.
80 C. Schiller, Maximum force and minimum distance : physics in limit statements,
qui constitue une partie de ce texte et téléchargeable sur www.motionmountain.eu/
MotionMountain-Part6.pdf, preprint sur arxiv.org/abs/physics/0309118. Cité aux pages
95, 98, 110 et 119.
81 G. W. Gibbons, The maximum tension principle in general relativity, Foundations of Phy-
sics 32, pp. 1891–1901, 2002, ou arxiv.org/abs/hep-th/0210109. Gary Gibbons explique que
la force maximale découle de la relativité générale, il ne fait aucune déclaration concernant
l ’ inverse. Cité en page 93.
82 H. C. Ohanian & R. Ruffini, Gravitation and Spacetime, W.W. Norton & Co., New
York, 1994. Cité aux pages 98, 108, 110, 113 et 117.
83 Lisez par exemple Wolf gang Rindler, Relativity – Special, General and Cosmological,
Oxford University Press, 2001, p. 70 ff, ou Ray d ’ Inverno Introducing Einstein’s Relati-
vity, Clarendon Press, 1992, p. 36 ff. Cité en page 100.
84 Regardez par exemple A. Ashtekar, S. Fairhust & B. Krishnan, Isolated horizons :
Hamiltonian evolution and the first law, arxiv.org/abs/gr-qc/0005083. Cité en page 100.
302 bibliographie
85 T. Jacobson, Thermodynamics of spacetime : the Einstein equation of state, Physical Re-

view Letters 75, pp. 1260–1263, 1995 ou arxiv.org/abs/gr-qc/9504004. Cité en page 101.
86 Lisez par exemple Ekkehart Kröner, Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigens-
pannungen, Springer, 1958, volume 5 de la série des « Ergebnisse der angewandten Mathema-
tik ». Kröner montre la similitude qui existe entre les équations, les méthodes et les résultats

de la physique des milieux continus de l ’état solide et ceux de la relativité générale. Cité en
page 104.
87 Edwin F. Taylor & John A. Wheeler, Spacetime Physics – Introduction to Special
Relativity, second edition, Freeman, 1992. Cité en page 105.
88 Ce contre-exemple fut suggéré par Steve Carlip. Cité en page 108.
89 E. R. Caianiello, Lettere al Nuovo Cimento 41, p. 370, 1984. Cité en page 110.
90 R. Penrose, Naked singularities, Annals of the New York Academy of Sciences 224, pp. 125–
134, 1973. Cité en page 116.
91 G. Huisken & T. Ilmanen, The Riemannian Penrose inequality, International Mathema-
tics Research Notices 59, pp. 1045–1058, 1997. Cité en page 116.
S. A. Hay ward, Inequalities relating area, energy, surface gravity and charge of black
92
holes, Physical Review Letters 81, pp. 4557–4559, 1998. Cité en page 116.
93 C. Will, Was Einstein Right ? – Putting General Relativity to the Test, Oxford University
Press, 1993. Consultez également son article arxiv.org/abs/gr-qc/9811036. Cité en page 117.
94 Les résultats des mesures réalisées par le satellite WMAP sont synthétisés sur le site map.
gsfc.nasa.gov/m_mm.html, les articles sont disponibles sur lambda.gsfc.nasa.gov/product/
map/current/map_bibliography.cfm. Cité en page 119.
95 La source historique la plus élémentaire est Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preus-
sischen Akademie der Wissenschaften II pp. 844–846, 1915. C ’est la première explication de
la théorie générale de la relativité, en seulement trois pages. Cette théorie est alors expli-
quée plus en détail dans le célèbre article Albert Einstein, Die Grundlage der allgemei-
nen Relativitätstheorie, Annalen der Physik 49, pp. 769–822, 1916. Les références historiques
peuvent être trouvées en allemand et en anglais dans John Stachel, ed., The Collected
Papers of Albert Einstein, Volumes 1–9, Princeton University Press, 1987–2004.
Nous énumérons ci-dessous une sélection d ’ouvrages en langue anglaise pour une étude
plus approfondie, dans l ’ordre croissant de profondeur et de difficulté :
— Le livre de poche de Igor Novikov, Black Holes and the Universe, Cambridge Uni-
versity Press, 1990, constitue un livre divertissant sans aucune formule, mais néanmoins
exact et détaillé.
— Nous ne trouvons presque pas de formules, mais plein de perspicacité dans le texte en-
thousiaste de John A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, W.H. Free-
man, 1990.
— Une excellente présentation didactique se trouve dans Edwin F. Taylor &
John A. Wheeler, Exploring Black Holes : Introduction to General Relativity, Addi-
son Wesley Longman, 2000.
— Beauté, simplicité et concision sont les mots qui caractérisent l ’ouvrage de Mal-
colm Ludvigsen, General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University
Press, 1999.
— Une excellente explication fait la force de Bernard Schutz, Gravity From the
Ground Up, Cambridge University Press, 2003.
— Un bon aperçu des expériences et de la théorie en est donné dans James Foster &
bibliographie 303
J. D. Nightingale, A Short Course in General Relativity, Springer Verlag, 2e édition,

1998.
— Un texte agréable : Sam Lilley, Discovering Relativity for Yourself, Cambridge Univer-
sity Press, 1981.
— Une version moderne en est donnée par Ray d ’ Inverno, Introducing Einstein’s Rela-
tivity, Clarendon Press, 1992. Celle-ci intègre une description étendue des trous noirs et

du rayonnement gravitationnel, et fait régulièrement référence aux recherches en cours.
— Pour un ouvrage magnifique, instructif et fortement recommandé, lisez Hans C. Ohanian
& Remo Ruffini, Gravitation and Spacetime, W.W. Norton & Co., 1994.
— Le livre suivant est bien écrit et particulièrement à jour, il met l ’accent sur la théorie, il
est écrit par l ’un des grands maîtres de ce domaine : Wolf gang Rindler, Relativity
– Special, General and Cosmological, Oxford University Press, 2001.
— Un classique en est Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley, 1972.
— La passion pour la relativité générale transpire également dans John Klauder, ed.,
Magic without Magic : John Archibald Wheeler – A Collection of Essays in Honour of His
Sixtieth Birthday, W.H. Freeman & Co., 1972.
— Pour un ouvrage complet, lisez Kip S. Thorne, Black Holes and Time Warps – Ein-
stein’s Outrageous Legacy, W.W. Norton, 1994.
— L’ouvrage le plus mathématique – et le plus difficile – reste celui de Robert M. Wald,
General Relativity, University of Chicago Press, 1984.
— Une grande quantité d ’ informations concernant la relativité générale est disponible sur
Internet. Pour un bon point de départ sur des ressources américaines, consultez le site
math.ucr.edu/home/baez/physics/.
Il existe toujours un besoin pour un grand ouvrage moderne sur la relativité générale, avec
des schémas en couleurs qui combinent les aspects expérimentaux et théoriques.
Pour des textes disponibles dans d ’autres langues, lisez la référence suivante. Cité aux
pages 123, 163, 165, 186 et 187.
96 Le classique G. Falk & W. Ruppel, Mechanik, Relativität, Gravitation – ein Lehrbuch,
Springer Verlag, third edition, 1983, est un magnifique texte d ’enseignement en allemand.
Un livret pratique et élégant : Ulrich E. Schröder, Gravitation – Einführung in die
allgemeine Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2001.
Une référence moderne en est Torsten Fliessbach, Allgemeine Relativitätstheorie,
Akademischer Spektrum Verlag, 1998.
Celui-ci est excellent : Hubert Goenner, Einführung in die spezielle und allgemeine
Relativitätstheorie, Akademischer Spektrum Verlag, 1996.
En italien, il y a le magnifique, instructif, mais coûteux Hans C. Ohanian &
Remo Ruffini, Gravitazione e spazio-tempo, Zanichelli, 1997. Il est hautement recom-
mandé. Une révision moderne de ce livre serait sans égale. Cité aux pages 123, 159, 160,
161, 163, 165, 186, 187 et 307.
97 P. Mohazzabi & J. H. Shea, High altitude free fall, American Journal of Physics 64,
pp. 1242–1246, 1996. En guise d ’anecdote, à cause d ’une défaillance technique Kittinger
avait laissé sa main dans le vide (proche) au cours de son ascension, sans avoir encouru
aucun dommage permanent. Sur les conséquences de l ’exposition humaine au vide, consul-
tez le site www.sff.net/people/geoffrey.landis/vacuum.html. Cité en page 124.
98 Ce récit est conté par exemple par W. G. Unruh, Time, gravity, and quantum mechanics,
preprint disponible sur www.arxiv.org/abs/gr-qc/9312027. Cité en page 124.
99 H. B ondi, Gravitation, European Journal of Physics 14, pp. 1–6, 1993. Cité en page 125.
304 bibliographie
100 J. W. Brault, Princeton University, thèse de doctorat, 1962. Lisez aussi J. L. Snider, Phy-
sical Review Letters 28, pp. 853–856, 1972, et pour l ’étoile Sirius lisez J.L. Greenstein &
al., Astrophysical Journal 169, p. 563, 1971. Cité aux pages 127 et 268.
101 Ce célèbre article est R. V. Pound & G. A. Rebka, Apparent weight of photons, Phy-
sical Review Letters 4, pp. 337–341, 1960. Une version plus précise en a été publiée par

R. V. Pound & J. L. Snider, Physical Review Letters 13, p. 539, 1964, et R. V. Pound
& J. L. Snider, Physical Review B 140, p. 788, 1965. Cité aux pages 127 et 268.
102 J. C. Hafele & Richard E. Keating, Around-the-world atomic clocks : predicted re-
lativistic time gains, Science 177, pp. 166–167, et Around-the-world atomic clocks : observed
relativistic time gains, pp. 168–170, 14 juillet 1972. Cité en page 127.
103 R.F.C. Vessot & al., Test of relativistic gravitation with a space-borne hydrogen maser,
Physical Review Letters 45, pp. 2081–2084, 1980. Cette expérience fut réalisée en 1976. Plus
d ’une douzaine de co-auteurs étaient impliqués dans ce travail, dans lequel on a tenté de pro-
jeter un maser dans l ’espace avec un missile Scout jusqu ’à une hauteur d ’environ 10 000 km.
Cité en page 127.
104 L. Briatore & S. Leschiutta, Evidence for Earth gravitational shift by direct atomic-
time-scale comparison, Il Nuovo Cimento 37B, pp. 219–231, 1977. Cité en page 127.
105 Vous trouverez plus d ’ informations sur les marées dans E. P. Clancy, The Tides, Double-
day, New York, 1969. Cité en page 129.
106 Ces expéditions se rendirent sur deux petites îles, à savoir à Sobral, au nord du Brésil, et
à Príncipe, dans le golfe de Guinée. Les résultats de cette expédition parurent dans The
Times avant qu ’ ils aient été diffusés dans une revue scientifique. Aujourd ’ hui, ce serait consi-
déré comme une violation grossière de l ’ honnêteté scientifique. Les résultats furent publiés
dans F. W. Dyson, A. S. Eddington & C. Davidson, Philosophical Transactions of
the Royal Society (London) 220A, p. 291, 1920, et Memoirs of the Royal Astronomical Society
62, p. 291, 1920. Cité en page 130.
107 On trouve une excellente source d ’ images de l ’espace-temps dans le texte de G. F. R. Ellis
& R. Williams, Flat and Curved Space-times, Clarendon Press, Oxford, 1988. Cité en page
131.
108 J. Droste, Het veld van een enkel centrum in Einstein’s theorie der zwaartekracht, en de
beweging van een stoffelijk punt, Verslag gew. Vergad. Wiss. Amsterdam 25, pp. 163–180, 1916.
Cité en page 133.
109 L’expression trou noir fut introduite en 1967 lors d ’une conférence sur les pulsars, comme
le décrit John A. Wheeler, dans son autobiographie Geons, Black Holes, and Quantum
Foam : A Life in Physics, W.W. Norton, 1998, pp. 296–297 : « Dans mon discours, j’ai pro-
posé que nous devions considérer l ’éventualité qu ’au centre d ’un pulsar puisse se trouver
un objet gravitationnellement complètement effondré. J ’ai fait remarquer que nous ne
pouvions plus répéter sans cesse "objet gravitationnellement complètement effondré". Nous
avions besoin d ’une tournure descriptive plus brève. "Que pensez-vous de trou noir ?"
interrogea quelqu ’un dans l ’auditoire. J ’avais cherché le terme approprié pendant des
mois, retournant sans cesse cette idée dans mon lit, dans la baignoire, dans ma voiture, à
chaque fois que j’avais des périodes propices à la réflexion. Soudainement, ce nom semblait
sonner parfaitement juste. Lorsque j’ai donné une conférence ... plus formelle ... quelques
semaines plus tard, le 29 décembre 1967, j’ai employé cette expression, puis je l ’ai intégrée
dans la version écrite de cette conférence publiée au printemps 1968 ... Je décidai d ’être plus
relâché sur l ’utilisation du terme "trou noir", l ’abandonnant de mon cours et de la version
écrite comme si c ’était un vieil ami familier. Deviendrait-il populaire ? En réalité il le devint.
bibliographie 305
Aujourd ’ hui, chaque étudiant a entendu ce terme au moins une fois. »

L’usage répandu de cette expression commença avec l ’article de R. Ruffini &
J. A. Wheeler, Introducing the black hole, Physics Today 24, pp. 30–41, janvier 1971.
Dans son autobiographie, Wheeler écrit également que l ’expression « le trou noir n’a
pas de cheveux » fut critiquée par Feynman qui la trouvait « obscène ». Un commentaire
intéressant d ’un physicien qui avait l ’ habitude de rédiger ses articles dans des bars où les

serveuses travaillent les seins nus. Cité aux pages 133, 241, 242 et 248.
110 L. B. Kreuzer, Experimental measurement of the equivalence of active and passive gravi-
tational mass, Physical Review 169, pp. 1007–1012, 1968. Par le truchement d ’une expérience
astucieuse, il montra que les masses gravitationnelles du fluor et du brome sont identiques.
Cité en page 134.
111 David Blair & Geoff McNamara, Ripples on a cosmic sea, Allen & Unwin, 1997,
constitue un excellent livre accessible à tous sur ce sujet. Cité en page 134.
112 G. W. Gibbons, The maximum tension principle in general relativity, Foundations of Phy-
sics 32, pp. 1891–1901, 2002, ou arxiv.org/abs/hep-th/0210109. Cité en page 135.
113 Le fait que les corps chutent le long de géodésiques, indépendamment de leur masse, ce que
nous appelons le principe d ’équivalence faible, a été testé par de nombreuses expériences
jusqu ’à une précision de 10−13 . L’expérience la plus précise utilise des balances de torsion.
Regardez, par exemple, le site Web du groupe de Eőt-Wash sur www.npl.washington.edu/
eotwash/experiments/experiments.html. Cité en page 138.
114 Jusqu ’à présent, les expériences confirment que les énergies électrostatique et nucléaire
(forte) chutent comme la matière à une partie pour 108 près, et l ’énergie (nucléaire) faible à
quelques pour cent près. Cela est résumé dans la Réf. 118. Cité en page 139.
115 J. Soldner, Berliner Astronomisches Jahrbuch auf das Jahr 1804, 1801, p. 161. Cité en page
139.
116 Lisez par exemple K. D. Olum, Superluminal travel requires negative energies, Physical Re-
view Letters 81, pp. 3567–3570, 1998, ou M. Alcubierre, The warp drive : hyper-fast travel
within general relativity, Classical and Quantum Gravity 11, pp. L73–L77, 1994. Lisez aussi
Chris Van Den Broeck, A warp drive with more reasonable total energy requirements,
Classical and Quantum Gravity 16, pp. 3973–3979, 1999. Cité en page 142.
117 Lisez l ’ Astronomical Almanac, et son Explanatory Supplement, H.M. Printing Office, Lon-
don and U.S. Government Printing Office, Washington, 1992. Concernant l ’ information à
propos des diverses coordonnées de temps utilisées dans le monde, tel que le temps coor-
donnée barycentrique, le temps situé au barycentre du Système solaire, consultez également
la page Web tycho.usno.navy.mil/systime.html. Elle contient de plus une excellente biblio-
graphie. Cité en page 143.
118 Un tour d ’ horizon en est donné dans C. Will, Theory and Experiment in Gravitational Phy-
sics, chapitre 14.3, Cambridge University Press, édition corrigée, 1993. (Bien qu ’ il représente
une source de référence, son point de vue sur le rôle des marées et sur le rôle de l ’énergie
gravitationnelle dans le principe d ’équivalence a été critiqué par d ’autres chercheurs.) Lisez
aussi C. Will, Was Einstein Right ? – Putting General Relativity to the Test, Oxford Univer-
sity Press, 1993. Regardez aussi son article sur arxiv.org/abs/gr-qc/9811036. Cité aux pages
144, 163 et 305.
119 Ces calculs négligent plusieurs effets plus minuscules, comme la rotation de la Terre et le
décalage vers le rouge. Pour l ’effet principal, lisez Edwin F. Taylor, « The boundaries of
nature : special and general relativity and quantum mechanics, a second course in physics » –
Edwin F. Taylor ’s acceptance speech for the 1998 Oersted Medal presented by the American
306 bibliographie
Association of Physics Teachers, 6 janvier 1998, American Journal of Physics 66, pp. 369–376,
120 A. G. Lindh, Did Popper solve Hume’s problem ?, Nature 366, pp. 105–106, 11 novembre
1993, Cité en page 144.
121 P. Kaaret, S. Piraino, P. F. Bloser, E. C. Ford, J. E. Grindlay, A. Santangelo,

A. P. Smale & W. Zhang, Strong Field Gravity and X-Ray Observations of 4U1820-30,
Astrophysical Journal 520, pp. L37–L40, 1999, ou sur arxiv.org/abs/astro-ph/9905236. Cer-
tains graphiques magnifiques situés sur le site Web research.physics.uiuc.edu/CTA/movies/
spm exhibent les modèles de ce système stellaire. Cité en page 145.
122 R. J. Nemiroff, Visual distortions near a black hole and a neutron star, American Journal
of Physics 61, pp. 619–632, 1993. Cité en page 145.
123 Cette équivalence fut testée avec précision pour la première fois par R. von Eőtvős, Anna-
len der Physik & Chemie 59, p. 354, 1896, et par R. von Eőtvős, V. Pekár, E. Fekete,
Beiträge zum Gesetz der Proportionalität von Trägheit und Gravität, Annalen der Physik 4,
Leipzig 68, pp. 11–66, 1922. Eőtvős releva des accords à 5 parties pour 109 . D’autres expé-
riences furent réalisées par P. G. Roll, R. Krotkow & R. H. Dicke, The equivalence
of inertial and passive gravitational mass, Annals of Physics (NY) 26, pp. 442–517, 1964, un
des articles de recherche les plus intéressants et divertissants en physique expérimentale, et
par V. B. Braginsky & V. I. Panov, Soviet Physics – JETP 34, pp. 463–466, 1971. Des ré-
sultats modernes, avec des erreurs inférieures à une partie pour 1012 , sont donnés par Y. Su
& al., New tests of the universality of free fall, Physical Review D50, pp. 3614–3636, 1994. Plu-
sieurs expériences ont été proposées pour tester l ’équivalence dans l ’espace jusqu ’à moins
d ’une partie pour 1016 . Cité aux pages 145, 146 et 268.
124 L’effet Thirring fut prédit dans H. Thirring, Über die Wirkung rotierender ferner Mas-
sen in der Einsteinschen Gravitationstheorie, Physikalische Zeitschrift 19, pp. 33–39, 1918,
et dans H. Thirring, Berichtigung zu meiner Arbeit : « Über die Wirkung rotierender
Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie », Physikalische Zeitschrift 22, p. 29, 1921.
L’effet Thirring–Lense fut prédit dans J. Lense & H. Thirring, Über den Einfluß der
Eigenrotation der Zentralkörper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Ein-
steinschen Gravitationstheorie, Physikalische Zeitschrift 19, pp. 156–163, 1918. Lisez aussi la
Réf. 145. Cité en page 149.
125 Cette prouesse, qui a tiré profit des satellites LAGEOS et LAGEOS II, est contée dans Igna-
zio Ciufolini, The 1995–99 measurements of the Thirring–Lense effect using laser-
ranged satellites, Classical and Quantum Gravity 17, pp. 2369–2380, 2000. Lisez également
I. Ciufolini & E. C. Pavlis, A confirmation of the general relativistic prediction of the
Lense–Thirring effect, Nature 431, pp. 958–960, 2004. Cité aux pages 150, 154 et 268.
126 La détection de l ’effet Thirring–Lense dans les pulsars binaires est présentée dans
R. D. Blandford, Lense–Thirring precession of radio pulsars, Journal of Astrophysics
and Astronomy 16, pp. 191–206, 1995. Cité en page 150.
127 G. Holzmüller, Zeitschrift für Mathematik und Physik 15, p. 69, 1870, F. Tisserand,
Comptes Rendus 75, p. 760, 1872, et Comptes Rendus 110, p. 313, 1890. Cité en page 150.
128 B. Mashhoon, Gravitoelectromagnetism, www.arxiv.org/abs/gr-qc/0011014. Consultez
également sa vaste liste de références sur le gravitomagnétisme. Cité en page 151.
129 D. Bedford & P. Krumm, On relativistic gravitation, American Journal of Physics 53,
pp. 889–890, 1985, et P. Krumm & D. Bedford, The gravitational Poynting vector and
energy transfer, American Journal of Physics 55, pp. 362–363, 1987. Cité aux pages 152 et 159.
bibliographie 307
130 M. Kramer & al., Tests of general relativity from timing the double pulsar, preprint sur
www.arxiv.org/abs/astro-ph/0609417. Cité aux pages 154 et 268.
131 Cette histoire est relatée dans John A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime,
W.H. Freeman, 1990. Cité en page 155.
132 Lisez, par exemple, K. T. McDonald, Answer to question #49. Why c for gravita-

tional waves ?, American Journal of Physics 65, pp. 591–592, 1997, et la section III de
V. B. Braginsky, C. M. Caves & K. S. Thorne, Laboratory experiments to test relati-
vistic gravity, Physical Review D 15, pp. 2047–2068, 1992. Cité en page 156.
133 A. Tartaglia & M. L. Ruggiero, Gravito-electromagnetism versus electromagnetism,
European Journal of Physics 25, pp. 203–210, 2004. Cité en page 156.
134 La revendication originale est de S. M. Kopeikin, The post-Newtonian treatment of the
VLBI experiment on September 8, 2002, Physics Letters A 312, pp. 147–157, 2003, ou arxiv.
org/abs/gr-qc/0212121. Des arguments allant à l ’encontre de cette prétention furent publiés,
entre autres, par Stuart Samuel, On the speed of gravity and the v/c corrections to the
Shapiro time delay, arxiv.org/abs/astro-ph/0304006. Cité aux pages 157 et 162.
135 La formule du quadrupôle est expliquée dans le texte de Goenner. Lisez la Réf. 96. Cité en
page 159.
136 Pour une introduction aux ondes gravitationnelles, lisez B. F. Schutz, Gravitational waves
on the back of an envelope, American Journal of Physics 52, pp. 412–419, 1984. Cité en page
157.
137 La magnifique synthèse de Daniel Kleppner, The gem of general relativity, Physics To-
day 46, pp. 9–11, avril 1993, parut six mois avant que les auteurs du travail cité, Joseph Taylor
et Russel Hulse, reçoivent le prix Nobel pour la découverte des pulsars milliseconde. Un
article de revue plus détaillé se trouve dans J. H. Taylor, Pulsar timing and relativistic
gravity, Philosophical Transactions of the Royal Society, London A 341, pp. 117–134, 1992. L’ar-
ticle original est J. H. Taylor & J. M. Weisberg, Further experimental tests of relativis-
tic gravity using the binary pulsar PSR 1913+16, Astrophysical Journal 345, pp. 434–450, 1989.
Regardez aussi J. M. Weisberg, J. H. Taylor & L. A. Fowler, Pulsar PSR 1913+16 sen-
det Gravitationswellen, Spektrum der Wissenschaft, pp. 53–61, décembre 1981. Cité aux pages
160 et 161.
138 D. R. Lorimer, Binary and millisecond pulsars, in www.livingreviews.org/lrr-2005-7, et
J. M. Weisberg & J. H. Taylor, The relativistic binary pulsar B1913+16 : thirty years of
observations and analysis, pp. 25–31, dans F. A. Rasio & I. H. Stairs, editors, Binary Ra-
dio Pulsars, Proceedings of a meeting held at the Aspen Center for Physics, USA, 12 janvier
- 16 janvier 2004, volume 328 of ASP Conference Series, Astronomical Society of the Pacific,
139 W. B. B onnor & M. S. Piper, The gravitational wave rocket, Classical and Quantum Gra-
vity 14, pp. 2895–2904, 1997, ou arxiv.org/abs/gr-qc/9702005. Cité en page 161.
140 L. Lerner, A simple calculation of the deflection of light in a Schwarzschild gravitational
field, American Journal of Physics 65, pp. 1194–1196, 1997. Cité en page 162.
141 A. Einstein, Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes, Annalen
der Physik 35, p. 898, 1911. Cité en page 163.
142 I.I. Shapiro & al., Fourth test of general relativity, Physical Review Letters 13, pp. 789–
792, 1964. Cité en page 164.
143 I.I. Shapiro & al., Fourth test of general relativity : preliminary results, Physical Review
Letters 20, pp. 1265–1269, 1968. Cité en page 164.
308 bibliographie
144 J. H. Taylor, Pulsar timing and relativistic gravity, Proceedings of the Royal Society, Lon-
don A 341, pp. 117–134, 1992. Cité aux pages 164 et 167.
145 W. de Sitter, On Einstein’s theory of gravitation and its astronomical consequences,
Monthly Notes of the Royal Astronomical Society 77, pp. 155–184, p. 418E, 1916. Pour une
discussion sur la précession de de Sitter et la précession de Thirring–Lense, lisez aussi

B. R. Holstein, Gyroscope precession in general relativity, American Journal of Physics
146 B. Bertotti, I. Ciufolini & P. L. Bender, New test of general relativity : measure-
ment of de Sitter geodetic precession rate for lunar perigee, Physical Review Letters 58,
pp. 1062–1065, 1987. Il fut confirmé plus tard par I.I. Shapiro & al., Measurement of
the de Sitter precession of the moon : a relativistic three body effect, Physical Review Letters
147 Wolf gang Rindler, Essential Relativity, Springer, seconde édition revisée, 1977. Cité
en page 171.
148 Cela est expliqué (sans donner la solution de l ’énigme) à la p. 67, de Wolf gang Pauli,
Relativitätstheorie, Springer Verlag, Berlin, 2000, l ’édition réimprimée d ’un célèbre texte ini-
tialement publié en 1921. La référence est H. Vermeil, Notiz über das mittlere Krümmung-
smaß einer n-fach ausgedehnten Riemannschen Mannigfalktigkeit, Göttinger Nachrichten,
mathematische–physikalische Klasse p. 334, 1917. Cité en page 171.
149 M. Santander, L. M. Nieto & N. A. Cordero, A curvature based derivation of the
Schwarzschild metric, American Journal of Physics 65, pp. 1200–1209, 1997. Cité aux pages
175 et 177.
150 Michael H. Soffel, Relativity in Astronomy, Celestial Mechanics and Geodesy, Springer
Verlag, 1989. Cité en page 175.
151 Richard P. Feynman, Fernando B. Morinigo, William G. Wagner &
Brian Hatfield, Feynman Lectures on Gravitation, Westview Press, 1995. Cité en page
176.
152 C. G. Torre & I. M. Anderson, Symmetries of the Einstein equations, Physical Review
Letters 70, pp. 3525–3529, 1993, ou www.arxiv.org/abs/gr-qc/9302033. Cité en page 182.
153 H. Nicolai, Gravitational billiards, dualities and hidden symmetries, www.arxiv.org/abs/
gr-qc/0506031. Cité en page 182.
154 Y. Wang & M. Tegmark, New dark energy constraints from supernovae, microwave
background and galaxy clustering, Physical Review Letters 92, p. 241302, 2004, ou arxiv.org/
astro-ph/0403292. Cité en page 183.
155 Des arguments prônant la stérilité de la covariance générale en sont donnés par
John D. Norton, General covariance and the foundations of general relativity, Reports
on Progress in Physics 56, pp. 791–858, 1993. L’opinion opposée, incluant la discussion des
« éléments absolus », est tenue dans l ’ouvrage de J. L. Anderson, Principles of Relativity
Physics, chapitre 4, Academic Press, 1967. Cité en page 184.
156 Pour une bonne introduction à la physique mathématique, lisez le célèbre texte en
deux volumes de ces trois femmes Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile DeWitt-
Morette & Margaret Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds, and Physics, North-
Holland, 1996 et 2001. La première édition de ce classique est parue en 1977. Cité en page
185.
157 Lisez par exemple R.A. Knop & al., New constraints on Ω M , Ω Λ , and w from an inde-
pendent set of eleven high-redshift supernovae observed with HST, Astrophysical Journal
598, pp. 102–137, 2003. Cité en page 186.
bibliographie 309
158 R. P. Feynman, R. B. Leighton & M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addi-
son Wesley, 1977, volume II, p. 42–14. Cité en page 188.
159 L’article R. J. Hughes, The equivalence principle, Contemporary Physics 4, pp. 177–191,
1993, est un aperçu récent des tests expérimentaux de l ’universalité de la chute libre. Cité
en page 189.

160 Consultez par exemple H. L. Bray, Black holes, geometric flows, and the Penrose inequa-
lity in general relativity, Notices of the AMS 49, pp. 1372–1381, 2002. Cité en page 190.
161 Lisez par exemple l ’article de K. Dalton, Gravity, geometry and equivalence, preprint qui
peut être trouvé sur arxiv.org/abs/gr-qc/9601004, et L. Landau & E. Lif shitz, The Clas-
sical Theory of Fields, Pergamon, 4th edition, 1975, p. 241. Cité en page 191.
162 Ekkehart Kröner, Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen, Sprin-
ger, 1958. Kröner montre comment utiliser le formalisme de Ricci dans la physique de l ’état
solide. Cité en page 192.
163 Les analogues du trou noir apparaissent en acoustique, dans les fluides et plusieurs autres
domaines. Cité en page 192.
164 L’équivalence entre les diverses définitions du tenseur de Riemann est expliquée dans ...Cité
en page 194.
165 K. Tangen, Could the Pioneer anomaly have a gravitational origin ?, arxiv.org/abs/gr-qc/
0602089. Cité en page 195.
166 H. Dittus & C. Lämmerzahl, Die Pioneer-Anomalie, Physik Journal 5, pp. 25–31, jan-
vier 2006. Cité en page 195.
167 Cette célèbre citation est la première phrase du dernier chapitre, le « Beschluß », d ’ Emma-
nuel Kant, Kritik der praktischen Vernunft, 1797. Cité en page 196.
168 Aetius, Opinions, III, I, 6. Lisez Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Folio
Essais, Gallimard, 1991, p. 445. Cité en page 196.
169 Une admirable introduction à l ’astronomie moderne a été donnée par Paolo Maffei, I
mostri del cielo, Mondadori Editore, 1976. Cité en page 200.
170 Lisez par exemple A. N. Cox, ed., Allen’s Astrophysical Quantities, AIP Press and Springer
Verlag, 2000. Un aperçu des observations dans le domaine optique en est donné par le Sloan
Digital Sky Survey sur cas.sdss.org/dr7/en/. Nous pouvons trouver plus de précisions concer-
nant l ’ Univers dans le magnifique ouvrage de W. J. Kaufmann & R. A. Fredman, Uni-
verse, fifth edition, W.H. Freeman & Co., 1999. Les découvertes les plus récentes sont mieux
retracées sur les sites Web sci.esa.int et hubble.nasa.gov. Cité en page 201.
171 P. Jetzer, Gravitational microlensing, Naturwissenschaften 86, pp. 201–211, 1999. Des me-
sures utilisant les vitesses orbitales autour de la Galaxie sont en bon accord avec cette valeur.
Cité aux pages 198 et 202.
172 D. R. Lorimer, A. J. Faulkner, A. G. Lyne, R. N. Manchester, M. Kramer,
M. A. McLaughlin, G. Hobbs, A. Possenti, I. H. Stairs, F. Camilo,
M. Burgay, N. D ’Amico, A. Corongiu & F. Crawford, The Parkes multibeam
pulsar survey : VI. Discovery and timing of 142 pulsars and a Galactic population analysis,
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society preprint sur arxiv.org/abs/astro-ph/
0607640. Cité en page 202.
173 D. Figer, An upper limit to the masses of stars, Nature 434, pp. 192–194, 2005. Cité en
page 202.
174 G. Basri, The discovery of brown dwarfs, Scientific American 282, pp. 77–83, avril 2001.
Cité en page 202.
310 bibliographie
175 P. M. Woods & C. Thompson, Soft gamma repeaters and anomalous X-ray pulsars : ma-
gnetar candidates, arxiv.org/abs/astro-ph/0406133. Cité en page 203.
176 B. M. Gaensler, N. M. McClure-Griffiths, M. S. Oey, M. Haverkorn,
J. M. Dickey & A. J. Green, A stellar wind bubble coincident with the anomalous
X-ray pulsar 1E 1048.1-5937 : are magnetars formed from massive progenitors ?, The Astro-

physical Journal (Letters) 620, pp. L95–L98, 2005, ou arxiv.org/abs/astro-ph/0501563. Cité
en page 203.
177 Une idée opposée est défendue par ... Cité en page 207.
178 C. Wirtz, Scientia 38, p. 303, 1925, et K. Lundmark, The motions and the distances
of the spiral nebulae, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 85, pp. 865–894,
1925. Lisez aussi G. Stromberg, Analysis of radial velocities of globular clusters and non-
galactic nebulae, Astrophysical Journal 61, pp. 353–362, 1925. Cité en page 207.
179 G. Gamow, The origin of the elements and the separation of galaxies, Physical Review 74,
p. 505, 1948. Cité en page 208.
180 A. G. Doroshkevich & I. D. Novikov, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 154, p. 809, 1964. Il
parut dans une traduction anglaise quelques mois plus tard. L’ histoire de cette prédiction
fut contée par Penzias lors de sa conférence Nobel. Cité en page 208.
181 Arno A. Penzias & Robert W. Wilson, A measurement of excess antenna tempera-
ture at 4080 Mcs, Astrophysical Journal 142, pp. 419–421, 1965. Cité en page 208.
182 Macrobius, Somnium Scipionis, XIV, 19. Lisez Jean-Paul Dumont, Les écoles préso-
cratiques, Folio Essais, Gallimard, 1991, p. 61. Cité en page 210.
183 Sur l ’ histoire lointaine de l ’ Univers, lisez les excellents textes de G. B örner, The Early Uni-
verse – Facts & Fiction, Springer Verlag, 3rd edition, 1993, ou Barry Parker, Creation –
The Story of the Origin and the Evolution of the Universe, Plenum Press, 1988. Un admirable
ouvrage de vulgarisation est celui de M. Longair, Our Evolving Universe, Cambridge Uni-
versity Press, 1996. Cité en page 210.
184 Les premières traces d ’oxygène semblent être apparues dans l ’atmosphère il y a 2,32 mil-
liards d ’années, vraisemblablement produites par des micro-organismes. Compulsez A.
Becker & al., Dating the rise of atmospheric oxygen, Nature 427, pp. 117–120, 2003. Cité
en page 211.
185 Gabriele Walker, Snowball Earth – The Story of the Great Global Catastrophe That
Spawned Life as We Know It, Crown Publishing, 2003. Cité en page 212.
186 K. Knie, Spuren einer Sternexplosion, Physik in unserer Zeit 36, p. 8, 2005. On
peut trouver la première étape de cette connexion dans K. Knie, G. Korschinek,
T. Faestermann, E. A. Dorfi, G. Rugel & A. Wallner, 60 Fe anomaly in a deep-
sea manganese crust and implications for a nearby supernova source, Physics Review Letters
93, p. 171103, 2004, la deuxième étape dans N. D. Marsh & H. Svensmark, Low cloud
properties influenced by cosmic rays, Physics Review Letters 85, pp. 5004–5007, 2000, et la
troisième étape dans de Menocal, Plio-Pleistocene African climate, Science 270, pp. 53–
59, 1995. Cité en page 213.
187 A. Friedman, Über die Krümmung des Raumes, Zeitschrift für Physik 10, pp. 377–386,
1922, et A. Friedmann, Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krüm-
mung des Raumes, Zeitschrift für Physik 21, pp. 326–332, 1924. (Dans la transcription latine,
le nom de l ’auteur acquiert un second « n » dans son deuxième article.) Cité en page 214.
188 H. Knutsen, Darkness at night, European Journal of Physics 18, pp. 295–302, 1997. Cité
aux pages 219 et 220.
bibliographie 311
189 Lisez par exemple P.D. Peşić, Brightness at night, American Journal of Physics 66, pp. 1013–
1015, 1998. Cité aux pages 220 et 221.
190 Paul Wesson, Olbers’ paradox and the spectral intensity of extra-galactic background
light, Astrophysical Journal 367, p. 399, 1991. Cité en page 220.
191 Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley, 1972. Un splendide ouvrage

rédigé avec une forte touche personnelle et insistant principalement sur toutes les relations
qu ’ il y a avec les données expérimentales. Il ne développe pas une profonde perception de la
courbure de l ’espace-temps, et ne mentionne pas les problèmes fondamentaux de l ’espace
et du temps en relativité générale. Excellent pour apprendre comment calculer effectivement
les choses, mais moins pour les objectifs de notre ascension montagneuse. Cité aux pages
220 et 259.
192 Les recherches de supernovae sont dirigées par de nombreux groupes de recherche avec les
plus grands télescopes optiques et X. ... Cité en page 221.
193 Ces expériences sont discutées en détail dans l ’excellent exposé de D. Giulini &
N. Straumann, Das Rätsel der kosmischen Vakuumenergiedichte und die beschleu-
nigte Expansion des Universums, Physikalische Blätter 556, pp. 41–48, 2000. Regardez aussi
N. Straumann, The mystery of the cosmic vacuum energy density and the accelerated
expansion of the universe, European Journal of Physics 20, pp. 419–427, 1999. Cité aux pages
221 et 270.
194 A. Harvey & E. Schucking, Einstein’s mistake and the cosmological contant, Ameri-
can Journal of Physics 68, pp. 723–727, 2000. Cité en page 222.
195 L’auteur de la Bible explique la pluie de cette manière, comme nous pouvons le déduire de
ses toutes premières pages, Genèse 1 : 6-7. Cité en page 223.
196 Jusqu ’à sa mort, Fred Hoyle défendit sa conception de l ’ Univers statique, par exemple dans
G. Burbidge, F. Hoyle & J. V. Narlikar, A different approach to cosmology, Physics
Today 52, pp. 38–44, 1999. Cette équipe a également écrit un livre sous le même titre, publié
en 2000 par Cambridge University Press. Cité aux pages 223 et 224.
197 Stephen W. Hawking & G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cam-
bridge University Press, Cambridge, 1973. Entre autres, ce texte de référence discute des sin-
gularités de l ’espace-temps et de leur nécessité dans l ’ histoire de l ’ Univers. Cité aux pages
224, 261 et 314.
198 Saint Augustin, Les Confessions, 398, écrit : « Et je réponds à cette demande : "Que fai-
sait Dieu avant de créer le ciel et la terre ?" Je réponds, non comme celui qui éluda, dit-on,
les assauts d ’une telle question par cette plaisanterie : "Dieu préparait des supplices aux son-
deurs de mystères". Rire n’est pas répondre. Et je ne réponds pas ainsi. Et j’aimerais mieux
confesser mon ignorance, que d ’appeler la raillerie sur une demande profonde, et l ’éloge
sur une réponse ridicule. [...] Que si avant le ciel et la terre il n’était point de temps, pour-
quoi demander ce que vous [Dieu] faisiez ALORS ? Car, où le TEMPS n’était pas, ALORS
ne pouvait être. » (Livre onzième, chapitres 12 et 13). Cité en page 225.
199 Stephen Hawking, A Brief History of Time – From the Big Bang to Black Holes, 1988.
C ’est presque une obligation pour chaque physicien d ’avoir lu ce best-seller, puisqu ’ il
constitue un sujet de discussion récurrent lors de dîners festifs. Cité en page 225.
200 Les détails sur les étoiles sont exposés dans de nombreux ouvrages. Lisez par exemple ...Cité
en page 228.
201 J. Pelt, R. Kayser, S. Ref sdal & T. Schramm, The light curve and the time delay of
QSO 0957+561, Astronomy and Astrophysics 305, p. 97, 1996. Cité en page 230.
312 bibliographie
202 F. Zwicky, Nebulae as gravitational lenses, Physical Review Letters 51, p. 290, et
F. Zwicky, On the probability to detect nebulae which act as gravitational lenses, p. 679,
1937. Le point de vue pessimiste d ’ Einstein se trouve dans A. Einstein, Lens-like action
of a star by the deviation of light in the gravitational field, Science 84, pp. 506–507, 1936.
Une revue de détail sur l ’effet de lentille gravitationnelle peut même être trouvée en ligne,
dans l ’article de J. Wambsganss, Gravitational lensing in astronomy, Living Reviews in

Relativity 1-12, pp. 1–80, 1998, situé sur le site www.livingreviews.org/Articles/Volume1/
1998-12wamb.
Il y a également le livre de P. Schneider, J. Ehlers & E. E. Falco, Gravitational
Lenses, Springer Verlag, Berlin, 1992. Cité en page 230.
203 M. Lachièze-Rey & J. -P. Luminet, Cosmic topology, Physics Reports 254, pp. 135–
214, 1995. Lisez aussi B. F. Roukema, The topology of the universe, preprint arxiv.org/abs/
astro-ph/0010185. Cité en page 232.
204 Merci à Steve Carlip d ’avoir éclairci ce point. Cité en page 232.
205 G. F. R. Ellis & T. Rothmann, Lost horizons, American Journal of Physics 61, pp. 883–
893, 1993. Cité en page 233.
206 A. Guth, Die Geburt des Kosmos aus dem Nichts – Die Theorie des inflationären Univer-
sums, Droemer Knaur, 1999. Cité en page 233.
207 Les valeurs possibles pour l ’entropie de l ’ Univers ont été discutées par Ilya Prigogine,
Is Future Given ?, World Scientific, 2003. Ce fut son dernier livre. Pour une approche diffé-
rente, voyez G. A. Mena Marugán & S. Carneiro, Holography and the large number
hypothesis, arxiv.org/abs/gr-qc/0111034. Cet article réexprime également la déclaration sou-
vent formulée sur le fait que l ’ Univers possède une entropie qui est beaucoup plus petite
Défi 399 pe que le maximum théorique. Ce maximum est communément estimé autour de 10120 k, alors
qu ’on « estime » que la valeur réelle vaut 10100 k. Cependant, d ’autres auteurs citent 1084 k.
En 1974, Roger Penrose fit également des conjectures concernant l ’entropie de l ’ Univers.
Cité en page 234.
208 C. L. Bennet, M. S. Turner & M. White, The cosmic rosetta stone, Physics Today 50,
pp. 32–38, novembre 1997. Le fond diffus de rayonnement cosmologique se distingue du
rayonnement de corps noir par moins de 0,005 %. Cité en page 236.
209 L’absence d ’expansion dans le Système solaire est indiquée dans ... Cité en page 236.
210 Un admirable article expliquant comment nous pouvons réaliser des expériences qui per-
mettent de révéler la manière dont le corps humain perçoit la rotation même lorsque
les yeux sont bandés et les oreilles bouchées se trouve dans M. -L. Mittelstaedt &
H. Mittelstaedt, The effect of centrifugal force on the perception of rotation about a
vertical axis, Naturwissenschaften 84, pp. 366–369, 1997. Cité en page 237.
211 L’ indépendance de l ’ inertie a été testée ... Cité en page 237.
212 L’état actuel des connaissances en est donné dans les comptes rendus de conférence de Ju-
lian Barbour & Herbert Pfister, eds., Mach’s Principle : From Newton’s Bucket to
Quantum Gravity, Birkhäuser, 1995. Diverses formulations du principe de Mach – en réalité,
21 toutes différentes – sont comparées en page 530.
Dans un développement qui n’est pas sans rapport, Dennis Sciama publia, en 1953,un
article dans lequel il argumente que l ’ inertie d ’une particule est due à l ’attraction gravita-
tionnelle de toute la matière restante, présente dans l ’ Univers. Cet article est largement cité,
mais ne fait aucune déclaration nouvelle sur ce problème. Lisez D. W. Sciama, On the ori-
gin of inertia, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 113, pp. 34–42, 1953. Cité
aux pages 237 et 238.
bibliographie 313
213 Des précisions sur la rotation de l ’ Univers sont données dans A. Kogut, G. Hinshaw
& A. J. Banday, Limits to global rotation and shear from the COBE DMR four-year sky
maps, Physical Review D 55, pp. 1901–1905, 1997. On trouve une information plus ancienne
dans J. D. Barrow, R. Juszkiewicz & D. H. Sonoda, Universal rotation : how large
can it be ?, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 213, pp. 917–943, 1985. Li-
sez aussi J. D. Barrow, R. Juszkiewicz & D. H. Sonoda, Structure of the cosmic

microwave background, Nature 309, pp. 397–402, 1983, ou E. F. Bunn, P. G. Fereira &
J. Silk, How anisotropic is the universe ?, Physical Review Letters 77, pp. 2883–2886, 1996.
Cité en page 238.
214 Ce sujet a été discuté dans le cadre de la gravité linéarisée (approximation des champs
faibles) par Richard Tolman, dans son manuel Relativity, Thermodynamics, and
Cosmology, Clarendon Press, 1934, aux pp. 272–290. Le problème a été exactement ré-
solu par A. Peres, Null electromagnetic fields in general relativity theory, Physical
Review 118, pp. 1105–1110, 1960, et par W. B. B onnor, The gravitational field of light,
Commun. Math. Phys. 13, pp. 163–174, 1969. Regardez également N. V. Mitskievic &
K. K. Kumaradtya, The gravitational field of a spinning pencil of light, Journal of Ma-
thematical Physics 30, pp. 1095–1099, 1989, et P. C. Aichelburg & R. U. Sexl, On the
gravitational field of a spinning particle, General Relativity and Gravitation 2, pp. 303–312,
215 Lisez le plaisant récit de vulgarisation d ’ Igor Novikov, Black Holes and the Universe,
Cambridge University Press, 1990. Les conséquences de la désintégration de la lumière
furent étudiées par M. Bronstein, Die Ausdehnung des Weltalls, Physikalische Zeitschrift
der Sowjetunion 3, pp. 73–82, 1933. Cité aux pages 239 et 245.
216 C. L. Carilli, K. M. Menten, J. T. Stocke, E. Perlman, R. Vermeulen,
F. Briggs, A. G. de Bruyn, J. Conway & C. P. Moore, Astronomical constraints
on the cosmic evolution of the fine structure constant and possible quantum dimensions,
Physical Review Letters 85, pp. 5511–5514, 25 décembre 2000. Cité en page 239.
217 Les observations sur les trous noirs situés au centre des galaxies et ailleurs sont résumées
par R. Blandford & N. Gehrels, Revisiting the black hole, Physics Today 52, pp. 40–
46, juin 1999. Cité aux pages 241 et 255.
218 Le livre de poche suivant constitue un excellent ouvrage divertissant sur les trous noirs,
dépourvu de formules, mais néanmoins précis et détaillé : Igor Novikov, Black Holes
and the Universe, Cambridge University Press, 1990. Consultez aussi Edwin F. Taylor &
John A. Wheeler, Exploring Black Holes : Introduction to General Relativity, Addison
Wesley Longman 2000.
Pour une introduction historique, lisez l ’article de R. Ruffini, The physics of gravi-
tationally collapsed objects, pp. 59–118, dans Neutron Stars, Black Holes and Binary X-Ray
Sources, Proceedings of the Annual Meeting, San Francisco, Calif., 28 février 1974, Reidel
Publishing, 1975. Cité en page 241.
219 J. Michell, On the means of discovering the distance, magnitude, etc of the fixed stars,
Philosophical Transactions of the Royal Society London 74, p. 35, 1784, réimprimé dans
S. Detweiler, Black Holes – Selected Reprints, American Association of Physics Teachers,
220 Cet article admirable est de R. Oppenheimer & H. Snyder, On continued gravitational
contraction, Physical Review 56, pp. 455–459, 1939. Cité en page 243.
221 R. P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special
metrics, Physical Review Letters 11, pp. 237–238, 1963. Cité en page 247.
314 bibliographie
222 E. T. Newman, E. Couch, R. Chinnapared, A. Exton, A. Prakash &

R. Torrence, Metric of a rotating, charged mass, Journal of Mathematical Physics 6,
pp. 918–919, 1965. Cité en page 247.
223 Pour une synthèse, lisez P. O. Mazur, Black hole uniqueness theorems, pp. 130–157,
dans M. A. H. MacCallum, editor, General Relativity and Gravitation, Cambridge Uni-

versity Press, 1987, ou la mise à jour sur arxiv.org/abs/hep-th/0101012. Regardez aussi
D. C. Robinson, Four decades of black hole uniqueness theorems, disponible sur www.
mth.kcl.ac.uk/staff/dc_robinson/blackholes.pdf. Cité en page 248.
224 H. P. Künzle & A. K. M. Masood-ul-Alam, Spherically symmetric static SU(2)
Einstein-Yang-Mills fields, Journal of Mathematical Physics 31, pp. 928–935, 1990. Cité en
page 248.
225 Pour des informations sur la tendance du rayonnement gravitationnel à produire des formes
sphériques, lisez par exemple ... Cité en page 248.
226 R. Penrose & R. M. Floyd, Extraction of rotational energy from a black hole, Nature
229, pp. 177–179, 1971. Cité en page 249.
227 La relation masse–énergie pour un trou noir en rotation est due à D. Christodoulou,
Reversible and irreversible transformations in black hole physics, Physical Review Letters
25, pp. 1596–1597, 1970. Pour un trou noir général, chargé et en rotation, elle est due à
D. Christodoulou & R. Ruffini, Reversible transformations of a charged black hole,
Physical Review D 4, pp. 3552–3555, 1971. Cité en page 250.
228 J. D. Bekenstein, Black holes and entropy, Physical Review D7, pp. 2333–2346, 1973. Cité
en page 251.
229 Ce paradoxe est traité dans M. A. Abramowicz, Black holes and the centrifugal force pa-
radox, Scientific American 266, pp. 74–81, mars 1993, et dans le commentaire qu ’en donne
Don N. Page, Relative alternatives, Scientific American 266, p. 5, août 1993. Lisez aussi
M. A. Abramowicz & E. Szuszkiewicz, The wall of death, American Journal of Phy-
sics 61, pp. 982–991, 1993, et M. A. Abramowicz & J. P. Lasota, On traveling round
without feeling it and uncurving curves, American Journal of Physics 54, pp. 936–939, 1986.
Cité en page 253.
230 Pour des précisions concernant les trous noirs dans l ’ Univers primordial, lisez ... Cité en
page 254.
231 Pour des précisions concernant la formation des trous noirs par effondrement stellaire, lisez
... Cité en page 255.
232 Frederick Lamb, APS meeting 1998 press conference : Binary star 4U1820-30, 20 000
light years from Earth, Physics News Update, 27 avril 1998. Cité en page 255.
233 Le premier témoignage direct de matière chutant dans un trou noir fut annoncé au début de
l ’an 2001 ... Cité en page 255.
234 Pour lire un résumé accessible sur les théorèmes de singularité de Penrose–Hawking, regar-
dez ... Des détails peuvent être trouvés dans la Réf. 197. Cité en page 256.
235 Pour un tour d ’ horizon de la censure cosmique, consultez T. P. Singh, Gravitational col-
lapse, black holes and naked singularities, arxiv.org/abs/gr-qc/9805066, ou R. M. Wald,
Gravitational collapse and cosmic censorship, arxiv.org/abs/gr-qc/9710068. L’ idée originale
est due à R. Penrose, Gravitational collapse : the role of general relativity, Rivista del
Nuovo Cimento 1, pp. 252–276, 1969. Cité en page 256.
236 G. J. Stoney, On the physical units of nature, Philosophical Magazine 11, pp. 381–391, 1881.
Cité en page 260.
bibliographie 315
237 L’ horloge géométrodynamique est discutée dans D. E. Brahm & R. P. Gruber, Limita-
tions of the geometrodynamic clock, General Relativity and Gravitation 24, pp. 297–303,
1992. L’ horloge fut elle-même introduite par R. F. Marzke, dans sa thèse de doctorat The
theory of measurement in general relativity, 1959, avec John Wheeler comme directeur de
thèse. Cité en page 261.

238 R. Geroch, Einstein algebras, Commun. Math. Phys. 26, pp. 271–275, 1972. Cité en page
261.
239 A. Macdonald, Einstein’s hole argument, American Journal of Physics 69, pp. 223–225,
240 Roman U. Sexl, Die Hohlwelttheorie, Der mathematisch-naturwissenschaftliche Unter-
richt 368, pp. 453–460, 1983. Roman U. Sexl, Universal conventionalism and space-time,
General Relativity and Gravitation 1, pp. 159–180, 1970. Lisez aussi Roman U. Sexl, Die
Hohlwelttheorie, dans Arthur Scharmann & Herbert Schramm, editors, Physik,
Theorie, Experiment, Geschichte, Didaktik – Festschrift für Wilfried Kuhn zum 60. Geburtstag
am 6. Mai 1983, Aulis Verlag Deubner, 1984, pp. 241–258. Cité en page 263.
241 T. Damour, Experimental tests of relativistic gravity, arxiv.org/abs/gr-qc/9904057. C ’est
son dernier article d ’une série de publications sur ce thème, le premier étant T. Damour,
Was Einstein 100 % right ?, arxiv.org/abs/gr-qc/9412064. Cité aux pages 267, 268 et 269.
242 H. Dittus, F. Everitt, C. Lämmerzahl & G. Schäfer, Die Gravitation im Test,
Physikalische Blätter 55, pp. 39–46, 1999. Cité aux pages 267 et 268.
243 Consultez S. Bässler & al., Improved test of the equivalence principle for gravitational
selfenergy, Physical Review Letters 83, pp. 3585–3588, 1999. Lisez également C. M. Will,
Gravitational radiation and the validity of general relativity, Physics Today 52, p. 38, octobre
244 La dépendance en l ’ inverse du carré a été testée jusqu ’à une précision de 60 µm, comme
le rapportent E. Adelberger, B. Heckel & C. D. Hoyle, Testing the gravitational
inverse-square law, Physics World 18, pp. 41–45, 2005. Cité en page 268.
245 Pour des théories concurrentes de la relativité générale, lisez par exemple C. M. Will, The
confrontation between general relativity and experiment, Living Reviews of Relativity 2001,
www.livingreviews.org/lrr-2001-4. Par exemple, l ’absence de l ’effet Nordtvedt, une hypothé-
tique oscillation d ’une période de 28 jours dans la distance Terre–Lune, qui fut recherchée
par des expériences fondées sur des lasers sans donner un quelconque résultat positif, « tua »
dans l ’ œuf plusieurs théories concurrentes. Cet effet, prédit par Kenneth Nordtvedt, n’appa-
raîtrait que si l ’énergie gravitationnelle présente dans le système Terre–Lune chutait d ’une
manière différente de la Terre et la Lune elles-mêmes. Pour un résumé des mesures relevées,
lisez J. Müller, M. Schneider, M. Soffel & H. Ruder, Astrophysical Journal Let-
ters 382, p. L101, 1991. Cité en page 268.
246 Pratiquement tout ce qu ’ il est important de savoir en relativité générale est publié dans la
revue Classical and Quantum Gravity. Cité en page 269.
247 Collisions et problèmes à plusieurs corps ... Cité en page 269.
248 Inflation et Univers primordial ... Cité en page 269.
249 L’étude du chaos dans les équations du champ d ’ Einstein en est juste à ses balbutiements. Li-
sez par exemple L. B ombelli, F. Lombardo & M. Castagnino, Chaos in Robertson-
Walker cosmology, www.arxiv.org/abs/gr-qc/9707051. Cité en page 269.
250 Le satellite de l ’ ESA baptisé « Planck » mesurera la polarisation du fond diffus cosmologique
micro-onde. Cité en page 269.
316 bibliographie
251 Une bonne introduction au domaine des sursauts gamma en est donnée par S. Klose,
J. Greiner & D. Hartmann, Kosmische Gammastrahlenausbrüche – Beobachtungen
und Modelle, Teil I und II, Sterne und Weltraum mars et avril 2001. Cité en page 270.
252 La base de données des solutions du champ est construite autour des travaux de A. Karlhede.
Elle nous permet de faire la distinction entre des solutions tout en restreignant la quantité

de calculs mathématiques nécessaires. Cité en page 270.
253 La torsion est présentée dans R. T. Hammond, New fields in general relativity, Contempo-
rary Physics 36, pp. 103–114, 1995. Cité en page 271.
254 Trous de ver et topologies non triviales ...On peut en trouver une approche élémentaire dans
T. Diemer & M. Hadley, Charge and the topology of spacetime, Classical and Quantum
Gravity 16, pp. 3567–3577, 1999, ou www.arxiv.org/abs/gr-qc/9905069 et M. Hadley, Spin
half in classical general relativity, Classical and Quantum Gravity 17, pp. 4187–4194, 2000,
ou www.arxiv.org/abs/gr-qc/0004029. Cité en page 270.
255 Voici une importante formulation de la relativité : A. Ashtekar, New variables for clas-
sical and quantum gravity, Physical Review Letters 57, pp. 2244–2247, 1986. Cité en page
270.
256 Un livre magnifiquement rédigé sur les connexions qui existent entre le Big Bang et la phy-
sique des particules est celui de I. L. Rozental, Big Bang – Big Bounce, How Particles and
Fields Drive Cosmic Evolution, Springer, 1988. Pour d ’autres corrélations, lisez M. Nagano
& A. A. Watson, Observations and implications of the ultrahigh energy cosmic rays, Re-
views of Modern Physics 72, pp. 689–732, 2000. Cité en page 270.
257 L’enseignement bénéficiera en particulier de nouvelles formulations, d ’une focalisation sur
les principes et leurs conséquences, comme cela s’est produit pour la relativité restreinte,
de descriptions plus élémentaires dans le domaine des champs faibles, et de recherches ulté-
rieures sur la théorie de la relativité générale. Les récents ouvrages cités ci-dessus vont tous
dans ce sens. Cité en page 270.
258 G. E. Prince & M. Jerie, Generalising Raychaudhuri ’s equation, in Differential Geome-
try and Its Applications, Proc. Conf., Opava (Czech Republic), 27-31 août 2001, Silesian Uni-
versity, Opava, 2001, pp. 235–242. Cité en page 271.
259 L’approche de Bekenstein en est une qui est notoire : il proposa une modification de la re-
lativité générale qui corrige l ’attraction universelle en 1/r 2 aux distances galactiques. Cela
a été réalisé dans le but d ’expliquer les centaines de mesures des courbes de rotation ga-
lactique qui semblent exiger une telle modification. (Cette approche est dénommée théorie
MOND pour dynamique newtonienne modifiée.) Une introduction en est donnée par Ja-
cob D. Bekenstein, The modified Newtonian dynamics – MOND – and its implications
for new physics, Contemporary Physics 47, pp. 387–403, 2006, preprint sur www.arXiv.org/
abs/astro-ph/0701848v2. Cité en page 271.
260 Le Système International d ’ Unités, Bureau International des Poids et Mesures, Pavillon de
Breteuil, Parc de Saint Cloud, 92310 Sèvres, France. Tous les nouveaux développements
concernant les unités du SI sont publiés dans la revue Metrologia, éditée par ce même or-
ganisme. Preuve du lent cheminement d ’une vieille institution, le BIPM inaugura son site
Web en 1998 seulement, il est dorénavant accessible sur www.bipm.fr. Consultez également
la page Web www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites/index.html, elle présente les biographies
des personnes qui ont donné leur nom aux diverses unités employées. Le site de son homo-
logue britannique, www.npl.co.uk/npl/reference, est nettement mieux : il fournit de nom-
breux détails ainsi que la version en langue anglaise des définitions des unités du SI. Cité en
page 274.
bibliographie 317
261 La bible dans le domaine de la mesure du temps est représentée par l ’ œuvre magistrale en
deux volumes de J. Vanier & C. Audoin, The Quantum Physics of Atomic Frequency
Standards, Adam Hilge, 1989. Un compte-rendu populaire se trouve dans Tony Jones,
Splitting the Second, Institute of Physics Publishing, 2000.
Le site opdaf1.obspm.fr/www/lexique.html donne un glossaire des termes employés dans
cette discipline. Sur les mesures de longueur, voir ... Sur les mesures de précision du courant

électrique, voir ... Sur les mesures de masse, notamment atomique, voir la page 61. Sur les
mesures de haute précision de la température, voir la page 345. Cité en page 275.
262 Les préfixes non officiels furent proposés pour la première fois dans les années 1990 par
Jeff K. Aronson de l ’ Université d ’Oxford, et devraient se généraliser à l ’avenir. Cité en page
276.
263 Pour plus d ’ informations sur les systèmes d ’unités électromagnétiques, consultez le livre de
référence de John David Jackson, Classical Electrodynamics, 3ème édition, Wiley, 1998.
Cité en page 279.
264 G. J. Stoney, On the physical units of nature, Philosophical Magazine 11, pp. 381–391, 1881.
Cité en page 279.
265 D.J. Bird & al., Evidence for correlated changes in the spectrum and composition of cos-
mic rays at extremely high energies, Physical Review Letters 71, pp. 3401–3404, 1993. Cité
en page 280.
266 P. J. Hakonen, R. T. Vuorinen & J. E. Martikainen, Nuclear antiferromagnetism
in rhodium metal at positive and negative nanokelvin temperatures, Physical Review Letters
70, pp. 2818–2821, 1993. Lisez également son article dans Scientific American, janvier 1994.
Cité en page 280.
267 G. Charpak & R. L. Garwin, The DARI, Europhysics News 33, pp. 14–17, janvier/février
268 Les valeurs mesurées des quantités physiques et les plages de valeurs qu ’elles prennent sont
assemblées dans Horst Völz & Peter Ackermann, Die Welt in Zahlen, Spektrum
Akademischer Verlag, 1996. Cité en page 281.
269 Lisez par exemple K. Codling & L. J. Frasinski, Coulomb explosion of simple mole-
cules in intense laser fields, Contemporary Physics 35, pp. 243–255, 1994. Cité en page 282.
270 A. Zeilinger, The Planck stroll, American Journal of Physics 58, p. 103, 1990. Pouvez-vous
Défi 400 e découvrir un autre exemple similaire ? Cité en page 282.
271 L’ horloge la plus précise construite en 2004, une horloge à fontaine atomique au césium,
avait une précision d ’une partie pour 1015 . Une précision plus élevée a été prévue comme
étant bientôt possible, entre autres par M. Takamoto, F. -L. Hong, R. Higashi &
H. Katori, An optical lattice clock, Nature 435, pp. 321–324, 2005. Cité en page 283.
272 J. Bergquist, ed., Proceedings of the Fifth Symposium on Frequency Standards and Metro-
logy, World Scientific, 1997. Cité en page 283.
273 Consultez les informations sur les mésons D±s , données par le « particle data group » sur pdg.
web.cern.ch/pdg. Cité en page 284.
274 Au sujet de la longue durée de vie du tantale 180, lisez D. Belic & al., Photoactivation
of 180 Tam and its implications for the nucleosynthesis of nature’s rarest naturally occurring
isotope, Physical Review Letters 83, pp. 5242–5245, 20 décembre 1999. Cité en page 284.
275 Consultez l ’étude donnée par L. Ju, D. G. Blair & C. Zhao, The detection of gravitatio-
nal waves, Reports on Progress in Physics 63, pp. 1317–1427, 2000. Cité en page 284.
276 Lisez l ’article clair et approfondi de G. E. Stedman, Ring laser tests of fundamental phy-
sics and geophysics, Reports on Progress in Physics 60, pp. 615–688, 1997. Cité en page 284.
318 bibliographie
277 D’après une communication privée de Richard Rusby, c ’est la valeur de 1997, alors
qu ’elle était estimée à 99.975°C en 1989, comme l ’ indiquent Gareth Jones & Ri-
chard Rusby, Official : water boils at 99.975°C, Physics World 2, pp. 23–24, septembre
1989, et R. L. Rusby, Ironing out the standard scale, Nature 338, p. 1169, mars 1989. Pour
plus d ’ informations sur les mesures de température, lisez la page 345. Cité en page 284.

278 J. Short, Newton’s apples fall from grace, New Scientist, 2098, p. 5, 6 septembre 1997. Vous
trouverez plus de détails dans R. G. Keesing, The history of Newton’s apple tree, Contem-
porary Physics 39, pp. 377–391, 1998. Cité en page 285.
279 Ces divers concepts font même l ’objet d ’une norme internationale distincte, l ’ ISO 5725,
dont la désignation est Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure.
Une excellente introduction en est donnée par John R. Taylor, An Introduction to Er-
ror Analysis : the Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2nd edition, University
Science Books, Sausalito, 1997. Cité en page 286.
280 P. J. Mohr & B. N. Taylor, CODATA recommended values of the fundamental physi-
cal constants : 1998, Reviews of Modern Physics 59, p. 351, 2000. C ’est la compilation des
constantes résultant d ’un ajustement international et recommandée pour l ’usage interna-
tional par le Comité de données pour la Science et la Technologie (CODATA), un membre
du Conseil international pour la science, lequel compte également l ’ Union internationale
de physique pure et appliquée (UIPPA), l ’ Union internationale de chimie pure et appliquée
(UICPA) et d ’autres organisations. Le site Web de l ’ UICPA est www.iupac.org. Cité aux pages
286 et 287.
281 Les détails sont fournis dans la célèbre référence astronomique, Kenneth Seidelmann,
Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, 1992. Cité en page 291.
282 Pour plus d ’ informations concernant le nombre π, ainsi que d ’autres constantes, la page
Web oldweb.cecm.sfu.ca/pi/pi.html donne une grande quantité de données et de références.
Elle possède également un lien vers la synthèse qui en est faite sur mathworld.wolfram.com/
Pi.html et vers de nombreux autres sites sur ce sujet. Voici quelques formules simples sur π :
∞
n 2n
π+3= ∑ (297)
n=1 ( n )
2n
ou l ’élégante formule découverte en 1996 par Bailey, Borwein et Plouffe :

∞
π= ∑ ( ).
1 4 2 1 1
− − − (298)
n=0 16 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6
n
Ce site développe aussi les nouvelles méthodes découvertes pour pouvoir calculer des
chiffres binaires, choisis au préalable, de π sans avoir à évaluer tous les précédents. En outre,
le nombre de chiffres (consécutifs) connus en 1999 était de plus de 1,2 million de millions, tel
que le cite Science News 162, p. 255, 14 décembre 2002. Ces méthodes passent avec succès tous
les tests aléatoires, comme l ’explique le site Web mathworld.wolfram.com/PiDigits.html. Ce-
pendant, cette propriété, désignée normalité, n’a jamais reçu de démonstration, c ’est la plus
grande question qui demeure ouverte au sujet de π. Il est probable que la théorie de la dyna-
mique du chaos conduise vers une solution à cette énigme dans les années à venir.
Une autre méthode permettant de calculer π ainsi que d ’autres constantes a été décou-
verte et publiée par D. V. Chudnovsky & G. V. Chudnovsky, The computation of
classical constants, Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) 86, pp. 8178–8182,
1989. Les frères Chudnowsky avaient mis au point un supercalculateur dans l ’appartement
de Gregory avec environ 70 000 euros, et détinrent pendant plusieurs années le record du
bibliographie 319
calcul du plus grand nombre de chiffres de π. Ils engagèrent une rude compétition durant
plusieurs décennies avec Kanada Yasumasa, qui a battu le record en 2000, en effectuant le
calcul sur un supercalculateur de l ’ industrie. De nouvelles formules pour calculer π sont
toujours occasionnellement découvertes.
Pour le calcul de la constante d ’ Euler γ lisez aussi D. W. DeTemple, A quicker conver-
gence to Euler ’s constant, The Mathematical Intelligencer, pp. 468–470, mai 1993.

Remarquez que nous en savons peu concernant les propriétés élémentaires de certains
Défi 401 r nombres, par exemple nous ne savons toujours pas si π + e est un nombre rationnel ou pas !
Défi 402 s (On pense qu ’ il ne l ’est pas.) Voulez-vous devenir un mathématicien ? Cité en page 292.
I N DIC E S ET S OLU T ION S DE S DÉ F I S

Challenge 2, page 15: Un cône ou un hyperboloïde paraît également droit dans toutes les di-
rections, à condition que le positionnement soit bon. Nous n’avons donc pas uniquement be-
soin de tourner l ’objet, mais également de le déplacer. La meilleure méthode pour vérifier la pla-
néité consiste à utiliser l ’ interférence entre un rayon lumineux cohérent entrant et partant. Si les
franges d ’ interférence sont droites, la surface est plane. (Comment vous assurez-vous que le front
d ’onde du faisceau lumineux est plan ?)
Challenge 3, page 16: Une fraction de l ’ infini, c ’est toujours l ’ infini.
Challenge 4, page 17: L’ instant où le satellite Io pénètre dans l ’ombre lors de la deuxième me-
sure se produit environ 1 000 s plus tard que prévu, par rapport à la première mesure. Puisque la
Terre est éloignée d ’environ 3 ⋅ 1011 m de Jupiter et Io, nous retrouvons la valeur classique de la
vitesse de la lumière.
Challenge 5, page 18: Pour compenser l ’aberration, le télescope doit être incliné dans la direc-
tion du mouvement de la Terre, et pour compenser la parallaxe, dans la direction opposée au
mouvement.
Challenge 6, page 18: Sinon la somme des vitesses serait supérieure à c.
Challenge 7, page 18: Le dessin le montre. L’observateur, la Lune et le Soleil forment un tri-
angle. Lorsque la Lune est à demi pleine, l ’angle formé par celle-ci est un angle droit. Donc le
rapport des distances peut être déterminé, quoique non facilement, car l ’angle au niveau de l ’ob-
servateur est très proche également d ’un angle droit.
Challenge 8, page 18: Des réflecteurs ont été déposés sur la Lune au cours des missions Apollo
et Lunokhod. Ils sont utilisés pour réfléchir des impulsions de lumière laser de 35 ps envoyés
dessus par des télescopes. Le chronométrage du voyage aller–retour donne alors la distance à la
Lune. Bien sûr, la distance absolue n’est pas connue avec une haute précision, mais les variations
le sont. L’épaisseur de l ’atmosphère constitue la plus grande source d ’erreur. Consultez les sites
www.csr.utexas.edu/mlrs et ilrs.gsfc.nasa.gov.
Challenge 9, page 19: Fizeau utilisa un miroir situé à environ 8,6 km. Comme l ’ indique la fi-
gure, il avait juste à compter les dents de sa roue dentée et à mesurer sa vitesse de rotation entre le
moment où la lumière partait dans une direction en passant par une dent et celui où elle revenait
par la suivante.
Challenge 10, page 20: Ce temps doit être plus court que T = l/c, autrement dit plus court
que 30 ps. C ’était un obturateur gazeux, et non pas un solide. Il était déclenché par une impul-
sion de lumière rouge (indiquée sur la photographie) synchronisée par l ’ impulsion devant être
photographiée. Pour certains matériaux, tel le gaz utilisé, une lumière forte peut conduire à un
blanchissement, de telle façon qu ’ ils deviennent transparents. Pour plus de détails concernant cet
obturateur et sa technique de déclenchement perfectionnée, lisez l ’article des auteurs.
Challenge 11, page 20: Prenez simplement une photographie d ’un éclair tout en déplaçant l ’ap-
pareil photo horizontalement. Vous verrez qu ’un éclair est composé de plusieurs décharges. Tout
indices et solutions des défis 321

F I G U R E 98 Les raies originales publiées par Fraunhofer. (© Fraunhofer Gesellschaft)
cela montre qu ’ il est beaucoup plus lent que la lumière.

Si l ’éclair se déplaçait quasiment aussi vite que la lumière elle-même, l ’effet Doppler changerait
sa couleur en fonction de l ’angle auquel nous l ’observons, le long de sa direction de mouvement.
Un éclair proche changerait de couleur du sommet à sa base.
Challenge 12, page 21: Les ampoules les plus rapides étaient des particules subatomiques, telles
que les muons, qui se désintègrent en émettant un photon, donc un minuscule flash lumineux.
Toutefois, certaines étoiles émettent aussi des jets rapides de matière, qui se déplacent avec des
vitesses comparables à celle de la lumière.
Challenge 13, page 21: La vitesse des neutrinos est la même que celle de la lumière à 9 déci-
males près, puisqu ’on a observé que des neutrinos et de la lumière arrivent ensemble, à 12 se-
condes d ’ intervalle l ’un de l ’autre, après un voyage de 170 000 années-lumière d ’une explosion
Réf. 28 de supernova.
Challenge 15, page 24: Nous en débattons de la meilleure façon en montrant que les autres pos-
sibilités n’ont aucun sens.
Challenge 16, page 25: La coordonnée spatiale de l ’événement où la lumière est réfléchie est
c(k 2 − 1)T/2, la coordonnée de temps est (k 2 + 1)T/2. Leur rapport doit être v. Le résultat est
donné en résolvant pour k.
Challenge 18, page 26: Le mouvement des ondes radio, du rayonnement infrarouge, ultraviolet
et gamma ne peut également être arrêté. Nous avions suspecté dans le passé le neutrino, mais
finalement on s’est aperçu qu ’ il a une masse et peut donc en principe être arrêté. Le mouvement
de la gravité ne peut également pas être arrêté.
Challenge 20, page 28: λ R /λ S = γ.
Challenge 21, page 28: Pour passer de la lumière rouge (650 nm) à la lumière verte (550 nm),
il faut une vitesse v = 0, 166c.
Challenge 22, page 29: Les scientifiques mesurent le décalage des raies spectrales, tel le dé-
calage de ce que nous appelons la raie Lyman-α de l ’ hydrogène, qui est émise (ou absorbée)
lorsqu ’un électron libre est capturé (ou éjecté) par un proton. C ’est une des célèbres raies de
Page ?? Fraunhofer.
Challenge 23, page 29: Les vitesses sont données par
(z + 1)2 − 1
v/c =
(z + 1)2 + 1
(299)
322 indices et solutions des défis
ce qui implique que v(z = −0, 1) = 31 Mm/s = 0, 1c en direction de l ’observateur et que v(z = 5) =
284 Mm/s = 0, 95c en s’éloignant de l ’observateur.
Un décalage vers le rouge de 6 implique une vitesse de 0, 96c ; de telles vitesses apparaissent
parce que, comme nous le verrons dans la section sur la relativité générale, les objets lointains
s’éloignent de nous. Des décalages vers le rouge élevés sont observés uniquement pour des objets
qui sont extrêmement éloignés de la Terre, et plus ils sont éloignés plus ils s’éloignent vite. Pour un

décalage vers le rouge de 6, cela représente une distance de plusieurs milliards d ’années-lumière.
Challenge 24, page 29: Aucun effet Doppler n’est perçu pour un observateur distant au repos
par rapport à l ’objet massif. Dans d ’autres situations, il y a évidemment un effet Doppler, mais il
n’est pas engendré par la déviation.
Challenge 25, page 29: La vitesse du son n’est pas invariante par rapport à la vitesse des obser-
vateurs. Par conséquent, l ’effet Doppler pour le son confirme même – aux différences de mesures
près – que le temps est identique pour des observateurs se déplaçant l ’un par rapport à l ’autre.
√
Challenge 28, page 31: À l ’ intérieur des tubes de téléviseurs couleurs (ils utilisent des tensions
plus élevées que ceux en noir et blanc), les électrons sont décrits par v/c ≈ 2 ⋅ 30/511 ou v ≈
0, 3c.
Challenge 29, page 31: Si vous pouvez imaginer cela, publiez-le. Les lecteurs seraient enchantés
de découvrir cette histoire.
Challenge 31, page 32: Les relations entre l ’ invariance par rapport à l ’observateur et la pro-
priété de vitesse limite semblent être valides en général dans la nature, comme indiqué dans la
Page ?? section ?? Cependant, un argument définitif et achevé n’est pas encore à portée de main. Si vous
en avez un, publiez-le !
Challenge 34, page 34: Si la vitesse de la lumière est la même pour tous les observateurs, aucun
observateur ne peut prétendre être plus au repos qu ’un autre (tant que l ’espace-temps reste plat),
parce qu ’ il n’existe aucune observation issue de l ’électrodynamique, de la mécanique ou de tout
autre domaine de la physique qui permette de faire cette affirmation.
Challenge 37, page 36: Le fait de redessiner la Figure 9 de la page 25 pour l ’autre observateur
permet de conclure.
Challenge 38, page 36: La valeur anthropique est atteinte dans les accélérateurs de particules,
la valeur de la nature se trouve dans les rayons cosmiques de plus forte énergie.
Challenge 39, page 38: L’ensemble des événements se comporte comme une variété, parce
qu ’ il se comporte comme un espace quadridimensionnel : il possède une infinité de points autour
de n’ importe quel point de départ donné, et les distances se comportent de manière familière, les
limites se comportent de la manière usuelle. Il se distingue par une dimension supplémentaire, et
par le signe dans la définition de la distance : ainsi, à proprement parler, c ’est une variété rieman-
nienne.
Challenge 40, page 38: L’ infini est évident, comme l ’est l ’ouverture. Donc l ’équivalence topo-
logique peut être montrée en imaginant que la variété est constituée de caoutchouc et est envelop-
pée autour d ’une sphère.
Challenge 41, page 40: Le cône de lumière demeure inchangé, donc la causalité aussi.
Challenge 42, page 40: Dans une telle situation, la division de l ’espace-temps autour d ’un ob-
servateur inertiel entre le futur, le passé et l ’ailleurs ne se tiendrait plus, et le futur pourrait in-
fluencer le passé (comme le ferait remarquer un autre observateur).
Challenge 45, page 43: Le rapport prévu par un raisonnement naïf est de (1/2)(6,4/2,2) = 0, 13.
Challenge 46, page 43: Le facteur de dilatation du temps pour v = 0, 9952c est 10,2, ce qui
donne un temps propre de 0,62 µs. Donc le rapport prédit par la relativité restreinte est de
(1/2)(0,62/2,2) = 0, 82.
Challenge 47, page 44: Envoyez un signal lumineux de la première horloge jusqu ’à la seconde,
et qui revient à la première. Prenez le temps moyen entre le départ et l ’arrivée, puis comparez-le
avec le temps lors de la réflexion. Répétez cela plusieurs fois. Regardez aussi la Figure 9.
Challenge 50, page 45: Astuce : pensez à différentes directions de visée.
Challenge 51, page 45: Pas avec les méthodes expérimentales actuelles.

Challenge 53, page 46: Indice : soyez prudents avec la définition de la « rigidité ».
Challenge 55, page 46: Quand la pièce glissante qui s’éloigne traverse le décrochement, l ’am-
poule ne peut pas rester allumée, quelle que soit la vitesse, si cette pièce glissante est plus courte
que le décrochement. C ’est étrange à première vue, car la pièce n’allume pas l ’ampoule même
à des vitesses élevées, alors que dans le référentiel de la pièce il y a un contact aux deux extrémi-
tés. La raison est que, dans cette situation, il n’y a pas assez de temps pour envoyer le signal à la
batterie que le contact est fait, de telle façon que le courant ne peut pas commencer à s’écouler.
Supposez que le courant s’écoule à une vitesse u, qui est de l ’ordre de c. Alors, comme l ’a
montré Dirk Van de Moortel, la lampe s’éteindra si la longueur de la pièce glissante l glisseur et la
longueur du décrochement l décro. vérifient l glisseur /l décro. < γ(u + v)/u. Consultez également la
référence citée.
Pour une pièce glissante s’approchant du décrochement et de l ’ampoule, la situation est dif-
férente : une pièce plus courte que le décrochement peut laisser la lampe allumée tout le temps,
comme le souligna S.R. Madhu Rao.
Pourquoi les débats sont-ils souvent houleux ? Certaines personnes prétendront (faussement)
que ce problème n’est pas physique, d ’autres diront que les équations de Maxwell sont néces-
saires. D’autres encore affirmeront que ce problème est absurde parce que, pour des longueurs
supérieures de la pièce glissante, la réponse allumé/éteint dépend de la valeur précise de la vitesse.
Pourtant, c ’est vraiment le cas dans cette situation.
Challenge 56, page 47: Oui, la corde cède. Dans des véhicules accélérés, la distance varie,
comme indiqué plus loin dans ce texte.
Challenge 57, page 47: Le sous-marin coulera. Le sous-marin rapide sera même plus lourd, car
son énergie cinétique s’ajoute à son poids. L’effet de contraction pourrait le rendre plus léger,
comme le maintient le capitaine, mais d ’une quantité plus petite. Le poids total – en considérant
la direction vers le haut comme étant le sens positif – est donné par F = −m д(γ − 1/γ).
Challenge 58, page 47: Un sous-marin relativiste fondrait instantanément à cause du frotte-
ment avec l ’eau. Sinon, il s’envolerait loin de la planète car il se déplace plus vite que la vitesse de
libération. Et il produirait d ’autres catastrophes.
Challenge 59, page 50: Cette question confond l ’observation de la contraction de Lorentz avec
sa mesure. Un collier de perles relativiste devient plus court, mais ce raccourcissement peut seule-
ment être mesuré, et pas photographié. Les tailles mesurées des perles correspondent à des ellip-
soïdes aplatis aux vitesses relativistes. Le collier observé ressemble à des sphères qui se recouvrent
partiellement.
Challenge 63, page 50: Oui, le vieillissement dans une vallée est ralenti par rapport aux som-
mets montagneux. Cependant, la sensation propre du temps ne s’en trouve pas affectée. On ne
connaît pas la raison de l ’apparition des cheveux gris. Si la synchronisation est génétique, le temps
propre où cela se produit est le même dans les deux emplacements.
Challenge 64, page 51: Il n’existe aucune manière de placer un observateur aux points spécifiés.
La vitesse propre peut être définie uniquement pour des observateurs, c ’est-à-dire pour des entités
qui peuvent transporter une horloge. Ce n’est pas le cas pour des images.
Challenge 65, page 52: Utilisez simplement la géométrie élémentaire pour montrer cela.
Challenge 66, page 52: De façon plus intéressante, l ’ horizon peut aisément se déplacer plus
vite que la lumière, si vous bougez la tête de manière appropriée, comme le peut l ’extrémité de
l ’ arc-en-ciel.
Challenge 69, page 56: La relativité rend les arguments du défi 130 irréfutables.
Challenge 74, page 59: La collision du bas dans la Figure 33 montre directement ce résultat,

grâce à la conservation de l ’énergie. Pour la collision du haut, cette conséquence se tient égale-
ment, si nous partons de la conservation de la quantité de mouvement γmv = ΓMV et de la
conservation de l ’énergie (γ + 1)m = ΓM.
Challenge 76, page 60: L’annihilation de la matière et de l ’antimatière.
Challenge 83, page 64: Tournez simplement la partie gauche de la Figure 36 un petit peu dans
le sens anti-horaire.
Challenge 84, page 65: Dans les collisions entre des charges relativistes, une partie de l ’éner-
gie est rayonnée vers l ’extérieur sous forme de lumière, de telle façon que les particules perdent
effectivement de l ’énergie.
Challenge 85, page 66: Probablement pas, puisque toutes les relations entre les quantités phy-
siques sont désormais connues. Toutefois, vous pourriez le vérifier vous-même : on ne sait jamais.
Il est digne de mentionner que la force maximale dans la nature fut découverte (dans ce texte)
après être demeurée cachée pendant plus de 80 ans.
Challenge 86, page 68: Exprimez les quadrivecteurs U ′ et U puis extrayez-en v ′ comme une
fonction de v et la vitesse de coordonnée relative V . Faites alors un changement de variable.
Challenge 87, page 68: Tout mouvement se produisant à la vitesse de la lumière.
Challenge 88, page 69: b 0 = 0, b i = γ 2 a i .
Challenge 91, page 70: Pour des particules ultra-relativistes, comme pour des particules sans
masse, nous avons E = pc.
Challenge 92, page 71: Indice : évaluez P1 et P2 dans le référentiel inertiel pour une particule.
Challenge 93, page 71: Utilisez la définition f = dp/dt et la relation KU = 0 = fv − dE/dt
valables pour des forces qui préservent la masse inertielle.
Challenge ??, page ??: Oui, nous pouvons voir un tel objet : l ’effet projecteur et l ’effet Doppler
n’engendrent pas l ’ invisibilité. Cependant, une partie de cet objet, à savoir la région qui tourne
en s’éloignant de l ’observateur, peut devenir très sombre.
Challenge 121, page 82: L’énergie contenue dans le carburant doit être comparable à la masse
au repos de la moto, multipliée par c 2 . Puisque le carburant possède une masse beaucoup plus
importante que l ’énergie, cela soulève un problème insurmontable.
Challenge 123, page 83: L’accélération constante et la gravité sont similaires dans leurs effets,
comme nous le discuterons dans la section sur la relativité générale.
Challenge 129, page 85: Oui, c ’est vrai.
Challenge 130, page 85: Il est plat, comme un plan.
Challenge 132, page 86: Oui, néanmoins cet effet est très petit et dépend de la position du Soleil.
En réalité, ce qui est blanc à une hauteur donnée n’est pas blanc à une autre.
Challenge 134, page 87: Localement, la lumière se déplace toujours à la vitesse c.
Challenge 135, page 87: En s’éloignant de la Terre, д décroît. Il est effectivement nul au terme
d ’une distance suffisante.
Challenge 136, page 88: La lumière est nécessaire pour déterminer la distance et pour synchro-
niser des horloges, donc il n’y a aucun moyen de mesurer la vitesse de la lumière d ’un point à
un autre seulement. Le mouvement inverse nécessite d ’être pris en compte. Cependant, certaines
affirmations sur la vitesse à sens unique de la lumière peuvent toujours être faites (regardez math.
ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/experiments.html). Toutes les expériences sur la vitesse
à sens unique de la lumière réalisées jusqu ’à présent sont cohérentes avec une valeur isotrope qui
est égale à la vitesse à double sens. Toutefois, aucune expérience n’est capable d ’éliminer un en-
semble de théories dans lesquelles la vitesse à sens unique de la lumière est anisotrope et donc diffé-
rente de la vitesse à double sens. Toutes les théories issues de ce groupe possèdent la propriété que

la vitesse du voyage aller-retour de la lumière est isotrope dans un référentiel inertiel quelconque,
mais que la vitesse à sens unique est isotrope uniquement dans un référentiel de prédilection lié
à l ’ « éther ». Dans toutes ces théories, dans tous les référentiels inertiels, les effets du transport
d ’ horloge ralentie compensent exactement les effets de la vitesse à sens unique anisotrope de la
lumière. Toutes ces théories sont expérimentalement indiscernables de la relativité restreinte. En
pratique, cependant, la vitesse à sens unique de la lumière a été mesurée et est constante. Mais un
léger soupçon plane encore.
Challenge 137, page 89: Consultez la référence citée. Le facteur 2 a été omis ici, pouvez-vous le
déduire ?
Challenge 140, page 90: Bien que de nombreuses publications prétendent examiner ce pro-
blème, il y a également suffisamment de physiciens qui font remarquer cette impossibilité. La
mesure d ’une variation de la vitesse de la lumière n’est pas très éloignée de la mesure de la vitesse
à sens unique de la lumière : celle-ci n’est pas possible. Cependant, les discussions sur ce sujet
sont houleuses, ce problème prendra beaucoup de temps avant d ’être enterré.
Challenge 141, page 92: La loi en l ’ inverse du carré de la gravitation ne se conforme pas au
principe de la vitesse maximale, nous ne voyons pas très bien comment elle change lorsqu ’on se
place dans la situation d ’un observateur mobile.
Challenge 142, page 97: Prenez une surface se déplaçant à la vitesse de la lumière, ou une sur-
face définie avec une précision inférieure à la longueur de Planck.
Challenge 143, page 103: Les ombres non plus ne restent pas parallèles sur des surfaces courbes.
Le fait d ’oublier cela peut conduire à d ’étranges méprises : de nombreux arguments qui ont pré-
tendument « prouvé » que les hommes n’ont jamais été sur la Lune négligent cette réalité lorsqu ’ ils
font allusion aux photographies prises là-bas.
Challenge 144, page 105: Si vous en découvrez une, publiez-la puis envoyez-la à l ’auteur de ce
livre.
Challenge 146, page 111: Si c ’est le cas, publiez-la puis envoyez-la à l ’auteur de ce livre.
Challenge 147, page 113: Par exemple, il est possible d ’ imaginer une surface qui possède une
forme tellement complexe qu ’elle traversera tous les atomes de l ’ Univers à une vitesse quasiment
identique à celle de la lumière. Une telle surface n’est pas physique, car il est impossible d ’ imagi-
ner des observateurs placés en tous ses points qui se déplacent de cette manière, tous en même
temps.
Challenge 148, page 114: Nombreux sont ceux qui ne croient pas encore en ces limites, ainsi
toute proposition de contre-exemple ou de paradoxe supplémentaire vaut le coup d ’être publiée.
Challenge 150, page 119: Si c ’est le cas, publiez-le puis envoyez-le à l ’auteur de ce livre.
Challenge 153, page 121: Si c ’est le cas, publiez-la puis envoyez-la à l ’auteur de ce livre.
Challenge 155, page 124: Ils sont accélérés vers le haut.
Challenge 156, page 124: Dans la vie quotidienne, (a) la surface de la Terre peut être considérée
comme plate, (b) les effets dus à la courbure verticale sont négligeables, et (c) les effets transver-
saux sur la longueur sont insignifiants.
Challenge 160, page 125: Pour un bus puissant, l ’accélération est de 2 m/s2 , pour une accéléra-
tion sur 100 m, cela fait une variation relative de fréquence de 2, 2 ⋅ 10−15 .
Challenge 161, page 126: Oui, l ’absorption et l ’émission de lumière sont toujours des phéno-
mènes qui convertissent, sans aucune perte, l ’énergie en masse et vice versa.
Challenge 164, page 127: Pour un rayon lumineux, dans les deux cas la situation est décrite par
un environnement dans lequel les masses « chutent » du côté opposé à la direction du mouvement.
Si la Terre et les parois du train n’étaient pas visibles – par exemple si elles étaient masquées par

un épais brouillard –, il n’y aurait aucune manière de déterminer par l ’expérience dans quelle
situation on se trouve. Ou encore, si un observateur était enfermé dans une boîte, il ne pourrait
pas faire de distinction entre une accélération constante et une gravité constante. (Important :
cette impossibilité s’applique uniquement si l ’observateur possède une taille négligeable !)
Challenge 170, page 129: Les deux chutent vers le centre de la Terre. Des particules en orbite
sont également en chute libre, leur distance relative varie de la même façon, comme expliqué dans
ce texte.
Challenge 173, page 131: Un tel graphique exigerait d ’avoir quatre, voire cinq dimensions.
Challenge 175, page 133: L’énergie due à la rotation peut être négligée par rapport à toutes les
autres énergies présentes dans ce problème.
Challenge 185, page 138: Des nucléons différents, des noyaux distincts, des atomes différents
et des molécules différentes ont des pourcentages distincts d ’énergie de liaison par rapport à la
masse totale.
Challenge 187, page 140: En chute libre, la bouteille et l ’eau restent au repos l ’une par rapport
à l ’autre.
Challenge 188, page 141: Laissez tomber ce dispositif. Le fil élastique est alors suffisamment
fort pour tirer la balle dans la coupe. Lisez M. T. Westra, Einsteins verjaardagscadeau, Neder-
lands tijdschrift voor natuurkunde 69, p. 109, avril 2003. Dans le dispositif original, un ressort était
également attaché au fil.
Challenge 189, page 141: Mis à part les chaises et les tables déjà mentionnées, les bretelles, les
ceintures et les sacs plastique sont des dispositifs antigravitants importants.
Challenge 195, page 141: Ils utilisent une balance à ressorts et mesurent le temps d ’oscillation.
À partir de ce dernier, ils déduisent leur masse.
Challenge 196, page 142: La pomme frappe la paroi environ une demi-heure après.
Challenge 200, page 143: Avec ħ comme moment cinétique minimum, nous obtenons environ
100 Tm.
Challenge 201, page 143: Non. La diffraction des faisceaux ne le permet pas. La théorie quan-
tique aussi rend cela impossible : des états liés de particules sans masse, tels des photons, ne sont
pas stables.
Challenge 203, page 144: Le rayon orbital est de 4,2 rayons terrestres, ce qui fait env. 38 µs
chaque jour.
Challenge 204, page 145: Pour être honnête, les expériences ne sont pas cohérentes. Elles sup-
posent qu ’une certaine autre propriété de la nature est constante – comme la taille atomique –
laquelle dépend en fait aussi de G. Nous en dirons plus sur ce sujet à la page 270.
Challenge 205, page 145: Bien évidemment, d ’autres dimensions spatiales pourraient exister,
qui peuvent être décelées uniquement à l ’aide d ’appareils de mesure. Par exemple, des dimen-
sions cachées pourraient se manifester à des énergies non accessibles dans la vie courante.
Challenge 215, page 153: Puisqu ’ il n’y a pas de masse négative, les champs gravitoélectriques
ne peuvent pas être neutralisés. À l ’ inverse, les champs électriques peuvent être neutralisés autour
d ’un conducteur métallique avec une cage de Faraday.
Challenge 228, page 162: Nous devons mesurer le temps d ’arrivée des pulsations qui traversent
la Terre à l ’emplacement de plusieurs détecteurs d ’ondes gravitationnelles sur Terre.
Challenge 247, page 170: Non, une ligne ne peut pas avoir une courbure intrinsèque. Un tore
est véritablement intrinsèquement courbé, il ne peut pas être découpé puis réduit à une feuille de
papier plate.

Challenge 269, page 179: La trace du tenseur d ’ Einstein est égale au scalaire de Ricci négatif,
il est donc la négation de la trace du tenseur de Ricci.
Challenge 286, page 191: En réalité, dans la relativité générale, l ’énergie gravitationnelle ne
peut pas être localisée dans l ’espace, contrairement à ce que nous pourrions attendre et exiger
d ’une interaction.
Challenge 299, page 200: Il y a une bonne chance pour qu ’une certaine forme ténue d ’un jet
puisse exister, mais sa détection ne sera pas facile.
Challenge 303, page 205: La vitesse est mesurée avec l ’effet Doppler, généralement en obser-
vant la raie Lyman-α. La distance est beaucoup plus difficile à expliquer. La mesure des distances
est une science à part entière, selon qu ’on mesure des distances d ’étoiles dans la Galaxie, d ’autres
galaxies ou de quasars. N ’ importe quel ouvrage d ’astronomie ou d ’astrophysique permet d ’en
apprendre plus.
Challenge 306, page 214: Le lapin observe que tous les autres lapins semblent s’éloigner de lui.
Challenge 312, page 219: Tenez-vous dans une forêt en hiver, et essayez de regarder l ’ horizon.
Si la forêt est très profonde, vous verrez des troncs d ’arbre dans toutes les directions. Si la forêt
est de profondeur finie, vous avez une chance d ’observer l ’ horizon.
Challenge 328, page 235: L’ Univers ne peut pas être observé depuis l ’extérieur. Il ne possède
donc pas de propriétés d ’état.
Challenge 333, page 238: L’aplatissement dû à la rotation exige la présence d ’autres masses
pour fournir l ’arrière-plan par rapport auquel se produit cette rotation.
Challenge 363, page 253: Cela se produit de la même manière que le champ électrique statique
qui s’échappe d ’une charge. Dans les deux cas, les champs transversaux ne sortent pas, mais les
champs longitudinaux le font. La théorie quantique en apporte la raison profonde. Des particules
réelles de rayonnement, qui sont responsables des champs transversaux libres, ne peuvent pas quit-
ter un trou noir à cause de la vitesse de libération. Cependant des particules virtuelles le peuvent,
car leur vitesse n’est pas limitée par la vitesse de la lumière. Tous les champs longitudinaux sta-
tiques sont engendrés par des particules virtuelles. En outre, il y a une deuxième raison. Le champ
classique peut s’échapper d ’un trou noir parce que, pour un observateur extérieur, tout ce qui
constitue le trou noir est perpétuellement en train de chuter, et aucun constituant n’a véritable-
ment traversé l ’ horizon. Les sources du champ ne sont donc pas encore hors d ’atteinte.
Challenge 367, page 254: Cette description retrace tout cela. Une impression visuelle peut en
être trouvée dans la salle consacrée aux trous noirs au « Deutsches Museum » de Munich.
Challenge 376, page 261: Tout dispositif qui utilise des miroirs exige la prise en compte de
l ’électrodynamique. Sans celle-ci, les miroirs sont inconcevables.
Challenge 378, page 263: La théorie de la Terre creuse est correcte si les distances usuelles sont
modifiées de manière cohérente selon r tc = R Terre
2
/r. Cela implique un quantum d ’action qui
décroît en direction du centre de la sphère creuse. Alors, il n’existe aucune manière de préférer
une description plutôt que l ’autre, excepté pour des raisons de simplicité.
Challenge 392, page 285: Il est probable que la quantité ayant la plus grande variation soit la
masse, où un préfixe pour 1 eV/c2 serait utile, de même que pour la masse totale présente dans
l ’ Univers, qui est environ 1090 fois plus grande.
Challenge 393, page 286: La formule avec n − 1 est un choix plus convenable. Pourquoi ?
Challenge 396, page 289: Non, seulement les propriétés des parties de l ’ Univers. L’ Univers lui-
même ne possède aucune propriété, comme indiqué à la page ??.
Challenge 397, page 291: Ce ralentissement progresse en proportion quadratique avec le temps,
parce que chaque nouveau ralentissement s’ajoute au précédent !

Challenge 398, page 293: Le double de ce nombre, le nombre constitué de la suite de tous les
nombres pairs, etc.
Challenge 401, page 319: Cela pourrait être résolu avec une astuce similaire à celle utilisée pour
l ’ irrationalité de chacun des deux termes de la somme, mais personne n’en a décelée une.
Challenge 402, page 319: Il y a toujours de nombreuses découvertes qui attendent d ’être révé-
lées en mathématiques modernes, particulièrement en topologie, en théorie des nombres et en
géométrie algébrique. Les mathématiques ont un avenir radieux.
C R É DI T S

R emerciements
Nombreux sont ceux qui ont su entretenir leur don de curiosité et qui ont apporté leur soutien
afin de mener à bien ce projet. Par-dessus tout, Saverio Pascazio a été – présent ou non – une ré-
férence constante pour ce projet. Fernand Mayné, Anna Koolen, Ata Masafumi, Roberto Crespi,
Serge Pahaut, Luca Bombelli, Herman Elswijk, Marcel Krijn, Marc de Jong, Martin van der Mark,
Kim Jalink, mes parents Peter et Isabella Schiller, Mike van Wijk, Renate Georgi, Paul Tegelaar,
Barbara et Edgar Augel, M. Jamil, Ron Murdock, Carol Pritchard, Richard Hoffman, Stephan
Schiller et, avant toutes choses, ma femme Britta ont tous apporté de précieux conseils et encou-
ragements.
De nombreuses personnes ont aidé ce projet grâce à leurs précieuses informations. Parmi les
plus pertinentes, il y a celles de Mikael Johansson, Bruno Barberi Gnecco, Lothar Beyer, les in-
nombrables améliorations apportées par Bert Sierra, les suggestions détaillées de Claudio Fari-
nati, les nombreuses améliorations d ’ Eric Sheldon, les avis développés d ’Andrew Young, l ’aide
persévérante et les conseils de Jonatan Kelu, les corrections d ’ Elmar Bartel, et en particulier l ’aide
considérable, passionnée et consciencieuse d ’Adrian Kubala.
Des renseignements importants ont été fournis par Bert Peeters, Anna Wierzbicka, William
Beaty, Jim Carr, John Merrit, John Baez, Frank DiFilippo, Jonathan Scott, Jon Thaler, Luca Bom-
belli, Douglas Singleton, George McQuarry, Tilman Hausherr, Brian Oberquell, Peer Zalm, Mar-
tin van der Mark, Vladimir Surdin, Julia Simon, Antonio Fermani, Don Page, Stephen Haley, Peter
Mayr, Allan Hayes, Norbert Dragon, Igor Ivanov, Doug Renselle, Wim de Muynck, Steve Carlip,
Tom Bruce, Ryan Budney, Gary Ruben, Chris Hillman, Olivier Glassey, Jochen Greiner, squark,
Martin Hardcastle, Mark Biggar, Pavel Kuzin, Douglas Brebner, Luciano Lombardi, Franco Ba-
gnoli, Lukas Fabian Moser, Dejan Corovic, Steve Carlip, Corrado Massa, Tom Helmond, Gary
Gibbons, Heinrich Neumaier, Peter Brown, Paul Vannoni, John Haber, Saverio Pascazio, Klaus
Finkenzeller, Leo Volin, Jeff Aronson, Roggie Boone, Lawrence Tuppen, Quentin David Jones,
Arnaldo Uguzzoni, Frans van Nieuwpoort, Alan Mahoney, Britta Schiller, Petr Danecek, Ingo
Thies, Vitaliy Solomatin, Carl Offner, Nuno Proença, Elena Colazingari, Paula Henderson, Daniel
Darre, Wolfgang Rankl, John Heumann, Joseph Kiss, Martha Weiss, Antonio González, Antonio
Martos, André Slabber, Ferdinand Bautista, Zoltán Gácsi, Pat Furrie, Michael Reppisch, Enrico
Pasi, Thomas Köppe, Martin Rivas, Herman Beeksma, Tom Helmond, John Brandes, Vlad Tarko,
Nadia Murillo, Ciprian Dobra, Romano Perini, Harald van Lintel, Andrea Conti, François Bel-
fort, Dirk Van de Moortel, Heinrich Neumaier, Jarosław Królikowski, John Dahlman, Fathi Na-
mouni, Paul Townsend, Sergei Emelin, Freeman Dyson, S.R. Madhu Rao, David Parks, Jürgen
Janek, Daniel Huber, Alfons Buchmann, William Purves, Pietro Redondi, Sergei Kopeikin, et de
nombreuses autres personnes qui souhaitent rester dans l ’anonymat.
Les outils logiciels ont été affinés grâce à l ’aide considérable de Michael Zedler et Achim Blu-
mensath sur les polices et la mise en page, et avec l ’assistance répétée et précieuse de Donald
Arseneau. L’aide provient également de Ulrike Fischer, Piet van Oostrum, Gerben Wierda, Klaus
330 crédits
Böhncke, Craig Upright, Herbert Voss, Andrew Trevorrow, Danie Els, Heiko Oberdiek, Sebastian
Rahtz, Don Story, Vincent Darley, Johan Linde, Joseph Hertzlinger, Rick Zaccone, John Warken-
tin, Ulrich Diez, Uwe Siart, Will Robertson, Joseph Wright Enrico Gregorio, Rolf Niepraschk et
Alexander Grahn.
Toutes les illustrations et animations dans ce texte ont été mises à disposition par leurs déten-
teurs des droits d ’auteurs. Je les remercie tous chaleureusement. Ils sont cités dans les sections des

crédits photographiques et filmographiques. Plus particulièrement, Lucas Barbosa et José Anto-
nio Díaz Navas ont produit des animations spécialement pour ce livre, et Luca Gastaldi, Antonio
Martos et Ulrich Kolberg ont composé des images spécifiquement pour celui-ci. La mise en page
et le design de ce livre sont dus à la consultation professionnelle de Ulrich Dirr. Les suggestions et
l ’assistance de ma femme Britta comptent également pour beaucoup dans le design de l ’ouvrage
et de son site Web.
Depuis Mai 2007, la Klaus Tschira Foundation supporte généreusement l ’édition et la publi-
cation électronique du livre Motion Mountain.
Crédits photo graphiques
La photographie du ciel nocturne de la page 14 est protégée par les droits d ’auteur et est ai-
mablement fournie par Anthony Ayiomamitis ; elle est consultable sur son magnifique site Web
www.perseus.gr. La photographie de la reconstitution de l ’expérience de Fizeau à la page 19 est
protégée par les droits d ’auteur par AG Didaktik und Geschichte der Physik, Universität Olden-
burg, et est aimablement fournie par Jan Frercks, Peter von Heering et Daniel Osewold. Le cliché
d ’une impulsion lumineuse sur la page 19 est aimablement fourni et est protégé par les droits
d ’auteur par Tom Mattick. Les données et les images de l ’expérience de Michelson–Morley à la
page 34 sont gracieusement offertes et sont la propriété de Stephan Schiller. Les images relativistes
du voyage à travers le Stonehenge simplifié de la page 48 sont la propriété de Nicolai Mokros et
sont aimablement fournies par Norbert Dragon. Les scènes relativistes de la page 49 et 49 sont
gracieusement offertes et sont la propriété de Daniel Weiskopf. La photographie de la stalactite de
la page 93 est protégée par les droits d ’auteur ; elle est aimablement fournie par Richard Cindric
et est consultable sur le site Web www.kcgrotto.org. Les figures de galaxies des pages 197, 197, 198,
199, 199, 200, 204, 219, 231 et 231 sont gracieusement offertes par la NASA. Les cartes de l ’ Univers
de la page 206 et le diagramme de Hertzsprung–Russell de la page 209 sont la propriété de Richard
Powell et sont aimablement fournis par lui, ils sont tirés de son site Web www.atlasoftheuniverse.
com. Les portraits historiques des physiciens reproduits dans ce livre ne sont pas protégés par
des droits d ’auteur, sauf lorsque cela est mentionné. Tous les schémas qui ne sont pas explicite-
ment mentionnés sont protégés par le droit d ’auteur © 1997 – 2010 de Christoph Schiller. Si vous
soupçonnez qu ’un droit d ’auteur est attribué ou obtenu de manière incorrecte, cela n’est pas
intentionnel et vous êtes aimablement invités à en faire part à l ’auteur.
I N DE X DE S NOM S

Les numéros de page en caractères italiques se réfèrent aux pages où la personne est présentée
A plus en détail.
Abraham
A B Biggar, Mark 329
Abraham Michelson, Albert Babinet, Jacques 275 Bilaniuk, O.M. 299
33 Bachem 127 Bilaniuk, O.M.P. 299
Abramowicz, M.A. 314 Baez, John 329 Bird, D.J. 317
Ackermann, Peter 317 Baggett, N. 295 Birkhoff 185
Adelberger, E. 315 Bagnoli, Franco 329 Blair, D.G. 317
Adenauer, Konrad 115 Bailey, J. 297 Blair, David 305
Adler, C.G. 300 Bailey, J.M. 295 Blandford, R. 313
Aetius 196, 309 Banday, A.J. 313 Blandford, R.D. 306
Ahmad, Q.R. 297 Barberi Gnecco, Bruno 329 Blau, Stephen 40
Aichelburg, P.C. 313 Barbosa, Lucas 330 Bloser, P.F. 306
Alanus de Insulis 241 Barbour, Julian 312 Blumensath, Achim 329
Alcubierre, M. 305 Barrow, J.D. 313 Bohr, Niels 22
Allen, Woody 204 Bartel, Elmar 329 Bombelli, L. 315
Alspector, J. 295 Bartocci, Umberto 65 Bombelli, Luca 329
Alväger, T. 295 Basri, G. 309 Bondi, H. 303
Anderson 182 Bateman, H. 297 Bondi, Hermann 296
Anderson, I.M. 308 Bautista, Ferdinand 329 Bonnor 161
Anderson, J.D. 301 Beaty, William 329 Bonnor, W.B. 307, 313
Anderson, J.L. 308 Becker, A. 310 Boone, Roggie 329
Antonini, P. 295, 297 Bedford, D. 306 Boughn, S.P. 298
Antoon Lorentz, Hendrik 33 Beeksma, Herman 329 Boyce, K.R. 299
Aristarque 294 Behroozi, C.H. 296 Bradley 18
Aristarque de Samos 18 Bekenstein, J.D. 314 Bradley, James 17
Aristote 294 Bekenstein, Jacob D. 316 Braginsky, V.B. 306, 307
Arnowitt 190 Bekenstein, Jakob 251 Brahm, D.E. 315
Aronson, Jeff 329 Belfort, François 329 Brandes, John 329
Aronson, Jeff K. 317 Belic, D. 317 Brault, J.W. 303
Arseneau, Donald 329 Bender, P.L. 308 Braxmeier, C. 295
Ashtekar, A. 301, 316 Bennet, C.L. 312 Bray, H.L. 309
Ata Masafumi 329 Bergquist, J. 317 Brebner, Douglas 329
Audoin, C. 317 Bertotti, B. 308 Brecher, K. 294, 295
Augel, Barbara et Edgar 329 Bessel, Friedrich Wilhelm 220 Brehme, R.W. 300
Ayiomamitis, Anthony 330 Besso, Michele 66 Briatore 127
Beyer, Lothar 329 Briatore, L. 304
332 index des noms
Briggs, F. 313 Cordero, N.A. 308 Dragon, Norbert 47, 48, 329,
Bronstein, M. 313 Corongiu, A. 309 330
Bronstein, Matvey 239 Corovic, Dejan 329 Droste, J. 133, 304
Brown, J.M. 299 Costa, S.S. 299 Duguay 19
Brown, Peter 121, 329 Costella, J.P. 299 Duguay, M.A. 294
Bruce, Tom 329 Couch, E. 314 Dumont, Jean-Paul 294, 309,

Bruyn, A.G. de 313 Cox, A.N. 309 310
Buchmann, Alfons 329 Crawford, F. 309 Dutton, Z. 296
Budney, Ryan 329 Crespi, Roberto 329 Dyson, F.W. 304
Bunn, E.F. 313 Dyson, Freeman 329
Burbidge, G. 311 D Díaz Navas, José Antonio 330
B Burgay, M. 309
Bäßler, S. 315
D’Amico, N. 309
Dahlman, John 329 E
Böhncke, Klaus 329 Dalton, K. 309 Eőtvős, Roland von 145
Briggs Börner, G. 310 Damour, T. 315 Eckstein, G. 297
Börner, H.G. 299 Damour, Thibault 268 Eddington, A.S. 304
Danecek, Petr 329 Ehlers, J. 312
Darley, Vincent 330 Ehrenfest, P. 300
C
Caianiello, E.R. 302 Darre, Daniel 329 Einstein, A. 307, 312
Camilo, F. 309 Davidson, C. 304 Einstein, Albert 22, 23, 24, 38,
Carilli, C.L. 313 De Pretto, Olinto 22, 65 55, 61, 65, 123, 127, 130, 140,
Carlip, Steve 121, 302, 312, 329 de Sitter, Willem 168 148, 183, 185, 213, 262, 269,
Carneiro, S. 312 Deaver, B.S. 287 272, 295, 300, 302
Carr, Jim 329 Deser 190 Einstein, Édouard 130
Carter 248 Deshpande, V.K. 299 Ellis, G.F.R. 304, 311, 312
Castagnino, M. 315 Deslattes, R.D. 299 Els, Danie 330
Caves, C.M. 307 Desloge, E.A. 300 Elswijk, Herman B. 329
Celsius, Anders 284 DeTemple, D.W. 319 Emelin, Sergei 329
Charpak, G. 317 Detweiler, S. 313 Empédocle 16
Cheseaux, Jean Philippe Loÿs Dewey, M.S. 299 Eőtvős, R. von 306
de 220 DeWitt-Morette, Cecile 308 Eshelby, J. 296
Chinnapared, R. 314 Dicke, R.H. 306 Euler, Leonhard 171
Choquet-Bruhat, Yvonne 308 Dickey, J.M. 310 Everitt, C.W. 287
Christodoulou, D. 314 Diehl, Helmut 264 Everitt, F. 315
Christophe Colomb 237, 238 Diemer, T. 316 Exton, A. 314
Chudnovsky, D.V. 318 Dietze, H. 296
Chudnovsky, G.V. 318 Diez, Ulrich 330 F
Cindric, Richard 93, 330 DiFilippo, F. 299 F. Fitzgerald, George 37
Ciufolini, I. 306, 308 DiFilippo, Frank 329 Faestermann, T. 310
Ciufolini, Ignazio 150, 154, 306 Dillard-Bleick, Margaret 308 Fairbanks, J.D. 287
Clancy, E.P. 304 Dirr, Ulrich 330 Fairhust, S. 301
Clausius, Rudolph 234, 235 Dittus, H. 309, 315 Falco, E.E. 312
Clerk Maxwell, James 37 Dobra, Ciprian 329 Falk, G. 303
Codling, K. 317 Domenico Cassini, Giovanni Farinati, Claudio 329
Cohen, M.H. 298 16 Farley, F.J.M. 295
Colazingari, Elena 329 Doppler, Christian 27 Fasching, G. 196
Conti, Andrea 329 Dorfi, E.A. 310 Faulkner, A.J. 309
Conway, J. 313 Doroshkevich 208 Fekete, E. 306
Copernicus, Nicolaus 18 Doroshkevich, A.G. 310 Fereira, P.G. 313
index des noms 333
Fermani, Antonio 329 Gibbs, J. Willard 93 Hawking 117

Feynman, R.P. 309 Gibbs, J.W. 301 Hawking, Stephen 225, 251,
Feynman, Richard 188 Gide, André 178 256, 261, 311
Figer, D. 309 Giltner, D.M. 296 Hayes, Allan 329
Finkenzeller, Klaus 329 Giulini, D. 311 Hayward, S.A. 302
Fischer, Ulrike 329 Glassey, Olivier 329 Heckel, B. 315

Fizeau, Hippolyte 19 Goenner 160 Heering, Peter von 330
Fließbach, Torsten 303 Goenner, Hubert 303 Helmond, Tom 121, 329
Floyd, R.M. 314 González, Antonio 329 Henderson, Paula 329
Ford, E.C. 306 Good, R.H. 300 Hentig, Hartmut von 7
Foster, James 302 Gould, Andrew 164 Herschel, John 220
F Fowler, E.C. 295
Fowler, L.A. 307
Grahn, Alexander 330
Grebe 127
Hertz, Heinrich 94
Hertzlinger, Joseph 330
Frank, F.C. 296 Green, A.J. 310 Hestenes, D. 297
Fermani Frasinski, L.J. 317 Greenstein, J.L. 304 Heumann, John 329
Fredman, R.A. 309 Gregorio, Enrico 330 Higashi, R. 317
French, A.P. 301 Greiner, J. 316 Hilbert, David 178, 181
Frenkel, J. 296 Greiner, Jochen 329 Hillman, Chris 329
Frercks, J. 294 Grindlay, J.E. 306 Hinshaw, G. 313
Frercks, Jan 19, 330 Gruber, C. 298 Hipparque 18
Friedman, A. 310 Gruber, Christian 46 Hirth, J.P. 296
Friedmann, A. 310 Gruber, R.P. 315 Hobbs, G. 309
Friedmann, Aleksan- Guiragossian, Z.G.T. 296 Holstein, B.R. 308
der Aleksandrowitsch Gutfreund, Hanoch 295 Holzmüller, G. 306
214 Guth, A. 312 Hong, F.-L. 317
Frisch, D.H. 298 Guth, Alan 233 Hoyle, C.D. 315
Fukuda, Y. 297 Gácsi, Zoltán 329 Hoyle, F. 311
Fulle, Marco 137 Göklü, E. 295 Hoyle, Fred 223, 311
Furrie, Pat 329 Hubble, Edwin 207
Fölsing, Albrecht 295 H Huber, Daniel 329
Haber, John 329 Hughes, R.J. 309
G Hadley, M. 316 Huisken, G. 302
Gabuzda, D.C. 299 Hafele 127 Hulse, Russel 307
Gaensler, B.M. 310 Hafele, J.C. 297, 304 Huygens, Christiaan 16
Galilei, Galileo 16 Hakonen, P.J. 317 Héraclite d ’ Éphèse 210
Gamow, G. 310 Haley, Stephen 329 Héraclès 198
Gamow, George 208 Hall, D.B. 298 Hésiode 205
Garwin, R.L. 317 Hamilton, J. Dwayne 300
Gastaldi, Luca 330 Hammond, R.T. 316 I
Gauss, Carl-Friedrich 173 Hanns Ruder 47 Ilmanen, T. 302
Gearhart, R. 296 Hardcastle, Martin 329 Inverno, Ray d ’ 301, 303
Gehrels, N. 313 Harris, S.E. 296 Israel 248
Georgi, Renate 329 Hartmann, D. 316 Ivanov, Igor 329
Geroch, R. 315 Harvey, A. 298, 311 Ives, H.E. 295
Geroch, Robert 261 Hasenöhrl, F. 300
Gesellschaft, Fraunhofer 321 Hasenöhrl, Friedrich 66 J
Gibbons, G.W. 301, 305 Hatfield, Brian 308 Jacobson, T. 302
Gibbons, Gary 121, 135, 301, Hausherr, Tilman 329 Jalink, Kim 329
329 Haverkorn, M. 310 Jamil, M. 329
334 index des noms
Janek, Jürgen 329 Kontorowa, T. 296 Logan, R.T. 301

Jentschel, M. 299 Koolen, Anna 329 Lombardi, Luciano 329
Jerie, M. 316 Kopeikin, S.M. 307 Lombardo, F. 315
Jetzer, P. 309 Kopeikin, Sergei 329 Longair, M. 310
Johansson, Mikael 329 Korschinek, G. 310 Lorentz, H.A. 297
Johnson, Samuel 294 Kramer, M. 307, 309 Lorentz, Hendrik Antoon 37

Jones, Gareth 318 Kreuzer 134 Lorimer, D.R. 307, 309
Jones, Quentin David 329 Kreuzer, L.B. 305 Lothe, J. 296
Jones, Tony 317 Krijn, Marcel 329 Low, R.J. 300
Jong, Marc de 329 Krisher, T.P. 301 Luca Bombelli 329
Ju, L. 317 Krishnan, B. 301 Ludvigsen, Malcolm 302
J Juszkiewicz, R. 313 Krotkow, R. 306
Krumm, P. 306
Luke, Lucky 30
Luminet, J.-P. 312
K Królikowski, Jarosław 329 Lundmark 207
Janek Köppe, Thomas 329 Kröner 192 Lundmark, K. 310
Kaaret, P. 306 Kröner, Ekkehart 302, 309 Lundmark, Knut 207
Kalbfleisch, G.R. 295 Kubala, Adrian 329 Lutes, G.F. 301
Kalckar, Jørgen 155 Kumaradtya, K.K. 313 Lyne, A.G. 309
Kanada Yasumasa 319 Kuzin, Pavel 329 Lämmerzahl, C. 309, 315
Kant, Emmanuel 196, 197, 207, Künzle, H.P. 314
309 M
Kapuścik, E. 297 L MacCallum, M.A.H. 314
Karlhede, A. 316 Lachièze-Rey, M. 312 Macdonald, A. 315
Katori, H. 317 Lamb 145 Mach, Ernst 237
Kaufmann, W.J. 309 Lamb, Frederick 314 Macrobius 310
Kayser, R. 311 Lambert, Johann 173 Maeterlinck, Maurice 236
Keating 127 Landau, L. 309 Maffei, Paolo 309
Keating, R.E. 297 Laplace, Pierre 241 Mahoney, Alan 329
Keesing, R.G. 318 Lasota, J.P. 314 Mainwaring, S.R. 297
Kelu, Jonatan 329 Leibfried, G. 296 Maleki, L. 301
Kennedy, R.J. 295 Leighton, R.B. 309 Manchester, R.N. 309
Kepler, Johannes 220 Lemaître, Georges A. 214 Mark, Martin van der 329
Kerr, R.P. 313 Lense, J. 306 Marsh, N.D. 310
Kerr, Roy 247 Lense, Josef 149 Martikainen, J.E. 317
Kessler, E.G. 299 Lerner, L. 307 Martos, Antonio 329, 330
Kilmister, C.W. 300 Leschiutta 127 Marzke, R.F. 315
Kiss, Joseph 329 Leschiutta, S. 304 Mashhoon, B. 306
Kittinger 128, 303 Levi-Civita, Tullio 178 Mason, W.P. 296
Kittinger, Joseph 124 Lewis, G.N. 299 Masood-ul-Alam, A.K.M. 314
Kjellman, J. 295 Liebscher, Dierck-Ekkehard Massa, Corrado 121, 329
Klauder, John 303 296 Matsas, G.E.A. 298, 299
Klaus Tschira Foundation 330 Lifshitz, E. 309 Matthews, W.N. 300
Kleppner, Daniel 307 Lille, Alain de 241 Mattick 19
Klose, S. 316 Lilley, Sam 303 Mattick, A.T. 294
Knie, K. 310 Linde, Johan 330 Mattick, Tom 19, 330
Knop, R.A. 308 Lindh, A.G. 306 Mayné, Fernand 329
Knutsen, H. 310 Linfield, R.P. 298 Mayr, Peter 329
Kogut, A. 313 Lintel, H. van 298 Mazur 248
Kolberg, Ulrich 330 Lintel, Harald van 329 Mazur, P.O. 314
index des noms 335
McClure-Griffiths, N.M. 310 Natarajan, V. 299 Peeters, Bert 329

McDonald, K.T. 307 Nemiroff, R.J. 306 Pekár, V. 306
McGowan, R.W. 296 Neumaier, Heinrich 121, 329 Pelt, J. 311
McKellar, B.H.J. 299 Newman, E.T. 313 Pelt, Jaan 230
McLaughlin, M.A. 309 Newton 285 Penrose 117
McNamara, Geoff 305 Nicolai, H. 308 Penrose, R. 298, 302, 314

McQuarry, George 329 Niepraschk, Rolf 330 Penrose, Roger 249, 256, 312
Mellinger, Axel 195 Nieto, L.M. 308 Penzias, Arno 208
Menten, K.M. 313 Nietzsche, Friedrich 105 Peres, A. 313
Merrit, John 329 Nieuwpoort, Frans van 329 Perini, Romano 329
Michaelson, P.F. 287 Nightingale, J.D. 303 Perkins, D.H. 297
M Michell, J. 313
Michell, John 241
Nordström, Gunnar 247
Nordtvedt, Kenneth 315
Perlman, E. 313
Perot 127
Michelson 97 Novikov 208 Peşić, P.D. 311
McClure-Griffiths
Michelson, A.A. 297 Novikov, I.D. 310 Peters, A. 295
Minkowski, Hermann 37, 38 Novikov, Igor 302, 313 Pfister, Herbert 312
Mirabel, I.F. 299 Philpott, R.J. 300
Mishra 83 Piper 161
O
Mishra, L. 301 Oberdiek, Heiko 330 Piper, M.S. 307
Misner 190 Oberquell, Brian 329 Piraino, S. 306
Misner, Charles 300 Observatoire de la Côte Planck, Max 55, 70, 74, 95
Mitskievic, N.V. 313 d ’Azur 169 Platon 223
Mittelstaedt, H. 312 Oey, M.S. 310 Poincaré, Henri 24, 35, 37, 123,
Mittelstaedt, M.-L. 312 Offner, Carl 329 142
Mlynek, J. 295 Ohanian, H.C. 301 Poincaré, J.H. 299
Mohazzabi, P. 303 Okhapkin, M. 295, 297 Possenti, A. 309
Mohr, P.J. 318 Olbers, Wilhelm 220 Pound 127
Mokros, Nicolai 47, 48, 330 Olum, K.D. 305 Pound, R.V. 304
Moore, C.P. 313 Oostrum, Piet van 329 Powell, Richard 206, 209, 330
Moore, Henry 171 Oppenheimer, R. 313 Pradl, O. 295
Moortel, Dirk Van de 323, 329 Oppenheimer, Robert 243 Prakash, A. 314
Morley, E.W. 297 Osewold, Daniel 330 Preston, Tolver 66
Moser, Lukas Fabian 329 Osserman, Bob 232 Pretto, Olinto De 295
Murdock, Ron 329 Ovidius, Publius Ovidius Prigogine, Ilya 312
Murillo, Nadia 329 Naso 20 Primas, L.E. 301
Murray, J.J. 296 Prince, G.E. 316
Musil, Robert 219 P Pritchard, Carol 329
Mutti, P. 299 Page, Don 329 Pritchard, D.E. 299
Muynck, Wim de 329 Pahaut, Serge 329 Pritchard, David 61
Myers, E.G. 299 Panov, V.I. 306 Proença, Nuno 329
Møller, Christian 300 Papapetrou, A. 299 Protagoras 285
Müller, H. 295 Parker, Barry 310 Pryce, M.H.L. 299
Müller, J. 315 Parks, David 329 Purves, William 329
Pascazio, Saverio 329
N Pasi, Enrico 329 R
Nagano, M. 316 Paul, W. 299 Rahtz, Sebastian 330
Namouni, Fathi 329 Pauli, Wolfgang 55, 308 Rainville, S. 299
Narlikar, J.V. 311 Pavlis, E.C. 306 Rankl, Wolfgang 329
NASA 169 Pearson, T.J. 298 Rao, S.R. Madhu 323
336 index des noms
Rasio, F.A. 307 Sands, M. 309 Singleton, Douglas 329

Rawlinson, A.A. 299 Santander, M. 308 Sitter, W. de 308
Raymond, D.J. 300 Santangelo, A. 306 Sitter, Willem de 218
Readhead, A.C.S. 298 Sastry, G.P. 298 Slabber, André 329
Rebka 127 Scarcelli, G. 296 Smale, A.P. 306
Rebka, G.A. 304 Schaefer, B.E. 295, 296 Smith, J.B. 298

Recami, E. 299 Scharmann, Arthur 315 Snider, J.L. 304
Redondi, Pietro 329 Schiller, Britta 329, 330 Snyder, H. 313
Refsdal, S. 311 Schiller, C. 301 Snyder, Hartland 243
Reissner, Hans 247 Schiller, Christoph 301, 330 Soffel, M. 315
Renselle, Doug 329 Schiller, Isabella 329 Soldner 162, 163
R Reppisch, Michael 329
Ricci-Cubastro, Gregorio 178
Schiller, P. 296
Schiller, Peter 329
Soldner, J. 305
Soldner, Johann 139
Riemann, Bernhard 193 Schiller, S. 295, 297 Solomatin, Vitaliy 329
R asio Rindler, W. 297, 298 Schiller, Stephan 34, 329, 330 Sonoda, D.H. 313
Rindler, Wolfgang 296, 301, Schneider, M. 315 Stachel, John 302
303, 308 Schneider, P. 312 Stairs, I.H. 307, 309
Ritz 295 Schramm, Herbert 315 Stark, Johannes 28
Rivas, Martin 329 Schramm, T. 311 Stedman, G.E. 297, 317
Robertson, H.P. 214 Schucking, E. 298, 311 Stephenson, G. 300
Robertson, Will 330 Schutz, B.F. 307 Stephenson, G.J. 299
Robinson 248 Schutz, Bernard 302 Stilwell, G.R. 295
Robinson, D.C. 314 Schwarzschild 127 Stocke, J.T. 313
Rodriguez, L.F. 299 Schwarzschild, Karl 133 Stodolsky, Leo 297
Roll, P.G. 306 Schäfer, G. 315 Stoney, G.J. 314, 317
Rossi, B. 298 Sciama, D.W. 312 Stoney, George Johnston 279
Rothbart, G.B. 296 Sciama, Dennis 238, 312 Story, Don 330
Rothenstein, B. 297 Scott, Jonathan 329 Straumann, N. 311
Rothmann, T. 312 Searle, Anthony 47 Stromberg 207
Rottmann, K. 300 Seeger, A. 296 Stromberg, G. 310
Roukema, B.F. 312 Seielstad, G.A. 298 Stromberg, Gustaf 207
Rozental, I.L. 316 Selig, Carl 295 Su, Y. 306
Ruben, Gary 329 Seneca, Lucius Annaeus 258 Sudarshan, E.C. 299
Ruder, H. 315 Sexl, R.U. 313 Sudarshan, E.C.G. 299
Ruffini, R. 301, 305, 313, 314 Sexl, Roman 263 Supplee, J.M. 298
Ruffini, Remo 303 Shapiro, I.I. 307, 308 Surdin, Vladimir 329
Rugel, G. 310 Shapiro, Irwin I. 164 Svensmark, H. 310
Ruggiero, M.L. 300, 307 Shaw, R. 298 Synge, J.L. 299
Ruppel, W. 303 Shea, J.H. 303 Szuszkiewicz, E. 314
Rusby, R.L. 318 Sheldon, E. 298
Rusby, Richard 318 Sheldon, Eric 329 T
Russel, Bertrand 74 Shih, Y. 296 Takamoto, M. 317
Rybicki, G.R. 298 Short, J. 318 Tangen, K. 309
Rømer, Ole 16 Siart, Uwe 330 Tarko, Vlad 329
Sierra, Bert 329 Tartaglia, A. 307
S Silk, J. 313 Taylor, B.N. 318
S.R. Madhu Rao 329 Simon, Julia 329 Taylor, J.H. 283, 307, 308
Saint Augustin 311 Simon, R.S. 298 Taylor, Joseph 160, 307
Samuel, Stuart 307 Singh, T.P. 314 Tegelaar, Paul 329
index des noms 337
Tegmark, M. 308 Vannoni, Paul 329 Wheeler, John 261, 315

Terrell, J. 298 Vermeil 171 Wheeler, John Archibald 242
Thaler, Jon 329 Vermeil, H. 308 White, M. 312
Thies, Ingo 329 Vermeulen, R. 313 Whitney, A.R. 298
Thirring, H. 306 Vessot 127 Wierda, Gerben 329
Thirring, Hans 149 Vessot, R.F.C. 304 Wierzbicka, Anna 329

Thomas, Llewellyn 55 Virgile, Publius Vergilius Wijk, Mike van 329
Thompson, C. 310 Maro 146 Will, C. 295, 302, 305
Thompson, J.K. 299 Voigt, Woldemar 37 Will, C.M. 301, 315
Thompson, R.C. 299 Volin, Leo 329 William Morley, Edward 33
Thorndike, E.M. 295 Voltaire 285 Williams, R. 304
T Thorne, K.S. 307
Thorne, Kip 300
von Laue, Max 73
Voss, Herbert 330
Wilson, Robert 208
Wirtz 207
Tisserand, F. 306 Vuorinen, R.T. 317 Wirtz, C. 310
Tegmark Tolman, R.C. 299 Völz, Horst 317 Wirtz, Carl 207
Tolman, Richard 313 Wise, N.W. 287
Torre 182 W Woods, P.M. 310
Torre, C.G. 308 Wald, R.M. 314 Wright, Joseph 330
Torrence, R. 314 Walker, A.G. 214 Wright, Steven 273
Townsend, Paul 329 Walker, Gabriele 310
Trevorrow, Andrew 330 Walker, R.C. 298 Y
Trout, Kilgore 233 Wallin, I. 295 Yearian, M.R. 296
Tuppen, Lawrence 329 Wallner, A. 310 Young, Andrew 329
Turner, M.S. 312 Wambsganss, J. 312
Wang, Y. 308 Z
U Warkentin, John 330 Zaccone, Rick 330
Uguzzoni, Arnaldo 329 Watson, A.A. 316 Zalm, Peer 329
Ulfbeck, Ole 155 Weinberg, Steven 303, 311 Zedler, Michael 329
Unruh, W.G. 303 Weisberg, J.M. 307 Zeeman, Pieter 33
Unruh, William 124 Weiskopf, Daniel 47, 49, 50, Zeilinger, A. 317
Unwin, S.C. 298 330 Zensus, J.A. 298
Upright, Craig 330 Weiss, Martha 329 Zeus 198
Weitzmann, Chaim 148 Zhang 145
V Wesson, Paul 220, 311 Zhang, W. 306
Valencia, A. 296 Westra, M.T. 326 Zhao, C. 317
van Lintel, Harald 46 Wheeler 247 Zwicky, F. 312
Vanier, J. 317 Wheeler, J.A. 305 Zwicky, Fritz 230
I N DE X DE S SU J ET S

Les numéros de page en caractères italiques se réfèrent aux pages où le mot-clé est défini ou pré-
senté en détail. L’ index des sujets joue donc le rôle d ’un glossaire.
Symboles angle de mélange électrofaible Bellatrix 229

4-coordonnées 38 288 Big Bang 219, 223, 224
4-moment 70 annihilation 223 Big Bang n’était pas une
année tropicale 289 singularité 117
A année-lumière 289 billard 58
a (année) 213 anomalie Pioneer 195 BIPM 274, 275
aberration 18, 47 antimatière 64, 189, 223 blancs, cheveux 50
acausal 40 aphélie 292 bombe 60
accrétion 254 apogée 291 boîtes 88
accélération 297 Apollo 168, 320 bradyons 63
accélération de la lumière 26 apprentissage, meilleure Brans–Dicke, théorie de 187
accélération propre 69 méthode 9 bras, homme 237
accélération relativiste 69 approche brutale de la force bretelles 326
accélération uniforme 81 106 brosse à dents 22, 256
accélération, comportement arbre 63, 86, 126, 285 Bureau International des
relativiste 79 arbres, apparition 212 Poids et Mesures 274
accélération, théorème de arc-en-ciel 324 bus 125
composition 83 Archaeozoicum 211 bus, meilleure place 50
ADN 285 archéen 211 Bételgeuse 229
âge 218 argument du trou 262
âge de l ’univers 65 arrière-plan 38 C
âge de la Terre 291 artéfact 275 Caenozoicum 212
âge de la Voie lactée 292 astronautes 138 calculs de perturbations 259
âge du Soleil 292 atome, formation 211 calorie 284
agoraphobes 216 atto 276 Cambrien 212
air 226 avancée du périastre 166 candela 274
aire de Planck, corrigée 121 avancée du périhélie 268 Canopus 229
Aldébaran 229 azoïque 211 capture de la lumière 247
algèbre d ’ Einstein 261 capture gravitationelle 246
Alluvium 212 B Carbonifère 212
Alnilam 229 B1938+666 230 catadioptre lunaire 169
Alnitak 229 balances de torsion 305 causalité et vitesse maximale
Altaïr 229 barres, distance 80 40
amas globulaires 202 bateau 18 cause à effet 39
ampère 274 becquerel 276 censure cosmique 117, 256, 314
index des sujets 339
centi 276 lumière 77 correction relativiste 36

centre de masse 64 constante cosmologique 179, correspondance, principe 184
Čerenkov, rayonnement 24 183, 222, 289 cosinus hyperbolique 82
CERN 297 constante de Boltzmann 55, cosmique, censure 117
chaise comme machine à 288 cosmonautes 35, 124, 141
voyager dans le temps 43 constante de couplage de coulomb 276

champ de l ’ inflation 234 Fermi 288 couplage minimal, principe
champ gravitomagnétique 152 constante de couplage fort 288 184
champ gravitoélectrique 152 constante de couplage gravit. couplage spin–orbite 168
chandelle 281 288 couplage spin–spin 168
charge du positron 287 constante de Hubble 207, 289 couple 153
C chariot qui indique le sud 194
chevaux-vapeur, valeur
constante de la loi du
déplacement de Wien 289
courage 23
courbure 130, 131, 133, 171
maximale 96 constante de Planck originale courbure du vide 179
centi cheveux blancs 50 287 courbure extrinsèque 169
choc 62 constante de Planck réduite courbure gaussienne 171, 172
chocolat 220 287 courbure intrinsèque 170
chute libre perpétuelle 243 constante de Rydberg 288 courbure moyenne 178
chuter 145 constante de courbure sectionnelle 175
ciel 227 Stefan–Boltzmann 289 covariance générale, principe
cinglés 31, 296 constante de structure fine 184
cinématique relativiste 34 277, 288, 288 création 226
circonspection 291 constante gravitationnelle Crétacé 212
ciseaux 52 constante 117 Cygnus X-1 255
CL0024+1654 231 constante magnétique 288 cénozoïque 212
classes stellaires 228, 229 constante électrique 288 cône de lumière du futur 39
claustrophobes 216 constellation colorée 228 cône de lumière du passé 39
clôture 36 constellations 196
Coccinelle 171 conteneur 38 D
CODATA 318 contraction 194 dame, vieille et circonspecte
collapsars 243 contraction des longueurs 46, 74
collier de perles 50 298 dans toutes les directions 238
collision 62 contraction relativiste 36 de cisaillement théorique,
commencement de l ’univers contraction tensorielle 179 contrainte 104
207 convention de genre espace 67 de l ’espace-temps, dualité 264
commencement du temps 207 convention de genre temps 67 de vision nocturne, lunettes
Commission Internationale Convention du Mètre 274 282
des Poids et Mesures 274 conversion de bits en entropie degré Celsius 276
comprendre 259 289 degré, unité d ’angle 276
concept théorique 252 coordonnées rationnelles 293 demi-grand axe 167
condition faible sur l ’énergie coordonnées, quatre 66, 68 densité baryonique 290
142 corps humain, émission de densité critique 215
conditions initiales 210, 225 lumière 282 densité de photons 290
conformes, transformations corps rigides, n’existent pas densité lumineuse 282
76 dans la nature 89 densité moyenne de la Terre
Conférence Générale des corps solide 89 291
Poids et Mesures 274, 285 corps solide, accélération et densité propre 181
connexion métrique 189 longueur limite 89 diagramme de
constance de la vitesse de la corps, rigide 89 Hertzsprung–Russell 209
340 index des sujets
dieux 183, 235 179–182, 184, 185, 189–195, en bref, relativité générale 266
diffraction 191 197, 198, 200, 205, 207, 208, énergie 59
dilatations 76 214, 215, 218–223, 226, 228, énergie au repos 61
Diluvium 212 230, 233, 235–240, 242, 243, énergie cinétique relativiste 60
dimension, quatrième 40 245–254, 256–261, 263, 267, énergie de l ’ Univers 234
dinosaures 212 271, 272, 276, 277, 279–281, énergie gratuite 60

dislocations 29 284–287, 289, 291, 293, 312, énergie gravitationnelle 181,
dispositif d ’antigravité, 317, 319 191
breveté 141 dépendance en 1/r 2 268 énergie limitée 70
dispositif rétro-réfléchissant désintégration des photons énergie potentielle 71
lunaire 169 239 énergie potentielle en
D disque vinyle 52
disques d ’accrétion 200
détecteurs, portes 28
déviation de la lumière 268
relativité 71
énergie sombre 60, 203
distance des barres 80 déviation géodésique 194 énergie, cinétique relativiste
dieux distance moyenne de la Lune Dévonien 212 70
291 énergie, non découverte 60
distance propre 67 E énergie, potentielle relativiste
double sens, vitesse de la écart-type 286 71
lumière 88 éclair 20, 281 entraînement de référentiel
Draconis, Gamma 18 éclair, couleur 321 149, 153, 164
dynamique newtonienne éclairement lumineux 281 entropie 234
modifiée 316 éclairement énergétique 281 entropie du trou noir 250
déca 276 écoulement du temps 263 Éocène 212
décalage Doppler vers le effet de lentille époque GUT 210
rouge 228 gravitationnelle 230 équilibre thermodynamique
décalage temporel 268 effet Doppler 27, 47 243
décalage vers le bleu 28 effet Doppler gravitationnel équivalence masse–énergie 60
décalage vers le rouge 28, 240 127 équivalence, principe 184
décalage vers le rouge effet géodésique 168, 268 ergosphère 248, 249
gravitationnel 127, 228 effet Josephson 275 erreurs aléatoires 286
décalage vers le rouge, effet jouvence 44 erreurs systématiques 286
mécanismes 240 effet Mössbauer 127 espace de la vie 258
décalage vers le rouge, tests effet Nordtvedt 117, 315 espace vide 77
268 effet projecteur 47 espace, absolu 34, 35
décalage vers le rouge, effet Thirring 149 espace-temps 38, 139
variable 28 effet Thirring–Lense 149, 168, espace-temps de Minkowski
déci 276 246 38
défaut de masse chimique 60 effets de marée 246 étalon, pomme 285
défaut de masse, mesure 61 effets en champs forts 267 état de l ’univers 235
défi, classement 9 effondrement 255 éther et relativité générale 104,
défi, niveau 9 élasticité 134 132
défis 9, 15–21, 23–26, 28–32, électricité, début 213 éther, également appelé éther
34–36, 38, 40, 41, 43–47, électron 15 luminifère 297
50–52, 54, 56–66, 68–78, électron, taille 89 étoiles 211
80–90, 92, 97, 103, 105, 110, électronvolt 279 événements 38
111, 113, 114, 118–121, ellipse 166, 245 évolution, limite 215
123–129, 131–135, 137–147, Ellis 261 exa 276
149, 152–154, 156, 157, émission décalée d ’ondes exactitude 286
159–168, 170–172, 174–177, gravitationnelles 268 excentricité 166
excentriques 263 gravitation comme horloge, synchronisation 24,

excès de rayon 172 mécanisme de freinage 96 29
explosion 224 gravitation universelle comme horloges 259
expérience de pensée 106 conséquence de la force hydrogène 224
maximale 187 hydrogène atomique 283
F gravitation universelle, écart à hydrogène, fusion 211

facteur d ’échelle 76, 220 la 222 hyperbole 166, 245
facteur de dilatation 36 gravitodynamique 156 hypernovae 201
facteur de dilatation du temps gravitomagnétisme 268 hypersurfaces 78
25 Gravity Probe B 150 hypothèse de la Terre creuse
farad 276 gravité 124 263
E faux 23
femmes 30, 247, 248
gravité de surface d ’un trou
noir 242
hélium 15, 211, 224
femto 276 gray 276, 280 I

excentriques fenêtre 52 groupe conforme 76, 77 Icare 167, 268
fluctuations de densité 211 génie 22, 136 id. 145, 173
flux d ’énergie 281 géocaching 144 imaginaire, masse 63
fond diffus de rayonnement géodésique, de genre lumière impulsions lumineuses,
cosmologique 312 136 tournant l ’une autour de
force 94, 190 géodésique, de genre temps l ’autre 143
force centrifuge 253 136 impédance caractéristique du
force de l ’ horizon 99 géodésiques de genre lumière vide 288
force de Planck 95 189 incandescence 227
force limite 94 géodésiques nulles 189 incertitude totale 286
force minimale dans la nature indépendance temporelle de
121 H G 268
force parfaite 266 hadrons 210 inertiel 35
force, maximum, hypothèses haut-parleur 22 inertielle, masse 132
105 hecto 276 inflation 210, 233, 233, 269
forces de marée 129, 175, 193 henry 276 intensité lumineuse 281
forme 46 hertz 276 interaction, la gravité est-elle
formule de la composition des heure 276 une 190
vitesses 32 Hollywood, films 75 interféromètre 33
Friedmann–Lemaître, Holocène 212, 213 interféromètres 284
solutions 214 Homo 213 interféromètres en anneau 284
fusée 249 Homo sapiens 213 intervalle 67
Homo sapiens sapiens 213 intervalle d ’espace-temps 38
G Horace, en latin Quintus intrinsèque 170
galaxie 197, 238 Horatius Flaccus 123 intrinsèque, courbure 172
galaxies, formation 211 horizon 208, 242, 243, 324 invariance conforme 76, 77
gazon 36 horizon des événements 85 invariance par
Gedanken experiment 106 horizon et accélération 106 difféomorphisme 182, 262
genre espace 67 horizon, s’éloignant plus vite invariants du tenseur de
genre temps 67 que la lumière 52 courbure 194
giga 276 horizons 92 inversion 76
Gondwana 212 horizons en tant que systèmes inégalité de Penrose 117
GPS, global positioning limites 266 Io 16
system 144 horloge géométrodynamique isotrope 172
gravitation 115 261
J longueur propre 44 masse inertielle 71

jerk relativiste 69 lumen 276 masse irréductible 250
jets 200 luminosité 281 masse relativiste 71
joule 276 luminosité du Soleil 291 masse totale, en relativité
jour sidéral 289 lumière 26 générale 190
jour, unité de temps 276 lumière massive 26 masse, centre de 64

journée ensoleillée 281 lumière, mouvement qu ’on ne masse, gravitationnelle 132
Jurassique 212 peut pas arrêter 26 masse, égalité entre inertielle
lumière, pesée 61 et gravitationnelle 145
K lumière, plus rapide que la 142 matelas 131, 154, 155, 158, 159
k-calculus 25 lumière, polarisation matière noire 60, 203, 271
J kaléidoscope 232
katal 276
longitudinale 26
lumière, vitesse finie 220
matière, domination 211
matière, métastable 243
kelvin 274 Lune 268 maximale, force 92
jerk kilo 276 Lune, formation 211 maximale, puissance 92
kilogramme 274 Lune, mesure de sa distance Megrez 229
kilogramme, prototype 268 par faisceau laser 294 Messier, catalogue des objets
Klitzing, von – constante 289 lunettes de vision nocturne célestes 197
282 mesure de la distance de la
L Lunokhod 168, 320 Lune par faisceau laser 294
l ’air ne peut pas remplir lux 276, 281 mesure de la vitesse des astres
l ’univers 223 Lyman-α 321 28
l ’eau ne peut pas remplir mesures de vitesse 77
l ’univers 223 M micro 276
la lumière ne se déplace plus M31 197 mile 277
192 M51 199 milli 276
LAGEOS 306 Mach, principe 184 minimum, force dans la
lagrangien 139 machine à voyager dans le nature 121
lait 20, 198 temps 43 Mintaka 229
Large Electron Positron 30 magnétar 203 minute 276, 292
largeur totale de la courbe à la magnéton nucléaire 289 Miocène 212
moitié du maximum 286 main 63 mole 274
Laurasie 212 main dans le vide 303 molécule 143
lentille gravitationnelle 255 mammifères 212 moment cinétique comme
LEP 30 mammifères, apparition 212 tenseur 73
ligne d ’univers 40 manuel, bijou 300 MOND 316
limite statique 248 marche à pied, olympique 51 montagne 63
Linux 19 Mars 167, 280 mort 18
liquide 180 marées 304 moteur 22
litre 276 maser 127 moteurs de la puissance
loi de la paresse universelle 74 masse 57 maximale 96
loi de Laplace–Gauss 286 masse ADM 190 moteurs de recherche 294
longueur d ’onde de Compton masse de Jupiter 292 moto 89
289 masse de la Lune 291 mouvement 124
longueur d ’onde de de masse de la Voie lactée 292 mouvement et unités de
Broglie 275 masse du Soleil 291 mesure 275
longueur de Planck 260 masse gravitationnelle et mouvement hyperbolique 82
longueur gravitationnelle de inertielle, égalité 184 mouvement lent 65
la Terre 291 masse imaginaire 63 mouvement microscopique
269 nébuleuse d ’Andromède 197, paradoxe de la puissance 113

mouvement non perturbé 15 207 paradoxe des horloges 42
mouvement qu ’on ne peut nébuleuse de la Tarentule 197 paradoxe des jumeaux 42
pas arrêter, lumière 26 négatif 171 paradoxe du collier de perles
mouvement supraluminique Néogène 212 50
52 paradoxe du trou 262

mouvement, n’existe pas 39 O paramètre d ’ impact 163
muons 297, 298 objet réel 63 paramètre de décélération 216
mètre 274 objet virtuel 63 paramètres d ’ impacts 246
mètres étalons 259 obscurité 52 parapluies 18
méga 276 obscurité, vitesse 51 parfaite, force 266
M mégaparsec 207
mémoire 40
observateur comobile 79
odomètre 68
parfaite, vitesse 266
parsec 207, 289
mésozoïque 212 ohm 276 particule ultra-relativiste 70
mouvement métrique 67, 75 oiseaux, apparition 212 particules massives 26
métrique de Schwarzschild Olbers 220 particules ponctuelles, taille
132, 244 Oligocène 212 252
ombre 15 particules virtuelles 327
N ombres 52 particules élémentaires, taille
naines blanches 202, 229 ombres et rayonnement 15 89
naines brunes 202, 229, 229 ombres non parallèles 325 pascal 276
nano 276 ombres, vitesse 21, 30, 51 peinture noire 220
NASA 280 onde de gravité plane 158 pendule de Foucault 149
naviguer 18 ondes de gravité 154 Permien 212
navire 18 ondes en relativité 73 permittivité diélectrique du
neutrino 31, 210, 297, 321 ondes gravitationnelles 154 vide 287
neutrinos 75 ondes gravitationnelles, spin perméabilité magnétique du
New General Catalogue 198 156 vide 287
newton 276 ondes gravitationnelles, perpétuelle, chute libre 243
NGC 205 198 vitesse 157, 161 pesée de la lumière 61
Nit 282 ondes sonores 28 phot 282
noir, peinture 220 orbites 188 photons, désintégration 239
noir, tourbillon 249 Ordovicien 212 physique, début 213
nombre d ’Avogadro 288 ordre, partiel 40 pico 276
nombre imaginaire 63 Orion 62, 228 pierres 63, 136, 137, 243
nombre infini de préfixes du Oxford 266 pièges de Penning 61
SI 285 oxygène, apparition dans planche de surf 45
normale, loi 286 l ’atmosphère 310 Planck, unités corrigées 279
normalité 318 plantes, apparition 212
normalité de π 293 P planètes extrasolaires 229
nova 208 π 72 planètes, formation 211
novae 201 π, normalité de 292 planéité asymptotique 190
noyaux 210 Paléocène 212 plasma 200
nuage 246 Paléogène 212 plastique, sacs 326
Nuage de Magellan 197 paléozoïque 212 Pliocène 212
nuages 199 Pangée 212 plus rapide que le mouvement
nucléosynthèse 210 parabole 166, 245 de la lumière, collisions 63
nues, singularités 256 paradoxe d ’ Ehrenfest 72 plus rapide que le mouvement
nul 170 paradoxe d ’Olbers 220 lumineux observé dans un
référentiel accéléré 87 propre, vitesse 41 quasars 255

plus vite que la lumière 142 protonvolt 280 Quaternaire 212
Pléiades, amas d ’étoiles 212 prototype du kilogramme 268 quatrième dimension 38, 40
Pléistocène 212 protérozoïque 211
PNP, formalisme précession 168 R
post-newtonien précession de Thomas 55, 168 radar 28

paramétrisé 143 précision 31, 286, 287 radian 275
poids 145 préfixes 276, 317 radioactivité 280
pomme étalon 285 préfixes du SI 285 radioactivité alpha 208
pommes 146 préfixes, SI 276 raies d ’absorption solaire 127
pommiers 285 présent 40 raies de Fraunhofer 127, 321
P positif 170
post-newtonien, formalisme
PSR 1913+16 160
PSR B1913+16 154
rajeunissement 138
rapidité 32
143 PSR J0737-3039 154 rapport de fréquence de
plus potentiel vecteur puissance 71, 281 Josephson 289
gravitomagnétique 152 puissance maximale dans la rapport de masse
poussière 181 nature 254 proton–électron 289
poussières d ’étoiles 213 puissance, maximum, rapport gyromagnétique 254
poussée 37 hypothèses 105 rayon classique de l ’électron
poussée de Lorentz 98, 98 pulsar 198 289
poussées de Lorentz 76 pulsars 160, 268 rayon de Bohr 289
Príncipe, île de 304 pulsars binaires 144, 167 rayon de la Lune 291
première loi de la mécanique périastre 166 rayon de la Terre 291
de l ’ horizon 100 périgée 291 rayon de Schwarzschild 133,
première loi de la mécanique périhélie 166, 292 242
du trou noir 100 période glaciaire 213 rayon de Schwarzschild
pressé 75 période rayonnante 15 comme unité de longueur
primates, apparition 212 péta 276 279
principe cosmologique 207 pôle Nord 129, 225 rayon irréductible 250
principe d ’équivalence 124, rayonnement 90
184, 268 Q rayonnement Cerenkov 24
principe d ’équivalence faible Q0957+561 230 rayonnement de corps noir
305 quadri-accélération 69 227, 312
principe de correspondance quadri-impulsion 69 rayonnement de fond
184 quadri-jerk 69 cosmologique 219, 224
principe de couplage minimal quadrivecteur 68 rayonnement de fond diffus
184 quadrivecteur 213
principe de covariance impulsion–énergie 70 rayonnement de fond diffus
générale 184 quadrivitesse 68 cosmologique 208
principe de Mach 184, 237 quadrupôle 159 rayonnement gravitationnel
principe de relativité 35 quantité de mouvement 69 303
principe de relativité générale quantité de mouvement rayonnement quadrupolaire
184 relativiste 58, 69 159
problème de la matière noire quantum d ’action 74 rayonnements 15
222 quantum de conductance 289 rayons 15
processus chimiques 61 quantum du flux magnétique rayons α 15
Procyon 229 289 rayons β 15
promenade de Planck 283 quarks 210 rayons γ 15
propre, accélération 79 quasar 53 rayons cathodiques 15
rayons cosmiques 43, 65 S supérieur 59

rayons infrarouges 15 Saiph 229 surface, physique 113
rayons ionisants 15 sans dimension 288 surfeur des neiges, relativiste
rayons ultraviolets 15 satellites galiléens 16 45
rayons X 15 satellites LAGEOS 150 sursauts de rayons gamma 21,
recombinaison 211 Saturne 93 294

recouvrement des impôts 274 scalaire de Ricci 176, 178, 179 sursauts gamma 201, 232, 316
rectiligne 81 science-fiction 60 symboles de Christoffel de
rectitude 15 seau, Newton, expérience 237 seconde espèce 189
relation d ’ incertitude, seconde 274, 276, 292 symétrie d ’échelle 182
relativiste 89 sections coniques 166 symétrie par renversement 77
R relation de cause à effet 40
relation de dispersion 158
sens unique, vitesse de la
lumière 88
synchronisation des horloges
24, 29
relation de Kepler 159 Service international de la système d ’unités de
rayons relativité générale 24, 123 rotation terrestre 283 Heaviside–Lorentz 279
relativité générale en dix SI, unités 274 système d ’unités gaussiennes
points 266 SI, unités supplémentaires 275 279
relativité générale en un seul siemens 276 système d ’unités
paragraphe 175 sievert 276, 280 électromagnétiques 279
relativité générale, formules Silurien 212 système d ’unités
135 singularités 117, 186, 311 électrostatiques 279
relativité générale, première singularités habillées 256 système de coordonnées
moitié 134 singularités nues 256 rigide 80
relativité générale, précision sinus hyperbolique 82 Système géodésique mondial
267 Sirius 229, 304 292
relativité générale, seconde Sloan Digital Sky Survey 309 Système International
moitié 139 snooker 58 d ’ Unités (SI) 274
relativité restreinte 15, 24 Sobral, île de 304 systèmes matériels 90
repos 123, 124 Soleil 211, 229 sécante hyperbolique 84
restreinte, relativité 15 Soleil, mouvement dans la
Rigel 229 galaxie 198 T
rigidité 46 solide, corps 89 tachyon 53, 53, 63
Robertson–Walker, solutions sondes Voyager 18 tachyon, masse 63
214 sous-marin, relativiste 47 tachyons 63, 90
rosace 245 sphère des photons 247 taille de l ’électron 89
rosace, trajectoire 247 spin d ’une onde 156 taille de la Voie lactée 292
rotation de la Terre 283 spin des ondes taille des chaussures 285
réflexion 191 gravitationnelles 156 taille limite 116
réfraction 191 spin et propriétés ondulatoires taille limite du système
réfraction, (indice) du vide classiques 158 physique 116
163 squark 329 Tamise 18
référentiel 80 stalactite 93 tangente hyperbolique 84
référentiel d ’ inertie 35 stalagmites 18 TDB 143
référentiel inertiel 80 stellaire, trou noir 255 TDT 143
référentiels accélérés 80 Stoney, unités 279 temps 40
Régulus 229 stéradian 275 temps coordonnée
réversible 250 supernovae 201, 208 barycentrique 305
supraluminique, mouvement temps d ’arrêt, minimum 107
52 temps de l ’ horloge 132
temps de la montre-bracelet tonne 276 Géophysique

38 torsion 271 Internationale 292
temps dynamique tour en brique infiniment unité 274
barycentrique 143 haute 108 unité astronomique 289
temps dynamique terrestre tourbillon noir 249 unité de longueur naturelle de
143 trace du tenseur 175 Planck 260

temps propre 38, 68 trains 125 unités de base 274
temps universel coordonné trajectoires du mouvement unités de Planck corrigées 279
143, 283 266 unités de Stoney 279
temps, absolu 34, 35 transformation, conforme 50 unités naturelles de Planck
température du fond diffus transformations conformes 277
T micro-onde 290
température, relativiste 56
spéciales 76
transformations de Lorentz de
unités SI 286
unités, non SI 277
tenseur d ’ Einstein 179 l ’espace et du temps 37 unités, véritables naturelles
temps tenseur de courbure 172 translation 76 279
tenseur de courbure de translations, enchaînement 55 Univers 238
Riemann 192 Trias 212 univers 238
tenseur de courbure de trou noir 103, 161, 227, 243, 304 univers complet 205
Riemann–Christoffel 192 trou noir de Kerr 247 univers présumé 205
tenseur de Ricci 102, 178 trou noir de univers visible 204
tenseur de Riemann 193 Reissner–Nordström 247 univers, rempli d ’eau ou d ’air
tenseur énergie–impulsion trou noir de Schwarzschild 223
102, 180 247 univers, âge 65
tenseurs 178 trou noir en rotation 248 univers, énergie 234
tension 133 trou noir extrémal 248 univers, état 235
tentative par la corde 106 trou noir intermédiaire 255 UNIX 19
Terre creuse 263 trou noir stellaire 255
Terre, anneau avoisinant 199 trou noir supermassif 254 V
Terre, contraction des trou noir, auréole 254 variables d ’Ashtekar 270
longueurs 45 trou noir, collisions 255 variance 286
Terre, formation 211 trou noir, entropie 250 variation de masse, maximum
Terre, rotation 283 trous noirs 93, 133, 303 96
Tertiaire 212 trous noirs de Schwarzschild variété 38
tesla 276 245 variété riemannienne 193
textes écrits 213 trous noirs primordiaux 254 vecteur de Poynting 159
thermodynamique, deuxième trous noirs, n’existent pas 252 vecteur, de genre espace 40
principe de la 40 TUC 143 vecteur, de genre lumière 40
théorie d ’ Einstein–Cartan 271 tunnel 53 vecteur, de genre temps 40
théorie de la relativité 24 téléportation 56 vecteur, nul 40
théorème de la composition télévision 31 vecteurs nuls 67, 68
des accélérations 83 téra 276 vendeko 276
théorèmes de l ’existence de vendekta 276
singularités de U vent 18
Penrose–Hawking 256 udeko 276 vide 261
théorèmes de singularité de udekta 276 vide, main dans 303
Penrose–Hawking 314 UICPA 318 vie, apparition 211
Time, revue 130 UIPPA 318 vieille dame circonspecte 74
tire-bouchon 158 ultra-relativiste, particule 70 vieillissement maximum 75
TNT, contenu énergétique 289 Union Géodésique et vitesse de l ’obscurité 51, 52
vitesse de la lumière à double vitesse, plus rapide que la weko 276

sens 88 lumière 71 wekta 276
vitesse de la lumière à sens vitesse, relative 72 WMAP 119
unique 88 vitesse, relative – non définie
vitesse de la lumière, finie 220 176 X
vitesse de la lumière, théories Voie lactée 196 xenno 276

avec variable 90 Volkswagen 171 xenta 276
vitesse de libération 241 volt 276
vitesse des ombres 52 voyage dans le passé 40 Y
vitesse des ondes voyage temporel dans le futur yocto 276
gravitationnelles 157, 161 42 yotta 276
V vitesse du son, valeurs 88
vitesse parfaite 16, 266
Vénus 167 Yucatán, impact 212
vitesse propre 41, 323 W Z

vitesse vitesse relativiste 68 watt 276 zepto 276
vitesse supraluminique 233 weber 276 zetta 276
LA MONTAGNE MOUVEMENT
L’Aventure de la Physique – Vol. II
La Relativité
Pourquoi le changement et le mouvement existent-ils ?

Comment l’arc-en-ciel se forme-t-il ?
De tous les voyages possibles, lequel est le plus fantastique ?
L’ « espace vide » est-il réellement vide ?
Comment pouvons-nous faire léviter des objets ?
À partir de quelle distance entre deux points
devient-il impossible d’en intercaler un troisième ?
Que signifie « quantique » ?
Quels problèmes demeurent sans réponse en physique ?
En répondant à ces questions ainsi qu’à d’autres sur le

mouvement, cette collection constitue une introduction
à la physique moderne qui se veut divertissante tout en
mettant l’esprit à l’épreuve, chaque page proposant
une surprise ou un défi à l’ imagination.
En partant de la vie quotidienne, cette aventure
donne un aperçu des derniers résultats en mécanique,
thermodynamique, électrodynamique, relativité,
disponible gratuitement sur www.motionmountain.net
mécanique quantique, gravité quantique et leur

unification. Ce texte s’adresse aux étudiants du premier
cycle universitaire et à tous ceux qui s’ intéressent
à la physique.
Christoph Schiller, titulaire d’un doctorat de l’ Université

Libre de Bruxelles, est physicien et vulgarisateur de la
physique.

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Christoph Schiller

Traduit de l’anglais par Benoît CLENET

23e édition, disponible gratuitement sur

Proprietas scriptoris © Christophori Schiller

Omnia proprietatis iura reservantur et vindicantur.

Copyright © 2009 Christoph Schiller,

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La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Ce livre s’adresse à toute personne curieuse de la nature et du mouvement. La curio-

PHYSIQUE : Description unifiée du mouvement Pourquoi le mouve-

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Comment les Relativité restreinte

Physique galiléenne, chaleur et électricité

Munich, 10 Janvier 2009.

Je remercie Benoît Clénet pour sa traduction de ce volume. Sa patience, son énergie

D’après mon expérience d ’enseignant, je connais une méthode d ’apprentissage qui

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

C omment u tiliser ce livre ?

Appel à contribu tion

Ce texte est et demeurera librement téléchargeable depuis Internet. En échange,

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

123 3 Les idées nouvelles sur l ’ espace, le temps et la gravité

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

repos dans l ’ Univers 238 • La lumière attire-t-elle la lumière ? 239 • La lumière

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Dans notre apprentissage du mouvement des objets,

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Soleil Terre (première Jupiter et Io

F I G U R E 3 La méthode de Rømer pour mesurer la vitesse de la lumière.

point de vue de la pluie point de vue de la lumière

point de vue humain point de vue humain

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

F I G U R E 5 Dispositif de Fizeau permettant de mesurer la vitesse de la lumière. (© AG Didaktik und

F I G U R E 6 Photographie d’une pulsation lumineuse se déplaçant de la droite vers la gauche à travers

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

c = 299 792 458 m/s. (2)

Pouvons-nous jouer au tennis en u tilisant une pulsation laser en

TA B L E AU 1 Propriétés du mouvement de la lumière.

La lumière peut se déplacer dans le vide.

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La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Réf. 11 Il existe un deuxième ensemble de pièces à conviction expérimentales pour la

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Cette relation est à la base de la relativité restreinte. En réalité, la théorie complète de

Cependant, dans la situation décrite, nous avons évidemment x ≠ ξ. En d ’autres termes,

l ’observateur, et d ’en affronter les conséquences. Faisons-en autant.

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L a relativité restreinte en quelques lignes

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deux horloges fixes

teur, il parvient au second à l ’ instant kT, et alors revient au premier au temps k 2 T. Le

Page 26 Ce facteur apparaîtra à nouveau dans l ’effet Doppler*.

Les intervalles de temps pour un observateur en mouvement sont raccourcis de ce facteur

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Accélération de la lumière et effet Doppler

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le rouge, définie à l ’aide de la longueur d ’onde λ ou de la fréquence f par

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L a différence entre la lumière et le son

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