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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
________________________________________________
**Recherche:** Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
___________________________________
Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1: …

Inversible dans un anneau commutatif

24 avril 2024 16:37 — Par Arnaud_G

Bonjour la clique des matheux,

Je suis dans un anneau $A$ commutatif.

je dois montrer que si $x \in A$ est nilpotent alors $1-x$ est inversible dans $A$.

J’essaye avec des factorisations, avec le binôme de Newton, j’essaye de deviner la forme de l’inverse, rien n’aboutit …

Une astuce pour démarrer ?

Avec mes remerciements.

L'enseignement des maths aux Pays-Bas

24 avril 2024 16:34 — Par kioups

Bonjour,

j'ai la chance de passer une semaine aux Pays-Bas et de découvrir le système scolaire néerlandais et particulièrement l'enseignement des maths. Les néerlandais sont 7ème en maths au dernier classement PISA (bien loin devant nous, mais bien derrière en compréhension de l'écrit et équivalents en sciences).

Le mot principal que j'ai retenu de mon séjour, c'est l'autonomie. Quasiment tous les élèves et les enseignants viennent en vélo au lycée (quel respect des automobilistes... ça change de la France où on risque sa vie à chaque fois qu'on prend son vélo), les établissements sont très autonomes et les élèves aussi. …

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

DL de $\dfrac{1}{1-x}$

[Théorème] :

La fonction \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{1}{1-x} \end{array} \right.\] admet, pour tout $n\in\mathbb{N}$ un DL à l’ordre $n$ en $0$ et on a \[\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\},\quad \boxed{\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots+x^n+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)}\]

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