Somme des diviseurs - Formules

Si N = ∏p^m est la décomposition en nombres premiers de N, les diviseurs de N sont obtenus en choisissant des exposants entre 0 et m pour chaque facteur p de toutes les façons possibles. Le nombre de diviseurs de N, 1 et N inclus, est donc :

∏(m+1)

Par exemple le nombre 600 = 2³×3×5² possède (3+1)(1+1)(2+1) = 24 diviseurs.
Si on développe le produit ∏_p (∑_i pⁱ), où dans chaque somme ∑ : 0 ≤ i ≤ m pour ce facteur p, chaque terme du développement est obtenu en choisissant un exposant pour chaque facteur p, c'est donc un diviseur de N et leur somme est alors la somme des diviseurs de N, puisqu'on obtient ainsi tous les diviseurs.
∑pⁱ s'écrit aussi (p^m+1-1)/(p-1) comme somme d'une progression géométrique de raison p, et en définitive :

S = ∏_p (∑_i pⁱ) = ∏(p^m+1-1)/(p-1)

Par exemple N = 600 : S = (1+2+4+8)(1+3)(1+5+25) = (16-1) × (9-1)/2 × (125-1)/4 = 1860

Calcul de la somme des diviseurs

Parlons un peu des nombres parfaits. Les nombres parfaits impairs sont jusqu'ici totalement inconnus, on sait seulement que s'il y en a, ils ont au moins 300 chiffres ! Par contre les nombres parfaits pairs sont connus depuis Euclide, et Euler a même démontré qu'ils sont tous obtenus par :

2^(p-1)(2^p-1) avec 2^p-1 premier

Le nombre 2^p-1 n'est pas premier pour tous les exposants p.
Il est nécessaire que p soit premier mais ce n'est pas suffisant, par exemple 2¹¹-1 = 2047 = 23x89.
Les nombres M_p = 2^p-1 sont premiers (nombres de Mersenne) pour p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31...
Soit les nombres de Mersenne 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647...
et les nombres parfaits :

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128...

Autres curiosités

Il existe d'autres curiosités liées à la somme des diviseurs :

• Les nombres "multiparfaits", égaux à n fois la somme de leurs diviseurs. Citons le nombre proposé par Frenicle en 1643 :
  n = 2³⁶ × 3⁸ × 5⁵ × 7⁷ × 11 × 13² × 19 × 31² × 43 × 61 × 83 × 223 × 331 × 379 × 601 × 757 × 1201 × 7019 × 112303 × 898423 × 616318177
  Sauriez vous faire aussi bien que Frénicle et simplement vérifier que la somme des diviseurs propres de n est 5n ?

• On connaît aussi les nombres "amiables" : la somme des diviseurs (propres) de l'un est égal à l'autre
  Par exemple 220 et 284.

• On appelle "suite aliquote" la suite obtenue en calculant la somme des diviseurs du nombre précédent, par exemple en partant de 84 : 84, 140, 196, 203, 37, 1
  La plupart du temps cette suite aboutit à 1 (et c'est fini car 1 n'a aucun diviseur propre), parfois cette suite semble partir vers l'infini : on ne connaît pas actuellement le destin de la suite commençant par 276, on obtient des nombres de plus de 100 chiffres ce qui pose des problèmes pratiques pour calculer la somme de leurs diviseurs !
  Il existe des cas où la suite est périodique : on revient au point de départ, par exemple
  12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496 ...
  Ces suites périodiques sont appelées "chaînes sociables".

Problème inverse

C'est à dire trouver un nombre N connaissant la somme S de ses diviseurs.
Le problème se résoud en cherchant les diviseurs de S de la forme ∑pⁱ, avec p premier.

Par exemple chercher les nombres dont la somme des diviseurs est 56 :
Cherchons tous les diviseurs de 56 = 2³×7 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56.
Cherchons ceux qui sont de la forme Q = 1+p+...pⁿ.
Pour tester si un nombre q est de la forme Q, on cherche les facteurs premiers p de q-1.
Pour chacun, on teste si q(p-1)+1 est une puissance de p.

Par exemple soit à tester si q=31 est un nombre Q : 31-1 = 30 = 2x3x5
    p = 2 : 31×1+1 = 32 = 2⁵ et 31 = 1+2+4+8+16
    p = 3 : 31×2+1 = 63 n'est pas une puissnce de 3
    p = 5 : 31×4+1 = 125 = 5³ et 31 = 1+5+25
Donc 31 est de la forme Q de deux façons différentes.

Les seuls diviseurs de 56 qui sont de la forme Q = 1+p+...pⁿ sont :
    4 = 1+3
    7 = 1+2+4
    8 = 1+7
    14 = 1+13

Les ensembles de diviseurs complets de 56 sont : 56 = 1×56 = 2×28 = 4×14 = 8×7 = 2×2×14 = 2×4×7 = 2×2×2×7.
Seules les décompositions 4×14 et 8×7 ne sont formées que de nombres Q.
4×14 = (1+3)(1+13) conduit à N = 3×13 = 39
8×7 = (1+7)(1+2+4) conduit à N = 7×4 = 28

Tout ceci ne marche plus si on donne la somme S des diviseurs propres de N au lieu de la somme de tous les diviseurs. Mais ceci est une autre histoire...

Annexe 1 : Vérification du nombre de Frenicle

n = 2³⁶ × 3⁸ × 5⁵ × 7⁷ × 11 × 13² × 19 × 31² × 43 × 61 × 83 × 223 × 331 × 379 × 601 × 757 × 1201 × 7019 × 112303 × 898423 × 616318177

On vérifie tout d'abord que les nombres sont tous premiers (pas évident à la main ! Le programme de calcul de la somme des diviseurs fournit comme sous produit la décomposition en facteurs premiers)
La somme de tous les diviseurs de n est alors :
S = (2³⁷-1) × (3⁹-1)/2 × (5⁶-1)/4 × (7⁸-1)/6 × 12 × (13³-1)/12 × 20 × (31³-1)/30 × 44 × 62 × 84 × 224 × 332 × 380 × 602 × 758 × 1202 × 7020 × 112304 × 898424 × 616318178.
il faut redécomposer en nombres premiers chacun de ces facteurs :

237-1 = 223×616318177		(39-1)/2 = 9841 = 13×757
(56-1)/4 = 3906 = 2×32×7×31		(78-1)/6 = 960800 = 25×52×1201
12 = 22×3		(133-1)/12 = 183 = 3×61
20 = 22×5		(313-1)/30 = 993 = 3×331
44 = 22×11		62 = 2×31
84 = 22×3×7		224 = 25×7
332 = 22×83		380 = 22×5×19
602 = 2×7×43		758 = 2×379
1202 = 2×601		7020 = 22×33×5×13
112304 = 24×7019		898424 = 23×112303
616318178 = 2×73×898423

On regroupe tous les facteurs premiers :
S = 2³⁷ × 3⁹ × 5⁵ × 7⁷ × 11 × 13² × 19 × 31² × 43 × 61 × 83 × 223 × 331 × 379 × 601 × 757 × 1201 × 7019 × 112303 × 898423 × 616318177 = 6n.
La somme des diviseurs propres est S - n = 5n CQFD.