Nombres hyperréels, infiniment petits, infiniment grands, ...

En Analyse non standard on va considérer plus de nombres que dans les réels, on va ainsi se placer dans une extension des réels, les nombres formant cet extension sont appelés les nombres hyperréels. Les réels se retrouvent ainsi parmi les hyperréels. On peut additionner, soustraire, multiplier et diviser dans les hyperréels comme on le faisait déjà parmi les réels, on peut aussi comparer ces nombres comme auparavant. Mais parmi les hyperréels il y a des nombres non réels et grâce à cela on peut montrer que parmi ces nombres il y a des infiniments petits non nuls. Un infiniment petit est un nombre qui en valeur absolue est inférieur à tout réel > 0 (parmi les réels le seul infiniment petit est 0.) Il existe également des nombres infiniments grands c'est-à-dire des nombres qui en valeur absolue sont supérieurs à tout réel. Aucun réel ne peut évidemment être infiniment grand. Tout nombre qui n'est pas infiniment grand est qualifié de limité. Tous les réels sont ainsi des nombres limités. Les nombres limités qui ne sont pas infiniment petits sont dits appréciables. Deux nombres sont infiniment proches lorsque leur différence est infiniment petite. Par exemple si ε est un infiniment petit non nul, le nombre $2\; +\; \epsilon$ est un nombre appréciable infiniment proche de 2 l'inverse de ε est un infiniment grand le nombre $10^6\; \epsilon$ est encore infiniment petit Le halo d'un réel r est l'ensemble de tous les hyperréels infiniment proches de $r$, on le représente comme suit: Il s'agit là d'une fenêtre ouverte sur le halo, si nécessaire cette fenêtre peut êtrte agrandie. Deux réels infiniment proches sont égaux et tout nombre infiniment proche d'un réel est un limité, de plus -et cela est essentiel- tout nombre limité est infiniment proche d'un et d'un seul réel. Si le nombre x est limité, le seul réel infiniment proche de x est appelé la partie de standard de x, en abrégé st(x). Ainsi la partie standard de $2\; +\; \epsilon$ est 2. Par conséquent tout hyperréel u limité se trouve dans un et un seul halo qui pointe vers la partie standard de u. On peut ainsi se représenter les nombres hyperréels comme suit: les nombres limités sont les nombres qui apparaissent dans les halos de tous les réels, les infiniments grands positifs sont supérieurs à tous les limités, les infiniment grands négatifs sont inférieurs à tous les limités. Les nombres infiniment petits n'ont rien ici de quantités idéales comme le considérait LEIBNIZ au 17e siècle, mais sont des nombres dont des mathématiciens du 20e siècle (dont A. ROBINSON) ont prouvé l'existence. Il faut noter qu'on distingue ici le fait d'être infiniment proche de l'égalité, cela n'était pas le cas au 17e et au 18e siècle, c'est cela notamment qui permet d'éviter les paradoxes. Pour ceux qui veulent réfléchir aux rapports entre les nombres hyperréels et la "réalité"