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\(\bullet \) Soit \(a+ib\) un nombre complexe donné. Une racine carrée de \(a+ib\) est un nombre complexe \(z\) tel que \(z^{2}=a+ib.\)
\(\bullet \) Un nombre complexe admet deux racines carrées \(z\) et \(-z.\)
En pratique
1. Forme trigonométrique : si \(a+ib=re^{i\theta }\) alors on peut écrire simplement $$a+ib=\left( \pm \sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}\right) ^{2}$$ Les racines carrées de \(a+ib\) sont \( z_{1}=\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}\) et \(z_2=-\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}=\sqrt{r}e^{i\left( \pi +\frac{\theta }{2}\right) }\)
Exemple 1 : racines carrées de \(i.\) On a directement \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}=\left( e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2}.\) Les racine carrées de \(i\) sont :
2. Forme algébrique : on cherche \(x\) et $y$ tels que \( (x+iy)^{2}=a+ib\) . On a :
Ce qui donne \( x^{2}-y^{2}=a\) et \( 2xy=b\) .
On a aussi \( \left\vert (x+iy)\right\vert ^{2}=\left\vert a+ib\right\vert \)
ce qui est équivalent à \( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\)
Finalement on est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=a\) (1)
\(2xy=b\) (2)
\( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) (3)
Résolution :
\((1)+(3)\) donne \( x^{2}\) ...
\((3)-(1)\) donne \( y^{2}...\)
Une fois toutes les valeurs possibles de \(x\) et \(y\) déterminées , l'équation
(2) permet de donner le signe de \(x\) et \(y\) ( par exemple si \( xy>0\) , \(x\)
et \(y\) doivent être de même signe ....).
Exemple 2 : Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les racines carrées dans \( \mathbb{C}\) de \( Z=1+i\).
1. \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}=\left( \pm \sqrt{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi }{8}}\right) ^{2}.\) Les racines carrées de \( 1+i\) sont :
\( z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i\frac{\pi }{8}}\) et \( z_2=-z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi }{8}+\pi )}\)
2. Recherche des racines carrées de \( 1+i \) \ sous forme algébrique : \ soit \( z=x+iy\) une racine carrée de \( 1+i\) ; \( z\) vérifie
On est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=1\) (1)
\(2xy=1\) (2)
\(x^{2}+y^{2}=\sqrt{2}\) (3)
\((1)+(3)\) donne \(2x^{2}=1+\sqrt{2}\) , d'où \(x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) ou \(x=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\).
\((3)-(1)\) donne \(2y^{2}=-1+\sqrt{2}\) \ \ , d'où \ \ \(y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) \ ou \(y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.\)
D'après (2) \(xy>0\) donc les racines carrées de \(1+i\) sont
Application : en comparant les deux écritures on peut calculer les valeurs
de \(\cos (\pi /8)\) et de \(\sin (\pi /8)\).
\(\cos \frac{\pi }{8}\in ]0,\frac{\pi }{2}[\) donc \( \cos \frac{\pi }{8}>0\) ,
on a d'après ce qui précède \( \sqrt{\sqrt{2}}\cos \frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) \ , d'où \ \(\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\)
De la même manière on a \( \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\)
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Résumé :
Rappel :\(\bullet \) Soit \(a+ib\) un nombre complexe donné. Une racine carrée de \(a+ib\) est un nombre complexe \(z\) tel que \(z^{2}=a+ib.\)
\(\bullet \) Un nombre complexe admet deux racines carrées \(z\) et \(-z.\)
En pratique
1. Forme trigonométrique : si \(a+ib=re^{i\theta }\) alors on peut écrire simplement $$a+ib=\left( \pm \sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}\right) ^{2}$$ Les racines carrées de \(a+ib\) sont \( z_{1}=\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}\) et \(z_2=-\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}=\sqrt{r}e^{i\left( \pi +\frac{\theta }{2}\right) }\)
Exemple 1 : racines carrées de \(i.\) On a directement \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}=\left( e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2}.\) Les racine carrées de \(i\) sont :
\( z_{1}=e^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\) et \(z_{2}=-z_{1}\).
2. Forme algébrique : on cherche \(x\) et $y$ tels que \( (x+iy)^{2}=a+ib\) . On a :
\( (x+iy)^{2}=a+ib\) si et seulement si \(x^2- y^2+2ixy=a+ib\)
Ce qui donne \( x^{2}-y^{2}=a\) et \( 2xy=b\) .
On a aussi \( \left\vert (x+iy)\right\vert ^{2}=\left\vert a+ib\right\vert \)
ce qui est équivalent à \( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\)
Finalement on est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=a\) (1)
\(2xy=b\) (2)
\( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) (3)
Résolution :
\((1)+(3)\) donne \( x^{2}\) ...
\((3)-(1)\) donne \( y^{2}...\)
Une fois toutes les valeurs possibles de \(x\) et \(y\) déterminées , l'équation
(2) permet de donner le signe de \(x\) et \(y\) ( par exemple si \( xy>0\) , \(x\)
et \(y\) doivent être de même signe ....).
Exemple 2 : Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les racines carrées dans \( \mathbb{C}\) de \( Z=1+i\).
1. \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}=\left( \pm \sqrt{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi }{8}}\right) ^{2}.\) Les racines carrées de \( 1+i\) sont :
\( z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i\frac{\pi }{8}}\) et \( z_2=-z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi }{8}+\pi )}\)
2. Recherche des racines carrées de \( 1+i \) \ sous forme algébrique : \ soit \( z=x+iy\) une racine carrée de \( 1+i\) ; \( z\) vérifie
\((x+iy)^{2}=1+i\) et \(\left\vert x+iy\right\vert ^{2}=\sqrt{2}\)
On est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=1\) (1)
\(2xy=1\) (2)
\(x^{2}+y^{2}=\sqrt{2}\) (3)
\((1)+(3)\) donne \(2x^{2}=1+\sqrt{2}\) , d'où \(x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) ou \(x=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\).
\((3)-(1)\) donne \(2y^{2}=-1+\sqrt{2}\) \ \ , d'où \ \ \(y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) \ ou \(y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.\)
D'après (2) \(xy>0\) donc les racines carrées de \(1+i\) sont
\(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\ \ +i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) et \(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\ \ -i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\)
Application : en comparant les deux écritures on peut calculer les valeurs
de \(\cos (\pi /8)\) et de \(\sin (\pi /8)\).
\(\cos \frac{\pi }{8}\in ]0,\frac{\pi }{2}[\) donc \( \cos \frac{\pi }{8}>0\) ,
on a d'après ce qui précède \( \sqrt{\sqrt{2}}\cos \frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) \ , d'où \ \(\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\)
De la même manière on a \( \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\)
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