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Rappel
1. Fonction \(\arctan x\) : La fonction \(\arctan x\) est définie sur \(R \) par :
\( y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y \) et \(y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
Propriétés :
\(\arctan x \) est t définie sur R donc \(arctan u \) est définie si et seulement si \(u \) est définie. Autrement \(D_f=D_u. \)
\(\arctan x \) est dérivable sur R donc \(\arctan u \) est dérivable si et seulement si \(u \) est dérivable. Autrement \(D_f^{\prime}=D_u^{\prime} \).
$$( \arctan u(x) )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^2+1}$$
Il est utile de connaitre quelques valeurs particulière de arctan :
Il suffit de dresser un tableau avec des angles \(0\) , \(\frac{\pi}{6}\) , \(\frac{\pi}{4}\) , \(\frac{\pi}{3}\) et de calculer la tangente de ces angles. \(\arctan x\) est obtenu en lisant ce tableau à l'envers.
Exemple : \(\tan {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) donne \(\arctan {( \frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{\pi}{6}\)
2. Changement de variable
Si\( \varphi : [a,b] \rightarrow J \)est une fonction de classe \(C^1\) et si \(f \)est continue sur \(J\) alors :
$$\int_a^b f(u (x))u^{\prime}(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$
En éspérant que la nouvelle intégrale est plus facile à calculer.
Rappel
1. Fonction \(\arctan x\) : La fonction \(\arctan x\) est définie sur \(R \) par :
\( y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y \) et \(y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
Propriétés :
- \(\arctan x \) est impaire : \(\arctan(-x)=-\arctan x \)
- \( lim_{x\rightarrow +\infty} \arctan x =\frac{\pi}{2} \)
- \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2} \) pour tout \(x\in R \).
\(\arctan x \) est t définie sur R donc \(arctan u \) est définie si et seulement si \(u \) est définie. Autrement \(D_f=D_u. \)
\(\arctan x \) est dérivable sur R donc \(\arctan u \) est dérivable si et seulement si \(u \) est dérivable. Autrement \(D_f^{\prime}=D_u^{\prime} \).
$$( \arctan u(x) )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^2+1}$$
Il est utile de connaitre quelques valeurs particulière de arctan :
Il suffit de dresser un tableau avec des angles \(0\) , \(\frac{\pi}{6}\) , \(\frac{\pi}{4}\) , \(\frac{\pi}{3}\) et de calculer la tangente de ces angles. \(\arctan x\) est obtenu en lisant ce tableau à l'envers.
Exemple : \(\tan {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) donne \(\arctan {( \frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{\pi}{6}\)
2. Changement de variable
Si\( \varphi : [a,b] \rightarrow J \)est une fonction de classe \(C^1\) et si \(f \)est continue sur \(J\) alors :
$$\int_a^b f(u (x))u^{\prime}(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$
En pratique , pour calculer \(\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx\) , on pose \(u=\varphi (x)\) , on différencie : \(du=\varphi^{\prime}(x)dx\) , en calcule \(c=\varphi (a)\) et \(d=\varphi(b) \) et on écrit
$$\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx=\int_c^d f(u)du$$En éspérant que la nouvelle intégrale est plus facile à calculer.
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