Mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique

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Objectif : mettre un nombre complexe \( z=a+ib\) sous forme trigonométrique \( z=re^{i\theta }.\)

Intetrêt : calculer une puissance de \(z\) , recherche de racines n-iè me ...


Etape 1 : Calculer le module de \(z\) : \(| z | =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).

Ecrire ensuite \(z\) sous la forme $$z=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+i\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) .$$

Etape 2 : Calculer l'argument de \(z\) :   Si \( \theta = arg z\)  on a :

$$ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$  et $$ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

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Exemple 1 : on a de manière immédiate \ \(i=e^{i\frac{\pi }{2}},-1=e^{-i\pi },1=e^{i0},-i=e^{i\frac{3\pi }{2}}\)

Exemple 2 : Ecrivons \(1+i\) sous forme trigonométrique. On a :

\(\bullet \) \(| z | =\sqrt{2}\) . On peut donc écrire $$1+i=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$.

\(\bullet \)  Si \(\theta =\arg z\) on a : $$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$$  et $$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , d'où  $$\arg z=\frac{\pi }{4}$$ (modulo \(2\pi\).

Finalement : \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\)


Application :

\[ (1+i)^{2009}=\left( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2009}=2^{1004}\cdot \sqrt{2}\cdot e^{i2009\frac{\pi }{4}}=2^{1004}\cdot \sqrt{2}\cdot e^{i502\pi +i\frac{\pi }{4}}\]



D'où
\[ {(1+i)}^{2009}=2^{1004}.\sqrt{2}.e^{\frac{\pi}{4}}=2^{1004}=2^{1004}\left( 1+i\right) \]


Exemple 3 : calculer $$\frac{(1-i)^{5}\,(i-\sqrt{3})^{4}}{(1+i)^{3}}.$$ On a :

\(\bullet \) \(1-i=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4}}\)  ; d'où  \( (1-i)^{5}=(\sqrt{2})^{5}e^{-i\frac{5\pi }{4}}.\)

\(\bullet  \)  \((1+i)^{3}=(\sqrt{2})^{3}e^{i\frac{3\pi }{4}}.\)

\(\bullet \) \( i-\sqrt{3}=2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right) =2e^{i\frac{5\pi }{6}}\)  , d'où  \( (i-\sqrt{3})^{4}=2^{4}e^{i\frac{10\pi }{3}}\)



Finalement

$$\frac{(1-i)^{5}(i-\sqrt{3})^{4}}{(1+i)^{3}}$$ = $$\frac{(\sqrt{2})^{5}e^{-i}\frac{5\pi }{4}}{2^{4}e^{i\frac{10\pi }{3}}}{(\sqrt{2})^{3}e^{i\frac{3\pi }{4}}}$$  =
$$ 2^{5}.e^{i\frac{10\pi}{3}}$$  =
$$2^{5}e^{i\frac{4\pi }{3}}$$ = $$ -16(1+i\sqrt{3})$$.

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