La fonction "exponentielle"
Vous vous souvenez des puissances de 10 ?
101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, ...
Eh bien : 10x est l'exponentielle à base 10 de x.
On la connaît donc déjà ! (pour les valeurs entières de x).
Au fait, 100 = ?
Et, 10−1 = ?
Utilisons la propriété suivante :
10a+b = 10a × 10b
(La fonction exponentielle transforme une somme en produit)
qui provient de :
| 10a |
× |
10b |
= |
10a+b |
| 10 × 10 × ... × 10 |
× |
10 × 10 × ... × 10 |
= |
10 × 10 × ... × 10 |
| a termes |
|
b termes |
|
(a + b) termes |
En remarquant que a + 0 = a :
10a = 10a+0 = 10a × 100
d'où : 100 = 1
De même, en utilisant la relation a + (−a) = 0 :
1 = 100 = 10a−a = 10a × 10−a
d'où : 10−a = 1 / 10a
Donc :
..., 10−3 = 1/1000, 10−2 = 1/100, 10−1 = 1/10,
100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, ...
Maintenant, en appliquant l'autre propriété des puissances :
10a×b = ( 10a)b
( La fonction exponentielle transforme un produit en puissance )
propriété que l'on peut retrouver de la manière suivante :
| ( 10a)b = |
10a |
× |
10a |
× |
... |
× |
10a |
= |
10a×b |
| |
10 × 10 × ... × 10 |
× |
10 × 10 × ... × 10 |
× |
... |
× |
10 × 10 × ... × 10 |
= |
10 × 10 × ... × 10 |
| |
a termes |
|
a termes |
|
... |
|
a termes |
|
(a × b) termes |
| |
b termes |
Utilisons la relation a × (1/a) = 1 :
10 = 101 = 10a×(1/a) = (10(1/a))a
Donc : 10(1/a) = a√ 10
(racine aième de 10).
Ainsi, pour tout nombre rationnel (de la forme a/b) :
10(a/b) =
(b√ 10 )a
ou encore :
b√10a
Ces propriétés sont valables pour des nombres réels
car on peut se rapprocher aussi près que l'on veut d'un nombre réel par un nombre rationnel.
Si l'on remplace 10 par 2, on obtient l'exponentielle à base 2, ...
Il y a une exponentielle particulière, qui apparaît naturellement,
c'est l'exponentielle de la "constante de Neper" qui vaut 2,71828... (c'est un nombre irrationnel).
On la note "e".
La fonction exponentielle courante est donc : ex .
On l'écrit également exp(x)
(c'est plus pratique à écrire dans les programmes d'ordinateurs).
La fonction "logarithme"
La fonction logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle.
L'inverse de l'exponentielle à base 10 (10x) est le logarithme à base 10 (log10).
| |
exp10 |
|
log (ou log10) |
|
en remplaçant y |
en remplaçant x |
| x |
→ |
y = 10x |
→ |
x = log(y) |
log 10x = x |
10log y = y |
Donc :
..., log(1/1000) = −3,
log(1/100) = −2,
log(1/10) = −1,
log(1) = 0,
log(10) = 1,
log(100) = 2,
log(1000) = 3, ...
L'inverse de l'exponentielle naturelle est le logarithme néperien noté ln(x) .
| |
exp |
|
ln |
|
en remplaçant y |
en remplaçant x |
| x |
→ |
y = exp(x) = ex |
→ |
x = ln(y) |
ln ex = x |
eln y = y |
Les propriétés des logarithmes sont les "inverses" de celles des exponentielles.
ln 1 = ln e0 = 0
Partons de la propriété : ea+b = ea × eb .
prenons le logarithme de chaque membre :
ln( ea × eb ) = ln( ea+b ) =
a + b = ln( ea ) + ln( eb )
Si on remplace ea par u et eb par v :
ln(u×v) = ln(u) + ln(v)
La fonction logarithme transforme un produit en somme.
ln(ab) = ln(a×...×a) = ln(a)+ ... + ln(a) = b ln(a)
La fonction logarithme transforme une puissance en produit.