Sommaire
Partie I : Définition du nombre d'or
Définition artistique
Définition mathématique
Calcul du nombre d'or
Autres figures
Partie II : Le nombre d'or, un nombre d'art
Comment font les artistes ?
Le nombre d'or en architecture
Le nombre d'or en peinture
Le nombre d'or en bande dessinée
Partie III : Le nombre d'or dans la nature
La suite de Fibonacci
Morphologie des animaux
Spirale d'or
Partie IV : Propriétés mathématiques du nombre d'or
Construction géométrique d'une section dorée
La suite de Fibonacci
Le nombre d'or dans la trigonométrie
Le nombre d'or dans le pentagone régulier
Conclusion
Partie I : Définition du nombre d'or
1) Définition artistique :
Pour les artistes, qu'ils soient peintres, sculpteurs, dessinateurs ou architectes, le nombre d'or est défini ainsi : « Pour qu'un espace divisé en parties inégales apparaisse agréable et esthétique, il devra exister entre la plus petite et la plus grande partie la même relation qu'entre cette dernière et l'ensemble ». Cette formulation nous vient de l'architecte romain Vitruve, mais on peut aussi citer Euclide dans Les éléments : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit ».
2) Définition mathématique :
Soit un segment [AC] et un point B plus proche de C que de A. Alors B sépare le segment selon le nombre d'or lorsque AB/BC = AC/AB, et alors le nombre d'or est la valeur de ces rapports.
3) Calcul du nombre d'or :
Choisissons comme unité la longueur BC et notons φ la longueur AB, qui vaut alors le nombre d'or. (φ est la lettre grecque « phi », en hommage au sculpteur grec Phidias qui fut l'un des premiers à utiliser le nombre d'or). Alors AC = φ + 1. La définition nous donne alors φ/1 = (φ + 1)/φ soit φ2 - φ - 1 = 0. On a une équation du second degré qui donne deux solutions. L'une d'elles étant négative, on ne retient que l'autre d'où φ = (racine (5) + 1)/2.
Une valeur approchée du nombre d'or est alors 1,61803398874989. Vous trouverez une valeur avec plusieurs milliers de décimales à l'adresse : http://trucsmaths.free.fr/telech/phi_5000.zip
4) Une fois le segment avec une section dorée défini, on peut définir d'autres figures :
- Le rectangle d'or est un rectangle dont le rapport des longueur des cotés vaut φ. Il est à noter que si on enlève à un rectangle d'or un carré dont le côté est la largeur du rectangle, on retrouve un rectangle d'or (voir démonstration).
- La spirale d'or : on construit un grand rectangle d'or puis, comme décrit ci-dessus, on ôte un carré. Avec le nouveau rectangle d'or, on réitère l'opération. On continue à l'infini. Puis dans chaque carré, on trace un quart de cercle dont le centre est un angle du carré et le rayon est le côté du carré.
- Le triangle d'or est un triangle isocèle tel que le rapport (longueur de la base)/(longueur des autres côtés), ou le rapport inverse, vaut φ.
- L'ellipse d'or est une ellipse dont le grand axe et le petit axe ont des longueurs dont le rapport vaut φ. Ainsi, une ellipse d'or est inscrite dans un rectangle d'or.
- Les points d'or : On a vu qu'une droite peut être séparée par une section dorée. Or chaque droite admet deux points d'or : en effet, celui-ci peut être placé plus près d'une extrémité ou de l'autre. Les deux points d'or sont de plus symétriques. On définit alors dans un rectangle quatre points d'or : pour la longueur et la largeur, on place les deux points d'or. On trace alors des lignes passant par ces points parallèles aux côtés. Les quatre points d'intersection sont les points d'or. Ceux-ci sont très utilisés dans les compositions des peintres ou des dessinateurs.
figure 1 : un segment avec en rouge les deux points d'or, symétriques par rapport au milieu du segment en bleu.
figure 2 : dans un rectangle quelconque, construction des quatre points d'or.
figure 3 : un rectangle d'or, et l'ellipse d'or associée.
figure 4 : construction d'une spirale d'or.
Partie II : Le nombre d'or, un nombre d'art
Le nombre d'or étant censé rendre les rapports plus harmonieux, il est naturel qu'il soit utilisé dans les arts. Nous allons voir ici plusieurs exemples d'utilisation du nombre d'or dans des domaines variés.
1) Comment font les artistes ?
Mais tout d'abord, un problème se pose. Un artiste souhaite partager un segment selon le nombre d'or. Il a tracé le segment et cherche la distance devant séparer une extrémité du point doré. Il doit donc mesurer son segment, puis prendre la calculatrice pour diviser par 1,618, et enfin reprendre sa règle pour placer le point à la distance calculée. Pas très pratique si on le fait souvent... Les artistes ont alors mis au point une solution astucieuse. Ils disposent d'une sorte de compas. En fait, l'instrument est composé de deux branches fixées entre elles vers le milieu, chacune possédant une pointe à chaque extrémité. L'astuce est que les deux branches sont fixées de manière à ce que le point de fixage se trouve sur les points d'or des branches. Ainsi, par une simple utilisation du théorème de Thalès, si vous écartez deux des pointes sur un segment, les deux autres pointes correspondront au segment considéré, multiplié ou divisé par le nombre d'or !
(vidéo ici)
2) Le nombre d'or en architecture
La première utilisation connue du nombre d'or est due au sculpteur grec Phidias (490 - 430 avant JC), qui a décoré le Parthénon. Tout d'abord, si on prend la façade de ce monument, on constate qu'elle est inscrite dans un rectangle d'or (autrement dit, le rapport entre la largeur et la hauteur du bâtiment vaut φ). En second lieu, les chercheurs ont considéré le toit du temple. Soit S son sommet et A un angle entre le toit et le mur, à l'extrémité du bâtiment. Si on place I au milieu de la demi-toiture (voir figure), on constate que SA/SI = φ !
Toujours dans l'antiquité, on a étudié la grande pyramide de Khéops. C'est une pyramide régulière à base carrée. Selon Hérodote, ses dimensions (148,208 m de hauteur et 232,805 m de base) étaient choisies pour que le carré construit sur la hauteur verticale ait la même aire que chacune des faces triangulaires. Alors le rapport entre la hauteur d'une face triangulaire (188,45 m par application du théorème de Pythagore) et la moitié de la longueur de la base (116,4 m) vaut φ.
Plus récemment, au Moyen-Age, les cathédrales nous fournissent de nombreux exemples, dont celui de Notre Dame du Port (Clermont-Ferrand). Si on nomme a la demi-diagonale du transept, qui a une forme carrée, les distances entre le centre du transept et les colonnes délimitant les chapelles valent successivement :
aφ ; aφ2 ; aφ3 ; aφ4. De plus, l'ensemble transept-coeur forme un rectangle d'or. Enfin, le cadre de la porte du portail sud, ainsi que l'ensemble du portail sud forment également des rectangles d'or.
3) Le nombre d'or en peinture
Le premier exemple est un tableau de Jicopo de Barbari. Il représente le mathématicien Fra Luca Pacioli (qui a écrit en 1498 un traité sur le nombre d'or : De Divina Proportione) expliquant un théorème à un élève. On constate que le pouce et l'index de sa main gauche partagent la hauteur du livre selon φ.
La naissance de Vénus, de Sandro Botticelli (1482 environ). On y voit la déesse Temps recouvrir Vénus d'un manteau. Le format du tableau (172,5 sur 278,05 cm) est un rectangle d'or. Les personnages à gauche et à droite s'inscrivent sur les diagonales de rectangles d'or dont la hauteur correspond à celle du tableau. Enfin, on peut tracer deux cercles dont le diamètre correspond à la hauteur du tableau, de manière à ce que chaque cercle entoure Vénus et l'un des deux groupes de personnages.
L'adoration des Mages de Diego Velazquez, 1609. Le format de ce tableau est un rectangle d'or, et on constate surtout que le visage de Jésus est situé sur un point d'or du tableau.
4) Le nombre d'or en bande dessinée.
Plus contemporain, nous avons la bande dessinée, dont le style actuel (avec des phylactères) a été importé en Europe par Hergé dans Tintin. Or cette oeuvre qui s'étend de 1930 à 1976 regorge d'utilisations du nombre d'or. La preuve : voici quelques vignettes...
Le sceptre d'Ottokar, deuxième édition, planche 3, case 7. Ce mystérieux personnage qui espionne Tintin doit le photographier avec une fausse montre. Celle-ci est située sur un point d'or.
Le crabe aux pinces d'or, deuxième édition, planche 35, case 5. Alors que le capitaine Haddock s'apprête à déguster une bouteille, celle-ci éclate, cassée par les balles d'un agresseur. Le point à partir duquel les éclats partent est doré.
Le Temple du Soleil, deuxième édition, planche 47, case 1. Après avoir découvert un passage secret, Tintin, Haddock, Milou et Zorrino font subitement apparition dans la salle, interrompant une cérémonie. Le trait faisant l'angle entre les deux murs sépare horizontalement la case selon le nombre d'or.
Partie III : Le nombre d'or dans la nature
1) La suite de Fibonacci
Fibonacci s'est intéressé à la reproduction des lapins. Il l'a modélisée ainsi : l'unité de base est le couple de lapins. Chaque couple met une saison pour devenir adulte, puis laisse passer une saison de gestation. Ensuite, il donne naissance à chaque saison à un nouveau couple. Si on suppose qu'ils ne meurent jamais, on a le schéma suivant :
Le nombre de lapins par saison est donc 1,1,2,3,5,8,13,.... C'est la suite de Fibonacci (voir partie IV). Le rapport entre la population d'une année sur l'autre tend donc vers le nombre d'or !
2) Morphologie des animaux
La première observation est que les étoiles de mer ont une forme de pentagone régulier, dans lequel on retrouve le nombre d'or (voir partie IV). Mais des observations ont aussi été faites chez l'Homme : la plus importante est que le nombril sépare (en moyenne) l'Homme de haut en bas selon le nombre d'or. De même, les rapports de longueur entre la troisième et la deuxième phalange, ainsi qu'entre la deuxième et la première phalange, sont égaux au nombre d'or.
3) Spirale d'or
Le nautile est un coquillage dont la rareté interdit désormais la vente (souvent proposé comme souvenir de plage). On a pu constater que sa coquille est en forme de spirale, comme tous les coquillages. Mais celle-ci est une spirale d'or (voir partie I) ! On observe également ces spirales dans le coeur de tournesol, l'ananas, les feuilles de chêne, les fleurs dont les pétales sont en hélice.
Certaines personnes avancent même un argument évolutionniste pour justifier cette omniprésence. La disposition des feuilles selon la spirale d'or permettrait aux plantes de bénéficier de la meilleure exposition possible au soleil, d'où une meilleure croissance.
Partie IV : propriétés mathématiques du nombre d'or
1) Construction géométrique d'une section dorée
Première construction : On construit un carré ABFD. A partir de E, milieu de [DF], on trace un arc de cercle de rayon EB. Il coupe la demi-droite [DF) en G. Les points D,F,G sont alors alignés selon la section dorée.
En effet, si DF = 1, EF = 1/2. D'après le théorème de Pythagore, EB = racine(5)/2 donc EG = racine(5)/2. Alors FG = EG - 1/2 = (racine(5)-1)/2. Ainsi DF/FG = (racine(5)+1)/2 = φ.
Deuxième construction : On construit un triangle ABD rectangle en B avec AB = 2BD. Le cercle de centre D et de rayon DB coupe [DA] en E. Le cercle de centre A et de rayon AE coupe [AB] en C. Alors A,C et B sont alignés selon la section dorée (je vous laisse le démontrer, ce sont presque les mêmes calculs).
2) La suite de Fibonacci
Soit la suite U(n) = φn. Alors le rapport U(n+1)/U(n) vaut φ. De plus :
φ2 = φ + 1 donc en multipliant par φn-2, φn = φn-1
+ φn-2 soit U(n) = U(n-1) + U(n-2).
Réciproquement, on montre qu'une suite de nombres telle que chaque terme est la somme des deux précédents (ce qu'on appelle une suite de Fibonacci) voit le rapport entre deux termes successifs tendre vers φ (cette démonstration est plus difficile, elle nécessite des outils du supérieur. Si vous connaissez l'algèbre linéaire, vous pouvez consulter ce PDF - 46 Ko - si vous n'avez pas de lecteur PDF, allez sur la page de liens).
Voir la biographie de Fibonacci
3) Le nombre d'or dans la trigonométrie :
Un résultat intéressant est que φ/2 = cos (pi/5) (= cos (36°)). La démonstration de ce résultat est de niveau terminale (nombres complexes), vous pouvez la télécharger ici au format PDF : orettrigo.zip (si vous n'avez pas Acrobat Reader ou Winzip, allez sur la page de liens)
4) Le nombre d'or dans le pentagone régulier
Il s'agit d'une application du résultat précédent. Les angles sont notés dans ce paragraphe avec un trait horizontal (le XHTML n'aime pas les chapeaux !). Prenons un pentagone régulier ABCDE de centre O. Alors AOB = 360/5 = 72°. OAB + OBA = 180 - 72 = 108° (en utilisant le triangle AOB). Or OAB = OBA donc 2xOBA = 108° soit OBA = 54°.
ABC = ABO + OBC = 2xABO = 108°.
AOB = 72° et A,B,D appartiennent au cercle de centre O donc ADB = AOB/2 = 36°. DAB + ABD = 180 - 36 = 144° et DAB = ABD (ABD isocèle en D) donc ABD = 72°. D'où DBC = ABC - ABD = 36°.
Soit I le milieu de [BD]. BIC est rectangle en I donc cos IBC = IB/BC. Alors cos DBC = (BD/2)/BC soit cos (36°) = BD/2BC. Donc d'après le paragraphe précédent, φ/2 = BD/2BC soit φ = BD/BC.
Finalement, dans un pentagone régulier convexe, le quotient de la longueur d'une diagonale divisée par la longueur d'un côté vaut le nombre d'or. On peut établir un résultat semblable pour le pentagone régulier concave (c'est-à-dire l'étoile à cinq branches). Il suffit de l'inscrire dans le pentagone régulier convexe précédent.
Conclusion
Si l'on réfléchit trop vite, on voit qu'il y a plusieurs arguments en faveur de la thèse supposant que le nombre d'or existe réellement. En effet, autour de nous, beaucoup de rapports s'en approchent : rapport entre les dimensions d'un livre de poche (1,657), d'un jeu de carte (1,534) ou d'un ancien billet de 100 F (1,683). Toujours est-il que si l'on retrouve autant le nombre d'or dans notre entourage, c'est qu'il a semblé naturel à certaines personnes de l'y introduire. De plus, de nombreux artistes l'ont utilisé dans leur oeuvre. On ne peut donc pas nier que, esthétiquement parlant, ce nombre se distingue des autres.
Mais ne voit-on pas trop souvent le nombre d'or ? On le trouve dans la nature mais c'est justement parce qu'on lui a attribué une symbolique. Le nombre d'or nous semble être un pas vers la perfection mais cela nous fait voir une loi mystique là où il n'y a que des coïncidences. Ici, le désir crée l'illusion. On aime tellement le nombre d'or, on croit tellement à son existence, qu'on le met partout et qu'on saute sur n'importe quelle approximation pour le placer dans la nature. Sauf que la nature est tellement diversifiée qu'en cherchant un peu, on peut y trouver n'importe quel nombre choisi a priori, que ce soit φ ou 58,457453.
Source :
TPE de terminale (avec Antonin et Yoann)