1. Monsieur Abel, fleuriste, a reçu sept cent dix-neuf fleurs dont deux cent dix-neuf sont rouges et les autres, jaunes. Combien y a-t-il de fleurs jaunes ?
La réponse "500" a fusé mais j’ai demandé à ce que l’on rédige une réponse par un opération en ligne et une phrase de conclusion.

 Quelle est l’opération en ligne ?
 719 ― 219 =
 Bien, je l’écris au tableau :

719 ― 219 =
 Moi, monsieur, j’ai fait 219 plus combien égal 719
 Oui ! T’as pensé : "le nombre de fleurs rouges" plus "le nombre de fleurs jaunes" égal "le nombre de fleurs en tout". C’est tout à fait logique de poser :
219 + ? = 719
Cette addition à trou qui surgit ici est exactement ce que décrit Jean-Luc Bregeon dans son article : les deux parties et un tout.
Et puis non, on va mettre une lettre parce que vous êtes en cinquième :
219 + x = 719
Tu proposes de trouver la solution de l’équation 219 + x = 719 qui est une addition à trou.
 Avez-vous eu besoin de poser une opération pour trouver la solution ?
 Non !
 Alors, on conclue :

719 ― 219 = 500	-----ou-----	219 + x = 719
	-----ou-----	x =500

Monsieur Abel a cinq centS fleurs jaunes.

2. Monsieur Bezout a trois cents photos dans une boîte. Il en colle deux cent dix-neuf dans un album. Combien reste-t-il de photos dans la boîte ?

 Quelle est l’opération en ligne ?
 300 ― 219 =
 Personne n’a pensé à "219 plus combien égal 300" ?
 Non !
 Et, à votre avis, pourquoi ?
 C’est à cause des nombres : en haut, on avait 219 et 719 mais là, on a 219 et 300 donc c’est plus difficile.
 Ah bon ? Personne n’a fait de tête : "Je pars de 219, j’ajoute 1 pour aller à 220 puis 80 pour aller à 300" ?
 Ah si, moi !
 Oui, moi aussi !
 Et pourtant, vous avez d’abord pensé à l’opération : "300 - 219" et pas à l’addition à trou ?
 Oui !
 Donc, ça ne vient pas des nombres mais bien de la situation : On a un état initial (les 300 photos dans la boîte) puis un changement (les 219 prélevées) et enfin un état final (le nombre de photos dans la boîte après le changement). Pour penser à l’addition à trou, il faudrait remonter le temps du problème en redécollant toutes les photos pour remplir la boîte comme au départ. Ca n’a rien à voir avec les nombres, c’est la situation qui impose naturellement la soustraction alors que dans la situation précédente, elle imposait davantage l’addition à trou.
J’ai envoyé un élève pour rédiger la fin de l’exercice.

3. L’élève Cauchy a obtenu un 17 en géométrie. Son voisin Descartes a obtenu cinq points de moins. Quelle a été sa note ?
Ce problème a été vite résolu et il était juste question d’observer la situation en constatant que l’addition à trou était encore moins naturelle que dans la situation précédente.
En effet, les deux quantités données dans l’énoncé n’étant pas de même nature, la soustraction s’est imposée à tous.

4. A l’arrêt d’un train, quatre cent trente-deux personnes descendent et deux cent dix-neuf montent. Pas de question, ici.

 Et la question, monsieur ?
 A vous de la deviner.
 Combien de personnes y a-t-il dans le train ?, dit l’un des élèves.
 Non, dit un autre, on ne peut pas le calculer.
 Ah oui !
 Combien de personnes y avait-il dans le train au départ ?
 Non plus !
 Combien de personnes y a-t-il en moins ?
 Oui, ai-je dit, ici, on n’a pas d’état initial ou final mais seulement deux changements (le nombre de ceux qui descendent et de ceux qui montent). On ne peut calculer qu’un autre changement.
Mais y a-t-il vraiment des personnes en moins ?
 Ben oui, il y a plus de personnes qui descendent que de personnes qui montent.
 Alors on pourrait poser ça comme première question : Y a-t-il des personnes en plus ou en moins au redémarrage du train ?
Puis : Combien ?
Y a-t-il des personnes en plus ou en moins au redémarrage du train ?
 En moins.
 Et quelle opération poser ?
 432 ― 219 =

 Posons la dans un coin puis concluons :

432 ― 219 = 213
Il y a deux cent treize personnes en moins dans le train après l’arrêt. On répond aux deux questions en une seule phrase : « deux cent treize personnes » répond à la deuxième question et « en moins » à la première (on a joué sur les couleurs pour distinguer les deux réponses, c’est pourquoi « en moins » est en rouge

5. A l’arrêt d’un train, deux cent dix-neuf personnes descendent et quatre cent trente-deux montent.
Évidemment, ces sont les mêmes questions mais cette fois, il y a des personnes « en plus »

 Et quelle opération poser ? Une élève a proposé « 219 ― 432 » puis s’est reprise « ah non, 432 ― 219 » Il y a deux cent treize personnes en plus dans le train après l’arrêt.

Il y a dans ces deux exemples les prémisses du théorème pour ajouter deux nombres de signes contraires :
 Détermination du signe (en plus ou en moins mis en rouge)
 Calcul de la distance à zéro (la soustraction)

J’ai d’ailleurs demander à mes élèves de bien regarder les deux situations différentes presque rédigées de la même façon (même opération et pratiquement même conclusion).
Dans la classe où le « 219 ― 432 » avait échappé à une élève tout à l’heure, une autre élève a suggéré qu’on aurait pu poser cette opération pour la deuxième situation. 219 ― 432 ? Et ça donnerait quoi ?, ai-je demandé. Ben, moins quelque chose, dit l’un ! Moins 213, dit un autre. Là, personne n’a su comment conclure avec « moins 213 » (« Il y a -213 personnes en plus » ne convenait pas) et on est passé à la suite.
Je n’avais pas envie de tout instruire : Il aurait en fait fallu choisir de systématiquement ôter les personnes qui descendent et alors, dans la première situation, et non la deuxième, on aurait pu interpréter le « -213 » comme deux cent treize personnes en moins.

Ensuite, j’ai écrit au tableau :

2 ― 5 =
Réponses éparpillées dans la classe :
 moins trois
 moins trois
 trois
 Mais non !
 Pourquoi ?
 Parce que le 2 est devant le 5.
 Ah oui ! Un élève est venu au tableau écrire :
2 ― 5 = - 3
J’ai demandé ce qu’était ce petit trait devant le 3.
 C’est "moins" !
 Moins ?, ai-je fait d’un air étonné.
 Oui. moins trois.
 Mais comme le "moins" qui est entre 2 et 5 ?
 Euh non, ce n’est pas le même !
 Alors qu’est-ce qu’il veut dire ?
 Il veut dire : "en dessous de zéro"
 Bien, écrivons cela, ai-je dit d’une mine sceptique :
On va le mettre ne rouge pour ne pas confondre avec l’autre "moins" et on va écrire en dessous "Ce - signifie en dessous de zéro"
 Et le 3, alors ?, ai-je demandé.
 Ben, c’est le résultat.
 Ah, deux moins cinq, ça donne 3 ?
 Non, le résultat est moins trois.
 Alors que veut dire ce 3 ?
 Avec le moins devant, il veut dire "trois en dessous de zéro".
 Bon ! Ecrivons cela (on a entouré -3 en vert et écris en dessous "-3 signifie "3 endessous de zéro")
 Si ça se trouve, on a tout faux, s’est inquiété un élève. Hein monsieur ! Je n’ai pas répondu. L’inquiétude grandit.
 On a faux ou pas, monsieur !
 Oh, t’inquiète, si il a écrit tout ça au tableau, c’est que c’est juste. Hein, monsieur !
 De toute façon, ai-je répondu, si c’est vrai, ce sera forcément le résultat d’un théorème. Voyons si nous trouvons ce théorème.
 Oh non, y’en a marre des théorèmes
Nous venons de traiter le chapitre des parallélogrammes avec son lot de théorèmes à connaître

 Inventez chacun un problème résolu par l’opération "2 ― 5 ="
 Moi, je vais reprendre le problème avec les photos, dit l’un.
 Ah oui, ai-je répondu, on a 2 photos dans une boîte et on en prend 5. Combien en reste-t-il ?
 Ah non ! Alors les fleurs ?
 J’ai 2 fleurs dont 5 rouges.
 Ah non !
 Moi, j’en ai un ! J’ai deux euros en banque et j’en retire cinq.
 Très bien, notons-le au tableau :
J’ai deux euros en banque et j’en retire cinq. Quel est mon solde ?

2 ― 5 = - 3
Mon solde est de -3 euros.
ou encore
Mon solde est débiteur de trois euros
(J’ai insisté sur le fait qu’ici, le "moins" était porté par le mot "débiteur")

L’élève qui avait déjà évoqué la possibilité de gérer par une différence négative est revenue à la charge mais n’est pas parvenue à trouver le problème mais il me semble bien que je vais essayer de leur faire pondre cette idée avec nos gens qui montent et qui descendent du train

 Avec les dates, monsieur, -3 avant JC.
Là, je n’ai pas résisté à poser moi-même le problème au tableau :
A deux ans, Jésus Christ apprit que son âne avait cinq ans. En quelle année est né l’âne ?
 Ben, on peut pas savoir. On ne sait pas en quelle année on est ?
 Mais si, réfléchissez, on est en 2 après JC. Je n’avais pas le temps de les laisser trop chercher

2 ― 5 = - 3
L’âne est né en l’an -3.
ou encore
L’âne est né en 3 avant JC

Oups ! Après renseignement, il semble qu’il n’y ait jamais eu d’an 0, ce qui rend impossible ce problème. Je leur en parlerai un jour

Un autre a trouvé aussi un problème de température :
Hier soir, la température était de 2°C puis elle a baissé de 5°C dans la nuit. Quelle température faisait-il ce matin ?

Pour la séance suivante, il devait trouver d’autres problèmes autour de cette opération.